第五部分　特征值與特征向量

本章討論方陣的特征值和特征向量，進而討論方陣能與對角陣相似的充分必要條件以及實對稱陣與對角陣相似的問題。

5.1　特征值與特征向量

5.1.1　特征值與特征向量的定義

定義5.1.1　設A是一個n階方陣，λ是一個數。如果存在一個非零的n維列向量p，使得Ap=λp。

則稱λ為方陣A的一個特征值，稱p為A的屬于特征值λ的特征向量。

由以上定義容易看出，p為A的屬于特征值λ的特征向量p是齊次方程組（λE-A）=0的非零解。

由此可見，λ為方陣A的一個特征值

定義5.1.2　稱帶參數λ的方陣λE-A為方陣A的特征方陣，稱為A的特征多項式，稱為A的特征方程。

為什么稱為A的特征多項式？看

為二次多項式。對n階方陣

是一個n次多項式。

所以n階方陣A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n階方陣A在復數范圍內，有n個根（重根按重數進行計算）。

所以n階方陣A在復數范圍內必有n個特征值（重根按重數計算）。

而當λ是A的特征值時，齊次方程組（λE-A）X

=0的所有非零解都是A的屬于特征值λ的特征向量。

例1　求n階的所有特征值和所有特征向量。

【答疑編號12050101】

解

這說明，n階O矩陣的n個特征值都是0。

對于任給的n維非零向量p，都有Ap=0=0p，所以p都是O矩陣的屬于特征值0的特征向量。

例2　當時，2是A的特征值。當時，λ=　　　是A的特征值。

【答疑編號12050102】

例3　設A是一個n階方陣，且滿足證明：-1是矩陣A的特征值。

【答疑編號12050103】

例4　設A是一個n階方陣，且A≠E。如果證明：-1是矩陣A的特征值。

【答疑編號12050104】

5.1.2　關于特征值和特征向量的若干結論

命題1　方陣的特征值未必是實數。

例5　設

顯然，即特征值都是復數。

命題2　三角形矩陣的特征值就是它主對角線上的所有元素。

命題3　設是矩陣A的一個特征值，是矩陣A屬于特征值的特征向量，是兩個任意數，則當時，也是矩陣A屬于特征值的特征向量。

定理5.1.1　n階方陣A與它的轉置有相同的特征值。

這只要看

值得注意的是與A未必有相同的特征向量。

例6

解　顯然，λ=1是A的特征值，故屬于特征值λ=1的特征向量。

但

所以不是的特征向量。（此題給出了判斷向量是否是A的特征向量的方法）。

【答疑編號12050105】

定理5.1.2　設是n階方陣的全體特征值。則

定理5.1.3

設A為n階方陣，為對應的方陣多項式。如果非零向量p滿足Ap=λp，則f(A)p=f(λ)p。

這表明，如果λ是A的特征值，則f(λ)就是方陣f(A)的特征值，且如果p是方陣A屬于特征值λ的特征向量，則p也是方陣f(A)屬于特征值f(λ)的特征向量。

例7

設的所有特征值。

【答疑編號12050201】

例8

已知n階方陣求A的所有特征值。

【答疑編號12050202】

定理5.1.4

設A是可逆方陣，λ是A的一個特征值，p是方陣A屬于特征值λ的特征向量，則λ≠0，且p是方陣屬于特征值的特征向量。

定理5.1.5

設是矩陣A的k個兩兩不相同的特征值，且分別是關于的特征向量。則線性無關。

5.1.3　關于求特征值和特征向量的一般方法

例9

求出的特征值和線性無關的特征向量。

【答疑編號12050203】

解

（1）寫出特征多項式

得為的全部特征值。

下面求A的特征向量。

當時,A的屬于該特征值的線性無關的特征向量就是齊次方程組的基礎解系。

對

取為自由未知數，得A的屬于特征值2的線性無關的特征向量

當時，則A的屬于特征值的線性無關的特征向量就是齊次方程組的基礎解系。而

取自由未知數，得的屬于特征值的線性無關的特征向量為

所以是矩陣A的三個線性無關的特征向量。

例10

求矩陣的特征值和特征向量。

【答疑編號12050204】

小結：

（1）求特征值特征向量的方法步驟。

（2）對于A的二重特征值，可能有兩個線性無關的特征向量，也可能只有一個線性無關的特征向量。一般，若λ=a是A的k重特征值，A至多有k個屬于λ=a的線性無關的特征向量。(可能少于k個!)

