復習思考題

一．單選題：

1．下列各式正確的是（）。

A、B、C、D、2．行列式（）。

A、-1

B、0

C、1

D、2

3．（）。

A、B、C、D、4．，（）。

A、-1

B、1

C、-2

D、2

5．若行列式，則（）。

A、B、C、D、且

6．若行列式，為元素的代數余子式，下列各式正確的是（）。

A、，B、，C、，D、，7．（）。

A、B、C、D、8．=（）。

A、B、C、D、9．

=（）。

A、B、C、D、10．

=（）。

A、B、C、D、11．

=（）。

A、B、C、D、12．為方陣，（）。

A、B、C、D、13．為階方陣，（）。

A、B、C、0

D、14.設A、B為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是（）。

A、B、C、D、15.設A、B為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是（）。

A、B、C、D、16．矩陣的秩為（）。

A、0

B、C、2

D、3

17．矩陣的秩為（）。

A、0

B、C、2

D、3

18．矩陣的秩為（）。

A、0

B、C、2

D、3

19．矩陣的秩為（）。

A、0

B、C、2

D、3

20．矩陣的秩為（）。

A、0

B、C、2

D、3

21．若三個非零3維向量共面，則這三個非零3維向量（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個都不能由其余兩個表示

D、以上都不對

22．若三個非零3維向量不共面，則這三個非零3維向量（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、至少一個都能由其余兩個表示

D、以上都不對

23．若三個非零3維向量共面，則非零3維向量組的秩為（）。

A、1

B、2

C、3

D、以上都不對

24．若三個非零3維向量不共面，則非零3維向量組的秩為（）。

A、1

B、2

C、3

D、以上都不對

25．4個非零3維向量一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個都不能由其余3個表示

D、以上都不對

26．為方陣，若，則的所有行構成的行向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個向量都不能由其余向量表示

D、以上都不對

27．為方陣，若，則的所有行構成的行向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、至少有一個向量能由其余向量表示

D、以上都不對

28．為矩陣，若，則的所有行構成的行向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、至少有一個向量能由其余向量表示

D、以上都不對

29．為矩陣，若，則的所有行構成的行向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個向量都不能由其余向量表示

D、以上都不對

30．為方陣，若，則的所有列構成的列向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個向量都不能由其余向量表示

D、以上都不對

31．為方陣，若，則的所有列構成的列向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、至少有一個向量能由其余向量表示

D、以上都不對

32．為矩陣，若，則的所有列構成的列向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、至少有一個向量能由其余向量表示

D、以上都不對

33．為矩陣，若，則的所有列構成的列向量組一定（）。

A、線性無關

B、線性相關

C、任意一個向量都不能由其余向量表示

D、以上都不對

34．向量組的秩是（）。

A、0

B、C、2

D、3

35．向量空間的維數是（）。

A、0

B、C、2

D、3

36．向量空間的一組基是（）。

A、B、C、D、37．下列命題中不正確的是（）。

A、向量組的最大無關組一定唯一

B、初等變換不改變向量組的秩和向量組的線性相關性

C、向量組與它的最大無關組等價

D、設矩陣的行向量組線性相關，此時它的列向量組不一定線性相關

38．設向量組，，線性無關，下列命題正確的是（）。

A、，，線性無關

B、，，線性無關

C、，，線性無關

D、，，線性無關

39．設n階方陣A、B、C都可逆且滿足

ABC=E，則必有（）。

A、ACB=E

B、CBA=E

C、BAC=E

D、BCA=E

40．為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充要條件是（）。

A、R(A)

B、R(A)

C、D、41．為矩陣，齊次線性方程組只有零解的充要條件是（）。

A、R(A)

B、R(A)

