線性代數（經管類）考點逐個擊破

第一章

行列式

（一）行列式的定義

行列式是指一個由若干個數排列成同樣的行數與列數后所得到的一個式子，它實質上表示把這些數按一定的規則進行運算，其結果為一個確定的數.1．二階行列式

由4個數得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規則為

2．三階行列式

由9個數得到下列式子：

稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數余子式的概念.3．余子式及代數余子式

設有三階行列式

對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如，再記，稱為元素的代數余子式.例如，那么，三階行列式定義為

我們把它稱為按第一列的展開式，經常簡寫成4．n階行列式

一階行列式

n階行列式

其中為元素的代數余子式.5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

對角行列式

（二）行列式的性質

性質1

行列式和它的轉置行列式相等，即

性質2

用數k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數.性質3

互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1

如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2

如果行列式中某兩行（列）的對應元素成比例，則此行列式的值等于零.性質4

行列式可以按行（列）拆開.性質5

把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數以后加到另一行（列）的對應元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）

n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積的和，即

或

前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2

n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應元素的代數余子式的乘積之和等于零.即

或

（三）行列式的計算

行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：

（1）利用行列式性質，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數降低，再求出它的值，通常是利用性質在某一行或某一列中產生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：

例1　計算行列式

解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.例2

計算行列式

解：方法1　這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取0值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：

方法2

觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計算，即是構造一個與

有相同值的五階行列式：

這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化為零.例3

三階范德蒙德行列式

（四）克拉默法則

定理1（克拉默法則）設含有n個方程的n元線性方程組為

如果其系數行列式，則方程組必有唯一解：

其中是把D中第j列換成常數項后得到的行列式.把這個法則應用于齊次線性方程組，則有

定理2

設有含n個方程的n元齊次線性方程組

如果其系數行列式，則該方程組只有零解：

換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數行列式等于零.第二章

矩陣

（一）矩陣的定義

1．矩陣的概念

由個數排成的一個m行n列的數表

稱為一個m行n列矩陣或矩陣

當時，稱為n階矩陣或n階方陣

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示

2．3個常用的特殊方陣：

①n階對角矩陣是指形如的矩陣

②n階單位方陣是指形如的矩陣

③n階三角矩陣是指形如的矩陣

3．矩陣與行列式的差異

矩陣僅是一個數表，而n階行列式的最后結果為一個數，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運算

1．矩陣的同型與相等

設有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對應元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為

因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2．矩陣的加、減法

設，是兩個同型矩陣則規定

注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現為元素的相加，因而與普通數的加法運算有相同的運算律.3．數乘運算

設，k為任一個數，則規定

故數k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數乘截然不同.矩陣的數乘運算具有普通數的乘法所具有的運算律.4．乘法運算

設，則規定

其中

由此定義可知，只有當左矩陣A的列數與右矩陣B的行數相等時，AB才有意義，而且矩陣AB的行數為A的行數，AB的列數為B的列數，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數的乘法有所不同，一般地：

①不滿足交換律，即

②在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結合律，分配律及與數乘的結合律.5．方陣的乘冪與多項式方陣

設A為n階方陣，則規定

特別

又若，則規定

稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣

6．矩陣的轉置

設A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為，轉置運算滿足以下運算律：，，由轉置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義

設A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7．方陣的行列式

矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設為一個n階方陣，則由A中元素構成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為

方陣的行列式具有下列性質：設A，B為n階方陣，k為數，則

①；

②

③

（三）方陣的逆矩陣

1．可逆矩陣的概念與性質

設A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使滿足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質：設A，B為同階可逆矩陣，為常數，則

①是可逆矩陣，且；

②AB是可逆矩陣，且；

③kA是可逆矩陣，且

④是可逆矩陣，且

⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側消去，即

設P為可逆矩陣，則

2．伴隨矩陣

設為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務必注意中元素排列的特點）

伴隨矩陣必滿足

（n為A的階數）

3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法

定理：n階方陣A可逆，且

推論：設A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，例1

設

（1）求A的伴隨矩陣

（2）a，b，c，d滿足什么條件時，A可逆？此時求

解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即

（2）由，故當時，即，A為可逆矩陣

此時

（四）分塊矩陣

1．分塊矩陣的概念與運算

對于行數和列數較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數乘及轉置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當作元素來看待，相乘時A的各子塊分別左乘B的對應的子塊.2．準對角矩陣的逆矩陣

形如的分塊矩陣稱為準對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個準對角矩陣也可逆，并且

（五）矩陣的初等變換與初等方陣

1．初等變換

對一個矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；

（2）用一個非零數k乘A的某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計算有本質區別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣理論中一個常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2．初等方陣

由單位方陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3．初等變換與初等方陣的關系

設A為任一個矩陣，當在A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等列變換.4．矩陣的等價與等價標準形

若矩陣A經過若干次初等變換變為B，則稱A與B等價，記為

對任一個矩陣A，必與分塊矩陣等價，稱這個分塊矩陣為A的等價標準形.即對任一個矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得

