第一篇：〈〈求數列通項專題〉〉高三數學復習教學設計方案

你如果認識從前的我，也許會原諒現在的我。〈〈求數列通項專題〉〉高三數學復習教學設計方案

課題名稱

求數列通項（高三數學第一階段復習總第1課時）科 目 高三數學 年級

高三（7）班 教學時間

2008年10月10日 學習者分析 高三文科班 男生少 女生多 女生很認真

但太過于定性思維

成績不太理想！數列通項是高考的重點內容 必須調動學生的積極讓他們掌握！

教學目標

一、情感態度與價值觀

1.培養化歸思想、應用意識.2.通過對數列通項公式的研究 體會從特殊到一般

又到特殊的認識事物規律 培養學生主動探索 勇于發現的求知精神

二、過程與方法

1.問題教學法------用遞推關系法求數列通項公式 2.講練結合-----從函數、方程的觀點看通項公式

三、知識與技能

1.培養學生觀察分析、猜想歸納、應用公式的能力； 2.在領會函數與數列關系的前提下 滲透函數、方程的思想

教學重點、難點

1.重點：用遞推關系法求數列通項公式

2.難點：（１）遞推關系法求數列通項公式（２）由前n項和求數列通項公式時注意檢驗第一項（首項）是否滿足

若不滿足必須寫成分段函數形式；若滿足 則應統一成一個式子.教學資源

多媒體幻燈

教學過程

教學活動1 復習導入 第一組問題： 數列滿足下列條件 求數列的通項公式

（1）；（2）

由遞推關系知道已知數列是等差或等比數列 即可用公式求出通項

第二組問題：[學生討論變式] 數列滿足下列條件 求數列的通項公式

（1）；（2）；

解題方法：觀察遞推關系的結構特征 可以利用“累加法”或“累乘法”求出通項

（3）

解題方法：觀察遞推關系的結構特征 聯想到“？=？)” 可以構造一個新的等比數列 從而間接求出通項

教學活動2

變式探究

變式1：數列中 求

思路：設

由待定系數法解出常數 從而

則數列是公比為3的等比數列

教學活動3

練習：數列中

求

思路一：模仿變式1 嘗試“？=？)” 設

此時沒有符合題意的x 引發認知沖突 討論新的出路

思路二：由得

故數列是公差為1的等差數列

解題反思：反思上面兩個問題的區別和聯系 討論變式1的第二種解題思路

變式1思路二：由得 轉化為我們熟悉的問題

變式2：數列中

求

思路：通過類比轉化 化歸為以上類型即可求解

解題感悟：抓住遞推關系的結構特征進行類比轉化

1．分層次訓練 拓展思維 培養能力

2．學生歸納總結：學到什么？會解決什么樣的問題？哪些是難點？ 教學活動4

先反思提高

1、遞推關系形如""的數列的通項的求解思路；

2、在復習的過程中

要注意提高自己在新的問題情境中準確、合理使用所學知識解決問題的能力；要了解事物間的聯系與變化 并把握變化規律

再鞏固落實

1、（2007京）數列中

（是常數）

且成公比不為的等比數列．（I）求的值；（II）求的通項公式．

2、(2002年上海)若數列中 a1＝3 且an+ 1＝an2(n是正整數)則數列的通項an＝__________

3、數列中

求

4、數列中

求

5、思考（2007天津文）在數列中

．證明數列是等比數列；

經過糾錯----釋疑----老師小結： 掌握數列通項公式的求法

如①直接（觀察）法 ②遞推關系法 ③累加法 ④累乘法 ⑤待定系數法等

4．課后反饋：試卷和作業

第二篇：初中數學復習專題：求數列通項方法匯總

5.1由遞推公式求通項公式的方法總結

<教師備案>

．已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本講就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧．