C、D、42．為矩陣，非齊次線性方程組沒有解的充要條件是（）。

A、B、C、-1

D、向量不能由矩陣的列向量組表示

43．為矩陣，非齊次線性方程組有解的充要條件是（）。

A、B、C、-1

D、向量不能由矩陣的列向量組表示

44．下列命題正確的是（）。

A、若x=，x=是AX=b的解，則x=+是AX=b的解

B、若x=，x=是AX=b的解，則x=－是AX=b的解

C、若x=，x=是AX=b的解，則x=+是AX=0的解

D、若x=，x=是AX=b的解，則x=－是AX=0的解

45．要使=，=都是方程組的解，只要系數矩陣是（）。

A、B、C、D、46．，下列各式中錯誤的是（）。

A、B、C、D、47．設表示向量的長度，則下列各式中錯誤的是（）。

A、時，>0

B、=0時，C、D、48．正交矩陣一定是（）。

A、單位矩陣

B、可逆矩陣

C、降秩矩陣

D、對稱矩陣

49．設P是正交矩陣．則下列命題中不正確的是（）。

A、P=P

B、P的列向量不是單位向量

C、PP=E

D、P的行向量都是單位向量且兩兩正交

50．對應于對稱矩陣不同特征值的特征向量一定（）。

A、線性相關

B、線性無關

C、正交

D、不正交

51．方陣的特征值是（）。

A、B、C、D、52．若方陣的特征值為，則方陣多項式的特征值為（）。

A、B、C、D、53．若方陣的特征值為，則的特征值為（）。

A、B、C、D、54．若3階方陣的特征值為，則的特征值為（）。

A、B、C、D、55.設3階方陣A的特征值為1，-1，2，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（）。

A、E-A

B、-E-A

C、2E-A

D、-2E-A

56.設λ=2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣(A2)-1必有一個特征值等于（）。

A、B、C、2

D、4

57．若3階方陣的特征值為，則（）。

A、6

B、36

C、D、58．若3階方陣的特征值為，則（）。

A、6

B、36

C、D、59．二次齊式對應的矩陣是（）。

A、B、C、D、60.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩為（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

