用不動點法求數列的通項

定義：方程的根稱為函數的不動點.利用遞推數列的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.定理1：若是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.證明：因為

是的不動點

由得

所以是公比為的等比數列.定理2：設，滿足遞推關系，初值條件

（1）：若有兩個相異的不動點，則

（這里）

（2）：若只有唯一不動點，則

（這里）

證明：由得，所以

（1）因為是不動點，所以，所以

令，則

（2）因為是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，則

例1：設滿足，求數列的通項公式

例2：數列滿足下列關系：，求數列的通項公式

定理3：設函數有兩個不同的不動點,且由確定著數列,那么當且僅當時,證明:

是的兩個不動點

即

于是,方程組有唯一解

例3：已知數列中，求數列的通項.其實不動點法除了解決上面所考慮的求數列通項的幾種情形,還可以解決如下問題:

例4：已知且,求數列的通項.解:

作函數為,解方程得的不動點為

.取,作如下代換:

逐次迭代后,得:

已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．

（１）求數列的通項公式；

（２）證明：

設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（…）．（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和．

已知函數，是方程的兩個根（），是的導數，設，．

（1）求的值；

（2）證明：對任意的正整數，都有；

（3）記，求數列的前項和

13陜西文21．（本小題滿分12分）已知數列滿足，.令，證明：是等比數列；

(Ⅱ)求的通項公式。

2山東文20.（本小題滿分12分）等比數列{}的前n項和為，已知對任意的，點，均在函數且均為常數)的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記

求數列的前項和

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