第一篇：線性代數復習要點

“線性代數”主要題型（以第三版的編號為準）

(注意：本復習要點所涉及的題目與考試無關)

一、具體內容

第一章、行列式：

1.1、四階或者五階行列式的計算。比如第1.3節例

3、例4，第四節的例3等。

1.2、n階含字母或數字的行列式的計算。比如第1.3節例8，第四節的例4。

1.3、一些特殊的齊次線性方程組有非零解的判斷。比如第1.5節例3。

第二章、矩陣。

2.1、矩陣的線性運算、乘法運算、轉置運算、行列式運算、逆運算以及它們的運算性質。

2.2、矩陣方程的求解。比如第2.3節的例6，第2.5節的例7等等。

2.3、矩陣秩的計算。比如第2.6節例6等等

2.4、矩陣運算的簡單證明題目。比如第2.2節的例

12、例13，第2.3節例8等等。

第三章、線性方程組

3.1、向量的線性運算。比如第3.2節的例1等等。

3.2、抽象的或n維向量線性相關性的證明。比如第3.3節的例

2、例

3、例4等等。

3.3、極大線性無關組的求解或證明。比如第3.4節的例

2、例3等等。

3.4、向量空間的基的計算或證明。比如第3.5節的例9等等。

3.5、線性方程的解的數量與結構的討論。比如第3.1節的例4，第3.6節的例1等等。

第四章、矩陣的特征值

4.1、矩陣特征值、特征向量的計算。

4.2、矩陣特征值的性質及簡單應用。比如第4.2節例6等等。

4.3、矩陣相似對角化的判斷。比如第4.3節的例4等等。

4.4、實對稱矩陣的相似對角化。比如第4.4節的例

1、例2等等。

第五章、二次型

5.1、用正交相似變換化二次型為標準型。比如第5.2節的例5等等。

5.2、正定矩陣的判別。比如第5.3的例4等等。

二、專業要求

1、非經管類專業的同學，最好掌握上述所有的內容。

2、經管類專業的同學的要求，相對要低一些：若是計算題目，計算量減少；若是證明題，證明難度降低；一般只有一道題目里面的參數需要討論。比如“1.1”里面最多要求計算四階行列式，“3.2”里面只要求n維向量線性相關性的證明，“5.2”不要等等。請相應的上課老師注意把握。

第二篇：2012線性代數Ⅱ復習要點

《線性代數Ⅱ》復習要點

教材：工程數學《線性代數》第五版，同濟大學數學系編

1、掌握行列式的相關性質與計算

2、掌握行列式的按行按列展開法則

3、掌握矩陣的各種運算及性質，掌握分塊對角陣的行列式、逆矩陣的計算

4、掌握矩陣可逆的判定方法

5、掌握方陣A與A及伴隨矩陣A之間的關系，以及三者行列式之間的關系

6、掌握矩陣的初等變換及初等矩陣，掌握初等矩陣的性質

7、掌握矩陣秩的定義及相關性質

8、掌握矩陣方程的解法

9、掌握向量組線性相關無關的性質

10、掌握向量組的秩的定義及相關性質，會求向量組的秩及最大無關組

11、掌握線性方程組是否有解的判別，會解線性方程組，例如解系數含參變量的線性方程組

12、掌握線性方程組解的結構，會利用方程組解的結構寫方程組的通解

13、掌握方陣的特征值與特征向量的定義及性質，會求方陣的特征值、特征向量

參考例題和習題：

第21頁例13，第25頁例16，第26頁6題（2，3），第27頁8題（2），第28頁9題，第41頁例9，第44頁例10，第50頁例16，第54頁4題，第54頁5題，第55頁14題，第56頁15題，第56頁24題，第56頁26題，第65頁例3，第75頁例13，第78頁6題，第79頁12題，第80頁16題，第80頁18題，第90頁例7，第107頁5，第109頁27題，第110頁32題，第118頁例5，第119頁例7，第120頁例8，第134頁6題，第135頁7題，?1?