二．填空題：

1．2．

=。

3.=。

4.。

5.。

6.設行列式D==3，D1=，則D1

=。

7.。

8.。

9.。

10.。

11.。

12.。

13.。

14.。

15.。

16.。

17.。

18.。

19.行列式=。

20.設，元素的代數余子式。

21.若行列式，為元素的代數余子式，則。

22.若行列式，為元素的代數余子式，則。

23.。

24.2。

25.。

26.。

27.。

28.。

29.。

30.。

31.。

32.。

33.設，則。

34.設，則。

35.設，則。

36.設為方陣，則。

37.設為階方陣，則。

38.設為方陣，則。

39.設為可逆矩陣，則。

40.設為可逆矩陣，則。

41.。

42.。

43.。

44.設為方陣，則。

45.若兩個向量共線，則這兩個向量一定線性。

46.若兩個非零向量不共線，則這兩個向量一定線性。

47.線性無關的向量組，其中任一向量都

由其余向量線性表示。

48.線性相關的向量組，其中至少有一個向量

由其余向量線性表示。

49.若存在一組不全為零的數，使向量組的線性組合為零向量，則該向量組一定線性。

50.若對于任意一組不全為零的數，都不能使向量組的線性組合為零向量，則該向量組一定線性。

51.若矩陣的個行向量線性無關，則。

52.若矩陣的個行向量線性相關，則。

53.若矩陣的個列向量線性無關，則。

54.若矩陣的個列向量線性相關，則。

55.矩陣的秩、矩陣的行向量組的秩、矩陣的列向量組的秩、矩陣的非零子式的最高階數，以上四者。

56．等價的矩陣秩。

57.初等變換

矩陣的秩。

58.若兩個同型矩陣的秩相等，則它們。

59.若兩個矩陣相似，則它們的秩。

60.若向量組所含向量的個數大于向量的維數，則該向量組一定線性。

61.向量組的最大無關組所含向量的個數即該向量組的。

62.若向量組線性相關，則滿足

關系式。

63.向量組的秩等于。

64.向量組的最大無關組為。

65.矩陣的秩等于。

66.設，且，則向量。

67.向量由向量組表示的表達式是。

68.若為矩陣，為階可逆方陣，為階可逆方陣，則。

69.若，則齊次線性方程組的基礎解系所含線性無關的解的個數等于。

70.若列向量可以由矩陣的列向量組線性表示，則非齊次線性方程組一定。

71.若矩陣的列向量組線性相關，則齊次線性方程組一定

非零解。

72.若矩陣的列向量組線性無關，則齊次線性方程組一定

非零解。

73.設是非齊次線性方程組的解，若也是非齊次線性方程組的解，則。

74.齊次線性方程組的基礎解系是。

75.非齊次線性方程組的通解為。

76.設向量，則。

77.設向量，則與向量同方向的向量。

78.向量的夾角為。

79.若0，則。

80.兩兩正交的向量組一定線性。

81.向量正交化為。

82.矩陣=的特征值為。

83.矩陣=的特征向量為。

84.矩陣的特征值為1,2,3，則的特征值為。

85.矩陣的特征值為1,2,3，則的特征值為。

86.對應于實對稱矩陣的不同特征值的特征向量一定兩兩。

87.階實對稱矩陣存在個兩兩正交的特征向量。

88.相似矩陣的特征值。

89.若矩陣滿足，則稱為

矩陣。

90.若矩陣為正交矩陣，則。

91.正交矩陣的行向量組中每一個向量都是單位向量，且兩兩。

92.正交矩陣的列向量組中每一個向量都是單位向量，且兩兩。

93.正定矩陣的所有特征值為。

94.負定矩陣的所有特征值為。

95.若方陣的所有主子式為正，則方陣為

矩陣。

96.若方陣的所有奇數階主子式為負，偶數階主子式為正，則方陣為

矩陣。

97.二次型所對應的矩陣為。

98.用配方法化二次型為標準型，所用變換矩陣

為。

99.用正交變換化二次型為標準型，所用變換矩陣為。

100..若二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)+

(k-1)+

(k-2)正定，則數k的取值范圍為________.。

三．判斷題：

1．。

（）

2．。

（）

3．。

（）

4．。

（）

5．。

（）

6．。

（）

7．。

（）

8．。

（）

9．。

（）

10．。

（）

11．。

（）

12．。

（）

13．。

（）

14．。

（）

15．當時，行列式=0。

（）

16．設為階方陣，若，則方程組有唯一一組解。

（）

17．設為階方陣，若方程組有無數組解，則。

（）