5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

設A為任一個n階可逆矩陣，構造矩陣（A，E）

然后

注意：這里的初等變換必須是初等行變換.例2

求的逆矩陣

解：

則

例3

求解矩陣方程

解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得

也能用初等行變換法，不用求出，而直接求

則

（六）矩陣的秩

1．秩的定義

設A為矩陣，把A中非零子式的最高階數稱為A的秩，記為秩或

零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2．

秩的求法

由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數.3．與滿秩矩陣等價的條件

n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使

A非奇異，即

A的等價標準形為E

A可以表示為有限個初等方陣的乘積

齊次線性方程組只有零解

對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解

A的行（列）向量組線性無關

A的行（列）向量組為的一個基

任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一.A的特征值均不為零

為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對任一個線性方程組

可以表示成矩陣形式，其中為系數矩陣，為常數列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應.對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章

向量空間

（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1．

n維向量的定義與向量的線性運算

由n個數組成的一個有序數組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣

與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.2．向量的線性組合設是一組n維向量，是一組常數，則稱

為的一個線性組合，常數稱為組合系數.若一個向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組

設A為一個矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個解就是一個組合系數.例1　問能否表示成，的線性組合？

解：設線性方程組為

對方程組的增廣矩陣作初等行變換：

則方程組有唯一解

所以可以唯一地表示成的線性組合，且

（二）向量組的線性相關與線性無關

1．線性相關性概念

設是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數，使得，則稱向量組線性相關，稱為相關系數.否則，稱向量線性無關.由定義可知，線性無關就是指向量等式當且僅當時成立.特別

單個向量線性相關；

單個向量線性無關

2．求相關系數的方法

設為m個n維列向量，則線性相關m元齊次線性方程組有非零解，且每一個非零解就是一個相關系數矩陣的秩小于m

例2

設向量組，試討論其線性相關性.解：考慮方程組

其系數矩陣

于是，秩，所以向量組線性相關，與方程組同解的方程組為

令，得一個非零解為

則

3．線性相關性的若干基本定理

定理1

n維向量組線性相關至少有一個向量是其余向量的線性組合.即線性無關任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理2

如果向量組線性無關，又線性相關，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3

若向量組中有部分組線性相關，則整體組也必相關，或者整體無關，部分必無關.定理4

無關組的接長向量組必無關.（三）向量組的極大無關組和向量組的秩

1．向量組等價的概念

若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個向量組等價.2．向量組的極大無關組

設T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關的，且T中任一個向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關組.顯然，線性無關向量組的極大無關組就是其本身.對于線性相關的向量組，一般地，它的極大無關組不是唯一的，但有以下性質：

定理1

向量組T與它的任一個極大無關組等價，因而T的任意兩個極大無關組等價.定理2

向量組T的任意兩個極大無關組所含向量的個數相同.3．向量組的秩與矩陣的秩的關系

把向量組T的任意一個極大無關組中的所含向量的個數稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對任一個矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）

此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構造一個矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關組.例3

求出下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出：

解：把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣

易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地為向量組的一個極大無關組，而且

（四）向量空間

1．向量空間及其子空間的定義

定義1

n維實列向量全體（或實行向量全體）構成的集合稱為實n維向量空間，記作

定義2

設V是n維向量構成的非空集合，若V對于向量的線性運算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2．

向量空間的基與維數

設V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數.顯然，n維向量空間的維數為n，且中任意n個線性無關的向量都是的一個基.3．

向量在某個基下的坐標

設是向量空間V的一個基，則V中任一個向量都可以用唯一地線性表出，由r個表出系數組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標.第四章

線性方程組

（一）線性方程組關于解的結論

定理1

設為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是

定理2

當n元非齊次線性方程組有解時，即時，那么

（1）有唯一解；

（2）有無窮多解.定理3

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是

推論1

設A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解

推論2

設A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解

（二）齊次線性方程組解的性質與解空間

首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運算及數乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個子空間，我們稱V為方程組的解空間

（三）齊次線性方程組的基礎解系與通解

把n元齊次線性方程組的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎解系.當n元齊次線性方程組有非零解時，即時，就一定存在基礎解系，且基礎解系中所含有線性無關解向量的個數為

求基礎解系與通解的方法是：

對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎解系.例1

求的通解

解：對系數矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為

寫成向量形式，令，為任意常數，則通解為

可見，為方程組的一個基礎解系.（四）非齊次線性方程組

1．非齊次線性方程組與它對應的齊次線性方程組（即導出組）的解之間的關系

設為一個n元非齊次線性方程組，為它的導出組，則它們的解之間有以下性質：

性質1

如果是的解，則是的解

性質2

如果是的解，是的解，則是的解

由這兩個性質，可以得到的解的結構定理：

定理

設A是矩陣，且，則方程組的通解為

其中為的任一個解（稱為特解）,為導出組的一個基礎解系.2．求非齊次線性方程組的通解的方法

對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.例2

當參數a，b為何值時，線性方程組

有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時，求出通解.解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：

當時，有唯一解；

當時，，無解；

當時，有無窮多解.此時，方程組的一般解為

令為任意常數，故一般解為向量形式，得方程組通解為