第一篇：立體幾何復習課教學設計

立體幾何復習課

一、教學背景

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段立體幾何課程的基本要求。

這部分內容除了掌握一些規則幾何體的面積和體積公式外，重點要求是兩種位置關系（平行和垂直）、兩個度量性質（夾角和距離）。根據近年來高考立體幾何命題的規律，一般以簡單幾何體為載體，重點考察空間線面的平行、垂直問題，理科還會有求空間角的求解問題，由于新課標強調了用空間向量研究空間的點、線、面的定量和定性研究，這會為研究空間的點、線運動變化帶來方便，如探索“存在性”問題等，需要我們復習時多加注意。

二、教學目標

1.在鞏固平行與垂直判定定理與性質定理的基礎上，提升利用空間向量解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題的能力；

2.體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想象能力和幾何直觀能力； 3.通過學習，理解并提高探索“存在性”問題的一般方法(在假設存在的前提下，往往可以得到一個方程(組)或不等式(組)，通過計算求解得到判斷結果)，強化學生對于方程的應用意識。

三、教學重點

1.掌握利用平行、垂直的判定定理和性質定理來證明空間中的平行垂直關系 2.掌握利用空間向量來求空間角 3.了解“存在性”問題的一般解決思路

四、教學難點

關于“存在性”問題的探索

五、教學過程

例：如圖，已知邊長為2的菱形ABCD，E為DC中點，且∠A=60°，現將△BEC沿BE折起，得四棱錐C-ABED，且使得平面BCE⊥平面ABED，如圖所示（1）求證：CE⊥AB;（2）請建立空間直角坐標系，并求出平面BCE與平面ACD的法向量;??

DECCDEABAB

設計意圖：通過設置熟悉問題，承前啟后、激發學生的學習愿望;減少課堂計算量、給學生留下思考與交流的時間，突出學生的主體地位和學習的重點;提供關鍵計算信息：

活動設計：

（1）帶學生一起分析：對于翻折問題，關鍵去發現翻折前后哪些長度發生了變化，哪些沒有變化；哪些位置關系發生了變化，哪些沒有變化；梳理證明垂直關系的方法，總結異面直線的垂直問題經常轉化為證明線面垂直；

（2）以E為原點，ED、EB、EC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

E(0,0,0),A(2,3,0),B(0,3,0),D(1,0,0),C(0,0,1)從而求得平面BEC的法向量為m?(1,0,0)，平面ACD的法向量為n?(3,?1,3)(3)求AC與平面BEC所成角的大小

（4）求平面ACD與平面BCE所成銳二面角的余弦值

設計意圖：通過第（2）個問題的設置，為（3）（4）求空間角做好了準備工作，鞏固強化學生利用向量的辦法求空間角的能力。

(5)在棱BC上是否存在一點p,使PE⊥AC并說明理由(6)在棱BC上是否存在一點M,使EM∥平面ACD并說明理由

設計意圖：對于每一問題先做定性的考量，使學生能夠從“運動變化”的角度觀

???察和分析問題，體現問題的形成過程，提高學生認識、分析、探索“存在性”問題的能力，之后再利用向量的辦法解決，由感性認識到理性認識，逐步提升學生解決問題的能力。

思考：設平面ABC ?平面DEC=m，判斷直線m與AB的位置關系并說明理由.設計意圖：作為高二的學生，對于立體幾何問題的解決還沒達到熟練的程度，所以思考題只為部分學生留下提升空間。

六、課堂小結

立體幾何主要研究位置關系和度量關系，本節課重點復習了位置關系的證明及利用向量求空間角，并適當的探索了“存在性”問題的求解。

七、布置作業

完成學案的例題的書寫及練習題

第二篇：立體幾何專題復習教學設計

立體幾何專題教學設計

【考情分析】立體幾何主要培養學生的發展空間想像能力和推理論證能力。立體幾何是高考必考的內容，試題一般以“兩小題一大題或一大題一小題”的形式出現，分值在17—22分左右。近三年的試題中必有一個選擇題是以三視圖為背景，來考查空間幾何體的表面積或體積。立體幾何在高考中的考查難度一般為中等，從解答題來看，立體幾何大題所處的位置為前4道，有承上啟下的作用。主要考查的知識點有： 1.客觀題考查的知識點：

