第一篇：初三數學T05一元二次方程的概念與解法

一元二次方程的概念與解法

【知識要點】

1． 一元二次方程的概念

只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：

ax2?bx?c?0（a?0）是一元二次方程的一般形式.3．一元二次方程的解法主要有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法.4．解一元二次方程，直接開平方法是一種特殊方法，配方法與求根公式法是一般方法，對于任何一元二次方程都可使用。解題的關鍵是要根據方程系數的特點及方程的不同形式，選擇適當的方法，使解法簡捷．

【經典例題】

例1．判斷下列方程是不是一元二次方程：

（1）x2?y?1（2）

（5）?a?1?x2?k?1（a、k是常數）（6）?x?1?x2?x?1?x2?2x?1?x?1?

例2．用直接開方法解下列方程:

(1)2x?8?0

例3．用配方法解下列方程:

(1)x?6x?16?0

例4 用公式法解下列方程:

(1)2x?3x?1?022242?12x?x?3xy?1?0（3）（4）2x?1????(2)(x?5)2?36?0(3)(x?4)(x?4)?8(3)2x?5x?1 2(2)x?2x?3?0

2例5用因式分解法解下列方程：(1)2x?5x?2?0

例6用恰當的方法解下列方程：(1)(4x?2)2?x(2x?1)

例7解關于x的一元二次方程：(1)x?2(m?3)x?m?6m?8?0

(2)(x?3)(x?7)??9(3)(2y?1)2?8(2y?1)?15?0

(2)x2?(?2)x?2?0

(2)(m?1)x?3x?m?2?0(m?1)

【經典練習】

一、選擇題

1.下列方程中,常數項為零的是()

A.x+x=1B.2x-x-12=12；C.2(x-1)=3(x-1)D.2(x+1)=x+2 2．下列方程是一元二次方程的是（）.A．3x?2y?1C．4x?

B.?5x?3x?1?0 D.ax?bx?c?0

?3x

3．已知x?1是一元二次方程x?2mx?1?0的一個解，則m的值是（）

A．1 B.0

C.0或

1D.0或-1

4.用配方法解關于x的一元二次方程x?px?q?0時，此方程可變形為（）.p?p2?4q?

A．?x???

2?4?

p?4q?p2?

B.?x???

2?4?

p?p2?4q?

C．?x???

24??

p?4q?p2?

D.?x???

24??

12x32

25.下列方程:①x=0,②2-2=0,③2x+3x=(1+2x)(2+x),④3x

-8x+ 1=0中,一元二次方程的個

xx

數是()

A.1個B2個C.3個D.4個

6.把方程（+(2x-1)=0化為一元二次方程的一般形式是()

A.5x-4x-4=0B.x-5=0C.5x-2x+1=0D.5x-4x+6=0

二、填空題

1．方程x?x?6??16的解為.(x?1)2

5?3x?化為一元二次方程的一般形式是________,它的一次項系數是______.2.方程

23.如果2x+1與4x-2x-5互為相反數,則x的值為________.4．方程：?x?1??x?2??x?3??0的根是.三、解答題

1．用適當的方法解方程.（1）4?2x?1??9（2）x?2x?1（3）?x?1??3x?x?1?

(4)3y+1=;(5)(x-a)=1-2a+a(a是常數)（6）?

2．用配方法證明：代數式?3x?x?1的值不大于

?1?

x?1??x?2??16 ?2?

.12

3．閱讀材料，并解答后面的問題：

材料：在解方程x2?1?5x2?1?4?0時，我們將x?1視為一個整體，然后設x2?1?y，這樣，原方程可化為y2?5y?4?0①；解①得y1?1,y2?4.當y?1時，即x?1=1，解得x??5 綜合得：原方程的解是：x?解答下列問題：

（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用方法，達到降次的目的。（2）應用上述解題方法解方程y4?y2?6?0.??

??

2,x2??2,x3?,x4??.4.已知關于x的一元二次方程x+mx+n=0的一個解是2,另一個解是正數, 而且也是方程(x+4)-52=3x的解,你能

求出m和n的值嗎?

5.你能用所學知識解下面的方程嗎?試一試：2x+5│x│-12=0.作業

1．用恰當的方法解方程（1）?x?3??x?1??6x?4

（3）．x2?6x?0．（4）3x?x?1??2?2x

（5）(2t?1)?5(2t?1)?6?0

2．用配方法證明：x?4y?2x?4y?3的值不小于1.（2）x2?2?5x?2?0

??

