第一篇：高等數學(上)(工科)

《高等數學》（上）課程教學大綱

一、課程簡介

（一）課程代碼084020

2（二）課程名稱高等數學Higher Mathematics（上）

（三）修讀對象信工

（三）總學時與學分90學時5個學分

（四）考核方式

采取平時考核與期末考試相結合的考核方式。平時考核包括作業、提問、上課發言等方面的考核，平時成績占20%，期末考試成績占80%,考試要嚴格要求，實行考教分離，同一教學計劃的班級，期末考試要統一命題，統一評分，統一流水閱卷。

（五）相關課程

本課程是工科類專業的重要基礎課，課程基礎性、理論性強，與后繼課程密切相關。

（六）內容提要(不超過200字)

《高等數學》（上）主要內容是一元微積分，包含函數，函數極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分及其應用，向量代數和空間解析幾何。

二、教學目的和教學方法

教學目的高等數學是國家教委指定的工科類各專業核心課程之一，是最重要的一門基礎理論課。《高等數學》（指微積分）為研究事物的變化發展規律提供了基本的數學基礎和框架，在各種實際問題中有著廣泛的應用；它具有豐富的內容和深刻的思想，是進入科學領域的大門，是高校數學教學的核心課程，也是學習后繼課程和科學技術知識的基礎，尤其是工程技術和計算科學等專業，通過數學學習，使學生掌握該課程的基本思想和方法，使學生能用所學的知識分析、解決實際問題，能對這些問題進行定性和定量的分析研究。訓練學生的數學推理的嚴密性，使學生有一定的數學修養，能用數學的語言描寫各種概念和現象，能理解其它學科中所用的數學理論與方法。培養學生具有良好的數學基礎和數學思維能力，掌握信息與計算科學的基礎理論、方法與技巧和技能。使學生具有使用當代的科技成果能力和習慣.培養學生學習數學的興趣，幫助學生形成良好自學的習慣，給學生以后從事科學研究和工程技術工作打好基

1礎。通過本課程的學習，要使學生掌握高等數學的基本概念、基本理論和基本方法，為學習后繼課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎。

教學方法 本課程的特點是理論性強，思想性強，與相關基礎課及專業課關系密切，以課堂講授為主，討論法、讀書指導法和練習法為輔。教學中應注重啟發引導學生掌握重要概念的思想背景，理解概念的本質，避免學生死記硬背。要善于將有關學科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學的概念結合起來，使學生體會到學習微積分的必要性。注重各教學環節（理論教學、習題課、作業、輔導）的有機聯系, 特別是強化作業與輔導環節，使學生加深對課堂教學內容的理解，提高分析解決問題的能力和運算能力。教學中有計劃有目的地向學生介紹學習數學與專業課學習之間的關系，充分調動學生的學習興趣。

三、理論與實驗教學學時分配90個理論學時

四、選用教材和主要教學參考書

教材

同濟大學應用數學系，高等數學（上、下）第五版[M].北京：高等教育出版社2007

主要教學參考書

1、《數學分析》上下冊，華東師范大學數學系編（第三版），高等教育出版社出版。

2、《微積分》上下冊，同濟大學應用數學系編（21世紀教材），高等教育出版社出版。

3.《工科數學分析基礎》上下冊，馬知恩、王綿森主編（21世紀教材），高等教育出版。

4.《高等數學例題與習題》 同濟大學高等數學教研室編，同濟大學出版社。

五、理論教學內容（分章節編寫，包括主要講授內容、學時分配、教學重點與難點、練習等）

第一章函數與極限16學時

1.教學內容：集合、常量與變量，一元函數的概念(單值、多值)，函數的屬性(有界性、單調性、奇偶性、周期性)，反函數，基本初等函數的概念、性質及其圖形，復合函數，初等函數，數列極限，函數極限，無窮小與無窮大，無窮小與極限之間的關系，無窮小與無窮大之間的關系，極限的運算法則，極限存在的判別法則，兩個重要