(1)判斷：線線、線面、面面的位置關系；

(2)計算：求角(異面直線所成角、線面角、二面角)；求距離(主要是點面距離、球面距離)；求表面積、體積；

(3)球內接簡單幾何體(正方體、長方體、正四面體、正三棱錐、正四棱柱)(4)三視圖、直觀圖（由幾何體的三視圖作出其直觀圖，或由幾何體的直觀圖判斷其三視圖）

2.主觀題考查的知識點：

(1)有關幾何體：四棱錐、三棱錐、(直、正)

三、四棱柱；

(2)研究的幾何結構關系：以線線、線面(尤其是垂直)為主的點線面位置關系；(3)研究的幾何量：二面角、線面角、異面直線所成角、線線距、點面距離、面積、體積。其中，解答題的第二問一般都是求一個空間角，而且都能通過傳統方法（幾何法）和空間向量兩種方法加以解決。【課時安排】本專題復習時間為三課時：

例2．設α、β為互不重合的平面，m、n為互不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m⊥α，n?α，則m⊥n；

②若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β；

③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m//n，則n//β．

其中所有正確命題的序號是．

解決策略：培養學生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構造具體模型，充分利用正方體這個有力的載體，將抽象問題具體化處理，提高他們的空間想象能力．本類題為高考常考題型，其本質實為多項選擇題．主要考查空間中線面之間的位置關系，要求熟悉有關公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選多選． 基本題型三：空間中點線面位置關系的證明（解答題）

例3．如圖，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA1、BB1、AB、B1C1的中點．

（1）求證：面PCC1⊥面MNQ；

（2）求證：PC1∥面MNQ．

解決策略：證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關

系，一要熟練掌握所有判定與性質定理，梳理好幾種位置關系的常見A1 B

1證明方法，如證明線面平行，既可以構造線線平行，也可以構造面面M

平行；二要掌握解題時由已知想性質、由求證想判定，即分析法與綜

合法相結合來尋找證明的思路；三要嚴格要求學生注意表述規范，推

理嚴謹，避免使用一些正確但不能作為推理依據的結論．此外，要特A N P B 別注重培養學生的空間想象能力，會分析一些非常規放置的空間幾何

體（如側面水平放置的棱錐、棱柱等），會畫空間圖形的三視圖與直觀圖，且會把三視圖、直觀圖還原成空間圖形．

基本題型四：運用空間向量證明與計算（解答題）

例4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD?平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中點．

P（1）在平面PAD內求一點F，使得EF?平面PBC；

（2）求二面角F?PC?E的余弦值大小．

解決策略：要注意培養學生對空間幾何體合理建系的意識，會求平面的法向量；要求學生理解用向量判定空間線面位置關系、求解夾角與

E 距離的原理，并掌握一般求解步驟．其中，線線角、線面角與二面角

是本類題型中的重點考查對象，應加強訓練．此外，在探究點的位置

等問題中，要引導學生根據共線向量，用已知點的坐標表示未知點的坐標，根據題設通過解方程（組）來解決問題的方法．

【復習建議】 A B C

1．三視圖是新課標新增的內容，考查形式越來越靈活，因此與三視圖相關內容應重點訓練。

2．證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路，必須根據所依據的大前提把具體問題中的小前提寫

完整。

3．空間角與距離，先根據定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“一作二證三求”的有機統一。解題時注意各種角的范圍，異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和向量法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影、法向量法；二面角的范圍是0°≤θ≤180°，其主要方法有：定義法、三垂線定理法、射影面積法、法向量法。鼓勵學生用多種方法解決問題，既要想到用向量法，也要有意識的去用幾何法求解。

4.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數量）關系改變了，哪些沒有改變.【復習指導】

1．回歸課本，抓好基礎落實

系統地掌握每一章節的概念、性質、法則、公式、定理、公理及典型例題，這是高考復習必須做好的第一步,高考題“源于課本,高于課本”，這是一條不變的真理，所以復習時萬萬不能遠離課本，必要時還應對一些課本內容進行深入探究、合理延伸和拓展。

