第一篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)

連云港市新海實驗中學數學教案

4.2.3一元二次方程的解法

主備 單寶珍審核 九年級數學組 時間 2010-10-21

一、教學目標：

1．使學生能熟練地用公式法解一元二次方程

2．讓學生體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b－4ac≥0

3．讓學生在探索和應用求根公式中，進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物主義觀點。

4．使學生能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況 2

二、教學重點

1.掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程

2.能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況

3.在理解根的判別式的過程中，體會嚴密的思維過程

三、教學難點

1.求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時，代入求根公式常出符號錯誤。

2.在理解根的判別式的過程中，體會嚴密的思維過程

四、教學過程

（一）自學引導

課前發放學案布置學生完成“自學導航”，通過自學體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b－4ac≥0，能用公式法解一元二次方程。

（二）交流展示

1.讓學生在組長的帶領下交流學案“自學導航”部分內容，并進行展示。（通過交流、展示、教師點撥要達到明白用公式法解一元二次方程的一般步驟，能用“公式法”解一元二次方程的目的。）

2．k時，方程x?kx?4?0有兩個相等的實數根？求這時方程的根。

（三）精講點撥

例：課本P90例題

（在學生已經自學的基礎上，教師與學生共同歸納公式法解一元二次方程的一般步驟，強調解題格式的規范性和檢查的必要）22

五、矯正鞏固：（見學案）

六、教后反思：

第二篇：《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案

三亞市林旺中學

陳毓群

教學目標

1．初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如的方程； 2．

初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數字系數的一元二次方程； 3．

掌握一元二次方程的求根公式的推導，能夠運用求根公式解一元二次方程； 4．

會用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通過對一元二次方程解法的教學，使學生進一步理解“降次”的數學方法，進一步獲得對事物可以轉化的認識。

教學重點和難點

重點：一元二次方程的四種解法。難點：選擇恰當的方法解一元二次方程。教學建議：

一、教材分析：

1．知識結構：一元二次方程的解法

2．重點、難點分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數的平方或含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負數，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉化為 的形式來求解。配方時要注意把二次項系數化為1和方程兩邊都加上一次項系數一半的平方這兩個關鍵步驟。

（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點： 1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒有公因數，且二次項系數為正整數，這樣代入公式計算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項系數、、代入公式時，注意它們的符號。3）當 時，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式 1 分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。

我們共學習了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當的方法求解。

二、教法建議

1． 教學方法建議采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導學生深入思考問題，有利于培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．

2.注意培養應用意識．教學中應不失時機地使學生認識到數學源于實踐并反作用于實踐．

教學設計示例 教學目標

1.使學生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以轉化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;2.在理解的基礎上，牢牢記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方”；

3.在數學思想方法方面，使學生體會“轉化”的思想和掌握配方法。教學重點和難點

重點：掌握用配方法解一元二次方程。難點：湊配成完全平方的方法與技巧。教學過程 設計 一 復習

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我們已經學會了它們的解法。

特別是結合換元法，我們還會解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4(讓學生說出過程)。

解：方程兩邊開方，得

x-3=±2，移項，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.(并代回原方程檢驗，是不是根)2

4.其實(x-3)2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)(x-3)2=4，① x2-6x+9=4，② x2-6x+5=0.③ 二 新課 1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉過來，可以發現，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉化為(x+m)2=n的形式。這個轉化的關鍵是在方程左端構造出一個未知數的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通過觀察，發現規律

問：在x2+2x上添加一個什么數，能成為一個完全平方(x+?)2。

(添一項+1)即

(x2+2x+1)=(x+1)2.練習，填空：

x2+4x+()=(x+)2;

y2+6y+()=(y+)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。總結規律：對于x2+px,再添上一次項系數一半的平方，就能配出一個含未知數的一個次式的完全平方式。即.+()④

(讓學生對④式的右邊展開，體會括號內第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次 項，括號內第二項的平方，恰是配方時所添的常數項)

項固練習(填空配方)

總之，左邊的常數項是一次項系數一半的平方。

問：如果左邊的一次項系數是負數，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

鞏固練習(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;

x2-(m+n)x+()=(x-)2.3

第三篇：2.3一元二次方程的應用教案

2．3一元二次方程的應用（1）教案

一、教材分析

1、教材地位和作用

本節課是浙教版八年級數學下冊第二章《一元二次方程》的內容，這是一個理論聯系實際的好教材，充分體現了數學的應用價值。之前，學生已學習了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了應用波利亞解題表列一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等解應用題的能力，本節課將進一步學習問題解決的方法與步驟，它是前一部分知識的應用與鞏固，也為今后學習二次函數等知識奠定基礎。學好本節知識，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，邏輯思維能力、信息遷移能力以及數學方法的應用能力等。

2、教學目標

數學教學應以學生的發展為本，培養能力為重，綜上分析及教學大綱要求，本課時教學目標制定如下：

知識目標：會分析實際應用問題中的數量關系，找出等量關系，并列一元二次方程解應用題；

能力目標：聯系實際，經歷“問題情境-----建立模型------求解-------解釋與應用”的過程，培養學生化實際問題為數學問題的能力及分析問題、解決問題的能力;

