第一篇：兩個平面平行的性質

兩個平面平行的性質

一、教學目的：（1）掌握兩個平面平行的性質；（2）能利用性質解決有關線線平行的問題；

（3）明確兩平行平面間的距離并求兩平行平面間的距離.二、教學重點、難點：兩個平面平行的性質；利用性質解決有關線線平行的問題.三、教學過程：

1、復習：兩個平面平行的判定方法：

2、兩個平面平行的性質（1）：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.3、兩個平面平行的的性質（2）：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.4、練習：判斷下列命題的真假，對真命題給出證明，對假命題舉出反例.1、m??,n??,m//?,n//???//?;

2、?//?,m??,n???m//n；

3、?//?,l???l//?；

4、?內的任一直線都平行于???//?.四、典型例子分析：

[例1]：求證：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.l 已知：

求證：

[說明]：（1）?//????l??，可以用來判斷直線與平面垂直依據.l???

（2）和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線；

（3）夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段；

（4）兩個平行平面的公垂線的長度叫做這兩個平行平面的距離.[例2]：如圖，a,b是異面直線，a??,b//?,b??,a//?,（1）求證：?//?；

（2）求證：a,b間的距離等于平行平面?與平面?平面的距離.[說明]：

練習：求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.[思考題]：AB、CD為夾在兩個平行平面?,?間的異面線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN//?(MN//?).作業：

1、一條直線和兩個平行平面相交，求證它和兩個平面所成的角相等.、兩個平行平面之間的距離等于12cm，一條直線和它們相交成60角，求這條直線上夾在這兩個平面間的線段的長.

第二篇：證明兩個平面平行

證明兩個平面平行

證明兩個平面平行的方法有：

(1)根據定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據判定定理。證明一個平面內有兩條相交直線都與另一個平面平行。

(3)根據“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

2.兩個平行平面的判定定理與性質定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關系，而且也和直線與直線的平行有密切聯系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉化。

3.兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關系，同平面內兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關系有：

(1)平行—沒有公共點;

(2)相交—有無數個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為：

4.兩個平面平行具有如下性質：

(1)兩個平行平面中,一個平面內的直線必平行于另一個平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為p

B平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為Q

假設A和B不平行，那么一定有交點。

設有交點R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因為三角形的內角和為180

所以A一定平行于B

第三篇：證明兩個平面平行

證明兩個平面平行證明兩個平面平行的方法有：(1)根據定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據判定定理。證明一個平面內有兩條相交直線都與另一個平面平行。(3)根據“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。2.兩個平行平面的判定定理與性質定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關系，而且也和直線與直線的平行有密切聯系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉化。3.兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關系，同平面內兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關系有：(1)平行—沒有公共點;(2)相交—有無數個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為： 4.兩個平面平行具有如下性質：

(1)兩個平行平面中,一個平面內的直線必平行于另一個平面。簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等 2 用反證法

A平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為P B平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為Q 假設A和B不平行，那么一定有交點。設有交點R，那么 做三角形 PQR PR垂直PQ QR垂直PQ 沒有這樣的三角形。

第四篇：兩個平面平行的判定和性質(一)

兩個平面平行的判定和性質

（一）一、教學目標

1．理解并掌握兩個平面平行的定義．

2．掌握兩個平面的位置關系應用了類比的方法。

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：掌握兩個平面的位置關系；掌握兩個平面平行的判定．

2．教學難點：掌握兩個平面平行的判定定理的證明及其應用．

三、課時安排

1．12兩個平面的位置關系及1．13兩個平面平行的判定和性質這兩個課題調整安排為2課時．本節課為第一課時，主要講解兩個平面的位置關系及兩個平面平行的判定．

四、教與學過程設計

（一）兩個平面的位置關系

思考問題：

1、不重合的兩個平面的位置關系：

兩個平面平行——沒有公共點；

兩個平面相交——有一條公共直線（至少有一個公共點）．

4、如何畫出并表示兩個平行平面和兩個相交平面呢？

畫兩個平行平面的要點是：表示平面的平行四邊形的對應邊相互平行．如圖1—102．

畫兩個相交平面的要點是：先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫表示兩個平面交線的線段．成圖時注意不相交的直線相互平行且等長，不可見的部分畫虛線或不畫．如圖1—103．

學生練習（P．35中練習2）：畫兩個平行平面和分別在這兩個平面內的兩條平行直線，再畫一個經過這兩條平行直線的平面．

如圖1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．

（二）兩個平面平行的判定

師：根據前一小節平面平行的定義，我們來判斷兩個互逆命題的正誤，并說明理由（幻燈顯示）． 命題1．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的所有直線一定都和另一個平面平行． 命題2．如果一個平面內的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行． 通過上面的討論我們知道：兩個平面平行的問題可轉化為一個平面內直線和另一個平面平行的問題．實際上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內的所有直線都平行于另一個平面，只需要在一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面．

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．

已知：在平面β內，有兩條相交直線a、b和平面α平行． 求證：β∥α．

師分析：要證明這個定理，先思考幾個問題（提出問題并啟發學生得出結論）（幻燈顯

示）．

問題1：如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關系怎樣？（相交）． 問題2：若平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b各有什么關系？（平行）．

問題3：相交直線a和b都與交線平行合理嗎？（不合理，與平行公理矛盾）． 師：總結得出證明定理應該根據定義，利用反證法，讓學生寫出它的證明過程．

證明：假設α∩β＝c．a∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a∥b，這與題設a與b相交矛盾，α∥β．

（三）練習

例1垂直于同一直線的兩個平面平行．

已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求證：α∥β．

提示：要證明兩個平面平行，有兩種方法：一是利用定義；二是利用判定定理，也是較常用的一種方法．因此利用判定定理證明例1的關鍵是：如何構造一個平面內的兩相交直線都平行于另一個平面？

證明：設經過直線AA＇的兩個平面γ，δ分別與平面α、β交于直線a，a＇和b，b＇． ∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，則a＇∥α． 同理，b＇∥α．

又∵a＇∩b＇＝ A＇∴α∥β．

師：這個例題的結論可與定理“垂直于同一平面的兩條直線平行”聯系起來記憶，也可作為判定兩個平面平行的一種方法．

練習：判斷下列命題的正誤（幻燈顯示）．

1．垂直于同一直線的兩直線平行．

2．分別在兩個平行平面內的兩條直線都平行（P．37中練習1）．

3．如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習2<1>）．

4．如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習2<2>）．

答：1．錯，這兩條直線還可能相交或異面．

2．錯，這兩條直線還可能異面，但不會相交．

3．錯，反例如圖1—107．

4．對．

（四）總結

本節課我們學習了兩個平面平行的定義；兩個平面的位置關系：平行或相交；兩個平面平行的判定．掌握兩個平面平行的判定的研究可以轉化為線線平行、線面平行的研究．

五、作業

P．38中習題五1、2、3．

第五篇：兩個平面平行的判定和性質(二)

Xupeisen110高中數學

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．兩個平面平行的性質．

2．兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

（二）能力訓練點

1．利用轉化的思維方法掌握和應用兩個平面平行的性質． 2．應用類比的方法理解并掌握兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1概念，會求兩個平行平面間的距離．

2．教學難點：掌握兩個平行平面的性質及其應用．

3面平行、線面垂直的研究．

三、課時安排

1．12兩個平面的位置關系及1．13安排為

2四、教與學過程設計

生：平行或相交．

b＝0，a∥αβ．

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（二）兩個平面平行的性質

師：今天我們研究兩個平面平行的性質．根據兩個平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面．1：若α∥

1．兩個平面平行的性質定理

已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．

求證：a∥b．

∵α∥β，∴α與β

∴a∥b．

（反證法．）

假設直線a不平行于直線b，因為直線a、b在同一個平面γ內，公共點P，即α，β相交，這與“α∥β”矛盾，所以假設不成立，即a∥b．

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師：這個結論可作為性質2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b．下面我們再看一個例題．

2．例題

例2一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面． 已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．

求證：l⊥β．

師提問：證明直線與平面垂直的方法有幾種？

證明：在平面β內任取一條直線b，平面γ與直線b的平面，設γ∩α ＝a．

因為直線bl⊥β．

3：若α∥β，l⊥α，則l⊥β．

師：象性質3這樣的，和兩個平行平面α，β同時垂直的直線l，叫做這兩個平行平面α，β的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分叫做這兩個平行平面的公垂線段．

如圖1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它們的公垂線段，那么AA＇∥BB＇，根據兩個平面平行的性質定理有A＇B＇∥AB，所以四邊形ABB＇A＇是平行四邊形，AA＇＝BB＇．

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由此，我們得到，兩個平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長度具有唯一性．與兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．兩個平行平面間距離實質上也是點到面或兩點間的距離，求值最后也是通過解三角形求得

4．練習（幻燈顯示）

（1）如圖1—114，平面α∥β，△ABC在β內，P是

間的一點，線段PA、PB、PC分別交α于A＇、B＇、C，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，則△

師提示：△ABC∽△A＇3∶2．

BB＇⊥β于AC與β成60°角，AC＝8cm，B＇

師提示：可求A＇C＝4cm，又可證AB⊥平面AA＇C，且四邊形 AA＇B＇B為矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，從而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，Xupeisen110高中數學

（3）（P．38中練習3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．

已知：如圖1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．

求證：AB＝CD．

證明：∵AB∥CD，∴過AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于ACBD∵α∥β，∴BD∥AC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD．

師：這個練習的結論可作為性質

4（三）總結

平行平面的四個性質．此外，經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行．4）．這節課學習的關鍵是利用兩個問題．

五、作業

P．38—3957、8．