第一篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 用不動點法求數列的通項

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用不動點法求數列的通項

定義：方程f(x)?x的根稱為函數f(x)的不動點.利用遞推數列f(x)的不動點，可將某些遞推關系an?f(an?1)所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.定理1：若f(x)?ax?b(a?0,a?1),p是f(x)的不動點，an滿足遞推關系an?f(an?1),(n?1)，則an?p?a(an?1?p)，即{an?p}是公比為a的等比數列.證明：因為 p是f(x)的不動點

?ap?b?p

?b?p??ap由an?a?an?1?b得an?p?a?an?1?b?p?a(an?1?p)

所以{an?p}是公比為a的等比數列.定理2：設f(x)?ax?b(c?0,ad?bc?0)，{an}滿足遞推關系an?f(an?1),n?1，初cx?d值條件a1?f(a1)

（1）：若f(x)有兩個相異的不動點p,q，則

an?pa?pa?pc（這里k?）?k?n?1a?qcan?qan?1?q（2）：若f(x)只有唯一不動點p，則

2c11）??k（這里k?a?dan?pan?1?p證明：由f(x)?x得f(x)?ax?b?x，所以cx2?(d?a)x?b?0

cx?dpd?b?p?2??a?pc?cp?(d?a)p?b?0?（1）因為p,q是不動點，所以?2，所以 ????cq?(d?a)q?b?0?q?qd?b?a?qc?aan?1?bpd?b?pan?1?an?pcan?1?d(a?pc)an?1?b?pda?pca?pca?pcan?1?p??????qd?ba?qcan?1?qan?qaan?1?b(a?qc)an?1?b?qda?qcan?1??qa?qccan?1?d令k?a?pa?pa?pc，則n ?kn?1a?qcan?qan?1?q用心 愛心 專心

n?1用心 愛心 專心

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由此解得a)2n?1?(2?2)2n?1n?2?(2?2(2?2)2n?1?(2?2)2n?1

其實不動點法除了解決上面所考慮的求數列通項的幾種情形,還可以解決如下問題: 42例4：已知a1?0,a1?1且aan?6an?1n?1?4a2n(an?1),求數列{an}的通項.解: 作函數為f(x)?x4?6x2?14x(x2?1),解方程f(x)?x得f(x)的不動點為 x1??1,x2?1,x3??33i,x34?3i.取p?1,q??1,作如下代換: a42n?6an?1a2?1432n?1?1?4an(an?1)an?4an?6an?4an?1n?1a42?n?1?1an?6an?1a432?(an?4an?6an?4an?1a)4 n?14a2?1n(an?1)(a4n?1逐次迭代后,得:a1?1)?(an?11?1)4n?(a?(a4n?1

1?1)4n?11?1)

用心 愛心 專心

第二篇：不動點法求數列通項的證明

對于an?1?Aan?B的遞推式，兩端減x后得到 an?C

(A?x)an?(B?Cx)A?xB?Cx?(an?)an?Can?CA?x

B?Cx，這個方程與在遞推式中令an?1?an得的方程是A?xan?1?x?為了能構成等比數列，則令?x?

一樣的，有點類似于令f(x)=x形式，所以稱這種方法為不動點法 得到x的值，于是原式為an?1?x?A?x(an?x)an?C

若x有兩個不等根x1,x2（包括虛數根）則分別代入后得 an?1?x2?A?x2A?x1(an?x2)和an?1?x1?(an?x1)an?Can?C

兩式相除得an?x1an?1?x1A?x1an?x1即可，構造等比數列{??an?x2an?1?x2A?x2an?x2

112構造等差數列即可 ??an?1?xan?xA?C若得到的是等根x，則不能按上述構造等比數列 只能考慮等差數列求得

第三篇：河南省2021年高三專題復習用不動點法求數列通項

用不動點法求數列的通項

定義：方程的根稱為函數的不動點.利用遞推數列的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.定理1：若是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.證明：因為

是的不動點

由得

所以是公比為的等比數列.定理2：設，滿足遞推關系，初值條件

（1）：若有兩個相異的不動點，則

（這里）

（2）：若只有唯一不動點，則

（這里）

證明：由得，所以

（1）因為是不動點，所以，所以

令，則

（2）因為是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，則

例1：設滿足，求數列的通項公式

例2：數列滿足下列關系：，求數列的通項公式

定理3：設函數有兩個不同的不動點,且由確定著數列,那么當且僅當時,證明:

是的兩個不動點

即

于是,方程組有唯一解

例3：已知數列中，求數列的通項.其實不動點法除了解決上面所考慮的求數列通項的幾種情形,還可以解決如下問題:

例4：已知且,求數列的通項.解:

作函數為,解方程得的不動點為

.取,作如下代換:

逐次迭代后,得:

已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．

（１）求數列的通項公式；

（２）證明：

設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（…）．（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和．

已知函數，是方程的兩個根（），是的導數，設，．

（1）求的值；

（2）證明：對任意的正整數，都有；

（3）記，求數列的前項和

13陜西文21．（本小題滿分12分）已知數列滿足，.令，證明：是等比數列；

(Ⅱ)求的通項公式。

2山東文20.（本小題滿分12分）等比數列{}的前n項和為，已知對任意的，點，均在函數且均為常數)的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記

求數列的前項和

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第四篇：高中數學數列求通項公式習題

補課習題

（四）的一個通項公式是（），A、an?B、an?C、an?D、an?2．已知等差數列?an?的通項公式為an?3?2n , 則它的公差為（）

A、2B、3C、?2D、?

