5.1由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法總結(jié)

<教師備案>

．已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本講就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧．

．教師在上課時(shí)需要注意：

⑴

確保學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的熟練，如基本的等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)．

⑵

明確數(shù)列可以產(chǎn)生衍生數(shù)列，如：等等，而這些數(shù)列中的“”也會(huì)隨著的項(xiàng)號(hào)的變化而變化．這點(diǎn)可以在后面第一次講到用輔助數(shù)列的時(shí)候提到，但一定要舉一些例子讓學(xué)生體會(huì)．

⑶

教師要清晰的了解在高中階段從遞推關(guān)系求通項(xiàng)的核心思想就是通過代數(shù)變形將遞推式轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的遞推式．

⑷

高中階段除了將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列進(jìn)行求通項(xiàng)外，還有一小部分遞推數(shù)列是周期數(shù)列．比如，就是周期數(shù)列．

考點(diǎn)1：

疊加法

知識(shí)點(diǎn)睛

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法有：（以下）

方法1．疊加法：若數(shù)列遞推公式為，則通項(xiàng)．

<教師備案>我們知道等差數(shù)列可以通過疊加法求通項(xiàng)公式，對(duì)于數(shù)列有形如的遞推式，且的和是可求的，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形為，……

將各式相加，得

．

經(jīng)典精講

【鋪墊】已知數(shù)列滿足，求．

【解析】

．

【例1】

⑴已知數(shù)列滿足，且求．

⑵已知數(shù)列滿足且（），求．

⑶已知數(shù)列滿足求．

⑷在數(shù)列中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

⑷

A；

【點(diǎn)評(píng)】

在運(yùn)用疊加法時(shí)，要特別注意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò)．正確寫出要累加的首項(xiàng)和末項(xiàng)很重要．

考點(diǎn)2：

疊乘法

知識(shí)點(diǎn)睛

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法有：（以下）

方法2．疊乘法：若數(shù)列遞推公式為，則通項(xiàng)．

<教師備案>我們知道疊乘法可以求等比數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)于數(shù)列有形如“”的遞推式，且的積是可求的時(shí)候，我們可以用同樣的方法來求，將遞推式變形成，……

將各式相乘，得．

經(jīng)典精講

【鋪墊】已知數(shù)列中，求．

【解析】

．

【例2】

⑴已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A．

B．

C．

D．

⑵已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

⑶已知數(shù)列中，，求．

【解析】

⑴

B．

⑵

．

⑶

．

考點(diǎn)3：

構(gòu)造法

知識(shí)點(diǎn)睛

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法有：（以下）

方法3．構(gòu)造法：

⑴

若數(shù)列遞推公式為，可以設(shè)成立，解得，即是等比數(shù)列．

⑵

（其中，且，是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)），可設(shè)，其中為與的次數(shù)相等的多項(xiàng)式函數(shù)，各項(xiàng)的系數(shù)都待定，通過比較與的各項(xiàng)系數(shù)確定待定系數(shù)，即為等比數(shù)列；

⑶，其中且，，．

①若，則，即為等差數(shù)列；

②若，則可以設(shè)；

也可兩邊同時(shí)除以或：得或．

<教師備案>

構(gòu)造法的主要思想是通過觀察遞推公式的形式，進(jìn)行合適的代數(shù)恒等變換，構(gòu)造出我們比較熟悉的等差、等比數(shù)列，或者類似等差數(shù)列（疊加）、類似等比數(shù)列（疊乘）．它主要處理遞推形式給出的數(shù)列，一階遞推主要有兩種：⑴；⑵．

這兩種遞推形式的處理方式如下：

⑴，；

與等比數(shù)列的遞推公式作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)多一個(gè)常數(shù)，故考慮構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，于是令，解得，從而得到的表達(dá)式，解得的表達(dá)式；

例3⑴就是這種形式．

⑵，①當(dāng)時(shí)，即，且數(shù)列可以求和時(shí)，就是“疊加法”的情形，即；

②當(dāng)時(shí)，ⅰ．是等差數(shù)列，故也可以像一樣分解：

令，可解得的值，于是成等比數(shù)列，可得到的通項(xiàng)公式．

例3⑵就是這種形式．

ⅱ．當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，即，若，兩邊同除以，則，得到數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列；

若，則用待定系數(shù)法：設(shè)；

也可兩邊同時(shí)除以或：得或，前邊的遞推式中可以用疊加法求得通項(xiàng)公式，后面的遞推式中，可以用（ⅰ）中的待定系數(shù)法得到一個(gè)等差數(shù)列．

例3⑶就是這種形式．

經(jīng)典精講

【例3】

⑴在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求．

⑵在數(shù)列中，，．求．

【追問】如果遞推關(guān)系中出現(xiàn)了更為復(fù)雜的函數(shù)，那么該如何進(jìn)行配湊？

如：在數(shù)列中，．求．

⑶已知數(shù)列滿足，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【追問】

．

⑶

．

【挑戰(zhàn)十分鐘】⑴

在數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式．

⑵

在數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式．

⑶

在數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

【例4】

數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解析】

．

【點(diǎn)評(píng)】本題和例3的區(qū)別在于，例3可以說完全是按部就班的套公式，本題需要先代數(shù)變形，變成可以去套公式的形式，不過兩道例題的整體思想仍然是將遞推式左右兩邊變化出形式類似的代數(shù)式，換元后形成（類似）等差或（類似）等比數(shù)列．

