第一篇：課題學習利用拼圖驗證勾股定理)

拼圖與勾股定理教學設計

教學目標：

1．經歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值；

2．通過驗證過程中數與形的結合，體會數形結合的思想以及數學知識之間的內在聯系。

3．通過利用微機進行豐富有趣的拼圖活動增強學生對數學學習的興趣；通過探究總結活動，讓學生獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心；在合作學習活動中發展學生的合作交流的意識和能力。

4、熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數學的偉大成就，激發學生的愛國熱情，培養探索知識的良好習慣。

教學重點

1．通過綜合運用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。

2．通過拼圖驗證勾股定理的過程，使學生獲得一些研究問題與合作交流的方法與經驗。

教學難點

1．利用“直角三角形”，“五巧板”拼出不同圖形進行驗證勾股定理。

2．利用數形結合的思想方法驗證勾股定理。

教學用具

電腦及使用flash軟件制作的課件

教學過程

一、創設情境——勾股史話環節

師：前面我們已經學習了勾股定理，勾股定理的內容是什么呢？（提問學生）

師：你都知道關于勾股定理的哪些歷史故事？你想了解更多的勾股定理的知識嗎？請同學們跟我一起點擊屏幕上的“開始”按鈕，進入勾股史話環節，去了解古今中外人們對勾股定理的研究和設想，感受一下勾股定理的文化內涵。（讓學生自主學習）

師：同學們看完之后有什么感想呢？

（提出問題讓學生自主思考再提問學生）

師：讓我們動起手來利用拼圖驗證勾股定理吧！

二、嘗試拼圖，驗證定理

（一）“動手拼一拼”環節

師：觀察勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2和c2你想到了什么？

（引導學生說出是正方形，為后面的拼圖要拼成正方形打下伏筆。）師：我們只要拼成邊長分別是多少的正方形即可？

（生會回答出： a,b,c）

師：進入“動手拼一拼”環節，大家利用拼版中提供的全等的直角三角形根據操作說明進行拼圖驗證勾股定理，現在將鼠標放在三角形上可將三角形任意拖動，拼版右邊設置了六個旋轉按鈕，能使選中的三角形按順時針或逆時針旋轉450或50或10，單擊“恢復”按鈕可使所有三角形返回原來的位置。同學們先自主完成，若有困難可以點擊屏幕上的“小博士”請教。點擊“返回”按鈕繼續根據提示進行拼圖即可。俗話說：“敢拼就會贏”，相信只要你敢于動手拼，一定會成為拼圖能手！

（讓生自己動手去拼圖，然后小組交流）

師：有請2組展示他們的拼圖圖案。哪組還有補充？

師：看來我們同學都是名副其實的拼圖高手。

師：那你能繼續發揮聰明才智，用你的拼圖驗證勾股定理嗎？每小組選擇一種完成，并派代表展示你們小組的驗證過程。

（讓學生展示他們的驗證過程）

第一種：（b－a）2 + 4×ab=c2，a2 ＋ b2 =c

2師：大家知道嗎？這就是弦圖，它最早是由三國時期的數學家趙爽為《周髀算經》作注時給出的。弦圖還是2002年在北京召開的國際數學大會的會標圖案，它標志著中國古代的數學成就，它更像一只轉動著的風車，歡迎來自世界各地的數學家。這充分顯示了中國人對數學的熱愛和探索精神。今天，我在你們身上也看到了這種精神。

第二種：（a+b）=c + 4×ab，a ＋ b =c 第三種：（a+b）=ab + c+ab，a ＋ b =c

師：你們知道嗎？這種方法也是美國總統加菲爾德的驗證方法，這種方法也

被稱為總統證法。同學們的聰明勁一點不亞于美國總統。

（二）“五巧板驗證”環節

師： 大家都知道七巧板吧，那你知道數學中有五巧板嗎？我們能利用五巧板驗證勾股定理嗎？請同學們跟我一起進入“五巧板驗證”環節。點擊“步驟”按鈕，觀察五巧板的制作流程，從而熟悉五巧板的構成。我們嘗試一下能否用一副五巧板進行拼圖驗證勾股定理。請同學們動手拼一拼。