18．設為階方陣，若方程組沒有解，則。

（）

19．設為階方陣，若，則方程組只有零解。

（）

20．設為階方陣，若方程組有非零解，則。

（）

21．若方程組有非零解，則。

（）

22．若方程組無解，則。

（）

23．行列式就是矩陣。

（）

24.行列式是一個數值。

（）

25.矩陣是一個數表。

（）

26.只有同型的矩陣才可能相等。

（）

27.任何零矩陣都相等。

（）

28.只有同型的矩陣才能相加減。

（）

29.任何零矩陣都能相加且結果等于零矩陣。

（）

30.。

（）

31.。

（）

32.只有當左乘陣的列數等于右乘陣的行數時，這兩個矩陣才能相乘。

（）

33.矩陣乘法不滿足交換律，即。

（）

34.設A、B為同階方陣，則。

（）

35.設A、B為同階方陣，則。

（）

36.若AB=AC,則B=C。

（）

37.若，則或。

（）

38.若，則。

（）

39.若，則或。

（）

40.設A、B為同階方陣，且，則。

（）

41.設矩陣A=，B=，則AB-BA=。

（）

42.設為矩陣，、為、階單位矩陣，則。（）

43.方陣可逆的充要條件是：。

（）

44.逆矩陣運算是矩陣乘法的逆運算。

（）

45.若，則。

（）

46.若，則。

（）

47.。

（）

48.=。

（）

49.。

（）

50.設均為n階可逆矩陣，且，則。

（）

51.若，則。

（）

52.若，則。

（）

53.若，則。

（）

54.設A、B為同階方陣，則。

（）

55.設A、B為同階方陣，則。

（）

56.。

（）

57.若矩陣的秩等于，則的低于階子式都非零。

（）

58.若矩陣的秩等于，則的高于階子式都為零。

（）

59.若矩陣的秩等于，則的所有階子式都非零。

（）

60.若矩陣的秩等于，則的任意個行（列）向量都線性無關。

（）

61.若矩陣的秩等于，則的任意個行（列）向量都線性相關。

（）

62.若矩陣的秩等于，則的行（列）向量組的秩都等于。

（）

63.初等變換改變矩陣的秩。

（）

64.等價的矩陣秩相等。

（）

65.秩相等的矩陣等價。

（）

66.相似的矩陣秩相等。

（）

67.秩相等的矩陣相似。

（）

68.合同的矩陣秩相等。

（）

69.秩相等的矩陣合同。

（）

70.等價的矩陣一定合同。

（）

71.合同的矩陣一定等價。

（）

72.相似的矩陣一定等價。

（）

73.等價的矩陣一定相似。

（）

74.合同的矩陣一定相似。

（）

75.相似的矩陣一定合同。

（）

76.正交矩陣、正定矩陣一定是可逆矩陣。

（）

77.可逆矩陣不一定是正交矩陣、正定矩陣。

（）

78.正交矩陣不一定是正定矩陣，正定矩陣也不一定是正交矩陣。

（）

79.直觀而言：若平面上兩個非零向量共線，或空間里三個非零向量共面，則它們線性相關。

（）

80.向量組線性相關，其代數意義即它們之間存在線性關系，亦即其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。

（）

81.直觀而言：若平面上兩個非零向量不共線，或空間里三個非零向量不共面，則它們線性無關。

（）

82.向量組線性無關，其代數意義即它們之間不存在線性關系，亦即其中任何一個向都不能由其余向量線性表示。

（）

83.若向量組線性無關，則其中任意兩個向量都線性無關。

（）

84.若向量組中任意兩個向量都線性無關，則該向量組線性無關。

（）

85.若向量組線性相關，則其中任意兩個向量都線性相關。

（）

86.若向量組中任意兩個向量都線性相關，則該向量組線性相關。

（）

87.若非零向量組中任意兩個向量都正交，則該向量組線性無關。

（）

88.若非零向量組中任意兩個向量都線性無關，則該向量組正交。

（）

89.含有零向量的向量組一定線性相關。

（）

90.線性相關的向量組一定含有零向量。

（）

91.設3階方陣A的秩為2，則A與矩陣等價。

（）

92.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩為。

（）

93.設A為n（n≥2）階方陣，且A2=E，則A的秩等于n。

（）

94.設向量組，的秩為2，則數t=1。（）

95.設向量組α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）與向量組β1，β2，β3等價，則向量組β1，β2，β3的秩為。