第三篇：線性代數各章復習要點

第一章：1.3節 例

5、例6； 1.5節 性質1~

6、例

7、例

8、例10；1.6節 引理、定理

3、例

12、推論、例13； 1.7節克拉默法則、例

14、例16；

第二章：2.2節 矩陣的乘積、轉置、行列式及性質、例

4、例7；

2.3節 定理

1、定理

2、例

11、例

12、例14；

2.4節 第49頁（iv）（v）、例16；

第三章：3.1節 定義

1、第60頁（行階梯形、行最簡形）、定理

1、例

1、例

2、例3；

3.2節 定義

3、定義

4、例

5、例

7、第70頁矩陣秩的性質；

3.3節 定理

3、例

10、例

12、例

13、定理6；

第四章：4.1節 定義

2、定理

1、定義

3、定理

2、例

1、例2；

4.2節 定義

4、定理

4、例

5、例

6、定理5；

4.3節 定義

5、定理

6、例11； 4.4節 定理

7、例

12、例16；

第五章：5.1節 定義

1、定義

2、定理

1、例

2、定義4；

5.2節 定義

6、第117頁（i）（ii）、例

6、例

8、例

9、定理2；

5.3節 定理

3、定理

4、例11；

5.4節 定理

7、例12；

5.5節 定義

8、定理

8、例14；

5.7節 定義

10、定理10及推論、定理

11、例17；

第四篇：線性代數考試要點

線性代數考試要點：

1、行列式（要求只要是4階的行列式會求）

（1）會利用行列式的定義來計算行列式（包括逆序數的求法）；

（2）會利用行列式的性質來計算行列式；

（3）利用按行、列展開公式來求解行列式，包括按行、列展開公式的應用。

（4）會利用克拉默法則的推論討論齊次線性方程組解的情況。

2、向量

（1）向量的基本運算；

（2）會判別向量組的線性相關性，掌握向量組線性相關性的性質；（證明題與選擇題）

（3）會求出給定的一組向量組的極大線性無關組及其秩，并會應用相應的性質；（計算題）

（4）利用施密特正交化把一組線性無關的向量組化成標準正交組；

（5）會判別一個集合是否會向量空間。

3、矩陣

（1）會矩陣的基本運算，掌握矩陣運算中的性質；

（2）會求給定矩陣（3階）的逆矩陣；

（3）給定一個等式，會用逆矩陣的定義來判別一個矩陣是否可逆，并會求出其逆矩陣；

（4）掌握逆矩陣的性質；

（5）掌握矩陣的初等變換，初等矩陣及其應用；

（6）會利用逆矩陣或矩陣的初等變換方法求解矩陣方程。

4、線性方程組

（1）會求解齊次線性方程組的基礎解系和非齊次線性方程組（不帶末知參數的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的應用。（選擇題或判斷題）

（3）齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的結構的性質（主要是選擇題與判斷題）。

5、相似矩陣及二次型

（1）給定一個3階矩陣，會求出它的特征值與特征向量；

（2）給定一個3階矩陣，會求出它的相似矩陣P，使得PAP?B(對角陣)；

（3）掌握特征值的性質；

（4）掌握相似矩陣的性質；

（5）掌握正交矩陣的性質；

（6）掌握矩陣可以對角化的幾個性質；

（7）給定一個二次型，會寫出它所對應的對稱矩陣；或者給定一個二次型，會寫出它所對應的二次型；（填空題）

（8）會用配方法化二次型為標準型。

以上給的要點是A、B兩份卷子的。此次題型分為判斷題（10分）、選擇題（15分）、填空題（15分）、簡答題（60分），其中簡答題中包括證明題。

此次的試卷出的題目很多來自書上和練習冊，建議大定讓學生要多做一下練習題（包括例題）。?1

第五篇：線性代數復習——選擇題

《線性代數》復習一：選擇題

a11a12a132a112a122a131.如果a21a22a23= M，則2a212a222a23 =（）

a31a32a332a312a322a33A.8M

B.2 M

C.M

D.6 M

2.若A，B都是方陣，且|A|=2，|B|=-1，則|A-1B|=（）

A.-B.2 C.1/2

D.–1/2

?37?3.已知可逆方陣A?1???1?2?? 則A?（）

???27??27??3?7???37?A.??1?3?

B.?13?

C.??12?

D.?1?2?