師：通過拼圖同學們有何發現？先自主思考然后小組交流一下。

師：這位同學總結的非常好，以直角三角形三邊畫三個正方形，只要把以斜邊為邊的正方形制成五巧板，把這五塊拼在另兩個正方形中就可以驗證勾股定理。

師：會用一副五巧板驗證勾股定理，那你會用兩幅五巧板拼圖驗證勾股定理嗎？同學們先自主完成，有困難的同學可以向小博士請教。我們比一比誰是拼圖高手？（讓學生展示作品）

師：看來同學們都是心靈手巧的人。

師：通過剛才的展示你能總結一下利用五巧板拼圖的要點嗎？小組總結。利用五巧板拼成三角形或任意四邊形能驗證勾股定理嗎？ ***2212222

（讓學生進一步理解拼圖驗證勾股定理必須拼成正方形）

三、了解學習其他驗證方法

（一）“青朱出入圖”環節

師：大家想不想再進一步了解古今中外還有哪些驗證方法？

師：進入“青朱出入圖”環節。學習一下三國時代魏國的數學家劉徽為古籍《九章算術》作注時，用“出入相補法”證明勾股定理的方法。證明不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”。

（二）“達芬奇驗證“環節

師：領略了中國古人的驗證方法，再讓我們再來了解一下外國人的驗證方法。我們都知道達﹒芬奇是一位著名的畫家，但很少有人知道他對勾股定理也有研究，讓我們一起進入“達芬奇驗證“環節，了解一下他是如何驗證勾股定理的。

四、總結提升

師： 學習和了解了這些驗證勾股定理的方法，你能不能總結一下可分為幾種類型？

（小組討論并展示，師最后總結）

師：可分為兩種類型：一是：以趙爽的“弦圖”為代表用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，除了勾股定理，還有我們學過的平方差公式和完全平公式。二是：以劉徽的“青朱出入圖”為代表的無字證明。以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運用了數形結合的思想方法。

五、分享收獲

師：時間過的真快，相信每位同學都滿載而歸，每組派個代表，將你們組獲得的知識與大家一起分享吧！(讓學生自己展示)

六、拓展延伸

師：最后請同學們欣賞一顆美麗而神奇的樹。它是由古希臘數學家畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的勾股定理樹也稱為“畢達哥拉斯樹”。它使我們大家深刻的感受到了幾何之美。在欣賞之余思考最外圍所有小正方形的面積之和與哪個正方形的面積相等？

七、結束語

勾股定理的發現、驗證過程蘊涵了豐富的文化價值，古今中外已經發現了有370多種證明方法，希望同學們課后能通過上網查閱相關資料，一起走進神秘的勾股世界，去了解更多的驗證方法。

第二篇：課題.勾股定理

課題：

14.1

勾股定理（第1課時）

教材：華東師大版

教師：衡陽市第十六中學 曹冬梅

電話*** 一

教學目標： ㈠知識目標：

⑴掌握勾股定理所揭示的本質，理解直角三角形三邊之間的數量關系。（2）能夠利用勾股定理熟練求解直角三角形的未知第三邊 ㈡能力目標：

⑴培養學生合作探索與自主學習的能力及動手操作能力 ⑵培養學生運用所學知識解決生活中實際問題的能力 ㈢情感目標：

⑴通過介紹數學人文知識激發學生的愛國情感和民族自豪感 ⑵體會自主學習及合作探索的樂趣，增進同學之間的信任度 二

教學重點難點： 重點：

體驗勾股定理的發現過程和運用勾股定理解決簡單問題.難點：

運用勾股定理解決簡單問題.三

教學過程：

㈠

學生動手探索

導入新知

1.畫直角邊長為3cm,4 cm的一個直角三角形,并量出其斜邊長． 2.畫直角邊長為5cm,12cm 的一個直角三角形,并量出其斜邊長。可以發現

3?4?5 5?12?13222222

得出結論：

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。引入課題。

（二）介紹勾股定理的歷史，激發同學們的愛國熱情和民族自豪感 1

最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽.2

趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法.詳細證明。

給出了勾股定理的3

西方國家稱勾股定理為畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前580～前500年)是古希臘杰出的數學家,天文學家,哲學家.他不僅提出了定理,而且努力探求證明方法.5