（）

96.設m×n矩陣A的秩r（A）=n-3（n>3），是齊次線性方程組Ax=0的三個線性無關的解向量，則方程組Ax=0的基礎解系為。

（）

97.設是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則矩陣A可為（5，-3，-1）。（）

98.設向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T,α與β的內積為2，則數k=。

（）

99.設向量α=（2，-1，1），則α的長度為。

（）

100.設向量α=T為單位向量，則數。

（）

101.設向量α=（1，-2，3，4）與β=（3，a，5，-7）正交，則數。

（）

102.屬于同一特征值的特征向量只有一個。

（）

103.設3階實對稱矩陣A的特征值為λ1=λ2=3，λ3=0，則。

（）

104.矩陣A與對角矩陣D=相似，則。

（）

105.矩陣A=對應的二次型

（）

四．計算題：

1．計算行列式。

2．　計算行列式。

3．計算行列式。

4．計算行列式。

5．計算行列式。

6．計算行列式。

7．計算行列式。

8．計算行列式。

9．計算行列式。

10．解方程。

11.解方程。

12.設，計算。

13.設，計算。

14.設，其中，求。

15.設，利用分塊矩陣計算。

16.求矩陣的逆矩陣。

17.設，求矩陣。

18.設都是四維列向量。若，求的值。

19.設，其中都是三維行向量。若，求的值。

20.求矩陣的秩。

21.求矩陣的秩。

22.設，試分別求的值，使。

23.求一個秩是4的方陣，它的兩個行向量是。

24.判斷向量組的線性相關性。

25.判斷向量組的線性相關性。

26.求向量組的極大無關組。

27.求向量組的極大無關組。

28.驗證向量組是的一組基，并把向量用這組基表示。

29.驗證向量組是的一組基，并把向量用這組基表示。

30.求齊次線性方程組的基礎解系。

31.求齊次線性方程組的基礎解系。

32.求非齊次線性方程組的通解。

33.求非齊次線性方程組的通解。

34.求一個齊次線性方程組，使它的基礎解系為。

35.設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為，已知，是它的三個解向量，且

求該方程組的通解。

36.當為何值時，非齊次線性方程組

有唯一解？無解？有無數組解？

37.當為何值時，非齊次線性方程組

有唯一解？無解？有無數組解？

38.當為何值時，非齊次線性方程組

有唯一解？無解？有無數組解？

39，設，計算。

40.求與都正交的單位向量。

41.試確定，使為正交矩陣。

42，用施米特方法將向量正交化。

43．求的特征值與特征向量。

44.設矩陣的特征值為，對應的特征向量為，求矩陣。

45.設矩陣與對角陣相似，求。

46.求正交矩陣，使為對角矩陣。

47.寫出二次型的矩陣表達式。

48.用配方法化二次型為標準型，并寫出所用變換矩陣。

49.用正交化方法化二次型為標準型，并寫出所用變換矩陣。

50.判定二次型的正定性。

第三部分

參考答案

一．選擇題：

1．A

2．B

3．D

4．C

5.D

6．B

7.D

8．B

9.A

10.A

11．D

12．C

13．D

14．C

15.A

16．B

17．B

18．D

19.B

20.B

21．B

22．A

23．D

24．C

25.B

26．B

27．A

28．A

29.B

30.B

31．A

32．A

33．B

34．D

35.C

36．C

37．A

38．C

39.D

40.C

41．C

42．D

43．A

44．D

45.A

46．D

47．C

48．B

49.B

50.B

51．C

52．D

53．A

54．D

55.D

56．A

57．B

58．C

59.B

60.C

二．填空題：

1.=

2.—

3.—

4.=

5.=

6.6

7.6

8.-6

9.24

10.-90

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.-18

18.(b-a)(c-a)(c-b)

19.0

20.6

21.D

22.0

23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.=

37.38.=

39.A

40.41.42.A

43.44.45.相關

46.無關

47.不能

48.能

49.相關

50.無關

51.m

52.m-1

53.n

54.n-1

55.相等

56.相等

57.不改變

58.等價

59.相等

60.相關

61.秩

62.a=b

63.2

64.65.3

66.67.68.=

69.n-r

70.有解

71.有

72.無

73.1

74.75.76.2

77.78.79.正交

80.無關

81.82.2,4

83.84.85.4,7,16

86.正交

87.n

88.相等

89.正交

90.91.正交

92.正交

93.正

94.負

95.正定

96.負定

97.98.99.100.k大于2

三．判斷題：

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

6.√

7.×

8.×

9.√

10.×

11.√

12.√

13.×

14.√

15.√

16.√

17.×

18.×

19.√

20.√

21.√

22.√

23.×

24.√

25.√

26.√

27.×

28.√

29.×

30.×

31.×

32.√

33.√

34.×

35.×

36.×

37.×

38.×

39.×

40.√

41.√

42.√

43.√

44.√

45.√

46.√

47.×

48.×

49.√

50.√

51.√

52.×

53.√

54.×

55.√

56.√

57.×

58.√

59.×

60.×

61.√

62.√

63.×

64.√

65.×

66.√

67.×

68.√

69.×

70.×

71.√

72.√

73.×

74.×

75.×

76.√

77.√

78.√

79.√

80.√

81.√

82.√

83.√

84.×

85.×

86.√

87.√

88.×

89.√

90.×

91.√

92.×

93.√

94.×

95.√

96.√

97.√

98.×

99.√

100.√

101.×

102.×

103.√

104.√

105.√

四．計算題：

1.－４

2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.或，且

23.24.相關

25.相關

26.或

27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.時有唯一解，時無解，時有無數組解

37.時有唯一解，時無解，時有無數組解

38.時有唯一解，且時無解，且時有無數組解

39.40.41.中一個為，其余為，或者都為

42.43.44.45.46.47.48.49.50.負定