2．注重規范，力求顆粒歸倉

網上閱卷對考生的答題規范提出更高要求，填空題要求：數值準確、形式規范、表達式(數)最簡；解答題要求：語言精練、字跡工整、完整規范。

考生答題時常見問題：如立幾論證中的“跳步”，缺少必要文字說明，忽視分類討論，或討論遺漏或重復等等。這些都是學生的“弱點”，自然也是考試時的“失分點”，平時學習中，我們應該引起足夠的重視。

3．加強計算，提高運算能力

“差之毫厘，繆以千里”，“會而不對，對而不全”，計算能力偏弱，計算合理性不夠，這些在考試時有發生，對此平時復習過程中應該加強對計算能力的培養；學會主動尋求合理、簡捷運算途徑；平時訓練應樹立“題不在多，做精則行”的理念。

4．整體把握，培養綜合能力

對于綜合能力的培養，我們堅持整體著眼，局部入手，重點突破，逐步深化原則；適度關注創新題。高考數學考查學生的能力，勢必設計一定的創新題，以增加試題的區分度，平時復習應注重數學建模、直覺思維能力、合情推理能力、策略創造能力的培養。

第三篇：立體幾何起始課教學設計

《立體幾何起始課》教學設計 北京市三里屯一中 劉長海

【教材分析】

立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關系的一門數學學科，而三維空間是人們生存發展的現實空間.所以，學習立體幾何對我們更好地認識、理解現實世界，更好地生存與發展具有重要的意義.本章內容是義務教育階段“空間與圖形”課程的延續與提高，重點是幫助學生逐步形成空間想象能力.為了符合學生的認知發展規律，培養學生對幾何學習的興趣，增進學生對幾何本質的理解，本章在內容的編排及內容的呈現方式上，與以往的處理相比有較大的變化.本章內容的設計遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，強調借助實物模型，通過整體觀察、直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算，引導學生多角度、多層次地揭示空間圖形的本質；重視合情推理與邏輯推理的能力，注意適度形式化；倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，幫助學生完善思維結構，發展空間想像能力.（1）立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間想象能力．我們提供了豐富的實物模型和利用計算機軟件呈現的空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能．

（2）因為學生在學習立體幾何之前學習過平面幾何，平面幾何與立體幾何研究的對象又都來自于日常空間的抽象，并且研究的對象有部分重疊，因此學生在學習立體幾何過程中一定會受平面幾何知識的影響．又因為平面幾何中的結論不能原封不動地搬到立體幾何中，有的在立體幾何中還成立，而有的卻不成立，但在立體圖形的一個平面上，平面幾何的所有結論又全都可用．因此，在立體幾何起始課上，有必要向學生講清這一點，為后續學習掃清障礙．

（3）我們在教學過程中恰當地使用現代信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質的教學提供形象的支持，提高學生的幾何直觀能力．

【教學目標】

1.知識與技能目標

學生明確學習立體幾何的目的，初步了解立體幾何研究的內容；學生初步建立空間觀念，會看空間圖形的直觀圖；學生了解平面幾何與立體幾何的聯系與區別，初步了解立體幾何研究問題的一般思想方法.2.過程與方法目標

通過動手試驗、互相討論等環節，學生形成自主學習、語言表達等能力，以及相互協作的團隊精神；通過對具體情形的分析，歸納得出一般規律，學生具備初步歸納能力.3.情感、態度與價值觀目標

通過設立多種情景引入方式，激發學生學習立體幾何的興趣，通過自主學習、自我探索，形成注重實踐、勇于創新的情感、態度與價值觀.【重點難點】

重點：初步了解立體幾何研究的內容，培養空間想象能力，了解立體幾何研究問題的一般思想方法.難點：克服平面幾何的干擾，了解平面幾何與立體幾何的聯系和區別，初步了解立體幾何研究問題的一般思想方法.【學情分析】