．教師在上課時需要注意：

⑴

確保學生基礎知識的熟練，如基本的等差和等比數列的通項．

⑵

明確數列可以產生衍生數列，如：等等，而這些數列中的“”也會隨著的項號的變化而變化．這點可以在后面第一次講到用輔助數列的時候提到，但一定要舉一些例子讓學生體會．

⑶

教師要清晰的了解在高中階段從遞推關系求通項的核心思想就是通過代數變形將遞推式轉化為等差數列或等比數列的遞推式．

⑷

高中階段除了將遞推數列轉化為等差或等比數列進行求通項外，還有一小部分遞推數列是周期數列．比如，就是周期數列．

考點1：

疊加法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法1．疊加法：若數列遞推公式為，則通項．

<教師備案>我們知道等差數列可以通過疊加法求通項公式，對于數列有形如的遞推式，且的和是可求的，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形為，……

將各式相加，得

．

經典精講

【鋪墊】已知數列滿足，求．

【解析】

．

【例1】

⑴已知數列滿足，且求．

⑵已知數列滿足且（），求．

⑶已知數列滿足求．

⑷在數列中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

⑷

A；

【點評】

在運用疊加法時，要特別注意項數，計算時項數容易出錯．正確寫出要累加的首項和末項很重要．

考點2：

疊乘法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法2．疊乘法：若數列遞推公式為，則通項．

<教師備案>我們知道疊乘法可以求等比數列的通項，對于數列有形如“”的遞推式，且的積是可求的時候，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形成，……

將各式相乘，得．

經典精講

【鋪墊】已知數列中，求．

【解析】

．

【例2】

⑴已知數列中，，則數列的通項公式為（）

A．

B．

C．

D．

⑵已知數列中，求數列的通項公式．

⑶已知數列中，，求．

【解析】

⑴

B．

⑵

．

⑶

．

考點3：

構造法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法3．構造法：

⑴

若數列遞推公式為，可以設成立，解得，即是等比數列．

⑵

（其中，且，是關于的多項式函數），可設，其中為與的次數相等的多項式函數，各項的系數都待定，通過比較與的各項系數確定待定系數，即為等比數列；

⑶，其中且，，．

①若，則，即為等差數列；

②若，則可以設；

也可兩邊同時除以或：得或．

<教師備案>

構造法的主要思想是通過觀察遞推公式的形式，進行合適的代數恒等變換，構造出我們比較熟悉的等差、等比數列，或者類似等差數列（疊加）、類似等比數列（疊乘）．它主要處理遞推形式給出的數列，一階遞推主要有兩種：⑴；⑵．

這兩種遞推形式的處理方式如下：

⑴，；

與等比數列的遞推公式作對比，發現多一個常數，故考慮構造一個等比數列，于是令，解得，從而得到的表達式，解得的表達式；

例3⑴就是這種形式．

⑵，①當時，即，且數列可以求和時，就是“疊加法”的情形，即；

②當時，ⅰ．是等差數列，故也可以像一樣分解：

令，可解得的值，于是成等比數列，可得到的通項公式．

例3⑵就是這種形式．

ⅱ．當成等比數列時，即，若，兩邊同除以，則，得到數列是一個等差數列；

若，則用待定系數法：設；

也可兩邊同時除以或：得或，前邊的遞推式中可以用疊加法求得通項公式，后面的遞推式中，可以用（ⅰ）中的待定系數法得到一個等差數列．

例3⑶就是這種形式．

經典精講

【例3】

⑴在數列中，當時，有，求．

⑵在數列中，，．求．

【追問】如果遞推關系中出現了更為復雜的函數，那么該如何進行配湊？

如：在數列中，．求．

⑶已知數列滿足，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【追問】

．

⑶

．

【挑戰十分鐘】⑴

在數列中，求的通項公式．

⑵

在數列中，求的通項公式．

⑶

在數列中，求的通項公式．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

【例4】

數列中，求數列的通項公式．

【解析】

．

【點評】本題和例3的區別在于，例3可以說完全是按部就班的套公式，本題需要先代數變形，變成可以去套公式的形式，不過兩道例題的整體思想仍然是將遞推式左右兩邊變化出形式類似的代數式，換元后形成（類似）等差或（類似）等比數列．

考點4：

倒數法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法4．倒數法：若數列遞推公式為，兩邊式子取倒數，然后轉化為方法3的情形．

