第一篇：高三總復習---數列求通項方法總結已知Sn求an累加法累乘法題型分類整理總結

已知Sn求an，這種方法很好辨認，一般式子里都有Sn或Sn?

1、Sn?1等，題型一般有以下兩種：①式子中只含Sn和有關n的函數式；②式子中出了含有Sn和有關n的函數式以外，還有其他諸如an、an?

1、Sn?

1、Sn?1等等。對于第一種題型，在求出an后，一般還需對a1與S1是否相等進行驗證；而第二種題型一般則需令n取1去求a1。

1、已知數列?an?滿足Sn?1?1an,則an=（）

42、已知數列?an?的前n項和Sn滿足：Sn?Sm?Sn?m，且a1?1，那么a10?（）

3、數列?an?的前n項和Sn＝3n?n，則an＝（）

24、若等比數列{an}的前項之和為Sn?3?a，則a等于（）

A．3 B．1

2nC．0

D．?1

5、設等差數列?an?的前n項和公式是Sn?5n?3n，求它的前3項，并求它的通項公式。

6、數列?an?的前n項和記為Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?，（1）求?an?的通項公式；

（2）等差數列?bn?的各項為正，其前n項和為Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比數列，求Tn。

7、已知Sn求an，（1）Sn?n?2n?4，求an；（2）Sn?n?3n?1，求an。

8、設數列?an?的每一項都不為零，Sn?a1?a2?a3???an，已知4Sn?(an?1)，求通項公式an。

2229、設數列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數n，an?Sn?4096。

（1）求數列{an}的通項公式（2）設數列{log2an}的前n項和為Tn

10、已知Sn為數列?an?的前n項和，點?an,Sn?在直線y?2x?3n上．

（1）若數列?an?c?成等比，求常數c的值；（2）求數列?an?的通項公式；

11、已知數列?an?的前n項和為Sn，常數??0，且?a1an?S1?Sn對一切正整數n都成立。

（1）求數列?an?的通項公式；

?1?a?0,??100n（2）設1，當為何值時，數列?lg?的前n項和最大？

?an?

12、已知數列?an?的前n項和為Sn,a2?3，2Sn?1?3Sn?2。2（1）證明數列?an?為等比數列，并求出通項公式；（2）設數列?bn?的通項bn?1，求數列?bn?的前n項的和Tn； an?（3）求滿足不等式3Tn?Sn(n?N)的n的值。

13、設Sn為數列{an}的前n項和，Sn?kn?n，n?N，其中k是常數。

（1）求a1及an；

（2）若對于任意的m?N，am,a2ma4m成等比數列，求k的值。

8累加法、累乘法。累加法適用于類似an?1?an?f(n)的，這時右邊的f(n)是一個含有n的函數，一般是等差數列、等比數列或者等差+等比、等比+等比、等差×等比等等。方法就是分別給左右兩邊求和，就可以倒出通項公式了。同理，累乘法適用于*2*an?1?f(n)的題型，此時右邊的f(n)也是一個含有n的函數，an一般有等比或其他特殊的式子。方法也和累加法類似，左右兩邊分別求前n項積，就可以倒出通項公式了。

1、已知數列?an?滿足a1?11，an?1?an?2，求an。2n?nn2、已知數列?an?滿足a1?1,an?1?an?3,求an。n3、已知數列?an?滿足a1?1,an?1?an?2?3n?1,求an。

4、已知數列?an?滿足a1?2nan，求an。，an?1?3n?1an?1?2n，求an

。an5、已知數列?an?滿足a1?1,，

第二篇：初中數學復習專題：求數列通項方法匯總

5.1由遞推公式求通項公式的方法總結

<教師備案>

．已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本講就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧．

．教師在上課時需要注意：

⑴

確保學生基礎知識的熟練，如基本的等差和等比數列的通項．

⑵

明確數列可以產生衍生數列，如：等等，而這些數列中的“”也會隨著的項號的變化而變化．這點可以在后面第一次講到用輔助數列的時候提到，但一定要舉一些例子讓學生體會．

⑶

教師要清晰的了解在高中階段從遞推關系求通項的核心思想就是通過代數變形將遞推式轉化為等差數列或等比數列的遞推式．

⑷

高中階段除了將遞推數列轉化為等差或等比數列進行求通項外，還有一小部分遞推數列是周期數列．比如，就是周期數列．

考點1：

疊加法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法1．疊加法：若數列遞推公式為，則通項．

<教師備案>我們知道等差數列可以通過疊加法求通項公式，對于數列有形如的遞推式，且的和是可求的，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形為，……