我國至今可查的有關勾股定理的最早記載比畢達哥拉斯要早發現500多年。

（三）勾股定理的證明 1

利用面積拼湊法來證明

并給出勾股定理的文字表述及對應圖形的符號表述。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么 解決簡單的問題： 試一試：

1)（1）若a,b,c是△ABC的三邊,則

a?b?c222即

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

a?b?c22222（2）若a,b,c是直角△ABC的三邊,則

a?b?c222（3）若a,c分別是直角△DEF的一條直角邊和斜邊，則另一直角邊b有

b?c?a2

3)、填空：

（1）已知：在?ABC中，∠C=90?,AC=5,BC=12, 則AB=

,（2）、已知：在?ABC中，∠A=90?,AC=40,BC=41, 2 則AB=

，A

B C

B C 3 結論變形 ：

直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2a?b?c222a?c?b

（四）例題講解

2b?c?a2

2c?a?b22

(進一步強調勾股定理是在直角三角形中).例：為了求出位眼于湖兩岸的兩點A，B之間的距離，一個觀察者在點C設樁，使△ABC恰好為直角三角形，通過測量，得AC長160米，BC長128米，問從點A穿過湖到點B有多遠？

（五）練習解題，鞏固新知 如圖,一個長8 米,寬6 米的草地,需在相對角的頂點間加一條小路,則小路的長為()

A．8米

B．9米

C．10米

D．14米 在波平如靜的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面1米，一陣大風吹來，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平3 距離為2米，問這里水深多少？

3.課后探索

已知△ABC的兩邊為3和4，請問你能求出它的第三邊嗎？若能請求出，若不能，請你給題目加上一個條件，并求出它的第三邊．

補充條件是：若△ABC是直角三角形，那第三邊是多少？周長又是多少呢?

（六）課堂小結，回顧新知 本節課你有什么收獲？

（七）布置作業：

（1）課本５1頁，第１、２題；

（2）查閱有關勾股定理的歷史資料,關注驗證勾股定理的方法.四

教學設計說明： 教材分析：

勾股定理是一個古老而又年輕的定理，其在數學學習中有著至關重要的作用。它是數形結合的代表，是用數學方法來解決幾何問題的基礎橋梁。在中學數學學習中，也為在后面三角函數的學習及一些圖形的計算打下必要的基礎。

學生分析：

學生已有了整式乘法，和實數的混合運算的基礎。具有良好的協作學習習慣及自主學習能力。對勾股定理的學習有較濃厚的興趣。

本節課的教學分四步：學生動手探索結論，介紹勾股定理的歷史，由面積拼湊法驗證結論，應用結論解決實際問題。

2007-12-8

1米 2米

第三篇：驗證勾股定理的證明

驗證勾股定理的證明—拼圖的應用

幾何學里有一個非常重要的定理，在我國叫 “勾股定理”或“商高定理”，在國外叫“畢達哥拉斯定理”。相傳畢達哥拉斯發現這個定理后欣喜若狂，宰了100頭牛大肆慶賀了許多天，因此這個定理也叫“百牛定理”。勾股定理不僅是最古老的數學定理之一，也是數學中證法最多的一個定理。但是，在現實中，有什么方法，可以證明勾股定理呢？看著三角形的邊邊角角讓我想到七巧板，拼圖。

于是我動手做了幾個五巧板，如下圖：

b 然后，利用這些五巧板我做了以下實驗：

1）用兩副五巧板，將其中的一副拼成一個以c為邊長的正方形；將另一副拼成兩個邊長分別為a、b的正方形。

523 b 4 5a

S1、S2、S3、S4、S5組成；

S1、S3組成；

S2、S4、S5

2）用上面的兩副五巧板，還可以拼出如下所示的圖形：5 353

a

通過上面兩個實驗，利用現實生活得物體驗證了勾股定理，使我對這個定理的理解和應用有了更深的體會。

第四篇：勾股定理的驗證教學設計

課題學習：利用拼圖驗證勾股定理

初四 王江波

教學目標：

1．經歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理的認識。

2．經歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。

3．通過豐富有趣的拼圖活動，經歷觀察、比較、拼圖、計算、推理交流等過程，發展空間觀念和有條理地思考和表達的能力，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經驗。