????????4.如果n階方陣A的行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.A?O B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)?0 5.設A? B均為n階矩陣? A?O? 且AB? O ? 則下列結論必成立的是（）

A.BA? O B.B? O

C.(A?B)(A?B)?A2?B2

D.(A?B)2?A2?BA?B2 6.下列各向量組線性相關的是（）

A.?1?(1? 0? 0)? ?2?(0? 1? 0)? ?3?(0? 0? 1)B.?1?(1? 2? 3)? ?2?(4? 5? 6)? ?3?(2? 1? 0)C.?1?(1? 2? 3)? ?2?(2? 4? 5)

D.?1?(1? 2? 2)? ?2?(2? 1? 2)? ?3?(2? 2? 1)

7.設AX?b是一非齊次線性方程組? ?1? ?2是其任意2個解? 則下列結論錯誤 的是（）

A.?1+?2是AX?O的一個解 B.1?1?1?2是AX?b的一個解

22C.?1??2是AX?O的一個解

D.2?1??2是AX?b的一個解

8.設A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則3A的特征值為（）

A.1/6? 1/3? 1/2

B.3? 6? 9

C.1? 2? D.1? 1/2? 1/3 9.設A是n階方陣? 且|A|?2? A*是A的伴隨矩陣? 則|A*|?（）

11A.B.2n C.n?

1D.2n?1 22?1y2???10.若?xz3?正定? 則x? y? z的關系為（）

?001???A.x+y?z

B.xy?z

C.z?xy D.z?x+y

參考答案:1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C

1.設?3?0，則?取值為（）

??21A.λ=0或λ=-1/3

B.λ=3

C.λ≠0且λ≠-3

D.λ≠0 2.若A是3階方陣，且|A|=2，A*是A的伴隨矩陣，則|AA*|=（）A.-8

B.2 C.8

D.1/2 3.在下列矩陣中? 可逆的是（）

?000??110???A.010 B.?220?

C.?001??001??????110??100??011?

D.?111? ?121??101?????4.設n階矩陣A滿足A2?2A+3E?O? 則A?1?（）A.E

B.?1?a5.設A??a??a?1(2E?A)

C.2A?3E

D.A 3a1aaaa1aa?a?, 若r(A)?1, 則a?（）a??1??A.1 B.3 C.2

D.4 ?x?x?x?0,??1236.若齊次線性方程組?x1??x2?x3?0,有非零解? 則常數??（）

??x1?x2?x3?0A.1 B.4 C.?2

D.?1 7.設A? B均為n階矩陣? 則下列結論正確的是（）

A.BA? AB B.(A?B)2?A2?BA? AB ?B2 C.(A?B)(A?B)?A2?B2

D.(A?B)2?A2?2 AB ?B2 8.已知?1?(1? 0? 0)? ?2?(?2? 0? 0)? ?3?(0? 0? 3)? 則下列向量中可以由?1? ?2?

?3線性表示的是（）

A.(1? 2? 3)

B.(1? ?2? 0)

C.(0? 2? 3)

D.(3? 0? 5)9.n階方陣A可對角化的充分條件是（）

A.A有n個不同的特征值

B.A的不同特征值的個數小于n C.A有n個不同的特征向量

D.A有n個線性相關的特征向量

22210.設二次型的標準形為f?y1，則二次型的正慣性指標為（）?y2?3y3A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D 9.A 10.A

1.設A是4階方陣，且|A|=2，則|-2A|=（）

A.16

B.-C.-32

D.32 3462.行列式k57中元素k的余子式和代數余子式值分別為（）

128A.20，-20 B.20，20

C.-20，20

D.-20，-20 ?27?3.已知可逆方陣A??? 則A?1?（）??13???27? B.?27?

C.?3?7?

D.??37? A.???13???12??1?2??1?3???????4.如果n階方陣A的行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.A?O

B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)?0 5.設A? B均為n階矩陣? 則下列結論中正確的是（）

A.(A?B)(A?B)?A2?B2 B.(AB)k?AkBk C.|kAB|?k|A|?|B|

D.|(AB)k|?|A|k?|B|k 6.設矩陣A n?n的秩r(A)?n? 則非齊次線性方程組AX?b（）

A.無解 B.可能有解

C.有唯一解

D.有無窮多個解 7.設A為n階方陣? A的秩 r(A)?r?n? 那么在A的n個列向量中（）A.必有r個列向量線性無關

B.任意r個列向量線性無關

C.任意r個列向量都構成最大線性無關組

D.任何一個列向量都可以由其它r個列向量線性表出 8.已知矩陣A4?4的四個特征值為4，2，3，1，則A=（）

A.2 B.3 C.4

D.24 9.n階方陣A可對角化的充分必要條件是（）

A.A有n個不同的特征值

B.A為實對稱矩陣

C.A有n個不同的特征向量

D.A有n個線性無關的特征向量 10.n階對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是（）A.A的秩為n

