第一篇：平面與平面平行教學案

高一數學教學案材料編號：49

平面與平面平行

班級姓名學號設計人：賈仁春 審查人：孫慧欣 使用時間：12.30

一、教學目標：

1． 掌握空間中平面與平面的位置關系；

2． 掌握空間中面面平行的判定定理及性質定理，并能應用于解題。

二、教學重點、難點：

1． 教學重點：面面平行的定義與判定；

2． 教學難點：如何證明面面平行的判定和性質定理，并掌握這些定理的應用。

三、課前自學：

（一）復習檢測：

1． 給出以下四個結論：

（1）若兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；

（2）若兩條直線和第三條直線都垂直，則這兩條直線平行；

（3）若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行；

（4）若兩條直線分別在兩個相交平面內，則這兩條直線不可能平行。

其中錯誤結論的個數是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

（二）自學導學：

基礎知識梳理：

學點一：平面與平面的位置關系：

兩個不重合的平面的位置關系有和兩種。

（1）兩個平面平行——

（2）兩個平面相交——

學點二：平面與平面平行的判定定理及推論：

1． 兩個平面平行的定義：

2． 兩個平面平行的判定定理：符號語言：。圖形語言：

推論：符號語言：。圖形語言：

學點三：平面與平面的性質定理：

1．性質定理： 符號語言：。圖形語言：

3． 兩個平面平行的重要結論：

（1）兩個平面平行，其中一個平面內的任一條直線于另一個平面。

（2）夾在兩個平行平面間的相等。

（3）經過平面外一點，一個平面和已知平面平行。

(三)自學檢測：

1．如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是（）

A．平行B．相交C．平行或相交D．以上均不對

2．給出下列命題：

（1）m??,n??,m//?,n//???//?；

（2）?//?,m??,n???m//n；

（3）?//?,l???l//?；

（4）?內的任一直線都平行于???//?

其中正確的是（）

A．（1）（3）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（2）（3）

（四）例題分析：

例1．已知三棱錐P-ABC中D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，求證：平面DEF//平面ABC。

例2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是D1A1，A1B1，B1C1的中點，求證：平面AEF//平面GBD

例3．已知平面?//平面?//平面?，兩條直線l,m，分別與平面?,?,?相交于點A，B，C和點D，E，F.求證：

小結：兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例。ABDE?.BCEF

例4．如圖，已知?//?，點P是平面?,?外一點，直線PAB，PCD分別與平面?,?相交于點A，B和點C，D

求證：（1）AC//BD；（2）已知：PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的長。、四、課堂導學：

（一）重難點突破：

1．面面平行的判定定理是論證面面平行的重要依據，必須交待清楚的是：兩條相交直線，另一個平面；該定理的推論比定理有用的多，使用推論時必須交待清楚的是：兩條相交直線，另一個平面內的兩條直線。

2．搞清平行的轉化：

線線平行線面平行

面面平行

（二）當堂檢測

1． 有下列四個命題：

（1）分別在兩個平行平面內的兩條直線都平行；

（2）若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面；

（3）如果一個平面內的兩條直線內的兩條直線平行于一個平面，則這兩個平面平行；

（4）如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行。

其中正確命題的序號為

2． 如圖，已知點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為?SAB上的高，D，E，F分別為AC，BC，SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關系并給予證明。

（三）課堂小結：

1． 空間中兩平面的位置關系；

2． 判斷面面平行的方法有3種：（1）定義，（2）判定定理，（3）推論。

3． 線線平行、線面平行、面面平行三者的轉化。

第二篇：平面與平面平行的性質

平面與平面平行的性質

¤知識要點：

1.面面平行的性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.用符號語言表示為：?//?,???a,???b?a//b.2.其它性質：①?//?,l???l//?； ②?//?,l???l??；③夾在平行平面間的平行線段相等.¤例題精講：

【例1】如圖，設平面α∥平面β，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C∈α，B、D∈β.求證：MN∥α.【例2】如圖，A，B，C，D四點都在平面?，?外，它們在?內的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，在?內的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形．

C1C B1 A1F

E MNEC

D N MA

【例

3】如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是側面對角線上的點，且BE?CF?AG，求證：平面EFG∥平面ABC.【例4】如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1，面對角線AB1，BC1上分別有兩點E、F，且B1E?C1F.求證：EF∥平面ABCD.直線與平面垂直的判定

¤知識要點：

1.定義：如果直線l與平面?內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面?互相垂直，記作l??.l－平面?的垂線，?－直線l的垂面，它們的唯一公共點P叫做垂足.（線線垂直?線面垂直）

2.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.符號語言表示為：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m??，n??，則l⊥?

3.斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內的射影的夾角.求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）→證（證所作為所求）→求（解直角三角形）”.通常，通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產生線面角的關鍵.¤例題精講：

【例1】四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

?BDC?90，求證：BD?平面ACD.AC，【例2】已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值.【例3】三棱錐P?ABC中，PA?BC，PB?AC，PO?平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC垂心.【例4】已知Rt?ABC，斜邊BC//平面?，A??, AB，AC分別與平面?成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面?的距離.平面與平面垂直的判定

¤知識要點： 1.定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle）.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.記作二面角?－AB－?.（簡記P－AB－Q）

2.二面角的平面角：在二面角?－l－?的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面?,?內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的?AOB叫做二面角的平面角.范圍：0????180?.3.定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.記作???.4.判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.（線面垂直?面面垂直）

¤例題精講：

【例1】已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連結AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P.（1）求證：AP⊥EF；（2）求證：平面APE⊥平面APF.ABC

1E

A

C

【例2】如圖, 在空間四邊形ABCD中，AB?BC,CD?DA, E,F,G分別是

CD,DA,AC的中點，求證：平面BEF?平面CBGD.【例3】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1BC中，E是CC1的中點，求證：B1平面A1BD?平面BED．

【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分別是側棱BB1、CC1上的點，且

EC=BC=2BD，過A、D、E作一截面，求：（1）截面與底面所成的角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.線面、面面垂直的性質

¤知識要點：

1.線面垂直性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.（線面垂直?線線平行）

2.面面垂直性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.用符號語言表示為：若???，???l，a??，a?l，則a??.（面面垂直?線面垂直）

¤例題精講：

【例1】把直角三角板ABC的直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊AC與桌面所在的平面?垂直，a是?內一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？

【例2】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.【例3】三棱錐P?ABC中，PA?PB?PC,PO?平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC的外心.【例4】三棱錐P?ABC中，三個側面與底面的二面角相等，PO?平面ABC，垂足為O，求證：O為底面△ABC的內心.小結：

1、證明兩直線平行的主要方法是：

①三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；

②平行四邊形的性質：平行四邊形兩組對邊分別平行；

③線面平行的性質：如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線和它們的交線平行；

④平行線的傳遞性：a//b,c//b?a//c

⑤面面平行的性質：如果一個平面與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行；

⑥垂直于同一平面的兩直線平行；

2、證明兩直線垂直的主要方法：

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；

③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，如圖：PO???OA是PA在平面?上的射影???a?PA又直線a??,且a?OA?

即：線影垂直?線斜垂直，反之也成立。

④利用圓中直徑所對的圓周角是直角，此外還有正方形、菱形對角線互相垂直等結論。

3、空間角及空間距離的計算

（1）異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在在兩異面直線中的一條上取一點，過該點作另一條直線平行線，如圖：直線a與b異面，b//b?，直線a與直線b?的夾角為兩異 面直線 a與b所成的角，異面直線所成角取值范圍是（0?，90?]

（2）斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面?的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面?上射影，?PAO為線面角。

（3）二面角：從一條直線出發的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角??l??，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直

如圖：在二面角?-l-?中，O棱上一點，OA??，OB??，且OA?l,OB?l,則?AOB為二面角?-l-?的平面角。

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是：

①明確構成二面角兩個半平面和棱； ②明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。（求空間角的三個步驟是“一找”、“二證”、“三計算”）

4.異面直線間的距離：指夾在兩異面直線之間的公垂線段的長度。如圖PQ是兩異面直線間的距離

（異面直線的公垂線是唯一的，指與兩異面直線垂直且相交的直線）

5.點到平面的距離：指該點與它在平面上的射影的連線段的長度。如圖：O為P在平面?上的射影，線段OP的長度為點P到平面?的距離

求法通常有：定義法和等體積法

等體積法：就是將點到平面的距離看成是 三棱錐的一個高。如圖在三棱錐V?ABC 中有：VS?ABC?VA?SBC?VB?SAC?VC?SAB

第三篇：平面與平面平行教案2

新課程有效課堂教學設計簡案

主題：§1.2.2空間中的平行關系——平面與平面平行

____課時 課型：發現生成課和問題解決課 主備人：

一、教學目標 知識與技能：

（1）理解并掌握平面與平面平行的判定和性質定理。(2)能把平面與平面平行的關系轉化為線面或線線平行關系進行問題解決，進一步體會數學化歸的思想方法。

過程與方法：

培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力。

情感、態度與價值觀：

（1）讓學生在發現中學習，增強學習的積極性；

（2）了解空間與平面互相轉化的數學思想，培養學生主動探究知識、合作交流的意識；（3）在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣，使學生的學習不斷由感性認識上升到理性認識；

（4）體會獲得知識的愉悅，提高了學習數學的信心。

教學重點：平面與平面平行的判定定理和性質定理。

教學難點：平面與平面平行的判定定理和性質定理的應用。

二、教學過程

第二課時

1創設情境，回顧知識：

回顧上節內容，導入下一環節。2自主學習，解決問題： 教師：⑴發放《問題生成單》。⑵關注學生情況。⑶指導解決問題。學生：⑴瀏覽《問題生成單》。⑵走進文本讀、劃、寫、記、練、思。⑶組織語言，準備交流。3合作交流，解決問題：

教師：⑴走進小組傾聽交流。⑵有效指導，解決問題。⑶組織全班交流。⑷科學引導，使問題條理化。

4展示疑難，合作交流：

教師：指導學生分組交流并加以總結提煉，并提出新問題加以解決。學生：⑴展示問題。⑵講解交流問題。5問題訓練，提升能力： 教師：⑴發《問題訓練單》。⑵巡視，批閱，搜集做題信息。⑷糾正共性問題。學生：⑴自主完成《問題訓練單》。⑵全班展示交流。⑶針對問題反思。6全面總結，反思提高。

教師：⑴引導學生從知識、方法、情感等方面總結、反思。⑵總結規律提煉數學思想。⑶巡視、獲取信息。

學生;⑴結合自身體會反思。⑵展示反思，全班交流。

拓展設計

教學反思

本節課的成功之處：

本節課最遺憾的地方：

本節課存在的問題：

我對本節課持有的看法：

第四篇：2.2.2平面與平面平行的判定導學案

任丘一中數學新授課導學案班級：小組：姓名：使用時間：

§2.2.2平面與平面平行的判定

編者:顧偉

組長評價： 教師評價：

1.了解空間中平面與平面的位置關系；

2．掌握平面與平面平行的判定定理；

重點：平面與平面平行的判定定理..使用說明：（1）預習教材P56 ~ P57，用紅色筆畫出疑惑之處，并嘗試完成下列問題，總結規律方法；

（2）用嚴謹認真的態度完成導學案中要求的內容；

（3）不做標記的為C級，標記★為B級，標記★★為A級。

預習案（20分鐘）

一．知識鏈接

直線與平面平行的判定.二．新知導學

平面與平面的位置關系有哪幾種？

探究案（30分鐘）

三．新知探究

問題：三角板的一邊所在直線與桌面平行，這個三角板所在平面與桌面平行嗎？

三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，這個三角板所在平面與桌面平行嗎？

直線與平面平行的判定定理：符號語言：

作用：

將平面與平面平行關系轉化為直線與平面間平行關系。

平面平行的傳遞性：

如果平面α //平面β，平面β //平面γ，則平面α //平面γ。

四．新知應用

例1.判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的舉例說明：

（1）已知平面α，β和直線m，n，若m??,n??,m//?,n//?，則α // β；

（2）一個平面α內兩條不平行的直線都平行于另一個平面β，則α // β。

（3）一個平面α內有無數條直線都平行于另一個平面β，則α // β。

（4）一個平面α內的任何直線都與β平行，則α // β。

（5）直線a // α，a // β，且直線a不在α內，也不在β內，則α // β。

（6）直線a??，直線b??，且a//?,b//?，則α // β。

規律方法

例2．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面C1BD。

變式．已知在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點。求證：

（1）E、F、B、D四點共面；

（2）平面AMN //平面EFBD。

例3．已知四棱錐V—ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F、G分別是AD、BC、VB的中點，求證：平面EFG //平面VDC。

規律方法：面面平行的判定定理的實質就是一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行。

例4．如圖，α // β，A、C??，B、D??，且A、B、C、D不共面，E、F分別是AB、CD的中點，求證：EF//?,EF//?。（可作如下輔助線）

例5．如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是AD、SB上的中點，且SD=DC，SD?DC求證：（1）MN//平面SDC；（2）求異面直線MN與CD所成的角.S

B

V 例6．（★）一木塊如圖所示，點P在平面VAC內，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和VC，應該怎樣畫線？ ．P

C B

A

五．我的疑惑

（把自己在使用過程中遇到的疑惑之處寫在下面，先組內討論嘗試解決，能解決的劃“√”，不能解決的劃“×”））

隨堂評價（15分鐘）

※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：15分鐘 滿分：30分）計分：

1．下列說法正確的是（）.A.一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的任一條直線平行

B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.如果一個平面內的無數條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行

D.如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行

2．下列說法正確的是（）.A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行D.平行于同一個平面的兩個平面平行

3．在下列條件中，可判斷平面?與?平行的是（）.A.?、?都平行于直線l

B.?內存在不共線的三點到?的距離相等

C.l、m是?內兩條直線，且l∥?，m∥?

D.l、m是兩條異面直線，且l∥?，m∥?，l∥?，m∥?

4．已知a、b、c是三條不重合直線，?、?、?是三個不重合的平面，下列說法中：⑴a//c,b//c?a//b；⑵a//?,b//??a//b；⑶c//?,c//???//?；⑷?//?,?//???//?； ⑸a//c,c//??a//?；⑹a//?,?//??a//?.其中正確的說是.5．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M?AC，N?FB，且

過M作MH?AB于H.AM?FN，求證：（1）平面MNH//平面BCE；

（2）MN∥平面BCE.§2.2.2 課后鞏固

1.下列命題中為真命題的是（）

A.平行于同一條直線的兩個平面平行

B.垂直于同一條直線的兩個平面平行

C.若—個平面內至少有三個不共線的點到另—個平面的距離相等，則這兩個平面平行．

D.若三直線a、b、c兩兩平行，則在過直線a的平面中，有且只有—個平面與b，c均

平行.2.已知m、n是兩條直線，?、?是兩個平面,有以下命題：

①m、n相交且都在平面?、?外，m//?,m//?,n//?,n//?，則?//?； ②若m//?,m//?，則?//?；

③若m//?,n//?,m//n，則?//?.其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.33.過兩平行平面?、?外的點P兩條直線AB與CD，它們分別交?于A、C兩點，交?于

B、D兩點，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則BD的長為__________.4.設m,n是兩條直線，?,?是兩個平面，則下面的推理中正確推理的序號為（1）a??,b??,a//?,b//???//?；

（2）?//?,a??,b???a//b；

（3）a//?,????l?a//l；

（4）a,b異面，a??,b??,a//?,b//???//?.5.已知正方體ABCD?A1B1C1D1，E、F分別是棱CC1、BB1的中點，求證：平面DEB1//平面ACF.6.正方體ABCD?A1B1C1D1中,E、F分別是AB,BC的中點,G為DD1上一點,且

-A1

1D1G:GD?1：2,AC?BD?O,求證:平面AGO∥平面D1EF.7.直三棱柱ABC?A1B1C1中,B1C1?AC11，AC1?A1B,M、N分別是A1B1、AB的中點,求證：平面AMC1//平面NB1C.8.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ//平面PAO?

第五篇：證明兩個平面平行

證明兩個平面平行

證明兩個平面平行的方法有：

(1)根據定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據判定定理。證明一個平面內有兩條相交直線都與另一個平面平行。

(3)根據“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

2.兩個平行平面的判定定理與性質定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關系，而且也和直線與直線的平行有密切聯系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉化。

3.兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關系，同平面內兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關系有：

(1)平行—沒有公共點;

(2)相交—有無數個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為：

4.兩個平面平行具有如下性質：

(1)兩個平行平面中,一個平面內的直線必平行于另一個平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為p

B平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為Q

假設A和B不平行，那么一定有交點。

設有交點R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因為三角形的內角和為180

所以A一定平行于B