學生在義務教育階段學習“空間和圖形”時，已經認識了一些具體的棱柱（長方體，正方體），對圓柱、圓錐和球的認識也比較具體、直觀，同時還學習了一種空間幾何體的平面表達方法——三視圖，三視圖的學習對空間想象能力的培養有很高的價值．

學生的一些慣性思維也會對立體幾何的學習形成障礙，學生考慮問題時，思維可能會停留在平面上，缺少在三維空間條件下進行思考的習慣．

【教法分析】

1.由于是起始課，因此多采取直觀的演示幻燈片、使用書本、鉛筆、木棒、立方體等模型，直觀感知、操作確認，避免過度抽象.思辯論證、度量計算等手段在后續課程中再采用；

2.鼓勵學生通過動手實驗、獨立思考、相互討論等手段得出結論，鼓勵學生表達自己的見解，教師只做必要的引導和總結；

3.從多種具體情形出發，引導學生歸納出一般規律，培養學生的歸納總結能力；

4.采用模型或軟件，使學生的想法能夠即時得到實現，所想即所見，快速形成正確認知，提高教學實效性.【教學過程】

（一）課堂引入（為什么要學習立體幾何？）問題1: ①是否存在三條直線兩兩互相垂直？若存在，請舉出實際中的例子.②到一個定點距離等于定長的點的軌跡是______.③用5根長度相等的木棒（或火柴）搭正三角形，最多搭成幾個正三角形？用6根呢？

（學生討論，動手操作，教師巡視，并參與其中，然后請學生回答.）生 ①存在.教室墻角處的三條直線兩兩互相垂直.②在平面上是圓，在空間中是球.③5根長度相等的木棒（或火柴）可最多搭成2個正三角形.6根長度相等的木棒（或火柴）搭成三棱錐，可最多搭成4個正三角形.師 大家回答得都很好！這表明在現實世界中只研究平面問題是不夠的，我們必須“沖出平面，走向空間，迎接挑戰，有信心嗎？” 生 有！

（用生動有趣的問題創設情境，以達到引入新課的目的.）

（二）研究探討（立體幾何主要研究哪些問題？）問題2平面幾何的研究對象、內容是什么？

（學生回答，教師補充.對象：平面圖形.內容：點、線的位置關系、圖形的畫法、相關計算及應用.）

立體幾何的研究對象、內容是什么？ 生 立體幾何的研究對象：空間圖形.師 人們在建造房屋、修建水壩、研究晶體的結構、在計算機上設計三維動畫等都需要立體幾何.我們需要進一步了解我們生活的空間，這就是我們學習立體幾何的目的.（提出以下幾個問題，然后小結.）

（1）比較圖

1、圖2，哪個更像正方體？

生 圖2.因圖2都是實線，像是平面圖形.（2）在圖1在指出∠A1D1C1、∠A1AD的大小..生 它們都是直角

（3）在圖1中，點B1在直線AD上嗎？直線BB1與直線CD相交嗎？ 生 點不在直線上，直線與直線不相交.這表明空間圖形與平面圖形在畫法上的差異，在直觀圖中判斷圖形的形狀不能沿用平面的眼光，要看得“深遠”，要有立體感.（4）在圖1中，設AB=1，求四邊形ABCD的面積以及正方體的體積.生 四邊形的面積是1，正方體的體積也是1.師 由此，我們知道立體幾何的研究對象：空間圖形；內容：空間圖形的畫法，點、線、面的位置關系，計算角的大小，線段長短，面積、體積的大小.1.直觀圖

例1 我們看下面的兩幅圖，他們有什么區別？請你分別用書和筆表示出來．

（三）思想方法（如何學習立體幾何？）1.轉化思想

例2 例2.如圖，在長方體中ABCD-A1B1C1D1，AB=3.AD=2，AA1=1.①求的BD1長；

②求∠DBD1的正弦值.師 對.把所要求的兩個量轉化到一個三角形中求解，即把空間問題轉化為平面問題，便于計算求值.例3 在例2長方體的頂點有一只小螞蟻，沿表面爬到頂點，最短路程是多少？