B.|A|?0 C.A的特征值都不等于零 D.A的特征值都大于零

參考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D

3461.行列式257中元素y的余子式和代數余子式值分別為（）

yx8A.2，-2

B.–2，2

C.2，2

D.-2，-2 2.設A? B均為n(n?2)階方陣? 則下列成立是（）A.|A+B|?|A|+|B| B.AB?BA

C.|AB|?|BA|

D.(A+B)?1?B?1+A?1 3.設n階矩陣A滿足A2?2A? E ? 則(A-2E)?1?（）

A.A B.2 A

C.A+2E

D.A-2E ?1111?4.矩陣A??2222?的秩為（）

?3333???A.1 B.3 C.2

D.4 5.設n元齊次線性方程組AX?O的系數矩陣A的秩為r? 則方程組AX?0的基 礎解系中向量個數為（）

A.r

B.n-r

C.n

D.不確定 6.若線性方程組??x1?x2?2x3?1無解? 則? 等于（）x?x??x?223?1A.2 B.1 C.0

D.?1

7.n階實方陣A的n個行向量構成一組標準正交向量組，則A是（）A.對稱矩陣

B.正交矩陣 C.反對稱矩陣

D.|A|=n

8.n階矩陣A是可逆矩陣的充要條件是（）

A.A的秩小于n B.A的特征值至少有一個等于零 C.A的特征值都等于零

D.A的特征值都不等于零

9.設?1? ?2是非齊次線性方程組Ax=b的任意2個解? 則下列結論錯誤的是（）A.?1+?2是Ax=0的一個解 B.11η1?η2是Ax=b的一個解 22C.?1??2是Ax=0的一個解

D.2?1??2是Ax=b的一個解

2210.設二次型的標準形為f?y12?y2，則二次型的秩為（）?3y3A.2 B.-1 C.1 D.3

參考答案: 1.D 2.C 3.A 4.A

5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D

ab01.設D??ba0?0，則a，b取值為（）

101A.a=0，b≠0

B.a=b=0

C.a≠0，b=0

D.a≠0，b≠0 2.若A、B為n階方陣? 且AB= O ? 則下列正確的是（）A.BA?O

B.|B|?0或|A|?0 C.B? O 或A? O

D.(A?B)2?A2?B2 3.設A是3階方陣，且|A|??2，則|A?1|等于（）A.?2 B.?

C.2

D.224.設矩陣A? B? C滿足AB?AC? 則B?C成立的一個充分條件是（）

A.A為方陣 B.A為非零矩陣

C.A為可逆方陣

D.A為對角陣 5.如果n階方陣A?O 且行列式|A| ?0? 則下列正確的是（）

A.0

C.r(A)= n

D.r(A)?0 ?7x1?8x2?9x3?0?6.若方程組??x2?2x3?0存在非零解? 則常數b?（）

?2x?bx?03?2A.2 B.4 C.-2

D.-4 7.設A為n階方陣? 且|A|?0? 則（）A.A中必有兩行(列)的元素對應成比例

B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合

C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合D.A中至少有一行(列)的元素全為零

8.設A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則3A的特征值為（）

A.1/6? 1/3? 1/B.3? 6? 9

C.1? 2?

3D.1? 1/2? 1/3 9.如果3階矩陣A的特征值為-1,1,2，則下列命題正確的是（）A.A不能對角化

B.A?0

C.A的特征向量線性相關

D.A可對角化

22210.設二次型的標準形為f?y1，則二次型的正慣性指標為（）?y2?3y3A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C

a111.如果a21a12a22a32a13a23a33a314a11=M，則4a214a31a11?a12a21?a22a31?a32a13a23=（）a33A.-4M

B.0

C.-2 M

D.M

2.設Aij是n階行列式D?|aij|中元素aij的代數余子式? 則下列各式中正確的是（）

A.?aijAij?0

i?1n B.?aijAij?0

C.?aijAij?D

j?1j?1nn

D.?ai1Ai2?D

i?1n?200??100?3.已知A??010?，B??221?，則|AB|=（）

?????333??301?????A.18 B.12 C.6

D.36 4.方陣A可逆的充要條件是（）

A.A?O

B.|A|?0

C.A*?O

D.|A|?1 5.若A、B為n階方陣? A為可逆矩陣? 且AB? O ? 則（）

A.B? O ? 但r(B)?n B.B? O ? 但r(A)?n, r(B)?n C.B? O

D.B? O ? 但r(A)?n, r(B)?n

6.設?1? ?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個解? 則下列向量中仍為方程組 解的是（）

3β1?2β2A.?1+?2 B.?1??2

C.1(β1?2β2)

D.257.n維向量組?1? ?2? ??? ? ?s線性無關? ?為一n維向量? 則（）

A.?1? ?2? ??? ? ?s? ?線性相關

B.?一定能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出

C.?一定不能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出 D.當s?n時? ?一定能被?1? ?2? ??? ? ?s線性表出 8.設A為三階矩陣? A的特征值為?2? 1? 2? 則A?2E 的特征值為（）A.?2? 1? 2

B.-4?-1? 0

C.1? 2? 4

D.4? 1?-4 9.若向量α=（1，-2，1）與β=（2，3，t）正交，則t=（）

A.-2 B.0 C.2

D.4 ?1y2???10.若xz3正定? 則x? y? z的關系為（）??001????A.x+y?z

B.xy?z C.z?xy

D.z?x+y

參考答案: 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C

3461.行列式257中元素x的余子式和代數余子式值分別為（）

yx8A.–9，-9

B.–9，9

C.9，-9

D.9，9

122.341333143415=（）34A.2 B.4 C.0

D.1 3.設A為4階矩陣? |A|?3? 則其伴隨矩陣A*的行列式|A*|?（）A.3 B.81 C.27

D.9 4.設A? B均為n階可逆矩陣? 則下列各式中不正確的是（）A.(A+B)T?AT+BT

B.(A+B)?1?A?1+B?1 C.(AB)?1?B?1A?1

D.(AB)T?BTAT 5.設n階矩陣A滿足A2+A+E?O? 則(A+E)?1?（）

A.A

B.-(A+E)

C.–A

D.-(A2+A)6.設n階方陣A? B ? 則下列不正確的是（）

A.r(AB)?r(A)

B.r(AB)?r(B)C.r(AB)?min{ r(A)，r(B)}

D.r(AB)>r(A)

7.已知方程組AX?b對應的齊次方程組為AX?O，則下列命題正確的是（）

A.若AX?O只有零解? 則AX?b有無窮多個解

B.若AX?O有非零解? 則AX?b一定有無窮多個解

C.若AX?b有無窮解? 則AX?O一定有非零解

D.若AX?b有無窮解? 則AX?O一定只有零解 ?101?8.已知矩陣A??020?的一個特征值是0? 則x?（）

?10x???A.1 B.2 C.0

D.3 ?100?9.與A??02?1?相似的對角陣是（）

?0?12????1??1??1??1?A.Λ??1? B.Λ??2?

C.Λ???1? D.Λ??1?

????3?3?3?4?????????10.設A為3階方陣? A的特征值為1?

0?

3?則A是（）

A.正定 B.半正定 C.負定

D.半負定

參考答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

1.設A? B都是n階方陣? k是一個數? 則下列（）是正確的。

A.若|A|?0? 則A? O

B.|kA|?|k|?|A|

C.|A?B|?|A|?|B|

D.|AB|?|A|?|B|

142.設A?1523320?11?141? 則4A41+3A42+2A43+A44?（）26A.0 B.1 C.2

D.3 3.若n階方陣A的行列式為a? 則A的伴隨陣的行列式|A*|?（）

D.an?1 a4.設A? B? C 都是n階方陣? 且C可逆? 則下列命題中（）是錯誤的。A.若AB?C? 則A與B都可逆

B.若AC?BC? 則A?B

C.若ABC?O? 則A? O或B? O

D.若AC?B? 則A與B有相同的秩 5.設n階矩陣A滿足A3-A2+A-E?O? 則A?1?（）

A.A2-A +E B.-(A+E)

C.A2-A

D.-(A2-A +E)A.a

B.an

C.?10?10?6.矩陣A??1?204?的秩為（）

?2?2?14???A.1 B.3 C.2

D.4 7.設AX?b是一非齊次線性方程組? ?1? ?2是其任意2個解? 則下列結論錯誤 的是（）

11η1?η2是AX?b的一個解 22C.?1??2是AX?O的一個解

D.2?1??2是AX?b的一個解 8.設A為3階方陣? A的特征值為1?

2?

3?則A ?1的特征值為（）

A.2? 1? 3 B.1/2? 1/4? 1/6

C.1? 1/2? 1/3

D.2? 1? 6 9.n階矩陣A可對角化的充分必要條件是（）

A.A的不同特征值的個數小于n

B.A的線性無關特征向量個數小于n C.A有n個線性無關的特征向量

D.上述命題都不對 A.?1+?2是AX?O的一個解

B.2210.設二次型的標準形為f?y1，則二次型的秩為（）

?y2A.2 B.-1 C.1

D.3

參考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A