33．在等比數列{an}中, a1??16,a4?8,則a7?（）

A、?4B、?4C、?2D、?

24．若等比數列?an?的前項和為Sn，且S10?10，S20?30，則S30?

5．已知數列?an?通項公式an?n2?10n?3，則該數列的最小的一個數是

6．在數列{an}中，a1?于．

7．已知{an}是等差數列，其中a1?31，公差d??8。

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）數列{an}從哪一項開始小于0？

（3）求數列{an}前n項和的最大值，并求出對應n的值． ?1?1nan?且an?1?，則數列n?N????的前99項和等2n?1?an?an?

8．已知數列?an?的前項和為Sn?n2?3n?1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通項公式an。

9．等差數列?an?中，前三項分別為x,2x,5x?4，前n項和為Sn，且Sk?2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;?????S1S2S3Sn

(3)、證明: Tn?

1考點：

1.觀察法求數列通項公式;2.等差數列通項公式;3.等比公式性質;4.等比公式前n項和公式應用;5.數列與函數結合;6.求通項公式;7.基本的等差數列求通項公式及其應用;8.求通項公式;9.等差數列性質應用及求和與簡單的應用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an?39?8n（2）n=5(3)sn?76、n=4;

8.（1）a1?

5、a2?

6、a3?8（2）an???5;?n?1)?2n?2;?n?2)

9.（1）由4x?x?5x?4得x?2,?an?2n,.Sn?n(n?1),?k(k?1)?2550得k?50

(2).?Sn?n(n?1),?Sn?111?? n(n?1)nn?1

?T?1?111111111n???????????1??2334n?1nnn?1n?1n?1

11且?0（3）?Tn?1?n?1n?1

?Tn?1

第五篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 數列通項公式的求解策略 新人教版

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an?1?pan?q?r型數列通項公式的求解策略——分 消 化 迭 歸

由遞推公式求數列的通項公式是數列中的常見題型,也是高考考察的熱點.本文就遞推關系為an?1?pan?q?r(p,q,r為非零常數)的數列通項公式的求法(或證法),談以下幾種求解策略,僅供nn參考.例 數列?an?中，a1?56，an?1?13an?12n?1(n?N)，求數列?an?的通項公式.?

分析 構造等比數列是求解該題的有效途徑.策略1 分——將確定x的值.解法1 由an?1?13an?12n?112n?1拆分成兩部分,分配給an?1與an.構造新數列?an???x?,由待定系數法n?2?, 可設an?1?x2n?1?1x11?x?a?a??n.a?, 即n?1n?nn?3623?2?由x6223?1n?12n?1,解得x?3.∴an?1?32n?1?31?3?3??a?a?a?, ∴數列是以 ?n1?nn?n?23?2?2??32n??為首項,以13為公比的等比數列.∴an?2?1?????3?3?n?1??23n, ∴an?32n?23n.11?an?1?an?n?1?1?32策略2 消——由?,消去n?1生成新的等比數列.21?a?1a?nn?1n?32?11?an?1?an?n?1???(1)??32解法2 由題意，?，1?a?1a?,n?2?(2)nn?1n?32?12(1)－(2)×,得an?1?12an?1?1?a?a,n?2.n?1??n3?2?∴數列?an?1???1111?an?是以a2?a1?為首項,為公比的等比數列.2932?n?1∴an?11?1??an???29?3?1?13n?1??(3)將(1)式代入(3)式,整理得an?32n?23n.用心 愛心 專心 1

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策略3 化——將解法3 將an?1?n1213n?1化為常數.12n?1an?兩邊同乘以22n?1,得2n?1?an?1?23?2?an?1.4n令bn?2?an,上式可化為bn?1?bn?1,即bn?1?3?2?bn?3?.∴數列?bn?是以b1?3??為

333首項,2為公比的等比數列.∴3b?3??4?2?n?1nnn3???2?2?2?3?????3?, ∴b?2??n?3??3?.?n即2n?a?2?32n?3?2?3?.∴a??n?2n?3n.策略4 迭——迭代法 解法4 ∵a?11?1n?1?13an?12n?1, ∴a1n?3an?1?12n?13?a?1a?3n?2?2n?1???2n32n?2?11?132?a?1??1???1a?1?1?1?13?12n?1?12n?11?1???3n?32n?2??32n?12n33n?3322n?232n?12n ?1111?11?13n?1a1?13n?2?22???3?12n?1?12n?113n?1???32??1?1?????3n?22232n?1?2n 13?111?12n?23n?13n?1?2?13n?2?122???3?12n?1?12n?3n?32n?21?33n.2策略5 迭——迭加法 解法5 ∵a111n?1?3an?12n?1, ∴an?1?3an?2n?1.∴a?1n??an?3a?1a????1?3?a?1?1?3?3?a?1?1?1n?1n?1?an?2??2?n?2?3an?3?????3n?2?a?2?31???3n?1a1 ?12n?1113?12n?1?32?12n?2???13n?2?122?3n??1?132?1???23???2n?3n.策略6 歸——數學歸納法 將本題中的“求數列?an?的通項公式”改為“證明 數列?an?的通項公式為a2n?32n?3n”,可采用此法證明如下：

解法6(證明)(1)當n?1時,a31?2?23?56，結論成立.(2)假設當n?k時, a3k?2k?23k.用心 愛心 專心 2

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那么,當n?k?1時,ak?1?1ak?1k?1?121321?32?1???????.?kkk?1k?1k?1k?1k?k?123?23?223223.a2?n?32n?3n對任意n?N都成立.用心 愛心 專心 3 3所以當n?k?1時,結論也成立 由(1)(2)可知,通項公式