<教師備案>

除了一階遞推形式可以用構造法得到一個等差數列或等比數列，或是可以用疊加法或疊乘法處理的數列之外，高中數學中還常常會遇到遞推形式為的分式遞推數列．這樣的數列形式與我們以前的一次分式函數非常相似，對于這樣的遞推形式，取倒數后分子上就沒有了，實現了“變量分離”，得到的形式，于是數列滿足的遞推式就可以通過疊加法（）或構造法（）去求通項了．

經典精講

【例5】

⑴已知數列滿足，則_________．

⑵已知在數列中，求數列的通項公式．

【解析】

⑴；

⑵

5.2

兩種形式的處理

考點5：

前項和與通項

知識點睛

1．已知求，直接用公式：

2．已知與的關系有兩種處理方式：

⑴

把題目中的用替換，轉化為關于的遞推關系，從而得到的通項公式，再轉為的通項公式．

⑵

分別寫出和的表達式，兩式相減轉化為關于的遞推關系．

注意：使用得到的通項是在這個前提下成立的，所以要注意驗證的情況．

<教師備案>由與的關系式求通項是高中階段的重點，前面的講次也有涉及到，在本講我們結合前面求通項的方法進行一個簡單的總結．例6是只有一種方法比較可行的，例7則是兩種方法都可以．

經典精講

【鋪墊】已知在數列中，求數列的通項公式．

【解析】

．

【例6】

已知數列中，且對于任意正整數有，求通項．

【解析】

．

【點評】此題即屬于將用替換，進而轉化為關于的遞推關系，從而得到的通項公式，再轉為的通項公式．如果用和的表達式相減的話則很難求出通項．

【例7】

設是正數組成的數列，其前項和為，并且對于所有的自然數，與的等差中項等于與的等比中項，求數列的通項公式．

【解析】

．

【備選】（2010朝陽二模理20）

已知是遞增數列，其前項和為，且．

⑴

求數列的通項；

⑵

是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由．

【解析】

⑴．

⑵

滿足條件的正整數不存在，證明如下：

假設存在，使得．

則．

整理，得

………①

顯然，左邊為整數，所以①式不成立．

故滿足條件的正整數不存在．

<教師備案>

若數列的遞推公式的一般形式為，這時的通項公式也可以求出．

分兩種情況：

①當時，有．

是以為首項，為公比的等比數列．

②當時，存在，滿足，與比較系數得，．

可見是二次方程的兩個根，通過解此方程求，的值，再進一步推導的表達式．這種方法又稱特征根法．

下面的競賽題就用到了這樣的方法，高中對這樣的二階遞推式不作要求，這道題僅供學有余力的同學選做．

（2009年全國高中數學聯合競賽一試）

已知，是實數，方程有兩個實根，數列

滿足，⑴

求數列的通項公式（用，表示）；

⑵

若，求的前項和．

【解析】

⑴

由韋達定理知，又，所以，整理得

令，則．所以是公比為的等比數列．

數列的首項為：．

所以，即．

所以．

①當時，，變為．整理得，．

所以，數列成公差為的等差數列，其首項為．

所以．

于是數列的通項公式為；

②當時，．

整理得，．

所以，數列成公比為的等比數列，其首項為．所以．

于是數列的通項公式為．

⑵

若，則，此時．

由⑴的結果得，數列的通項公式為，所以，的前項和為，以上兩式相減整理得，所以．

<教師備案>

此題老師可以再提及斐波那契數列，它的遞推公式為，也是一個二階遞推式，可以用特征根法求得通項公式．

實戰演練

【演練1】已知數列中，則_______．

【解析】

．

【演練2】在數列中，．則_______．

【解析】

．

【演練3】在數列中，．求的通項公式．

【解析】

．

【演練4】⑴

已知數列滿足，求．

⑵

數列中，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【演練5】已知數列滿足：，又，求．

【解析】

．

【演練6】在數列中，為其前項和，且成等差數列，求的通項公式．

【解析】．

大千世界

（2012年北京高中數學聯賽一試）

已知數列的各項均為非零實數，且對于任意的正整數，都有如下關系成立：

問是否存在滿足條件的無窮數列，使得?若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式，若不存在則說明理由．

