第二部分　矩陣

本章概述

矩陣是線性代數的重要內容，也是研究線性方程組和其它各章的主要工具。主要討論矩陣的各種運算的概念和性質。在自學考試中，所占比例是各章之最。按考試大綱的規定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的討論中都必須以矩陣作為主要工具，故加上試題中必須應用矩陣運算解決的題目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考試為例，看下表

按考試大綱所占分數

07.4

07.7

07.10

直接考矩陣這一章的26分左右

31分

34分

38分

加上其它章中必須用矩陣運算的所占分數

51分

53分

67分

由此矩陣這一章的重要性可見一般。

2.1　線性方程組和矩陣的定義

2.1.1　線性方程組

n元線性方程組的一般形式為

特別若，稱這樣的方程組為齊次方程組。

稱數表為該線性方程組的系數矩陣；

稱數表為該線性方程組的增廣矩陣。

事實上，給定了線性方程組，就惟一地確定了它的增廣矩陣；反過來，只要給定一個m×(n+1)階矩陣，就能惟一地確定一個以它為增廣矩陣的n個未知數，m個方程的線性方程組。

例1

寫出下面線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣

【答疑編號12020101】

例2

寫出以下面矩陣為增廣矩陣的線性方程組

【答疑編號12020102】

2.1.2　矩陣的概念

一、矩陣的定義

定義2.1.1

我們稱由mn個數排成的m行n列的數表

為m×n階矩陣，也可記為為矩陣A第i行，第j列的元素。

注意:矩陣和行列式的區別。

二、幾類特殊的矩陣

1.所有元素都為零的矩陣稱為零矩陣，記為O。

例如都是零矩陣。

2.若A的行數m=1，則稱

為行矩陣，也稱為n維行向量。

若A的列數n=1，則稱為列矩陣，也稱為m維列向量。

3.若矩陣A的行數=列數=n，則稱矩陣A為n階方陣，或簡稱A為n階陣。

如n個未知數，n個方程的線性方程組的系數矩陣。

4.稱n階方陣為n階對角陣。

特別若上述對角陣中，稱矩陣為數量矩陣，如果其中λ=1，上述數量陣為，稱為n階單位陣。

5.上(下)三角陣

稱形如的矩陣為上(下)三角矩陣。

2.2　矩陣的運算

這節介紹

（1）矩陣運算的定義，特別要注意，矩陣運算有意義的充分必要條件；

（2）矩陣運算的性質，要注意矩陣運算與數的運算性質的異同，重點是矩陣運算性質與數的運算性質的差別。

2.2.1　矩陣的相等

為建立矩陣運算的概念，先說明什么叫兩個矩陣相等。

定義2.2.1如果矩陣A，Ｂ的階數相同，即行數、列數都相同，則稱矩陣Ａ與B同型；若A與B同型，且對應元素都相等，則稱矩陣A與B相等，記為A=B。

請注意區別兩個矩陣相等和兩個行列式相等

例如

雖然行列式有

但矩陣；。

2.2.2　矩陣的加減法

定義2.2.2

設A與B都是m×n階矩陣(即A與B同型)，則矩陣A與B可以相加(相減)，其和(差)定義為m×n階矩陣

例1設求A+B、A-B。

【答疑編號12020103】

例2則A與B不能相加(減)，或說A±B無意義。

加法運算的性質

設A，B，C都是m×n階矩陣，O是m×n階零矩陣，則

1.交換律

A+B=B+A。

2.結合律

(A+B)+C=A+(B+C)。

3.負矩陣

對于任意的m×n階矩陣

定義，顯然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。

2.2.3　數乘運算

定義2.2.3

數λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ，定義為

例3

設，求3A。

【答疑編號12020104】

解

例4

設，求3A-2B。

【答疑編號12020105】

例5

已知，求2A-3B。

【答疑編號12020106】

數乘運算滿足：

1.1·A=A

2.設k,l是數，A是矩陣，則k(lA)=(kl)A

3.分配律

k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA

例6

已知，且A+2X=B，求X。

2.2.4　矩陣的乘法

先介紹矩陣乘法的定義，后面再介紹為什么這樣定義乘法。

一、定義

定義2.2.4

設矩陣，(注意:A的列數=B的行數)。定義A與B的乘積為一個m×n階矩陣，其中(i=1,2,……m,j=1,2,…n)

可見，矩陣A,B可以相乘的充分必要條件是A的列數＝B的行數，乘積矩陣C=AB的行數=A的行數；其列數=B的列數。

例如

則A,B可以相乘，其乘積其中

例7設矩陣

【答疑編號12020201】

問BA有意義嗎？

無意義。因為第一個矩陣的列數不等于第二矩陣的行數，所以BA無意義。

例8

(1)設矩陣

(2)