考點(diǎn)4：

倒數(shù)法

知識(shí)點(diǎn)睛

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法有：（以下）

方法4．倒數(shù)法：若數(shù)列遞推公式為，兩邊式子取倒數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為方法3的情形．

<教師備案>

除了一階遞推形式可以用構(gòu)造法得到一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，或是可以用疊加法或疊乘法處理的數(shù)列之外，高中數(shù)學(xué)中還常常會(huì)遇到遞推形式為的分式遞推數(shù)列．這樣的數(shù)列形式與我們以前的一次分式函數(shù)非常相似，對(duì)于這樣的遞推形式，取倒數(shù)后分子上就沒有了，實(shí)現(xiàn)了“變量分離”，得到的形式，于是數(shù)列滿足的遞推式就可以通過疊加法（）或構(gòu)造法（）去求通項(xiàng)了．

經(jīng)典精講

【例5】

⑴已知數(shù)列滿足，則_________．

⑵已知在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解析】

⑴；

⑵

5.2

兩種形式的處理

考點(diǎn)5：

前項(xiàng)和與通項(xiàng)

知識(shí)點(diǎn)睛

1．已知求，直接用公式：

2．已知與的關(guān)系有兩種處理方式：

⑴

把題目中的用替換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推關(guān)系，從而得到的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)為的通項(xiàng)公式．

⑵

分別寫出和的表達(dá)式，兩式相減轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推關(guān)系．

注意：使用得到的通項(xiàng)是在這個(gè)前提下成立的，所以要注意驗(yàn)證的情況．

<教師備案>由與的關(guān)系式求通項(xiàng)是高中階段的重點(diǎn)，前面的講次也有涉及到，在本講我們結(jié)合前面求通項(xiàng)的方法進(jìn)行一個(gè)簡單的總結(jié)．例6是只有一種方法比較可行的，例7則是兩種方法都可以．

經(jīng)典精講

【鋪墊】已知在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解析】

．

【例6】

已知數(shù)列中，且對(duì)于任意正整數(shù)有，求通項(xiàng)．

【解析】

．

【點(diǎn)評(píng)】此題即屬于將用替換，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推關(guān)系，從而得到的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)為的通項(xiàng)公式．如果用和的表達(dá)式相減的話則很難求出通項(xiàng)．

【例7】

設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有的自然數(shù)，與的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解析】

．

【備選】（2010朝陽二模理20）

已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．

⑴

求數(shù)列的通項(xiàng)；

⑵

是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解析】

⑴．

⑵

滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：

假設(shè)存在，使得．

則．

整理，得

………①

顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．

故滿足條件的正整數(shù)不存在．

<教師備案>

若數(shù)列的遞推公式的一般形式為，這時(shí)的通項(xiàng)公式也可以求出．

分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，有．

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

②當(dāng)時(shí)，存在，滿足，與比較系數(shù)得，．

可見是二次方程的兩個(gè)根，通過解此方程求，的值，再進(jìn)一步推導(dǎo)的表達(dá)式．這種方法又稱特征根法．

下面的競賽題就用到了這樣的方法，高中對(duì)這樣的二階遞推式不作要求，這道題僅供學(xué)有余力的同學(xué)選做．

（2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試）

已知，是實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列

滿足，⑴

求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）；

⑵

若，求的前項(xiàng)和．

【解析】

⑴

由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得

令，則．所以是公比為的等比數(shù)列．

數(shù)列的首項(xiàng)為：．

所以，即．

所以．

①當(dāng)時(shí)，，變?yōu)椋淼茫?/p>

所以，數(shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為．

所以．

于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

②當(dāng)時(shí)，．

整理得，．

所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為．所以．

于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

⑵

若，則，此時(shí)．

由⑴的結(jié)果得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，的前項(xiàng)和為，以上兩式相減整理得，所以．

<教師備案>

此題老師可以再提及斐波那契數(shù)列，它的遞推公式為，也是一個(gè)二階遞推式，可以用特征根法求得通項(xiàng)公式．

實(shí)戰(zhàn)演練

【演練1】已知數(shù)列中，則_______．

【解析】

．

【演練2】在數(shù)列中，．則_______．

【解析】

．

【演練3】在數(shù)列中，．求的通項(xiàng)公式．

【解析】

．

【演練4】⑴

已知數(shù)列滿足，求．

⑵

數(shù)列中，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【演練5】已知數(shù)列滿足：，又，求．

【解析】

．

【演練6】在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式．

【解析】．

大千世界

（2012年北京高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試）

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意的正整數(shù)，都有如下關(guān)系成立：

問是否存在滿足條件的無窮數(shù)列，使得?若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，若不存在則說明理由．

【解析】當(dāng)時(shí)，∵

①

∴

②

①②有：

③

因各項(xiàng)均非零，所以③式兩邊約掉，有：

④

∴

⑤

④⑤有：

∴或

又∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴．