第一篇：二項式定理及數學歸納法

二項式定理及數學歸納法

【真題體驗】

1．(2012·蘇北四市調研)已知an＝(12)n(n∈N*)

(1)若an＝a＋2(a，b∈Z)，求證：a是奇數；

(2)求證：對于任意n∈N*都存在正整數k，使得an＝k－1k.12233nn證明(1)由二項式定理，得an＝C0n＋C2＋Cn2)＋Cn(2)＋?＋Cn(2)，0244224所以a＝Cn＋C2n2)＋Cn(2)＋?＝1＋2Cn＋2Cn＋?，24因為2C2n＋2Cn＋?為偶數，所以a是奇數．

(2)由(1)設an＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，則(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n，當n為偶數時，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝kk－1，當n為奇數時，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝k－1k，綜上，對于任意n∈N*，都存在正整數k，使得an＝k－1＋k.2．(2010·江蘇，23)已知△ABC的三邊長都是有理數．

(1)求證：cos A是有理數；

(2)求證：對任意正整數n，cos nA是有理數．

b2＋c2－a

2(1)證明 設三邊長分別為a，b，c，cos A＝ 2bc

∵a，b，c是有理數，b2＋c2－a2是有理數，分母2bc為正有理數，又有理數集對于除法具有封閉性，b2＋c2－a2

∴必為有理數，∴cos A是有理數． 2bc

(2)證明 ①當n＝1時，顯然cos A是有理數；

當n＝2時，∵cos 2A＝2cos2A－1，因為cos A是有理數，∴cos 2A也是有理數；

②假設當n≤k(k≥2)時，結論成立，即cos kA、cos(k－1)A均是有理數． 當n＝k＋1時，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A

1＝cos kAcos A－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

211＝cos kAcos A－cos(k－1)Acos(k＋1)A 22

解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A

∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理數，∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理數，∴cos(k＋1)A是有理數． 即當n＝k＋1時，結論成立．

綜上所述，對于任意正整數n，cos nA是有理數． 【高考定位】

高考對本內容的考查主要有：

(1)二項式定理的簡單應用，B級要求；(2)數學歸納法的簡單應用，B級要求 【應對策略】

(1)對于二項式定理只要掌握二項式定理、通項、項的系數的求法，掌握賦值法即可．(2)數學歸納法主要是用來解決與自然數有關的命題．通常與數列、不等式證明等基礎知識和基本技能相結合來考查邏輯推理能力，要了解數學歸納法的原理，并能加以簡單的應用

.必備知識

1．二項式定理

n1n1nrrn

(1)二項式定理：(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb，上式中右邊的多項

－

－

式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中Crn(r＝1,2,3，?，n)叫做二項式系數，式中第r＋1項叫

nrr

做展開式的通項，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crb； na

－

(2)(a＋b)n展開式中二項式系數Crn(r＝1,2,3，?，n)的性質：

nr

①與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即Crn＝Cn；

－

12nn0213n1②C0.n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2；Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋?＝

2－

2．數學歸納法

運用數學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數都成立，兩步缺一不可．

必備方法

1．二項式定理

(1)求二項式定理中有關系數的和通常用“賦值法”．

nrr(2)二項式展開式的通項公式Tr＋1＝Crb是展開式的第r＋1項，而不是第r項． na

－

2．數學歸納法

(1)利用數學歸納法證明代數恒等式的關鍵是將式子轉化為與歸納假設的結構相同的形

式，然后利用歸納假設，經過恒等變形，得到結論．

(2)利用數學歸納法證明三角恒等式時，常運用有關的三角知識、三角公式，要掌握三角變換方法．

(3)利用數學歸納法證明不等式問題時，在由n＝k成立，推導n＝k＋1成立時，過去講的證明不等式的方法在此都可利用．

(4)用數學歸納法證明整除性問題時，可把n＝k＋1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5)解題時經常用到“歸納——猜想——證明”的思維模式．

命題角度一 二項式定理的應用

[命題要點](1)二項展開式中的二項式系數和展開式系數；(2)求二項展開式的特定項；(3)二項展開式的性質的應用．

【例1】?(2012·南師附中模擬)若二項式(1＋2x)n展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項．