情感目標：結合實踐與探索，培養學生合作互助的精神，體驗探索成果的喜悅.3、教學重點和難點

由于本節內容涉及的實際應用問題都是通過列一元二次方程解決的，所 以確定教學重點是列一元二次方程解應用題。要列出一元二次方程的關鍵是找出等量關系，從實際問題中挖掘出相等關系需要較強的聯系實際能力、分析能力，因此本節的教學難點是尋找等量關系列方程，例2涉及的是現實生活中的增長率問題，數量關系復雜，學生不容易理解，它是教學的又一難點。

二、教學方法與手段：

本節課利用多媒體輔助教學，擴大課堂容量，提高課堂效率。根據教材內容和學生的認知特點，采用邊分析、邊討論，層層設疑、講練結合的啟發式教學方法，例題選擇由淺入深，從學生熟悉的實際問題開始，將實際問題“數學化”，建立方程模型，引導學生自主探索、發現、歸納，充分調動學生的積極性和主動性。

三、學法指導： “素質教育”要求學生由“學會”轉為“會學”，正確的學法指導是實現這一轉化的重要手段，根據本節課的內容特點及學生的心理特征，在學法上，極力倡導新課程的自主探究、合作交流的學習方法。通過創設豐富的實際背景，使數學回到生活，鼓勵學生積極思考，勇于鉆研，敢于創新，產生強烈的求知欲。

四、教學程序：

1.創設情境，提出問題

創設學生感興趣的問題情境，使學生能夠置身于問題情境中，在生動活潑的環境下積極思考，解決問題：

古時候，一個農夫拿者一根竹竿進城，可是豎著拿，竹竿比城門高3尺，橫著拿，竹竿比城門寬6尺，進不去，結果沿著城門的兩個對角斜著拿，剛好進去，聰明的同學，你知道竹竿有多長嗎？

為了讓學生能更清楚地理解題意，創設了以下幾個階梯性小問題：

設竹竿為x尺，則（1）城門高________尺；

（2）城門寬________尺；

（3）城門的高、寬、兩個對角之間的長度滿足什么關系？

通過引例，引導學生回顧總結列方程解應用題的基本步驟，在新舊知識之間 構建橋梁，讓學生明確應用方程、不等式或函數解決實際應用問題時關鍵是以下三個步驟：①設元；②用字母表示相關的量；③列關系式 2.例練應用，解決問題

列一元二次方程解應用題在現實生活中有著廣泛的應用，學生普遍認為列方程解應用題難，其原因之一是題目閱讀量大，數量多，關系比較復雜且隱蔽，所以在教學時首先應讓學生消除畏難情緒，說明題目的一部分是背景材料，最后的一部分往往和設元有關，核心部分就是數量之間的關系。接著出示例1：

某花圃用花盆培育某種花苗,經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系.每盆植入3株時,平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元,每盆應該植多少株? 為了讓學生能比較清楚地理解題目中的數量關系，設置以下問題：

（1）若每盆增加1株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（2）若每盆增加2株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（3）若每盆增加x株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（4）每盆盈利=____________×________________ 然后引導學生完成例1 為了開闊學生的思路，遇到問題能舉一反

三、觸類旁通，又將例1進行適當改編，組織學生以學習小組為單位，分組合作、交流討論：

某花圃用花盆培育某種花苗,經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系.每盆植入3株時,平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加2株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到11元,每盆應該植多少株? 設置以下問題：

（1）若每盆增加2株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元（2）若每盆增加4株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元（3）若每盆增加x株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元

為了及時鞏固知識，促使學生對知識的理解，在例1的基礎上改變問題的實際背景，出示如下練習：

春節期間，杭州某旅行社為吸引市民組團去風景區旅游，推出如下收費標準： 如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元；如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元。某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給該旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去旅游？

通過例

1、練習幾個不同背景卻同一模型的問題學習，使學生掌握了怎樣列一元二次方程解決生活中這一類問題，知識結構的形成不是依賴于教師的概括、抽象、灌輸，不是“回憶”教師的解題套路，而是依靠學生感性認識的積累，讓學生自己去分析，從而變“學會”為“會學”，使學生真正成為學習的主人，而不是知識的奴隸。通過對比，學生對于列方程解應用題的一般步驟中的“檢驗”也有了更深刻的理解，同時讓學生感受到知識源于實踐又作用于實踐，體驗到了數學的價值，同時也突出了課題的重點。沿著數學知識結構的逐步攀升，引導學生搜索現實生活中與增長率有關的 問題，并設置了下列問題，引起學生的積極思維：(1)春節過后，許多服裝都降價處理，一件皮衣原售價2000元，第一次下降10%，下降后售價__________________元，由于天氣逐漸轉暖，為了減少庫存，第二次又下降了20%，此時售價_________________________ 元。（只需寫出算式）

(2)近幾年，麗水的社會經濟發展迅速，據抽樣調查統計顯示，2000年城鎮居民可支配收入為a元，以后逐年上升，每年增長的百分率約為8%，那么

2001年城鎮居民可支配收入為 _________________元； 2002年城鎮居民可支配收入為__________________元； 2003年城鎮居民可支配收入為__________________元； ??

