剖析一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念及剖析

1.定義

只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.2.剖析

從一元二次方程的定義可知,一元二次方程需具備以下三個條件:

(1)只含有一個未知數,即未知數有且只有一個.如果方程中未知數的個數多于1個,那么它就不是一元二次方程.(2)未知數的最高次數是2,即未知數的最高次數不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次項或常數項,并沒有提出要求.因此,可將方程進行降冪排列,觀察未知數的最高次數是否為2.(3)方程的兩邊是整式.整式是單項式和多項式的統稱.說明分母不能含有未知數,被開數不能含有未知數.只要某個方程不符合以上三條中的一條,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定滿足以上三個條件.3.注意

(1)判斷一個方程是否是一元二次方程,應以化簡后的結果為準.如化簡前含有未知數是2次的項,但是化簡后未知數最高次數是1,那它就不是一元二次方程.(2)當方程中含有字母系數(又叫參數)時,應區分未知數和字母.如“關于x的方程……”,則表明x是未知數,而方程中其它字母均是常數.(3)“×元×次方程”中的“元”指未知數,“次”指未知數的最高次數.4.典例

例1

下列方程中,關于x的一元二次方程是（）

A.3(x+1)2=2(x+1)

B.=0

C.ax2+bx+c=0

D.x2+2x=x2-1

解:因B中的分母含有未知數,所以它不是一元二次方程.C中字母a沒有強調不為0,若a=0,則C中未知數的最高次數低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化簡后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三個條件.故選A.例2

方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則（）

A.m=±2

B.m=2

C.m=-2

D.m≠±2

解:由于一元二次方程中未知數的最高次數是2,所以|m|=2,即m=±2.但當m=-2時,原方程變為-6x+1=0,它是一元一次方程,不合題意,舍去.當m=2時,原方程變為4x2+6x+1=0,它是一元二次方程,故選B.二、與一元二次方程的相關概念及剖析

1.概念

把方程化成形式ax2+bx+c=0(a≠0),這種形式叫一元二次方程的一般形式.2.剖析

(1)一元二次方程的一般形式是將方程變形和整理后的一種很有規律的表達形式,它的左邊是未知數的二次三項式的降冪排列,且其中a通常寫成大于0的形式,而右邊是0.(2)當一元二次方程化成一般形式后,左邊的三個單項式ax2,bx,c分別叫做二次項,一次項和常數項;且常數a,b分別叫二次項系數和一次項系數.(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基礎.3.典例

例3

把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項,二次項系數,一次項,一次項系數及常數項.解:原方程化為一般形式是:5x2+8x-2=0(若寫成-5x2-8x+2=0,則不符合人們的習慣),其中二次項是5x2,二次項系數是5,一次項是8x,一次項系數是8,常數項是-2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式系數的負號).