4．通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心。通過豐富有趣拼的圖活動增強對數學學習的興趣。教學重點：

拼圖驗證勾股定理 教學難點：

利用“五巧板”拼出不同圖形進行驗證勾股定理。教學方法：

小組交流合作 學生動手操作 教師利用多媒體課件演示 課前準備：

學生：根據課本制作“五巧板”模型 教師：制作幾何畫板演示課件 教學過程：

一、導入新課：

勾股定理是數學史上一個非常寫生要的定理，早在3600多年前，古巴比倫人就已經發現了勾股定理，我國約在3000多年前發現了勾股定理，而在西方，2000多年前的畢達格拉斯學派道德證明了勾股定理，所以在國際上一般把它稱之為畢達格拉斯定理，傳說畢達格拉斯學派在發現了勾股定理以后宰了100頭牛慶祝，所以又稱為“百牛定理”。

勾股定理是數學史上證明方法最多的一個定理，有一千多種證法，總體上可分為三大類：一是通過嚴密的理論推導證明，由于知識所限，我們這里不做研究；二是通過一些圖形的面積計算進行驗證，比如我們在前面接觸過的一個證法，如圖：

由學生根據圖形回答： bac(a?b)?222122ab?4?c22a?2ab?ba?b2?2ab?c2

?c 三國時期吳國數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，創制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明。2002年世界數學家大會在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正是經過藝術處理的“弦圖”，標志著中國古代數學成就。你能根據這幅弦圖來說明勾股定理嗎？

學生思考作答： cbacc2?122ab?4?(b?a)22222?2ab?a?b?2ab?c2

a?b上面的第一幅圖也是畢達格拉斯用來說明勾股定理的圖形，不過它是通過另一種簡單的方式來驗證的，如圖：

bac

他通過圖形的移動拼接，左圖中的空白部分與右圖中空白部分的面積是相同的，而左圖中的空白部分面積是c2,右圖中空白部分的面積是a2+b2，所以有a2+b2=c2，這種方法簡單明了，這也就是勾股定理證明中的第三類：利用拼圖驗證。我們這一節課就通過自己的努力，來感受一下拼圖驗證勾股定理的奧妙。

二、新授：

1．教師介紹“五巧板”的制作方法及特點，學生拿出準備好的硬紙板制作的“五巧板”。步驟：做一個Rt△ABC，以斜邊AB為邊向內做正方形ABDE，并在正方形內畫圖，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿這些線剪開，就得到了一幅五巧板.通過制作方法不難看出，這五塊板組合成的面積就是c2，我們只要能通過這五塊板組合成兩個邊長分別為a、b的正方形，就可以驗證勾股定理。

2．學生活動：利用五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形。（給學生充分的時間進行拼圖、思考、交流經驗，對于有困難的學生教師要給予適當引導。）

25431 3．演示學生的拼圖并加以點撥：

1、3可以拼在一起，2、4、5可以拼在一起。

4．用上面的兩幅五巧板，還可共同拼出其它圖形，在圖形中既可看出5塊板拼成的邊長為c的正方形，還能看出邊長為a、b的正方形，從而驗證勾股定理。如圖，教師演示一個，然后學生親自實踐，小組合作操作，加深對五巧板拼圖驗證勾股定理的理解，在學生有結果時加以展示。（這個問題要給予學生充足的時間和空間進行討論和拼圖，教師在這要引導適度，不要限制學生思維，同時鼓勵學生在拼圖過程中進行交流合作。）

2c54abcba413a5、在學生完成上面拼圖過程后，教師進一步介紹幾種拼圖驗證勾股定理的方法：

（1）青朱出入圖：我們中國古人利用拼圖驗證勾股定理的方法，這只是其中一種，還有多種分割拼接的方式，課后同學們可以自己試試看。BIAHCA

（2）達芬奇的證明方法：

（3）西方出現的一種拼圖證法：

三、課堂總結

從這節課中你有哪些收獲？

（教師應給予學生充分的時間鼓勵學生暢所欲言，只要是學生的感受和想法，教師要多鼓勵、多肯定。最后，教師要對學生所說的進行全面的總結。）

在學生總結的基礎上給學生課件展示勾股樹，激發學生的興趣。

四、檢測：下面是美國總統伽菲爾德對勾股定理的一個證法的圖形，你能利用這個圖形來說明勾股定理嗎？

ba ccba

第五篇：利用勾股定理解折疊問題.