將各式相加，得

．

經典精講

【鋪墊】已知數列滿足，求．

【解析】

．

【例1】

⑴已知數列滿足，且求．

⑵已知數列滿足且（），求．

⑶已知數列滿足求．

⑷在數列中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

⑷

A；

【點評】

在運用疊加法時，要特別注意項數，計算時項數容易出錯．正確寫出要累加的首項和末項很重要．

考點2：

疊乘法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法2．疊乘法：若數列遞推公式為，則通項．

<教師備案>我們知道疊乘法可以求等比數列的通項，對于數列有形如“”的遞推式，且的積是可求的時候，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形成，……

將各式相乘，得．

經典精講

【鋪墊】已知數列中，求．

【解析】

．

【例2】

⑴已知數列中，，則數列的通項公式為（）

A．

B．

C．

D．

⑵已知數列中，求數列的通項公式．

⑶已知數列中，，求．

【解析】

⑴

B．

⑵

．

⑶

．

考點3：

構造法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法3．構造法：

⑴

若數列遞推公式為，可以設成立，解得，即是等比數列．

⑵

（其中，且，是關于的多項式函數），可設，其中為與的次數相等的多項式函數，各項的系數都待定，通過比較與的各項系數確定待定系數，即為等比數列；

⑶，其中且，，．

①若，則，即為等差數列；

②若，則可以設；

也可兩邊同時除以或：得或．

<教師備案>

構造法的主要思想是通過觀察遞推公式的形式，進行合適的代數恒等變換，構造出我們比較熟悉的等差、等比數列，或者類似等差數列（疊加）、類似等比數列（疊乘）．它主要處理遞推形式給出的數列，一階遞推主要有兩種：⑴；⑵．

這兩種遞推形式的處理方式如下：

⑴，；

與等比數列的遞推公式作對比，發現多一個常數，故考慮構造一個等比數列，于是令，解得，從而得到的表達式，解得的表達式；

例3⑴就是這種形式．

⑵，①當時，即，且數列可以求和時，就是“疊加法”的情形，即；

②當時，ⅰ．是等差數列，故也可以像一樣分解：

令，可解得的值，于是成等比數列，可得到的通項公式．

例3⑵就是這種形式．

ⅱ．當成等比數列時，即，若，兩邊同除以，則，得到數列是一個等差數列；

若，則用待定系數法：設；

也可兩邊同時除以或：得或，前邊的遞推式中可以用疊加法求得通項公式，后面的遞推式中，可以用（ⅰ）中的待定系數法得到一個等差數列．

例3⑶就是這種形式．

經典精講

【例3】

⑴在數列中，當時，有，求．

⑵在數列中，，．求．

【追問】如果遞推關系中出現了更為復雜的函數，那么該如何進行配湊？

如：在數列中，．求．

⑶已知數列滿足，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【追問】

．

⑶

．

【挑戰十分鐘】⑴

在數列中，求的通項公式．

⑵

在數列中，求的通項公式．

⑶

在數列中，求的通項公式．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

【例4】

數列中，求數列的通項公式．

【解析】

．

【點評】本題和例3的區別在于，例3可以說完全是按部就班的套公式，本題需要先代數變形，變成可以去套公式的形式，不過兩道例題的整體思想仍然是將遞推式左右兩邊變化出形式類似的代數式，換元后形成（類似）等差或（類似）等比數列．

考點4：

倒數法

知識點睛

由數列的遞推公式求通項公式的方法有：（以下）

方法4．倒數法：若數列遞推公式為，兩邊式子取倒數，然后轉化為方法3的情形．

<教師備案>

除了一階遞推形式可以用構造法得到一個等差數列或等比數列，或是可以用疊加法或疊乘法處理的數列之外，高中數學中還常常會遇到遞推形式為的分式遞推數列．這樣的數列形式與我們以前的一次分式函數非常相似，對于這樣的遞推形式，取倒數后分子上就沒有了，實現了“變量分離”，得到的形式，于是數列滿足的遞推式就可以通過疊加法（）或構造法（）去求通項了．