（學生思考、討論）

師 很好.這是一道難度較大的題，小螞蟻到底能不能想出辦法，關鍵在于是否能夠考慮到把本來不在同一平面的問題轉化為同一平面問題求解.在立體幾何中，需要計算空間圖形里角的大小、線段的長度等，通常采取的方法就是把空間問題轉化成平面問題，即轉化思想.課堂練習

（1）如圖，三棱錐S-ABC中，底面ABC是等邊三角形，SA=SB=SC=a，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，一只螞蟻從頂點A出發繞側面一周再回到A的最短距離是多少？

課外練習

（1）幾何學是隨著人類文明的進步而發展起來的.自公元前1800年左右的古埃及，因尼羅河的泛濫要求丈量土地的面積到如今從土木建筑到家居裝潢，從機械設計到商品包裝，從航空測繪到零件視圖??空間圖形與我們的生活息息相關.請同學們查閱資料，了解幾何學的發展進程.（2）鏈接高考（2013高考北京理第14題）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為__________．

【教后反思】

序言課的主要任務是揭示這門學科研究的對象、內容、解決問題的思想方法，它具有承前啟后的作用.上好序言課，對學生學好這門學科有著十分重要的作用.立體幾何起始課，如何上呢？我們要從學生身邊的“存在”講起，引導學生觀察身在其中的教室、校園，從中選取我們要學習的空間點、線、面、體.這樣引入立體幾何，學生感到自然、親切，從而使學生產生學習的興趣和信心.（1）通過本節課的教學，使學生初步建立空間概念，使學生的視野由平面發展到空間.不過于追求學生數學語言的科學和嚴謹，而是力求使學生感受體會立體幾何的體系和研究思想，不是一開始就讓抽象的符號語言把學生嚇住，而是使學生感受到立體幾何就在身邊.在授課過程中，充分考慮學生的認知水平和學習能力，注重了從學生已有的知識出發設計問題.如在立體幾何研究的內容中，通過學生熟知的正方體、長方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使學生深刻認識到了空間圖形與平面圖形在畫法上的差異；通過對長方體、正方體的簡單運算，向學生說明了在研究空間圖形時不能只依據直覺做出判斷，要充分利用平面幾何的知識.這部分教學設計，深入淺出，闡明了立體幾何研究的內容；在數學思想方法中，用具體的、學生熟悉和感興趣的例子揭示本質.（2）新課標強調學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自助探究、動手實踐、合作交流等方式.所以新課程下的課堂應當是學生獨立思考、自主探究和師生互動的學習過程.教學內容的問題化、教學過程的探索化能激發學生興趣、調動課堂氣氛，使課堂教學成為在教師指導下的探索學習過程.如在引入中通過小實驗，創設了學習情境，激發了學生興趣；在數學思想方法中，在學生已有的平面幾何知識的基礎上，從問題入手，在解決問題中，培養學生空間想象能力.學生經歷的是探索的過程，領悟的是數學學習的方法，得到的是自主探究的結果，體驗的是實踐成功的喜悅.總之，本節教學案例的教學內容設計中重視從學生已有的平面幾何知識入手，利用模型和幻燈片，啟發、引導學生積極探索，大膽實踐，極大地激發了學生學習的積極性和創造性，使抽象的起始課上得具體、生動，內容豐富.既使學生獲得了知識，又培養了學生的能力.為學生學習立體幾何創造了一個良好的開端，成功地拉開了立體幾何教學的帷幕.參考文獻

[1] 賈海燕.良好的開端等于成功的一半——如何上好每一章起始課.高中數學教與學.[2] 文衛星.立體幾何引言課教學設計.數學通報.[3] 陶維林.研究章引言上好起始課.中國數學教育.[4] 李建標，吳建洪.快樂地學習立體幾何——從“空間幾何體的結構”開始.數學通訊.《立體幾何起始課》點評 江蘇省數學特級教師 吳 鍔