例11

設n階方陣的每一行中元素之和同為a，證明：a是矩陣的特征值，并求出它屬于該特征值的一個特征向量。

【答疑編號12050205】

例12

求出k的值，使得的逆矩陣的特征向量。

【答疑編號12050206】

小結

1.特征值和特征向量的定義；

2.λ是n階矩陣A的特征值的充分必要條件是，而齊次方程組的所有非零解都是A屬于特征值λ的特征向量；

3.關于特征值和特征向量的若干重要結論；如

A屬于不同特征值的特征向量線性無關等

4.求矩陣的特征值和特征向量的方法。

作業p135

習題5.1

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

5.2　方陣的相似變換

對于方陣A，要求一般來說，這是一個十分困難的問題。

有兩種情況我們會處理。

而對一般的方陣A，要求十分困難。于是思考能否把求的問題轉化為求一個對角陣的k次冪的問題呢？這首先希望找到A與對角陣的聯系。

這一節就討論這個問題。

5.2.1　相似矩陣的概念

一、定義

定義5.2.1　設A，B都是n階方陣。如果存在一個可逆矩陣P，使得

則稱A與B相似，記為A～B。

例1　取

故A與B相似。

【答疑編號12050301】

例2　設A，B都是n階方陣。

A可逆，則AB與BA相似。

【答疑編號12050302】

證　因為故AB與BA相似。

例3　設B是n階方陣，若n階單位陣與B相似，則

【答疑編號12050303】

二、相似矩陣的性質：

（1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性。

定理5.2.1　設n階方陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，從而特征值完全相同。從而有和

需注意的是A與B不一定有相同的特征向量。

只要看例1中，取

故的一個屬于特征值0的特征向量，但

所以不是矩陣屬于特征值0的特征向量。

推論　若n階方陣A與三角陣相似，則該三角陣的主對角元素就是A的所有特征值。

例4　設且A與B相似。求參數x，y。

【答疑編號12050304】

例5　設n階方陣A與B相似，證明：方陣多項式f（A）與f（B）相似，其中

【答疑編號12050305】

5.2.2　方陣與對角陣相似

設三階方陣A與對角陣相似存在可逆陣，使得

即

即

即是矩陣A的三個特征值，依次為矩陣A屬于特征值的特征向量。

注意可逆的充分必要條件是線性無關。上面的討論對n階方陣可類似的進行。于是有下面的重要定理

定理5.2.2n階方陣A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。設

是A的n個特征值，依次是A屬于特征值的線性無關的特征向量，則令

有

推論

設n階方陣A有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能和對角陣相似。（這是充分條件，不是必要條件）

分析矩陣不能與對角陣相似的原因。

例6

不能與對角陣相似。

【答疑編號12050401】

例7

判斷能否與對角陣相似？若能，求出變換矩陣P。

【答疑編號12050402】

在上一節例9已求出A的全部特征值

當時，A有兩個線性無關的特征向量:對，A有一個線性無關的特征向量

所以是矩陣A的三個線性無關的特征向量。

故A能與對角陣相似，取變換矩陣

必有

例8

判斷矩陣

能否與對角陣相似，若相似，求出變換矩陣。

【答疑編號12050403】

解

在上一節例10

已求出A的全部特征值

得A的全部特征值為

對

A只有一個屬于特征值的線性無關的特征向量

所以A沒有三個線性無關的特征向量，故A不能與對角陣相似。

例9

設

問A是否相似于對角陣？若是，則求出其相似標準形。

【答疑編號12050404】

例10

已知三階方陣A的三個特征值為

與它們對應的特征向量分別為：

求矩陣A。

【答疑編號12050405】

例11

設，求。

【答疑編號12050406】

小結

主要概念:

1.相似的定義和性質。

2.n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件；及充分條件（特征方程無重根）。

主要習題類型:

1.判斷n階方陣能否與角陣相似，相似時，求出變換矩陣。

2.已知方陣的全部特征值和n個線性無關的特征向量，求矩陣A

3.利用相似矩陣的性質求矩陣中的未知參數。

作業

p144

習題5.2

1.（1），（2），（5），2，3，4（2），5

5.3　向量內積和正交矩陣

5.3.1　向量的內積

一、定義

定義5.3.1設都是n維實向量。

定義為α與β的內積。

顯然，α與β的內積的內積是一個實數，所以內積也稱數量積。

例1

設求它們的內積。

【答疑編號12050501】

解

二、性質

（1）交換律（α,β）=（β,α）

（1）線性性質

正定性

對任意的α，總有（α,α）≥0，且（α,α）=0的充分必要條件是α=0。

只要看

（4）許瓦茲不等式（*）

而且式

（*）中等式成立的充分必要條件是α與β線性相關。（證明從略）

三、向量的長度

定義5.3.2

設為向量α的長度。

當時，稱向量α為單位向量。

顯然，α為單位向量

向量長度的性質：

（1）非負性：

（2）齊次性：

只要看

（3）三角形不等式

可見，n維向量長度的性質與三維向量長度的性質相同。

顯然，基本單位向量為單位向量。

對于任意的非零向量為單位向量，稱它為α的單位化向量。

因為

容易看出，當k≠0時，kα的單位化向量與α的單位化向量相同。

例2

對于α=（1,2,3）。求它的單位化向量。

【答疑編號12050502】

解，所以，它的單位化向量為

請自已讀例3（p147），目的搞清楚每個式子是否有意義。

四、向量的正交與正交向量組

定義5.3.3

若（α,β）=0，則稱向量α與β正交。顯然零向量與任何向量都正交。

定義5.3.4

如果一個同維向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組。

例3

在中，一個正交向量組。且為一個標準正交向量組。（還是一個標準正交基）。

【答疑編號12050503】

例4

求一個單位向量x,使得

即垂直于α=（1,1,1）又垂直于β=（1.-2,1）。

【答疑編號12050504】

定理5.3.1

正交向量組必線性無關。

5.3.2　施密特正交化手續

能否根據給定的一個線性無關向量組，構造出與它等價的正交向量組。

例5

將標準正交化。

【答疑編號12050505】

5.3.3　正交矩陣

一、定義

定義5.3.5

如果n階實方陣A滿足，則稱A為正交矩陣。

例6

證明下列矩陣為正交矩陣

（1）因為　所以為正交陣。

【答疑編號12050601】

（2）

【答疑編號12050602】

（3）

【答疑編號12050603】

二、正交矩陣的性質

1.如果A是正交陣，則

2.如果A是正交陣，則A必可逆，且；

3.正交陣的逆，轉置和伴隨陣都是正交陣；

4.設A，B都是正交陣，則它們的乘積仍為正交陣；

5.設A是n階正交陣，α,β都是n維向量，則。

特別，時。

定理5.3.2

n階方陣是正交陣的充分必要條件是它的行（列）向量組是標準正交向量組。

例7

判斷下列矩陣是否為正交陣

（1）

【答疑編號12050604】

（2）

【答疑編號12050605】

例8

設x為n維單位列向量。證明:是對稱正交陣。且有Hx=-x

【答疑編號12050606】

例9

設A是n階正交陣。λ是A的一個特征值。證明λ≠0，且也是A的一個特征值。

【答疑編號12050607】

小結

1.向量α與β內積的定義與性質；

2.向量長度的定義，如何將向量單位化；

3.兩向量正交與正交向量組的定義，正交向量組必線性無關；

4.施密特正交化手續；

5.正交矩陣的定義和性質。

作業

p153

習題5。3

1，5（1），6，7，8

5.4　實對稱矩陣的相似標準形

5.4.1　實對稱矩陣的性質

定理5.4.1

實對稱矩陣的特征值必為實數。

定理5.4.2

實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交。

定義5.4.1

設A，B都是n階方陣，若存在正交陣P使得，則稱A與B正交相似。

定理5.4.3

(實對稱矩陣的基本定理)設A為n階實對稱陣，則A必能與對角陣正交相似，即存在正交陣P，使得

其中，是方陣A的n個特征值。反之，凡是正交相似于對角陣的實方陣一定是實對稱陣。

我們證明定理的后半部分。

設A是n階方陣，存在正交陣P使得

則，即A為對稱陣。

5.4.2　求正交陣，使實對稱陣正交相似于對角形

設A是實對稱陣。要求正交陣P,使得為對角形。

下面看例題。

例1

設,求正交陣

和對角陣，使得。

【答疑編號12050701】

解

(1)求A的特征值

故

（2）求特征向量

當時,得矩陣A的屬于特征值的特征向量；

當時,，得矩陣A的屬于特征值的特征向量；

當時，得矩陣A的屬于特征值的特征向量；

(3)將特征向量單位化

因為三個特征值都是單根，故它們對應的特征向量兩兩正交.故只需單位化。

得。

于是得正交陣。

則

例2

設，求正交陣P和對角陣，使得。

【答疑編號12050702】

解

（1）求A的特征值

得特征值。

（2）求特征向量，得矩陣A的屬于特征值的特征向量；

當時，得矩陣A的屬于特征值的特征向量；

（3）將正交化

注意，但相互不正交，故需正交化。

取

（4）將特征向量單位化。

于是得正交陣

則

例3

設三階實對稱矩陣A的特征值為。已知A的屬于的特征向量為，求出矩陣A屬于特征值的特征向量，并求出矩陣A。

【答疑編號12050703】

小結

1.實對稱陣的性質；

2.正交相似的定義；

3.用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣的方法。

作業

p160

習題5.4

1,2,4(2),6,7

第五章總結

1方陣特征值和特征向量的定義和求法；

2.關于特征值特征向量的若干重要結論；

3.矩陣相似的定義和性質；

4.n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件；

5.向量內積的定義和性質；

6.向量長度的定義，單位向量，向量的單位化；

7.正交與正交向量組的概念和性質；施密特正交化手續；

8.實對稱矩陣的性質，如何用正交變換將實對稱陣化成對角形。