經典精講

【例5】

⑴已知數列滿足，則_________．

⑵已知在數列中，求數列的通項公式．

【解析】

⑴；

⑵

5.2

兩種形式的處理

考點5：

前項和與通項

知識點睛

1．已知求，直接用公式：

2．已知與的關系有兩種處理方式：

⑴

把題目中的用替換，轉化為關于的遞推關系，從而得到的通項公式，再轉為的通項公式．

⑵

分別寫出和的表達式，兩式相減轉化為關于的遞推關系．

注意：使用得到的通項是在這個前提下成立的，所以要注意驗證的情況．

<教師備案>由與的關系式求通項是高中階段的重點，前面的講次也有涉及到，在本講我們結合前面求通項的方法進行一個簡單的總結．例6是只有一種方法比較可行的，例7則是兩種方法都可以．

經典精講

【鋪墊】已知在數列中，求數列的通項公式．

【解析】

．

【例6】

已知數列中，且對于任意正整數有，求通項．

【解析】

．

【點評】此題即屬于將用替換，進而轉化為關于的遞推關系，從而得到的通項公式，再轉為的通項公式．如果用和的表達式相減的話則很難求出通項．

【例7】

設是正數組成的數列，其前項和為，并且對于所有的自然數，與的等差中項等于與的等比中項，求數列的通項公式．

【解析】

．

【備選】（2010朝陽二模理20）

已知是遞增數列，其前項和為，且．

⑴

求數列的通項；

⑵

是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由．

【解析】

⑴．

⑵

滿足條件的正整數不存在，證明如下：

假設存在，使得．

則．

整理，得

………①

顯然，左邊為整數，所以①式不成立．

故滿足條件的正整數不存在．

<教師備案>

若數列的遞推公式的一般形式為，這時的通項公式也可以求出．

分兩種情況：

①當時，有．

是以為首項，為公比的等比數列．

②當時，存在，滿足，與比較系數得，．

可見是二次方程的兩個根，通過解此方程求，的值，再進一步推導的表達式．這種方法又稱特征根法．

下面的競賽題就用到了這樣的方法，高中對這樣的二階遞推式不作要求，這道題僅供學有余力的同學選做．

（2009年全國高中數學聯合競賽一試）

已知，是實數，方程有兩個實根，數列

滿足，⑴

求數列的通項公式（用，表示）；

⑵

若，求的前項和．

【解析】

⑴

由韋達定理知，又，所以，整理得

令，則．所以是公比為的等比數列．

數列的首項為：．

所以，即．

所以．

①當時，，變為．整理得，．

所以，數列成公差為的等差數列，其首項為．

所以．

于是數列的通項公式為；

②當時，．

整理得，．

所以，數列成公比為的等比數列，其首項為．所以．

于是數列的通項公式為．

⑵

若，則，此時．

由⑴的結果得，數列的通項公式為，所以，的前項和為，以上兩式相減整理得，所以．

<教師備案>

此題老師可以再提及斐波那契數列，它的遞推公式為，也是一個二階遞推式，可以用特征根法求得通項公式．

實戰演練

【演練1】已知數列中，則_______．

【解析】

．

【演練2】在數列中，．則_______．

【解析】

．

【演練3】在數列中，．求的通項公式．

【解析】

．

【演練4】⑴

已知數列滿足，求．

⑵

數列中，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【演練5】已知數列滿足：，又，求．

【解析】

．

【演練6】在數列中，為其前項和，且成等差數列，求的通項公式．

【解析】．

大千世界

（2012年北京高中數學聯賽一試）

已知數列的各項均為非零實數，且對于任意的正整數，都有如下關系成立：

問是否存在滿足條件的無窮數列，使得?若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式，若不存在則說明理由．

【解析】當時，∵

①

∴

②

①②有：

③

因各項均非零，所以③式兩邊約掉，有：

④

∴

⑤

④⑤有：

∴或

又∵，∴當時，；當時，∴．

第三篇：求數列通項公式的方法總結史上最全的吐血分享

求數列通項公式的方法總結史上最全的各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。我現在總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。

類型1an?1?an?f(n)

解法：把原遞推公式轉化為an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知數列?an?滿足a1?11，an?1?an?2，求an。2n?n

變式: 已知數列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通項公式.類型2an?1?f(n)an

解法：把原遞推公式轉化為

例1:已知數列?an?滿足a1?