姚圣海老師的《立體幾何起始課》的教學特點主要可歸納為以下幾點：

1．教學設計結構嚴謹，富有新意

本節課的教學設計沒有沿用課本的素材，而是通過題組1，學生從問題和游戲中感受到了空間問題和平面問題的不同，讓學生產生了“沖出平面，走向空間”的欲望．而題組2，蘇州元素的引入，讓學生倍感立體幾何就在我們身邊，正方體中的點、線、面為學生勾勒出立體幾何所研究的宏偉藍圖．其后三個例題構成的題組3，讓學生真真切切體會了在空間中是怎樣研究幾何問題的思考方法．這樣的設計，結構嚴謹，富有新意．

2．教學過程自然流暢，水到渠成

教學過程中教師借助模型，創設情景，通過對精心設計、層層推進的問題串，引發探究，讓學生了解立體幾何研究的內容，并通過直觀感知、操作確認的方式幫助學生建立立體感，一系列有效的師生互動，使學生了解平面幾何與立體幾何的聯系與區別，初步了解立體幾何研究問題的一般思想方法，教學過程可謂自然流暢，水到渠成．

3．追求數學本真，突出思想方法

姚老師在本節課的教學中，特別注重數學直覺，追求數學本真。從游戲棒搭建三棱錐、正方體的線面關系到螞蟻在長方體表面上爬行的最短距離，都是以具體幾何模型為載體，激發學生開展活動，結合觀察、思考、討論、歸納，處處滲透重要的數學思想方法，如類比的思想、劃歸思想．注意到了培養學生對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和做出理性的判斷，鼓勵學生能夠應用數學的觀點、方法與語言去提出、分析和解決問題．

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用。數學的應用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創造價值，推動著社會生產力的發展。數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須具備的一種基本素質。

第四篇：立體幾何復習課

立體幾何復習課

-------------向量在立體幾何中的應用

立體幾何是高中數學中集中培養學生空間想象能力的一個知識板塊，通過對空間幾何體認識和學習，初步具有空間感知和基本的識圖能力；通過三視圖的進一步學習，加深立體感，不但會識圖，更要會畫圖；通過位置關系的判斷和立體幾何中的運算，培養學生用圖和計算、推理的能力。

當然，向量作為一種具有“數形結合”能力的一種工具，在立體幾何中發揮了重要的作用。下面我們把立體幾何所有內容集中復習一下。

一、位置關系：

1、平行關系：包括線線平行、線面平行、面面平行。三者可以互相推出，囊括了平行中的判斷定理和性質定理。關系如下：

線線平行? 線面平行?面面平行

其中線的向量特征就是方向向量，面的向量特征就是面的法向量。

用向量法證明線線平行只需證明它們的方向向量共線。

用向量法證明線面平行要么證明線的方向向量與面內一條線的方向向量平行，要么證明線的方向向量與面的法向量垂直。后者用的更多一些。

用向量法證明面面平行一般證明兩面的法向量平行或重合。

2、垂直關系： 包括線線垂直、線面垂直、面面垂直。三者可以互相推出，囊括了垂直中的判斷定理和性質定理。關系如下：

線線垂直? 線面垂直?面面垂直

用向量法證明線線垂直只需證明它們的方向向量垂直。

用向量法證明線面垂直要么證明線的方向向量與面內兩條相交線的方向向量垂直，要么證明線的方向向量與面的法向量平行或重合。后者用的更多一些。

用向量法證明面面垂直一般證明兩面的法向量垂直。

二、幾何運算：

1、距離：主要包括點面、平行線面、平行面面的距離。

點面距的求解要用到線面角和由從該點出發的面的垂線、斜線、射影所組成的直角三角形。平行線面距只需轉化為點面距即可。

平行面面距亦然。

2、夾角：主要包括線線角、線面角、二面角

線線角又包括異面和共面主要考察異面直線所成的角，只要轉化為直線所在向量所成的角就可以了，不過要注意兩角范圍不同。

線面角用向量法要注意的是向量所成角的余弦是線面角的正弦。

二面角也要注意兩法向量所成角與二面角的關系（有時判斷會比較麻煩）

以上是對立體幾何的復習，望大家批評指正。

第五篇：立體幾何復習

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、反證法。

3、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

4、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

3、平行于同一平面的兩個平面平行。

4、經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影

6、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直

7、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

8、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內任意直線都垂直。

2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面。

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直