[審題視點] 根據展開式中第6項與第7項的系數相等，得到關于n的方程，解得n，再寫出二項展開式系數，由二項式系數的性質得到結果．

解 ∵在(1＋2x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等，566r∴C5n2＝Cn2，∴n＝8，∴二項式系數是C8，r1rr1由Cr8≥C8且C8≥C8，得r＝4，－

＋

即展開式中二項式系數最大的項是第5項為C482.二項式系數的最大項與展開式系數的最大項不同，本題的第r＋1項的二項

rr

式系數是Cr8，而展開式系數卻是2C8，解題時要分清．

n

1【突破訓練1】(2012·鹽城模擬)已知數列{an}的首項為1，p(x)＝a1C0n(1－x)＋a2Cnx(1221n1n

－x)n1＋a3Cnx(1－x)n2＋?＋anCn(1－x)＋an＋1Cnnxnx

－

－

－

－

(1)若數列{an}是公比為2的等比數列，求p(－1)的值；

(2)若數列{an}是公比為2的等差數列，求證：p(x)是關于x的一次多項式．(1)解 法一 由題設知，an＝2n1.－

0n1n12n2n0

p(－1)＝1·C02＋2·C12＋22·C22＋?＋2n·Cn2 n(－1)·n(－1)·n(－1)·n(－1)·

－

－

0n12n2＝C02＋Cn(－2)1·2n1＋C22＋?＋ n(－2)·n(－2)·

－

－

nCn(－2)n·20＝(－2＋2)n＝0.n1法二 若數列{an}是公比為2的等比數列，則an＝2n1，故p(x)＝C0n(1－x)＋Cn(2x)(1

－

2n21n1nnn

－x)n1＋C2＋?＋Cn(1－x)＋Cnn(2x)(1－x)n(2x)n(2x)＝[(1－x)＋2x]＝(1＋x).－

－

－

－

所以p(－1)＝0.(2)證明 若數列{an}是公差為2的等差數列，則an＝2n－1.n1n1n1n1n

p(x)＝a1C0＋?＋anCnx(1－x)＋an＋1Cnn(1－x)＋a2Cnx(1－x)nx

－

－

－

n1n122n＝C0＋(1＋4)Cnx(1－x)n2＋?＋(1＋2n)Cnn(1－x)＋(1＋2)Cnx(1－x)nx

－

－

nn12n2n1n122＝[C0＋C2＋?＋Cn＋2Cnx(1－x)nn(1－x)＋C1nx(1－x)nx(1－x)nx]＋2[Cnx(1－x)