例2:已知a1?3，an?1an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an?1?3n?13n?1?an(n?1)，求an。3n?2

變式:（2004，全國I,理15．）已知數列{an}，滿足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1(n≥2)，則{an}的通項an??

類型3an?1?pan?q（其中p，q均為常數，(pq(p?1)?0)）。

解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：an?1?t?p(an?t)，其中t?

例:已知數列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.變式:（2006，重慶,文,14）

在數列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，則該數列的通項an?_______________

變式:（2006.福建.理22.本小題滿分14分）

已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).（I）求數列?an?的通項公式；

（II）若數列{bn}滿足4142?4n

（Ⅲ）證明：b?1b?1b?1n?1?1?___n?2q，再利用換元法轉化為等比數列求解。1?p?(an?1)bn(n?N*),證明：數列{bn}是等差數列； an1a1a2n????...?n?(n?N*).23a2a3an?12

類型4an?1?pan?qn（其中p，q均為常數，(pq(p?1)(q?1)?0)）。（或an?1?pan?rqn,其中p，q,r均為常數）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以q系數法解決。

例:已知數列?an?中，a1?n?1，得：an?1pan1anp1b?b?引入輔助數列（其中），得：再待定???b???bn?1nnnn?1nnqqqqqqq511n?1,an?1?an?()，求an。632

412an??2n?1?，n?1,2,3,??? 333變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設數列?an?的前n項的和Sn?

n

32n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設Tn?，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

2Sni?1

類型5 遞推公式為an?2?pan?1?qan（其中p，q均為常數）。

解法一(待定系數法)：先把原遞推公式轉化為an?2?san?1?t(an?1?san)其中s，t滿足?

?s?t?p

?st??q

解法二(特征根法)：對于由遞推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??給出的數列?an?，方程x2?px?q?0，叫做數列?an?的特征方程。

n?1n?1

若x1,x2是特征方程的兩個根，當x1?x2時，數列?an?的通項為an?Ax1，其中A，B由a1??,a2??決定（即把a1,a2,x1,x2和?Bx2n?1n?1n?1

代入an?Ax1，得到關于A、B的方程組）；當x1?x2時，數列?an?的通項為an?(A?Bn)x1，其中A，B由a1??,a2??n?1,2，?Bx2n?1

決定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1，得到關于A、B的方程組）。

解法一（待定系數——迭加法）:

數列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，a1?a,a2?b，求數列?an?的通項公式。例:已知數列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?變式:

1.已知數列?an?滿足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).（I）證明：數列?an?1?an?是等比數列；（II）求數列?an?的通項公式；（III）若數列?bn?滿足4142...4n

b?1b?1

b?1

an?1?an，求an。33

?(an?1)bn(n?N*),證明?bn?是等差數列

2.已知數列3.已知數列

?an?中，a1?1,a2?2,an?2?2an?1?1an，求an

?an?中，Sn是其前n項和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，?an?1?2an(n?1,2,??)，求證：數列?bn?是等比數列；

?

an,(n?1,2,??)，求證：數列?cn?是等差數列；⑶求數列?an?的通項公式及前n項和。n2

⑴設數列bn

⑵設數列cn

類型6 遞推公式為Sn與an的關系式。(或Sn?f(an))解法：這種類型一般利用an??去an進行求解。

例：已知數列?an?前n項和Sn?4?an?

?S1????????????????(n?1)

與an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn(n?2)或與Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消

S?S???????(n?2)n?1?n

12n?2

.（1）求an?1與an的關系；（2）求通項公式an.（2）應用類型4（an?1?pan?qn（其中p，q均為常數，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方法，上式兩邊同乘以2由a1?S1?4?a1?

n?1

得：2n?1an?1?2nan?2

1nnn

?a?1?a?.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以 2a?2?2(n?1)?2n2a1nnn

21?22n?1

??