（6）x?x?2?k(x?2x)?0(k??1)

第二篇：一元二次方程的解法小結

一元二次方程的解法小結

【學習目標】

1.會選擇利用適當的方法解一元二次方程；

2.體驗解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．

【前置學習】

一、自主學習（自主探究）：

1.獨立思考·解決問題

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解決問題

通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？

知識匯總

（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即

．

（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表：

方法名稱

理論根據

適用方程的形式

直接開平方法

平方根的定義

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0

（3）.一般考慮選擇方法的順序是：

法、法、法或

法

二、疑難摘要：

【學習探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內說說通過自主學習，你學會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）

2.班級展示與教師點撥：

展示1：用直接開方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思與總結：本節課你學會了什么？你有哪些收獲與體會？

【自我檢測】

選擇適當的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程解法教學反思

用公式法解一元二次方程教學反思

張春元

通過本節課的教學，使我真正認識到了自己課堂教學的成功與失敗。對我今后課堂教學有了一定引領方向有了很大的幫助。下面我就談談自己對這節課的反思。

本節課的重點主要有以下3點：

1.找出a,b,c的相應的數值

2.驗判別式是否大于等于0

3.當判別式的數值符合條件,可以利用公式求根.在講解過程中,我沒讓學生進行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接觸求根公式,學生可以說非常陌生,由于過高估計學生的能力,結果出現錯誤較多.1、a,b,c的符號問題出錯,在方程中學生往往在找某個項的系數時總是丟掉前面的符號

2、求根公式本身就很難,形式復雜,代入數值后出錯很多.其實在做題過程中檢驗一下判別式著一步單獨挑出來做并不麻煩,直接用公式求值也要進行,提前做著一步在到求根公式時可以把數值直接代入.在今后的教學中注意詳略得當,不該省的地方一定不能省,力求收到更好的教學效果

3、板書不太理想。板書可以說在課堂教學也起關鍵作用，它可以幫學生溫習本課的內容，而我許多本該板書的內容全部反映在大屏幕上，在繼續講一下個內容時，這些內容也就不會再出現，只給學生瞬間的停留，這樣做也有欠妥當。

4、本節課沒有激情，學習的積極性調動不起來，對學生地鼓勵性的語言過于少，可以說幾乎沒有。

第四篇：初三數學一元二次方程

《一元二次方程的解》

知識回顧：

1、整式方程中只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的方程叫做一元二次方程。

2、一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）的形式，我們稱之為一元二次方程的一般形式。

探究新知：

認識了一元二次方程，接下來我們就要探求一元二次方程的解。

方程解的定義是怎樣的呢？

能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫方程的解。

問題1：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽？

解：設邀請了x個隊參加比賽，根據題意得：

1/2x（x-1）=28

即：x2-x=56

當x=8時，x2-x=56，所以，x=8是x2-x=56的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。思考：

你能否說出下列方程的解？

（1）x2-36=0（2）x2+36=0（3）（x-6）2=0

練習：

1、下面哪些數是方程x2-x-6=0的根？

-4-3-2-1012342、你能寫出方程x2-x=0的根嗎？（即：平方后是它本身的數是哪些？）

例題講解

例1：已知關于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，則a的值為（）。

A、1B、-1C、1或-1D、0

例2：關于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2-4=0有一根為0，則2m2-4m+3的值為多少？

例3：已知m，n都是方程x2+2006x-2008=0的根，試求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。

練習：

1、若a+b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

2、若a-b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

3、若4a+2b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

4、根據下表的對應值，試判斷一元二次方程ax2+bx+c=0的一解的范圍是（）

A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.26

小結：

1、認識了一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、會檢驗一個數是不是一個一元二次方程的根。

3、能根據一元二次方程的根的定義代入方程求出待定字母的取值。

第五篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識點回顧：

定義：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結：

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉化思想”．由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達到降次轉化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級上學期學完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側移項到左側得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比

較容易發生錯誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當a=-23b時，原式=-2b

=3，當a=2b時，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）

看為一個數y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉化為y?的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數為1；（3）常數項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數化為一；常數要往右邊移；一次系數一半方；兩邊加上最相當 例1．用配方法解下列關于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當y=3時，6x+7=36x=-4x=-

當y=-3時，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時,代數式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．如果不為零的n是關于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項式x2+20x+96分解因式的結果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實數解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個完全平方式，所得的方程是． 9．代數式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設x+y=z，則原方程可變為_______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0