求AB；BA

【答疑編號12020202】

此例說明

AB,BA雖然都有意義，但兩矩陣不同型，當然不相等。

例9設矩陣，求AB,BA。

【答疑編號12020203】

為什么這樣定義乘法？

考慮線性方程組

設，則，于是線性方程組(1)

就可以寫成矩陣形式AX=b。

這表明，應用這種方法定義矩陣乘法，可以把任意線性方程組寫成與一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整個的討論變得簡單了。

二、性質

（1）乘法沒有交換律，AB不一定等于BA。

（2）結合律

(AB)C=A(BC)

（3）分配律

(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC

（4）數乘與乘法的結合律k(AB)=(kA)B=A(kB)

（5）單位矩陣的作用。

另一部分的證明請同學們自己作。

但對于某些特殊的矩陣（方陣）滿足AB=BA，我們稱它們是乘法可交換的，例如n階方陣A與n階單位陣就可交換。

例10

設矩陣，求出所有與A乘積可交換的矩陣。

【答疑編號12020204】

2.2.5　方陣的冪

設A是一個矩陣，何時有意義?

當且只當A為n階方陣時，有意義。這時，對k≥2定義

稱為A的k次冪。

例11

數學歸納法證明

【答疑編號12020301】

（2）

【答疑編號12020302】

對于數，冪的運算有下列性質：

（1）同底冪相乘，指數相加。即；

（2）；

（3）

對于方陣的冪有下列性質：

（1）。

對于數，為什么

所以對于n階方陣不一定等于。

根據矩陣乘法和方陣冪的性質，數的乘法公式有下面的變化：

一般不等于。

一般不等于。

這些變化的原因就在于矩陣乘法沒有交換律。

但對于某些特殊的矩陣滿足AB=BA，例如

n階方陣A與n階單位陣就可交換，所以

請思考

例12

設求。

【答疑編號12020303】

例13

設，求。

【答疑編號12020304】

例14

設。

【答疑編號12020305】

小結

矩陣乘法和數的乘法性質的區別：

(1)矩陣乘法沒有交換律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的變化；

(2)對于矩陣：兩個非零矩陣的乘積可能為零矩陣；

(3)對于方陣，可能可能，…

(4)不一定等于。

2.2.6　矩陣的轉置

一、定義

定義2.2.5設。將其行列互換，所得的矩陣記為稱它為A的轉置，即顯然，m×n階矩陣A的轉置是n×m階。

二、性質

1.；

2.；

3.；

現看下面的例

例15

設，求；問哪個有意義，若有意義，求它的乘積矩陣。

【答疑編號12020306】

解

沒有意義。有意義，且

所以

一般，則AB是m×n階的。是k×m階，為n×k階，故不一定有意義。但

有意義。可以證明

4.(反序律)。

三、對稱陣和反對稱陣

定義

設A為n階實方陣。如果滿足，則稱A為實對稱(反對稱)陣。

例16

為實對稱陣；為反對稱陣。

例17

證明:任意n階方陣A都可以惟一地分解為一個對稱陣和一個反對稱陣的和。

【答疑編號12020307】

例18證明:設A,B都是n階對稱陣，證明AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA。

【答疑編號12020308】

擴展

改為

設A,B都是n階反對稱陣，證明AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA。

2.2.7　方陣的行列式

一階方陣和一階行列式都是數，但當n≥2以后，矩陣和行列式是兩個不同的概念，矩陣是一個數表，可以是方的也可以是長方的。對于n階方陣，可以對它取行列式，但行列式已不僅是數表，而它的值是一個數。

性質:

1.；

2.；

3.。

于是容易看出，雖然AB不一定等于BA，但。

例19

證明奇數階的反對稱陣的行列式等于零。

【答疑編號12020309】

2.2.8　方陣多項式

任意給定多項式和一個n階方陣A。

定義

稱f(A)為A的方陣多項式。

例20

設求f(A)。

【答疑編號12020310】

小結

1.矩陣各種運算的定義(包括運算有意義的充分必要條件)；

2.各種運算的性質(特別是與數的運算性質的相同點和不同點，尤其是不同點)