－

－

－

－

n＋?＋Cnnx]．

由二項式定理知，0n12n2nn

Cn(1－x)n＋C1＋C2＋?＋Cnnx(1－x)nx(1－x)nx＝[(1－x)＋x]＝1.－

－

n！?n－1?！－1因為kCk＝k＝nnCknn－1，k！?n－k?！?k－1?！?n－k?！

n122n所以C1＋2Cnx(1－x)n2＋?＋nCnnx(1－x)nx

－

－

n12n21n＝nC0＋nC1＋?＋nCnn－1x(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

n1n21n1＝nx[C0＋C1＋?＋Cn] n－1(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

－

＝nx[(1－x)＋x]n1＝nx，－

所以p(x)＝1＋2nx.即p(x)是關于x的一次多項式．

命題角度二 數學歸納法的應用

[命題要點](1)證明代數恒等式；(2)證明不等式問題；(3)證明三角恒等式；(4)證明整除性問題．

xxx

1＋?1＋??1＋的展開式中，x的系數為an，x2的【例2】?(2012·南京模擬)記??2?2?2系數為bn，其中n∈N*.(1)求an；

pq1

1?1＋，對n∈N*，n≥2恒成立？證明(2)是否存在常數p，q(p＜q)，使bn＝?3?2?2你的結論．

[審題視點] 可以先用特殊值代入，求出p，q得到猜想，再用數學歸納法證明猜想的正確性．

1111

解(1)根據多項式乘法運算法則，得an＝1－222

2pq171

1＋??1＋，解得p＝－2，q＝－1.(2)計算得b2b3＝.代入bn＝?8323?2??21111121

1－＝－n≥2且n∈N*)下面用數學歸納法證明bn1－2－??3??232341

①當n＝2時，b2＝

81121

②設n＝k時成立，即bk＝，323

4則當n＝k＋1時，a112111

bk＋1＝bk＋＝＋＋＋－＋

32342221121

＝＋＋＋.3234由①②可得結論成立．

運用數學歸納法證明命題P(n)，由P(k)成立推證P(k＋1)成立，一定要用到

條件P(k)，否則不是數學歸納法證題．

1111【突破訓練2】(2012·泰州中學調研)已知多項式f(n)＝5＋n4n3n.52330(1)求f(－1)及f(2)的值；

(2)試探求對一切整數n，f(n)是否一定是整數？并證明你的結論． 解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用數學歸納法證明，對一切正整數n，f(n)是整數． ①當n＝1時，f(1)＝1，結論成立．

1111

②假設當n＝k(k≥1，k∈N)時，結論成立，即f(k)＝k5＋k4＋3－k是整數，則當n

523301111

＝k＋1時，f(k＋1)＝(k＋1)5＋k＋1)4(k＋1)3－(k＋1)

52330

51423324

5C05k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5＝

4***C0C04k＋C4k＋C4k＋C4k＋C43k＋C3k＋C3k＋C

3＋－

(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.30

根據假設f(k)是整數，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1顯然是整數． ∴f(k＋1)是整數，從而當n＝k＋1時，結論也成立． 由①、②可知對一切正整數n，f(n)是整數．(Ⅰ)當n＝0時，f(0)＝0是整數

(Ⅱ)當n為負整數時，令n＝－m，則m是正整數，由(Ⅰ)知f(m)是整數，111

1所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋－m)4＋(－m)3－－m)

523301111

5＋m4－m3＋＝－f(m)＋m4是整數．

52330綜上，對一切整數n，f(n)一定是整數．

20．證明步驟要完整，變形要有依據

一、證明的兩個步驟缺一不可 【例1】? 求證：2n＞2n＋1(n≥3)． 解 用數學歸納法證明：

第一步：(1)n＝3時，23＝8,2×3＋1＝7，不等式2n＞2n＋1(n≥3)成立．

第二步：(2)假設n＝k(k≥3，且k∈N*)時，不等式成立，即2k＞2k＋1，則2k1＝2·2k＞

＋

2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2k1＞2(k＋1)＋1.所以當n＝k＋1時也成立．

＋

老師叮嚀：不驗證初始值的正確性就沒有歸納的基礎，沒有運用歸納假設的證明不是數學歸納法，證明的兩個步驟缺一不可.二、正確寫出從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時應添加的項

【例2】? 用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n·1·3·?·(2n－1)，從k到k＋1，左邊需要增乘的代數式為________．

解析 當n＝k時，左邊＝(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)，當n＝k＋1時，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]·?·[(k＋1)＋(k＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)?(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)?k＋k＋1??k＋k＋2?＝(k＋1)(k＋2)?(k＋k)

k＋1＝(k＋1)(k＋2)?(k＋k)[2(2k＋1)]，所以從k到k＋1，左邊需要增乘的代數式為2(2k＋1)． 答案 2(2k＋1)

老師叮嚀：要關注從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時兩個式子之間的實質區別，不能只看表面現象，正確寫出從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時應添加的項，才能進行正確的變形．如本題中就不能只添加k＋1＋k＋1＝2k＋2.

第二篇：2014高考數學全面突破 二項式定理

11.3二項式定理

考情分析

1．能用計數原理證明二項式定理．

2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．

基礎知識

1．二項式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式．

其中的系數Crn(r＝0,1，?，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Crb.nana

2．二項展開式形式上的特點

(1)項數為(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為(3)字母an逐項減1直到零；字母b冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.－11(4)二項式的系數從Cn，一直到Cnn3．二項式系數的性質 －(1).(2)增減性與最大值： 二項式系數Ckn，當n＋1k＜2時，二項式系數逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；

n當n是偶數時，中間一項C2取得最大值；

n－1n＋1當n是奇數時，中間兩項C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二項式系數和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

