2019-2020學年廣東省廣州市天河區(qū)高考數(shù)學一模（10月）（文）試題

一、單選題

1．設集合，則=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】試題分析：集合，故選B.【考點】集合的交集運算.2．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購被稱為中國的“新四大發(fā)明”，為評估共享單車的使用情況，選了n座城市作試驗基地，這n座城市共享單車的使用量（單位：人次/天）分別為x1，x2，…xn，下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是（）

A．x1，x2，…xn的平均數(shù)

B．x1，x2，…xn的標準差

C．x1，x2，…xn的最大值

D．x1，x2，…xn的中位數(shù)

【答案】B

【解析】根據(jù)平均數(shù)、標準差、中位數(shù)、最值的實際意義逐一判斷即可.【詳解】

因為平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢,方差和標準差描述其波動大小.所以，表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的是方差或標準差．故選B．

【點睛】

本題主要考查平均數(shù)、標準差、中位數(shù)的實際意義，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，以及靈活運用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題.3．若復數(shù)為純虛數(shù)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題意首先求得實數(shù)a的值，然后求解即可。

【詳解】

由復數(shù)的運算法則有：,復數(shù)為純虛數(shù)，則，即.本題選擇A選項.【點睛】

復數(shù)中，求解參數(shù)(或范圍)，在數(shù)量關系上表現(xiàn)為約束參數(shù)的方程(或不等式).由于復數(shù)無大小之分，所以問題中的參數(shù)必為實數(shù)，因此，確定參數(shù)范圍的基本思想是復數(shù)問題實數(shù)化.4．設等差數(shù)列的前n項和為，若則,=（）

A．18

B．36

C．45

D．60

【答案】C

【解析】試題分析：，故選C.【考點】等差數(shù)列的通項公式的性質(zhì)、前項和公式.5．已知，則的值等于

A.B.C.D.【答案】C

【解析】由已知有，再由正弦的二倍角公式求解即可.【詳解】

解:，，．

故選：．

【點睛】

本題考查了誘導公式及正弦的二倍角公式,屬基礎題.6．若實數(shù)，滿足，則的最小值為

A.2

B.C.1

D.【答案】B

【解析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標函數(shù)的最小值即可.【詳解】

解：不等式組可用區(qū)域(含邊界)表示，如圖：

由圖可知，在與軸的交點處取得最小值，即．

故選：．

【點睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，屬基礎題.7．三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】分析：設三角形的直角邊分別為1，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結論.解析：設三角形的直角邊分別為1，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點睛：應用幾何概型求概率的方法

建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量．

(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；

(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；

(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型．

8．已知，滿足，則（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】根據(jù)對數(shù)的化簡公式得到,由指數(shù)的運算公式得到=，由對數(shù)的性質(zhì)得到>0,，進而得到結果.【詳解】

已知,=,>0,進而得到.故答案為：A.【點睛】

本題考查了指對函數(shù)的運算公式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關系.9．如圖所示，在棱長為的正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且面，則在側面上的軌跡的長度是

A.B.C.D.【答案】D

【解析】設，分別為、邊上的中點，由面面平行的性質(zhì)可得落在線段上，再求的長度即可.【詳解】

解：設，分別為、、邊上的中點，則四點共面，且平面平面，又面，落在線段上，正方體中的棱長為，即在側面上的軌跡的長度是．

故選：．

【點睛】

本題考查了面面平行的性質(zhì)及動點的軌跡問題，屬中檔題.10．已知函數(shù)，，為圖象的對稱中心，是該圖象上相鄰的最高點和最低點，若，則的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.，B.，C.，D.，【答案】C

【解析】由三角函數(shù)圖像的性質(zhì)可求得：，即，再令，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】

解：函數(shù)，因為，為圖象的對稱中心，是該圖象上相鄰的最高點和最低點，又，即，求得．

再根據(jù)，可得，令，求得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：．

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)及單調(diào)性，屬中檔題.11．一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為

A.B.C.D.【答案】D

【解析】由題意可得：孩子18歲生日時將所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前17項的和，再由等比數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】

解：根據(jù)題意，當孩子18歲生日時，孩子在一周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，同理：孩子在2周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，孩子在3周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，孩子在17周歲生日時存入的元產(chǎn)生的本利合計為，可以看成是以為首項，為公比的等比數(shù)列的前17項的和，此時將存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)：；

故選：．

【點睛】

本題考查了不完全歸納法及等比數(shù)列前項和，屬中檔題.12．已知函數(shù)f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A．（，＋∞）

B．（，＋∞）

C．[，＋∞）

D．[，＋∞）

【答案】B

【解析】利用過M、N點處的切線互相平行，建立方程，結合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范圍．

【詳解】

由題得f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0）

由題意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即﹣1=﹣﹣1，化簡得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2＜，4（x1+x2）＜（k+），即x1+x2＞對k∈[4，+∞）恒成立，令g（k）=k+，則g′（k）=1﹣=＞0對k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴≤，∴x1+x2＞，故x1+x2的取值范圍為（，+∞）.故答案為：B

【點睛】

本題運用導數(shù)可以解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導是我們解題的關鍵，屬于中檔題.二、填空題

13．已知向量．若向量，則_____．

【答案】

【解析】由向量的差的坐標運算可得：，由兩向量平行的坐標運算得：，運算即可得解.【詳解】

解：向量，，，．

故答案為：．

【點睛】

本題考查了兩向量平行的坐標運算，屬基礎題.14．已知數(shù)列滿足，則當時，__．

【答案】

【解析】用去換中的得到，再做差即可得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出答案。

【詳解】

數(shù)列滿足，，①

用去換得到，②

②-①得到

又，所以數(shù)列為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

即．

故答案為：．

【點睛】

本題考查根據(jù)遞推公式求通項，屬于基礎題。

15．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則______________．

【答案】

【解析】在中，由余弦定理，求得，再由正弦定理，求得，最后利用兩角和的余弦公式，即可求解的值．

【詳解】

在中，海里，海里，由余弦定理可得，所以海里,由正弦定理可得，因為，可知為銳角，所以

所以．

【點睛】

本題主要考查了解三角形實際問題，解答中需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，合理使用正、余弦定理是解答的關鍵，其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化；第三步：列方程，求結果．

16．已知直三棱柱外接球的表面積為，若外接圓的圓心在上，半徑，則直三棱柱的體積為_____．

【答案】6

【解析】將直三棱柱補形為長方體，則直三棱柱與長方體的外接球為同一個球，設，則其外接球的半徑，由題意可得，再利用三棱柱的體積公式運算可得解.【詳解】

解：如圖，外接圓的圓心在上，為的中點，且是以為直角的直角三角形，由半徑，得，又，．

把直三棱柱補形為長方體，設，則其外接球的半徑．

又直三棱柱外接球的表面積為，即．，解得．

直三棱柱的體積為．

故答案為：．

【點睛】

本題考查了三棱柱的外接球及三棱柱的體積公式，屬中檔題.三、解答題

17．某校在一次期末數(shù)學測試中，為統(tǒng)計學生的考試情況，從學校的2000名學生中隨機抽取50名學生的考試成績，被測學生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．

（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；

（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率．

【答案】（1）,繪圖見解析；（2）；（3）

【解析】（1）由頻率分布直方圖可得：各小矩形的高之和為0.1，運算可得解；

（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法即可得解；

（3）樣本成績屬于第六組的有人，樣本成績屬于第八組的有人，則隨機抽取2名，基本事件總數(shù)為，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件個數(shù)為，再利用古典概型概率公式運算即可.【詳解】

解：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：

．

完成頻率分布直方圖如下：

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學生這次考試成績的平均分為：

.（3）樣本成績屬于第六組的有人，樣本成績屬于第八組的有人，從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名，基本事件總數(shù)，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件個數(shù)，故他們的分差的絕對值小于10分的概率．

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖及古典概型概率公式，屬中檔題.18．在等比數(shù)列中，公比，且滿足，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設，數(shù)列的前項和為，當取最大值時，求的值．

【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由題意有，再由等比數(shù)列通項公式可得解；

（2）由題意可得，為等差數(shù)列，由等差數(shù)列前項和公式運算即可得解.【詳解】

解：（1），可得，由，即，①，可得，由，可得，可得，即，②

由①②解得舍去），則；

（2）==，即為以3為首項，-1為公差的等差數(shù)列，可得，則，可得或7時，取最大值．

故的值為6或7．

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項及等差數(shù)列前項和公式，屬中檔題.19．在中，角、、所對的邊分別為、、，且．

（1）求角的大?。?/p>

（2）若，的面積為，求及的值．

【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由三角恒等變形可得，即．

（2）由余弦定理得，再由正弦定理及三角形面積公式可得：，即，得解.【詳解】

解：（1），可得：，，．

（2），，，，．

【點睛】

本題考查了三角恒等變形及正余弦定理，屬中檔題.20．如圖，四棱錐的底面是矩形，側面是正三角形，，．、分別為、的中點．

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離．

【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）先由面面與，證明平面，再證明；

（2）先建立以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，再求平面的法向量，再利用空間向量求點到面的距離，得解.【詳解】

（1）證明：為正三角形，，，根據(jù)勾股定理得，為矩形，，面且交于點，面，面，面面，為的中點，為正三角形，平面，平面，．

（2）

解：取中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，2，，0，，0，，2，，0，設平面的法向量，，則，取，得，1，點到平面的距離．

【點睛】

本題考查了線面垂直、線線垂直及利用空間向量求點到面的距離，屬中檔題.21．已知函數(shù)，，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．

【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】先求函數(shù)的導函數(shù)，再討論①當時，②當時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）不等式恒成立等價于恒成立，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可得解.【詳解】

解：（1）因為，定義域為，所以，①當時恒成立，在上是增函數(shù)，無極值，②當時令，令，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在，為減函數(shù)，所以當時，有極大值，極大值為，無極小值，（2）：由恒成立知恒成立，令，則，令，因為，（1），為增函數(shù)．

故存在，使，即，當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)．

所以，而，所以，所以整數(shù)的最小值為2．

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)的最值，屬綜合性較強的題型.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與軸交點為，經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，證明：為定值.【答案】（Ⅰ）曲線：.的直角坐標方程為.（Ⅱ）見證明

【解析】（Ⅰ）根據(jù)曲線的參數(shù)方程，平方相加，即可求得曲線普通方程，再根據(jù)極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，即可得到直線的直角坐標方程．

（Ⅱ）設過點的直線方程為（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求解．

【詳解】

（Ⅰ）由題意，可得，化簡得曲線：.直線的極坐標方程展開為，故的直角坐標方程為.（Ⅱ）顯然的坐標為，不妨設過點的直線方程為（為參數(shù)），代入：得，所以為定值.【點睛】

本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應用，其中解答中熟記參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．

23．已知函數(shù).（1）若時，解不等式；

（2）若關于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：

（1）當時，不等式為，根據(jù)分類討論解不等式即可．（2）由題意可得當時，有解，即上有解，故只需（，由此可得結論．

試題解析：

（1）當時，不等式為，若，則原不等式可化為，所以；

若，則原不等式可化為，所以；

若，則原不等式可化為，所以．

綜上不等式的解集為．

（2）當時，由，得

即

故，又由題意知（，所以．

故實數(shù)m的取值范圍為．