作業

p47

習題2.2

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

2.3　方陣的逆矩陣

2.3.1　逆矩陣的定義

定義2.3.1

設A是一個n階方陣。若存在一個n階方陣B使得。

則稱A是可逆矩陣，也稱非奇異陣。并稱。

若這樣的B不存在，則稱A不可逆。

定理2.3.1

可逆矩陣A的逆矩陣是惟一的。

證

設都是A的逆矩陣。則。

例1，驗證A可逆，且。

【答疑編號12020401】

只要看

容易看出，這時B也可逆，且。

例2

不可逆。

【答疑編號12020402】

解

設，則。故不可逆。

2.3.2　n階方陣可逆的充分必要條件

為討論n階方陣可逆的充分必要條件，現引入方陣的伴隨矩陣的概念

定義

設，為的代數余子式，則稱

為A的伴隨矩陣，記為。

下面計算

類似地，有。

若，有。于是有下面的定理。

定理2.3.2

n階方陣A可逆的充分必要條件是，且當時。

證

充分性已經得證。只要證必要性。

設n階方陣A可逆，據定義知，存在n階方陣B使得AB=BA=E

取行列式得，故，必要性得證。

推論

設A，B均為n階方陣，并且滿足AB=E，則A,B都可逆，且。

推論的意義是，不必驗證兩個乘積AB，BA，而只要驗證一個即可。

證

因為

AB=E，故，所以。故A，B都可逆。

由

AB=E

兩邊左(右)乘，得，于是有。

2.3.3　可逆矩陣的基本性質

設A，B為同階可逆矩陣。常數k≠0。則

1.可逆，且。

2.AB可逆。

3.也可逆，且。

4.kA也可逆，且。

5.消去律

設P是與A，B同階的可逆矩陣，若PA=PB，則A=B。

若a≠0，ab=ac則b=c。

但

而

6.設A是n階可逆方陣。定義，并定義。則有，其中k，l是任意整數。

7.設

是

階可逆方陣，則。

例3

設，問a，b，c，d滿足什么條件A可逆？這時求

【答疑編號12020403】

例4

判斷矩陣

是否可逆？若可逆，求出它的逆矩陣。

【答疑編號12020501】

例5

設A是n階方陣，則。

【答疑編號12020502】

例6

設A為n階方陣，則當P為可逆矩陣時，A為對稱矩陣。

【答疑編號12020503】

例7

設n階方陣A滿足，求和的逆矩陣。

【答疑編號12020504】

例8

設A是三階

矩陣，其行列式，求行列式的值。

【答疑編號12020505】

例9

設n階方陣A滿足，證明。

【答疑編號12020506】

例10

設n階方陣A滿足，其中m為正整數，求出的逆矩陣。

【答疑編號12020507】

例11

設A為n階可逆陣，證明：

（1）（2）

【答疑編號12020508】

小結

1.n階方陣A可逆的充分必要條件是。

2.A的伴隨矩陣的定義及重要公式(1)，(2)當時。

3.重要結果

若n階方陣A，B滿足AB=E，則A，B都可逆，且。

4.逆矩陣的性質(主要是說明求逆運算與矩陣其他運算的關系)