2注意事項

n－rr1.運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相na

同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項

展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只與n和r有關，恒為正，后者還與a，b有關，可正可負．

2.二項式定理可利用數學歸納法證明，也可根據次數，項數和系數利用排列組合的知識推導二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發展和延續．

3.(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數等．

(2)展開式的應用：利用展開式①可證明與二項式系數有關的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等．

4.(1)對稱性；

(2)增減性；

(3)各項二項式系數的和； 以上性質可通過觀察楊輝三角進行歸納總結．

題型一 二項展開式中的特定項或特定項的系數

13【例1】已知(3x－)n的展開式中各項系數之和為256，則展開式中第7x

項的系數是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各項系數之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項的26系數為C68×3×(－1)＝252.?a?【變式1】若?x－?6展開式的常數項為60，則常數a的值為________． x??

?a?6－r6－3r解析 二項式?x6展開式的通項公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，當r＝2時，Tr＋1為常數項，即常數項是C26a，根據已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

題型二 二項式定理中的賦值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋?＋a10(1－x)10，則a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8時，第9項的系數．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故選A.【變式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.題型三 二項式的和與積

2【例3】二項式(x＋x)(1－x)4的展開式中x的系數是________．

答案：

32解析：利用分步計數原理與組合數公式，符合題目要求的項有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數為3.?2【變式3】x?x－x7的展開式中，x4的系數是________(用數字作答)． ??

?27?2737解析 原問題等價于求?x－x的展開式中x的系數，?x－x的通項Tr＋1＝Cr7x????

－r?2r7－2r?－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數為(－2)2C27x7＝84，即??

x???x－2x7?的展開式中x4的系數為84.答案 84

重難點突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值為2187.① ②

第三篇：二項式定理教學設計

《二項式定理》教學設計

1．教學目標

知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用．

過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養成合作的意識，獲得學習和成功的體驗．

情感、態度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結構特點，體驗數學公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數學家做出的巨大貢獻．

2.教學過程

探索研究二項式定理的內容

從學生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

三次方的讓學生按照多項式乘法進行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？

（分步乘法計數原理）

0312233(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

每一項中字母a，b的指數和相同,項的個數有n?1項

00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數是C4； 11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數是C4； 22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數是C4； 33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數是C4； 444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數是C4； 0413222344因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

歸納、猜想(a?b)n?

0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

設問：

（1）將(a?b)n展開，有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數有什么特點？（3）字母a，b指數和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數？

教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調：（1）項數規律：n?1項；

（2）次數規律：字母a，b的指數和為n，字母a的指數由n遞減至0，同時，字母b的指數由0遞增至n；

（3）二項式系數規律：下標為n，上標由0遞增至n；

kn?kk（4）通項：Tk?1?Cnab指的是第k?1項，不是第k項，該項的二項式系k數是Cn

板書以上幾點 3.例題處理

51??例1：（1）在?2x??的展開式中

x??（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。

（3）請指出展開式的第4項的系數，二項式系數。

3（4）求展開式中含 x 的項。

課件展示解題過程

自主探究：在?1?2x?的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數和系數

7是什么？

獨立完成，爬黑板

01合作探究：設n為自然數，化簡Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

kn

分組討論，交流想法

4.歸納小結

學生的學習體會與感悟； 教師強調：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發現事物規律的重要方法之一，要養成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣．

（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數和為n，a的指數從n遞減至0同時b的指數由0遞增至n，體現數學的對稱美、和諧美．二項式系數還有哪些規律呢？希望同學們在課下繼續研究、能夠有新的發現． 5.作業（1）鞏固型作業：

課本36頁習題1.3 A組 1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業：（查閱相關資料）查閱有關楊輝一生的主要成就。

012探究二項式系數Cn,Cn,Cn,n 有何性質.,Cn3

第四篇：二項式定理教學設計

二項式定理（第一課時）

一、教學目標： 1．知識技能：

（1）理解二項式定理的推導-------分步乘法計數原理的使用（2）掌握二項式定理極其簡單應用 2．過程與方法

培養學生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式

二、教學重點、難點

重點：二項式定理的發現、理解和初步應用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區別

三、教學方法：師生互動，講練結合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學過程

(一)創設問題情境：

今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？ 前面兩個問題全班所有學生都能回答出來，最后一個問題大家都很迷惑，覺得很復雜，今天我們學習的這節課就是告訴我們如何快速準確知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾。解決這一問題我們應用的就是二項式定理。

(二)引出問題：二項式定理研究的是(a?b)n的展開式。

我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=?(a?b)4=?