【解析】當時，∵

①

∴

②

①②有：

③

因各項均非零，所以③式兩邊約掉，有：

④

∴

⑤

④⑤有：

∴或

又∵，∴當時，；當時，∴．

第三篇：河南省2021年高三專題復習用不動點法求數列通項

用不動點法求數列的通項

定義：方程的根稱為函數的不動點.利用遞推數列的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.定理1：若是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.證明：因為

是的不動點

由得

所以是公比為的等比數列.定理2：設，滿足遞推關系，初值條件

（1）：若有兩個相異的不動點，則

（這里）

（2）：若只有唯一不動點，則

（這里）

證明：由得，所以

（1）因為是不動點，所以，所以

令，則

（2）因為是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，則

例1：設滿足，求數列的通項公式

例2：數列滿足下列關系：，求數列的通項公式

定理3：設函數有兩個不同的不動點,且由確定著數列,那么當且僅當時,證明:

是的兩個不動點

即

于是,方程組有唯一解

例3：已知數列中，求數列的通項.其實不動點法除了解決上面所考慮的求數列通項的幾種情形,還可以解決如下問題:

例4：已知且,求數列的通項.解:

作函數為,解方程得的不動點為

.取,作如下代換:

逐次迭代后,得:

已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．

（１）求數列的通項公式；

（２）證明：

設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（…）．（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和．

已知函數，是方程的兩個根（），是的導數，設，．

（1）求的值；

（2）證明：對任意的正整數，都有；

（3）記，求數列的前項和

13陜西文21．（本小題滿分12分）已知數列滿足，.令，證明：是等比數列；

(Ⅱ)求的通項公式。

2山東文20.（本小題滿分12分）等比數列{}的前n項和為，已知對任意的，點，均在函數且均為常數)的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記

求數列的前項和

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第四篇：高中數學數列求通項公式習題

補課習題

（四）的一個通項公式是（），A、an?B、an?C、an?D、an?2．已知等差數列?an?的通項公式為an?3?2n , 則它的公差為（）

A、2B、3C、?2D、?

33．在等比數列{an}中, a1??16,a4?8,則a7?（）

A、?4B、?4C、?2D、?

24．若等比數列?an?的前項和為Sn，且S10?10，S20?30，則S30?

5．已知數列?an?通項公式an?n2?10n?3，則該數列的最小的一個數是

6．在數列{an}中，a1?于．

7．已知{an}是等差數列，其中a1?31，公差d??8。

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）數列{an}從哪一項開始小于0？

（3）求數列{an}前n項和的最大值，并求出對應n的值． ?1?1nan?且an?1?，則數列n?N????的前99項和等2n?1?an?an?

8．已知數列?an?的前項和為Sn?n2?3n?1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通項公式an。

9．等差數列?an?中，前三項分別為x,2x,5x?4，前n項和為Sn，且Sk?2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;?????S1S2S3Sn

(3)、證明: Tn?

1考點：

1.觀察法求數列通項公式;2.等差數列通項公式;3.等比公式性質;4.等比公式前n項和公式應用;5.數列與函數結合;6.求通項公式;7.基本的等差數列求通項公式及其應用;8.求通項公式;9.等差數列性質應用及求和與簡單的應用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an?39?8n（2）n=5(3)sn?76、n=4;

8.（1）a1?

5、a2?

6、a3?8（2）an???5;?n?1)?2n?2;?n?2)

9.（1）由4x?x?5x?4得x?2,?an?2n,.Sn?n(n?1),?k(k?1)?2550得k?50

(2).?Sn?n(n?1),?Sn?111?? n(n?1)nn?1

?T?1?111111111n???????????1??2334n?1nnn?1n?1n?1

11且?0（3）?Tn?1?n?1n?1

?Tn?1

第五篇：求數列的通項公式練習題

求數列的通項公式練習題

一、累加法

例 已知數列{an}滿足an?1?an?2n?1,，求數列{an}的通項公式。

練習:已知數列{an}滿足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求數列{an}的通項公式。

二、累乘法

例 已知數列{an}滿足a1?1,an?1?

練習:已知數列{an}滿足a1?1，an?a1?2a2?3a3?通項公式。

三、公式法

例已知a1?1,an?1?

n?1an，求數列{an}的通項公式。n?2求{an}的?(n?1)an?1(n?2)，1sn,求an 3