2010年城鎮居民可支配收入為__________________元； 經過n年后城鎮居民可支配收入為__________________元；

（給出原始量、增長率（降低率）、變化次數、后來量之間的關系，讓學生自己歸納并給出公式，只有他們自己發現的才是最有用的，也讓學生體驗成功的喜悅，進一步激發學習興趣）

(3)某藥品原售價10元/盒，經兩次降價后為5元/盒，已知兩次降低的百分率一樣都為x，則可列方程得_____________（學生的錯誤可能會是：10（1－2x）=5）

上述三個問題分別從數、式、方程三個不同的方面對增長率（降低率）進 行了理解，也使學生明確了要解決增長率（降低率）問題，必須弄清楚基準，第二個問題中得出的一般式為高中的后繼學習作好準備。有了上述三個問題作鋪墊，接著講解例2，截止到2000年12月31日，我國的上網計算機總數為892萬臺；截止到2002年12月31日，我國的上網計算機總數以達2083萬臺.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我國的上網計算機臺數的年平均增長率（精確到0.1%）.（2）上網計算機總臺數2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增長率與2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增長率相比，哪段時間年平均增長率較大？

確定例2是本節的一個教學難點，是因為

（1）對題意理解的困難。需將實際問題數學化，這是數學建模思想的體現；（2）信息轉化的困難。要將統計圖的信息轉化為數量，這是數形結合的思想；（3）關系式確定的困難。要正確理解年平均增長率的含義。

（4）解方程的困難。本例的方程用直接開平方法解才是最簡便易行的。基于上述原因，本例采用低起點、小步子的辦法分散難點，問題設計由易到難，循序漸進，學生就比較容易理解，例2（1）設置以下問題：

(1)若設年平均增長率為x,你能用含x的代數式表示2001年的臺數嗎?2002年呢？(2)已知2002年的臺數是多少?(3)據此,你能列出方程嗎? 例2（2）讓學生思考：

(1)已知哪段時間的年平均增長率?(2)需要求哪個時間段的年平均增長率? 師生共同完成例2，進一步突出課題重點，深層次激發學生的學習積極性。

五、設計說明：

列方程解應用題是初中數學的一大難點，關鍵是通過問題情境建立模型，然后在問題的廣度、深度上下工夫。本節課我首先創設學生感興趣的問題情境，激發學生學習積極性，引出用方程解決問題的基本思想和方法。例1是典型的市場營銷問題，我通過三個不同背景卻同一模型的例子（即多題一解）讓學生學會如何分析、解決這一類問題；對于例2的處理，我首先設置相對簡單的、學生能解決的問題，然后由淺入深，逐步深入，從數、式、方程三個不同層面讓學生理解了增長率（降低率）問題，達到教學目的。

第四篇：一元二次方程的解法小結

一元二次方程的解法小結

【學習目標】

1.會選擇利用適當的方法解一元二次方程；

2.體驗解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．

【前置學習】

一、自主學習（自主探究）：

1.獨立思考·解決問題

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解決問題

通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？

知識匯總

（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即

．

（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表：

方法名稱

理論根據

適用方程的形式

直接開平方法

平方根的定義

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0

（3）.一般考慮選擇方法的順序是：

法、法、法或

法

二、疑難摘要：

【學習探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內說說通過自主學習，你學會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）

2.班級展示與教師點撥：

展示1：用直接開方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思與總結：本節課你學會了什么？你有哪些收獲與體會？

【自我檢測】

選擇適當的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第五篇：一元二次方程解法教學反思

用公式法解一元二次方程教學反思

張春元

通過本節課的教學，使我真正認識到了自己課堂教學的成功與失敗。對我今后課堂教學有了一定引領方向有了很大的幫助。下面我就談談自己對這節課的反思。

本節課的重點主要有以下3點：

1.找出a,b,c的相應的數值

2.驗判別式是否大于等于0

3.當判別式的數值符合條件,可以利用公式求根.在講解過程中,我沒讓學生進行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接觸求根公式,學生可以說非常陌生,由于過高估計學生的能力,結果出現錯誤較多.1、a,b,c的符號問題出錯,在方程中學生往往在找某個項的系數時總是丟掉前面的符號

2、求根公式本身就很難,形式復雜,代入數值后出錯很多.其實在做題過程中檢驗一下判別式著一步單獨挑出來做并不麻煩,直接用公式求值也要進行,提前做著一步在到求根公式時可以把數值直接代入.在今后的教學中注意詳略得當,不該省的地方一定不能省,力求收到更好的教學效果

3、板書不太理想。板書可以說在課堂教學也起關鍵作用，它可以幫學生溫習本課的內容，而我許多本該板書的內容全部反映在大屏幕上，在繼續講一下個內容時，這些內容也就不會再出現，只給學生瞬間的停留，這樣做也有欠妥當。

4、本節課沒有激情，學習的積極性調動不起來，對學生地鼓勵性的語言過于少，可以說幾乎沒有。