(a?b)100=?

更進一步：(a?b)n=？(1)對(a?b)2展開式的分析:(a?b)2?(a?b)(a?b)展開后其項的形式為：a2,ab,b2

00考慮b，每個都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數為c2 1恰有1個取b的情況有c12種，則ab前的系數為c2 22恰有2個取b的情況有c2 種，則b2前的系數為c2 0222所以(a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(a?b)3的展開式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)① 項：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系數：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展開式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過程，推導(a?b)4的展開式

0432223344(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0312233與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

一起比較猜想：

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請分析(a?b)n的展開過程，證明猜想

...ab

...b ②系數：C

C

...C

...C ①項：

an

an?1b

0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na(三)二項式定理的分析

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na①項數：共有n?1項；

②次數：各項的次數都是n；

k③二項式系數：Cn(k??0,1,2,...n?)

kn?kk④ 二項展開式的通項：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習1.寫出(1?x)n得展開式.2.寫出(a?b)n得展開式.（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開式.（1）強調：對于形式較復雜的二項式，應先化簡再展開.（2）針對(2x?1x)6得展開式，提出下列問題

思考1：展開式的第二項的系數是多少？

思考2：展開式的第二項的二項式系數是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第二項？ 思考4：你能否直接求出展開式的常數項？ 引出例2 例2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

1??

（2）?x??的展開式中x3的系數

x??

（六）小結

（七）作業（提前板書）1.P374,5題

2.思考：8100天后星期幾？

第五篇：二項式定理教學設計

二項式定理

一、教學目標

1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

2．過程與方法：培養學生觀察、歸納、猜想能力，發現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

3．情感態度和價值觀：培養學生勇于探索，勇于創新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

重點：二項式定理的發現、理解和初步應用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數與該項的系數的區別

三、教學過程

創設問題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題

1?a?b?d??c?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

由于這一節是在學生學習了兩個計數原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

問題

2?a?b??b的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構成??a的？有規律嗎？

學生根據乘法展開式也很快得出結論 問題

3?a?b???b?a??a2b?a?b??的3原始展開式有多少項？經合并后又只能有幾項？是哪幾項？

學生仍然根據乘法公式算出了答案 問題

4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開式有多少項？

44問題

5你能準確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經合并后，又只能有哪幾項？

此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現思維的烘熱）

啟發類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？ 在4個括號（袋子）中 問題6

其個數，為何恰好應為該項的系數？

n?rr問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，ab的系數應該是多少？有理由嗎？ n問題8

那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想 學生們快速地說出

n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

我們數學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

思路：證明中主要運用了計數原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數是怎么來的？

bk的形式，k?0,1,2,?,n

kan?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kan?kbk，因此，該項的系數為Cn

定義：一般地，對于任意正整數n，上面的關系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

kn練習：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

問題9 二項式定理展開式中項數、指數、系數特點是什么？哪一項最有代表性

公式特征：

（1）項數：共有n?1項

（2）指數規律：

① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n

kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

012knk（4）二項式系數：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項式系數

現在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數是多少，就是星期幾 老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以

n8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數，因此余數為Cn?1，故100應為星期四。

1??例

1求?2x??的展開式

x??方法一：直接展開

1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成?2x2?x2?

??66方法二：先合并化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數項是多少？ 變式二：展開式中的第3項是多少？

變式三：展開式中的第3項的系數是多少？ 變式四：展開式中的第3項二項式系數是多少？

注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與a,b無關；系數與a,b有關。

例

2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數和第4項的二項式系數

1??

3（2）?x??的展開式中x的系數和中間項

x??例3

求(x?a)12的展開式中的倒數第4項 小結：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區別二項式系數、項的系數

（3）掌握用通項公式求二項式系數、項的系數及項。作業：P37 4，5 教學反思：本節課先用今天星期幾的問題創設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。