利用勾股定理解折疊問題 一．知識儲備：

（1）一般地，只要給出了直角三角形中任意兩邊長，則可求出第三邊。（應用時要注意那個角為直角。）

例如：已知直角三角形ABC, 若AB=13,AC=12,則以BC 為邊長的正方形面積為＿

＿。（分類討論的思想）

（2）特別注意：勾股定理與直角三角形面積，等腰直角三角形的結合題目。

（1）S △ABC=21 ×AB ×BC=21

×AC ×h（h 為AC 邊上的高）利用這個等式建立方程。（2）等腰三角形的“三線合一”，等腰直角三角形只要知道一條邊長就可以求出其它邊長。

例如．在ABC ? 中，ACB ∠=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于點D, 求CD 的長。（3）構造直角三角形

一般三角形的線段計算問題，可以通過作垂線構造出直角三角形，利用勾股定理。例如：已知：△DEF 中，DE=17㎝,DF=10㎝，EF=21㎝，求EF 的長。

二．折疊問題

折疊問題與軸對稱和圖形全等是密不可分的.折疊前后，重合線段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做題時一定要抓住這一點, 以免有無從下手。

D 例如：如圖, 把長方形紙片ABCD 折疊, 使頂點A 與頂點C 重合在一起,EF 為折痕。若AB=3,BC=9.點D 對應點是G(1 求BE(2 求△AEF 面積(3 求EF 長(4 連接DG, 求△DFG 面積 三．強化練習

1.有一直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,將 ABC 折疊，使 點B 與點A 重合，者恒為DE，求CD 的長。

E B 知識鏈接： 勾股定理---------千古第一定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，是人類最偉大的十個發現之一。在西方希臘畢達哥拉斯對本定理有所研究，故被稱之為“畢達哥拉斯定理”。我國的《周髀算經》中就有對勾股定理的記載，為了紀念古人的偉大成就，就這個定理定名為“勾股定理”。（1）勾股定理是數與形的第一定理。

（2）勾股定理導致無理數的發現(第一次數學危機。

（3）勾股定理中的公式是第一個不定方程，每組勾股數都為它的解。勾股定理的變式： a 2 = c2－b 2 , b 2= c2－a 2, a=22b c-, C =22b a +, b =22a c-（直角三角形的三邊長分別為a,b,c）1.已知直角的兩條邊長分別為5和12，求第三邊長。

2.已知 ABC 中，AB=15，AC=20，BC 邊上的高AD=12，求BC 的長。（分類討

E D C

B A 特殊平行四邊形中的動點問題

例1：如圖：邊長為a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是異于A、D 兩點的動點，F 是CD 上的動點，滿足AE+CF=a，證明：不論E、F 怎樣移動，三角形BEF 總是等邊三角形．

例2：如圖，正方形ABCD 中，邊長為2，點P 是射線DC 上的動點，DM ⊥AP 于（1）當點P 與C、D 重合時，DM+BN的值分別為＿＿＿（2）當點P 不與C、D 重合時，試猜想DM2+BN2 的值，并對你的猜想加以證明

A

例

3、如圖，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 為CD 邊的中點，點P、Q 為BC 邊上兩個動點，且PQ=2，當BP= ＿＿＿＿時，四邊形APQE 的周長最小．

C B A D C Q P A 矩形中折疊問題

折疊問題與軸對稱和圖形全等是密不可分的.折疊前后，重合線段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做題時一定要抓住這一點, 以免有無從下手。

例如：如圖, 把長方形紙片ABCD 折疊, 使頂點A 與頂點C 重合在一起,EF 為折痕。若AB=3,BC=9.點D 對應點是G（1）求BE（2）求△AEF 面積（3）求EF 長（4）連接DG, 求△DFG 面積

（5）連接CF，四邊形AFCE 是什么四邊形？

E D C B A