變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)

已知正項數列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列{an}的通項an變式:(2005,江西,文,22．本小題滿分14分）

已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3(?)

n?

1(n?3),且S1?1,S2??,求數列{an}的通項公式.類型7 an?1?pan?an?b(p?1、0，a?0)

解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉化為

?an?xn?y?是公比為p的等比數列。

例:設數列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數列｛an｝中，a1

1?、點（n、2an?1?an）在直線y=x上，其中n=1,2,3…2

(Ⅰ)令bn?an?1?an?3,求證數列?bn?是等比數列；(Ⅱ)求數列?an?的通項；(Ⅲ)設S?Sn??Tn?

n、Tn分別為數列?an?、?bn?的前n項和,是否存在實數?，使得數列??為等差數列？若存在試求出??n?

類型8 arn?1?pan(p?0,an?0)

解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為an?1?pan?q，再利用待定系數法求解。例：已知數列｛an｝中，a1?1,an?1?

1a

?a2

n(a?0)，求數列?an?的通項公式.變式:（2005，江西,理,21．本小題滿分12分）已知數列{a1

n}的各項都是正數,且滿足:a0?1,an?1?

an(4?an),n?N.（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數列{an}的通項公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）

已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；

（2）設Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項； 記bn=

11，求｛b2

n｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1a?

nan?23Tn?1

類型9 a(n)an

n?1?

fg(n)a?h(n)

解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為an?1?pan?q。

n例：已知數列｛an｝滿足：an?

an?1

3?a,a1?1，求數列｛an｝的通項公式。

n?1?1

變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數列｛an｝滿足：a1＝

33nan－12，且an＝2a1

n?2，n?N?）n－1＋n－（1）求數列｛an｝的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1?a2?……an?2?n！

2、若數列的遞推公式為a1

?3,1a?1

?2(n??)，則求這個數列的通項公式。n?1an3、已知數列{an}滿足a1?1,n?2時，an?1?an?2an?1an，求通項公式。

4、已知數列｛an｝滿足：an

?

an?1

3?a,a1?1，求數列｛a｝的通項公式。

n?1?1

n5、若數列｛an｝中，a1=1，an?1=

2an

an∈N?，求通項an．

n?2

類型10apan?q

n?1?

ra

n?h

不存在,則說明理由.解法：如果數列{an}滿足下列條件：已知a1的值且對于n?N，都有an?1?

pan?qh

（其中p、q、r、h均為常數，且ph?qr,r?0,a1??），rran?h

那么，可作特征方程x?等比數列。

?1??a?x1?px?q,當特征方程有且僅有一根x0時,則?則?n?是等差數列;當特征方程有兩個相異的根x1、x2時，?是

a?xa?xrx?h?n0??n2?

例：已知數列{an}滿足性質：對于n?N,an?1?

an?4,且a1?3,求{an}的通項公式.2an?3

13an?25

.an?3

例：已知數列{an}滿足：對于n?N,都有an?1?

（1）若a1?5,求an;（2）若a1?3,求an;（3）若a1?6,求an;（4）當a1取哪些值時，無窮數列{an}不存在？ 變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）

數列{an}滿足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1).記bn?

11an?

(n?1).（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn.類型11 an?1?an?pn?q或an?1?an?pqn

解法：這種類型一般可轉化為?a2n?1?與?a2n?是等差或等比數列求解。

例：（I）在數列{an}中，a1?1,an?1?6n?an，求an（II）在數列{an}中，a1?1,anan?1?3n，求an 類型12 歸納猜想法 解法：數學歸納法

變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）

設數列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an類型13雙數列型

解法：根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。

例：已知數列?an?中，a1?1；數列?bn?中，b1?0。當n?2時，an?

類型14周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。

(2an?1?bn?1),bn?(an?1?2bn?1)，求an,bn.33

例：若數列?an?滿足an?1

1?

2a,(0?a?)nn?6?2??，若a1?，則a20的值為___________。

7?2a?1,(1?a?1)

nn?2?

變式:（2005，湖南,文，5）已知數列{an}滿足a1?0,an?1?

an?33an?1

(n?N*)，則a20=

（）

A．0

B．? C．

D．