2.4　分塊矩陣

2.4.1　分塊矩陣的概念

對于行數列數較高的矩陣A，為運算方便，經常采用分塊法處理。

即可以用若干條橫線和豎線將其分成若干個小矩陣。每個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

例1

對3×4階矩陣，可以采用很多方法分塊。

【答疑編號12020601】

如:分成，這時可記為，其中

也可以分成；

稱為列分塊矩陣。

例2

對于，可按下面方法分塊

【答疑編號12020602】，記成其中，2.4.2　分塊矩陣的運算

1.加減法

同型矩陣A，B采用相同的分塊法，有

則

2.分塊矩陣的數乘

設，則。

3.分塊矩陣的轉置

例3

一般，如果

4.分塊矩陣的乘法

設矩陣A的列數=B的行數，如果對A，B適當分塊，使

。則

其中。

所謂適當分塊是指保證上述出現的所有乘法都有意義。

例4

設A為m×k階矩陣，B為k×n階矩陣，則AB為m×n階矩陣。若把矩陣B分成2.4.3　幾個特殊的分快矩陣的運算

（1）準對角矩陣

方陣的特殊分塊矩陣

形如的分塊矩陣稱為分塊對角陣或準對角陣，其中，均為方陣。

（2）兩個準對角（分塊對角）矩陣的乘積

則

（3）準對角矩陣的逆矩陣

若均為可逆陣。

可逆，且。

例5

求的逆矩陣。

【答疑編號12020603】

（4）準上（下）三角矩陣的行列式。

可以證明

例6

設A，D是任意可逆矩陣，驗證

【答疑編號12020604】

例7

求矩陣的逆矩陣。

【答疑編號12020605】

小結

分塊的原則，保證運算有意義。

2.5　矩陣的初等變換和初等矩陣

2.5.1　矩陣的初等變換

一、背景

例1

解線性方程組

解

(2)+(－1)(1)；(3)+(－1)(1)；(4)+(－2)(1)得

(3)+(-1)(2)；(4)+(-1)(2)得

(2)+(-2)(3)得

(1)+(-1)(2)+(-3)(3)得

上述解方程的過程可改為只對方程的增廣，以為增廣矩陣的方程組的解即為矩陣做相應的行變換來實現。

定義2.5.1（線性方程組的初等變換）

稱下列三種變換為線性方程組的初等變換。

（1）兩個方程互換位置；

（2）用一個非零的數乘某一個方程；

（3）把一個方程的倍數加到另一個方程上。

顯然，線性方程組經初等變換后所得的新方程組與原方程組同解。

事實上，上述解線性方程組的過程，只要對該方程組的增廣矩陣做相應的行變換即可。

二、矩陣初等變換的定義

定義2.5.2

分別稱下列三種變換為矩陣的第一、第二、第三種行（列）初等變

（1）對調矩陣中任意兩行（列）的位置；

（2）用一非零常數乘矩陣的某一行（列）；

（3）將矩陣的某一行（列）乘以數k后加到另一行（列）上去。

把行初等變換和列初等變換統稱為初等變換。

定義2.5.3如果一個矩陣A經過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記為A~B。

等價具有反身性

即對任意矩陣A，有A與A等價；

對稱性

若A與B等價，則B與A等價

傳遞性

若A與B等價，B與C等價，則A與C等價。

定理2.5.1

設線性方程組的增廣矩陣經有限次的初等行變換化為，則以與為增廣矩陣的方程組同解。

三、矩陣的行最簡形式和等價標準形

簡單地說，就是經過行初等變換可以把矩陣化成階梯型，進而化成行最簡形，而經過初等變換（包括行和列的）可以把矩陣化成等價標準形。

例2

對矩陣A作初等行變換，其中。

【答疑編號12020801】

階梯形矩陣的定義：滿足

（1）全零行（若有）都在矩陣非零行的下方；

（2）各非零行中從左邊數起的第一個非零元（稱為主元）的列指標j隨著行

指標的增加而單調地嚴格增加的矩陣稱為階梯形矩陣。（每個階梯只有一行）

行最簡形式

以稱滿足（1）它是階梯形；（2）各行的第一個非零元都是1；（3）第一個非零元所在列的其它元素均為零的矩陣為行最簡形式。

例3（1）是階梯形；（2）這不是階梯形。

如上例中最后所得的矩陣。

若允許再作初等列變換可繼續得

這最后的式子就是A的等價標準形。一般，任何一個矩陣的等價標準形都是分塊對角陣，也可能為或。

定理2.5.2任何矩陣都可以經有限次初等行變換化成行最簡形式，經有限次初等變換（包括行及列）化成等價標準形。且其標準形由原矩陣惟一確定，而與所做的初等變換無關。

例4

將矩陣化成行最簡形式和標準形。

【答疑編號12020802】

2.5.2　初等方陣

定義2.5.4

對單位陣施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣。

以三階方陣為例

第一種：

第二種：

第三種:

顯然，初等陣都是非奇異陣。注意

所以初等陣的逆矩陣為同類的初等陣。

初等矩陣與初等變換之間有密切的聯系。

例5

對于

【答疑編號12020901】

定理2.5.3設A是一個m×n階的矩陣，則

（1）

對A做一次初等行變換，就相當于用一個與這個初等變換相應的m階初等矩陣左乘A；

（2）

對A做一次初等列變換，就相當于用一個與這個初等變換相應的n階初等矩陣右乘A；

推論1

方陣經初等變換其奇異性不變。

定理2.5.4對于任意的m×n階矩陣A，總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得

證

因為m×n階矩陣A，總可以經過有限限次的初等行變換和初等列變換化成標準型，又因為初等變換和矩陣乘法的關系，容易證明此定理。

推論2　n階可逆陣（非奇異陣）必等價于單位陣。

因為否則，其等價標準形不可逆。

定理2.5.5　n階方陣A可逆的充分必要條件是A能表示成若干個初等陣的乘積。

證

充分性是顯然的。下面證必要性。

“”已知A為n階可逆陣，則A與等價，故存在有限個n階初等陣，即，亦即A能表示成有限個初等矩陣的乘積。必要性得證。

推論3　任意可逆陣A（非奇異陣）只經過有限次的初等行（列）變換就能化成單位陣。

證　因為A可逆，故存在可逆陣使得，從而存在有限個初等陣使得，故。

所以A只經過有限次的初等行變換就能化成單位陣。

2.5.3　用初等變換法求逆矩陣

因為任意非奇異陣只經行初等變換就可化成單位陣，即

則

這表明，當對A作初等行變換將A變成單位矩陣E時，若對單位矩陣做完全相同的初等變換則單位矩陣E將變成。于是有求逆矩陣的初等變換法:

寫出分塊矩陣作初等行變換，當A化成單位陣時，E就化成為。

例6

求方陣的逆矩陣。

【答疑編號12020902】

2.5.4　用初等變換法求解矩陣方程

一元一次方程的標準形

ax=b（a≠0）

矩陣方程的三種標準形

AX=BXA=B

（3）AXB=C則解法：對第一類

作分塊矩陣對A作初等行變換，當A變成單位陣時，由于B做的是同樣的初等行變換，則得到的是。

例7求解矩陣方程

【答疑編號12021001】

解

：

所以。

對于第二類的可先轉化為第一類的，即由兩邊轉置得

按上例的方法求出進而求出X

例8求解矩陣方程

【答疑編號12021002】

思考

如何解方程

AXB=C

設

Y=XB，得方程AY=C，解出Y，進一步解方程XB=Y

（這時Y為已知。）

小結

本節主要內容:

1.矩陣初等變換的定義；

2.初等矩陣的定義和性質:（1）初等矩陣必可逆；（2）初等矩陣之積為可逆陣；（3）n階方陣A可逆的充分必要條件是A能表示成有限個初等矩陣之積。

3.初等變換的性質

（1）定理2.5.1

設線性方程組的增廣矩陣經有限次的初等行變換化為，則以與為增廣矩陣的方程組同解。

（2）定理2.5.2任何矩陣都可以經有限次初等行變換化成行最簡形式，經有限次初等變換（包括行及列）化成等價標準形。且其標準形由原矩陣惟一確定，而與所做的初等變換無關。

（3）

定理2.5.3設A是一個m×n階的矩陣，則

對A做一次初等行（列）變換，就相當于用一個m（n）階的與這個初等變換相對應的初等矩陣左乘（右乘）A；

（4）定理2.5.4對于任意的m×n階矩陣A，總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得。

（5）對n階方陣A，初等變換不改變其奇異性。

習題類型:

1.熟練掌握用行變換將矩陣化為階梯形，行最簡形和用初等變換化成標準形的方法；

2.熟練掌握用初等變換法求逆矩陣和求解矩陣方程

作業

p69

1,2（1）（3）（5）,3（2）（3）（4）,4

2.6　矩陣的秩

先介紹矩陣的k階子式的概念

給定矩陣

A的每個元素都是它的一階子式，定義2.6.1

矩陣A的最高階非零子式的階數稱為該矩陣的秩。記為r（A），有時也記為

秩（A）。

事實上，如果A有一個r階子式不等于零，而所有r+1階子式都等于零，則r（A）

例1求矩陣的秩。

【答疑編號12021101】

上述求秩的方法很繁，是否有更簡便的方法求矩陣的秩。

例2顯然的秩等于r。

例3，則r（A）=2。

定理2.6.1

初等變換不改變矩陣的秩。

推論　設A為m×n階矩陣，P，Q分別為m，n階可逆矩陣，則

r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。

例4求矩陣的秩。

【答疑編號12021102】

此例說明可以用初等變換法求矩陣的秩（只要經初等變換化成階梯形，其秩就等于非零行的個數）。

例5求矩陣的秩。

【答疑編號12021103】

一般，如果n階方陣A的秩等于它的階數，則稱該矩陣是滿秩的，否則稱它為降秩的。顯然，n階方陣A滿秩的充分必要條件是A可逆。（可逆陣的各種說法：可逆，非異，滿秩）。

小結這一節主要是掌握矩陣秩的概念和用初等變換法求矩陣的秩。

說明　2.7的內容放到第四章講。

作業

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習題2.6

1（2）（3）（4）,3

第二章　總　結

1.矩陣運算有意義的充分必要條件；矩陣運算的定義；

2.矩陣運算的性質，特別是比較矩陣運算性質與數的運算性質的相同點和不同點，特別是不同點；

3.方陣可逆的充分必要條件以及判斷方陣可逆的方法；

4.矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，用初等變換法求逆矩陣和矩陣方程的解；

5.矩陣的秩的概念和求矩陣秩的方法。