第一篇：《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案

三亞市林旺中學

陳毓群

教學目標

1．初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如的方程； 2．

初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數字系數的一元二次方程； 3．

掌握一元二次方程的求根公式的推導，能夠運用求根公式解一元二次方程； 4．

會用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通過對一元二次方程解法的教學，使學生進一步理解“降次”的數學方法，進一步獲得對事物可以轉化的認識。

教學重點和難點

重點：一元二次方程的四種解法。難點：選擇恰當的方法解一元二次方程。教學建議：

一、教材分析：

1．知識結構：一元二次方程的解法

2．重點、難點分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數的平方或含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負數，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉化為 的形式來求解。配方時要注意把二次項系數化為1和方程兩邊都加上一次項系數一半的平方這兩個關鍵步驟。

（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點： 1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒有公因數，且二次項系數為正整數，這樣代入公式計算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項系數、、代入公式時，注意它們的符號。3）當 時，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式 1 分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。

我們共學習了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當的方法求解。

二、教法建議

1． 教學方法建議采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導學生深入思考問題，有利于培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．

2.注意培養應用意識．教學中應不失時機地使學生認識到數學源于實踐并反作用于實踐．

教學設計示例 教學目標

1.使學生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以轉化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;2.在理解的基礎上，牢牢記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方”；

3.在數學思想方法方面，使學生體會“轉化”的思想和掌握配方法。教學重點和難點

重點：掌握用配方法解一元二次方程。難點：湊配成完全平方的方法與技巧。教學過程 設計 一 復習

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我們已經學會了它們的解法。

特別是結合換元法，我們還會解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4(讓學生說出過程)。

解：方程兩邊開方，得

x-3=±2，移項，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.(并代回原方程檢驗，是不是根)2

4.其實(x-3)2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)(x-3)2=4，① x2-6x+9=4，② x2-6x+5=0.③ 二 新課 1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉過來，可以發現，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉化為(x+m)2=n的形式。這個轉化的關鍵是在方程左端構造出一個未知數的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通過觀察，發現規律

問：在x2+2x上添加一個什么數，能成為一個完全平方(x+?)2。

(添一項+1)即

(x2+2x+1)=(x+1)2.練習，填空：

x2+4x+()=(x+)2;

y2+6y+()=(y+)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。總結規律：對于x2+px,再添上一次項系數一半的平方，就能配出一個含未知數的一個次式的完全平方式。即.+()④

(讓學生對④式的右邊展開，體會括號內第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次 項，括號內第二項的平方，恰是配方時所添的常數項)

項固練習(填空配方)

總之，左邊的常數項是一次項系數一半的平方。

問：如果左邊的一次項系數是負數，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

鞏固練習(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;

x2-(m+n)x+()=(x-)2.3

第二篇：一元二次方程的解法小結

一元二次方程的解法小結

【學習目標】

1.會選擇利用適當的方法解一元二次方程；

2.體驗解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．

【前置學習】

一、自主學習（自主探究）：

1.獨立思考·解決問題

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解決問題

通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？

知識匯總

（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即

．

（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表：

方法名稱

理論根據

適用方程的形式

直接開平方法

平方根的定義

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0

（3）.一般考慮選擇方法的順序是：

法、法、法或

法

二、疑難摘要：

【學習探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內說說通過自主學習，你學會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）

2.班級展示與教師點撥：

展示1：用直接開方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思與總結：本節課你學會了什么？你有哪些收獲與體會？

【自我檢測】

選擇適當的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程解法教學反思

用公式法解一元二次方程教學反思

張春元

通過本節課的教學，使我真正認識到了自己課堂教學的成功與失敗。對我今后課堂教學有了一定引領方向有了很大的幫助。下面我就談談自己對這節課的反思。

本節課的重點主要有以下3點：

1.找出a,b,c的相應的數值

2.驗判別式是否大于等于0

3.當判別式的數值符合條件,可以利用公式求根.在講解過程中,我沒讓學生進行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接觸求根公式,學生可以說非常陌生,由于過高估計學生的能力,結果出現錯誤較多.1、a,b,c的符號問題出錯,在方程中學生往往在找某個項的系數時總是丟掉前面的符號

2、求根公式本身就很難,形式復雜,代入數值后出錯很多.其實在做題過程中檢驗一下判別式著一步單獨挑出來做并不麻煩,直接用公式求值也要進行,提前做著一步在到求根公式時可以把數值直接代入.在今后的教學中注意詳略得當,不該省的地方一定不能省,力求收到更好的教學效果

3、板書不太理想。板書可以說在課堂教學也起關鍵作用，它可以幫學生溫習本課的內容，而我許多本該板書的內容全部反映在大屏幕上，在繼續講一下個內容時，這些內容也就不會再出現，只給學生瞬間的停留，這樣做也有欠妥當。

4、本節課沒有激情，學習的積極性調動不起來，對學生地鼓勵性的語言過于少，可以說幾乎沒有。

第四篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)

連云港市新海實驗中學數學教案

4.2.3一元二次方程的解法

主備 單寶珍審核 九年級數學組 時間 2010-10-21

一、教學目標：

1．使學生能熟練地用公式法解一元二次方程

2．讓學生體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b－4ac≥0

3．讓學生在探索和應用求根公式中，進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物主義觀點。

4．使學生能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況 2

二、教學重點

1.掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程

2.能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況

3.在理解根的判別式的過程中，體會嚴密的思維過程

三、教學難點

1.求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時，代入求根公式常出符號錯誤。

2.在理解根的判別式的過程中，體會嚴密的思維過程

四、教學過程

（一）自學引導

課前發放學案布置學生完成“自學導航”，通過自學體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b－4ac≥0，能用公式法解一元二次方程。

（二）交流展示

1.讓學生在組長的帶領下交流學案“自學導航”部分內容，并進行展示。（通過交流、展示、教師點撥要達到明白用公式法解一元二次方程的一般步驟，能用“公式法”解一元二次方程的目的。）

2．k時，方程x?kx?4?0有兩個相等的實數根？求這時方程的根。

（三）精講點撥

例：課本P90例題

（在學生已經自學的基礎上，教師與學生共同歸納公式法解一元二次方程的一般步驟，強調解題格式的規范性和檢查的必要）22

五、矯正鞏固：（見學案）

六、教后反思：

第五篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識點回顧：

定義：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結：

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉化思想”．由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達到降次轉化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級上學期學完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側移項到左側得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比

較容易發生錯誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當a=-23b時，原式=-2b

=3，當a=2b時，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）

看為一個數y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉化為y?的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數為1；（3）常數項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數化為一；常數要往右邊移；一次系數一半方；兩邊加上最相當 例1．用配方法解下列關于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當y=3時，6x+7=36x=-4x=-

當y=-3時，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時,代數式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．如果不為零的n是關于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項式x2+20x+96分解因式的結果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實數解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個完全平方式，所得的方程是． 9．代數式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設x+y=z，則原方程可變為_______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0