極限，無窮小階的比較，函數的連續性，函數的間斷點及其類型，連續函數的運算定理，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的基本性質。

2.教學要求：理解函數的概念。了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。了解函數和復合函數的概念。熟悉基本初等函數的性質及其圖形。能列出簡單實際問題中的函數關系。了解極限的??N,???定義(對于給出?求N或?，不作過高要求)，并能學習過程中逐步加深對極限思想的理解。掌握極限四則運算法則。了解兩個極限存在準則(夾逼準則和單調有界準則)，會用兩個重要極限求極限。了解無窮小，無窮大的概念，掌握無窮小的比較。理解函數在一點連續的概念，會判斷間斷點的類型。了解初等函數的連續性，知道在閉區間上連續函數的性質(介值定理和最大值、最小值定理)。

3.重點、難點：

重點：函數的概念、極限概念、無窮小、極限的四則運算，函數的連續性。

難點：復合函數，極限的??N、???定義，函數在一點處連續的定義。

4.思考題或練習題：

（1）求函數的反函數；

（2）求函數的定義域、值域，建立函數關系實例；

（3）指出復合函數的組成；

（4）證明數列極限（用極限定義）；

（5）求函數的極限；

（6）討論函數的連續性；

（7）指出分段函數的間斷點及類型。

第二章導數與微分14學時

1.教學內容：導數的概念、幾何意義，函數可導與連續的關系，基本初等函數的導數，函數的和，差、積、商的導數，反函數的導數，復合函數的導數，初等函數的求導問題，雙曲函數與反雙曲函數的導數，高階導數，隱函數的導數，參數方程的導數，微分的概念及運算法則，微分形式不變性、微分在近似計算與誤差估計中的應用。

2.教學要求：理解導數和微分的概念。了解導數的幾何意義及函數的可導性與連續之間的關系。能用導數描述一些物理量。熟悉導數和微分的運算法則(包括微分形式不變性)和導數的基本公式。了解高階導數概念。能熟練地初等函數的一階、二階導數。掌握隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數的求法。

3.重點、難點：

重點：導數的概念，導數的幾何意義，初等函數的導數求法。微分的概念。

難點：復合函數的微分法，隱函數和參數式所確定的函數的二階導數的求法。

4.思考題或練習題：

（1）導數幾何意義及應用；

（2）求函數的導數，高階導數；

（3）求函數的微分；

（4）微分在近似計算中的應用。

第三章中值定理與導數的應用16學時

1.教學內容：微分中值定理(羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，羅必塔法則，函數單調性的判別、函數的凸凹性及拐點的判別、函數的極值概念及求法，最大值與最小值及其應用，函數圖形的水平漸近線與鉛直漸近線，函數作圖，泰勒公式及其應用，弧微分、曲率和曲率半徑及計算、方程近解的二分法和切線法。

2.教學要求：理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會應用拉格朗日定理。理解函數的極值概念。掌握求函數的極值，判斷函數的增減性與函數圖形的凸凹性，求函數圖形的拐點等方法。能描繪函數的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。會解較簡單的最大值和最小值的應用題。掌握羅必塔法則。知道曲率半徑的概念，并會計算曲率和曲率半徑。知道求方程近似解的二分法和切線法。

3.重點、難點：

重點：拉格朗日定理，羅比塔法則、單調性的判別、極值的求法。

難點：拉格朗日定理的證明和應用。

4.思考題或練習題：

（1）中值定理的運用；

（2）利用羅必塔法則求極限；

（3）利用導數判斷函數的單調性、利用函數的單調性證明不等式；

（4）求函數的極值和最值；

（5）作函數的曲線圖形；

第四章不定積分14學時

.教學內容：原函數與不定積分的概念，不定積分的基本性質，積分基本公式，換元積分法，分部積分法，有理函數的積分，三角函數有理式的積分，簡單無理函數的積分，積分表的使用。

2.教學要求： 理解不定積分的概念及性質。熟悉不定積分的基本公式，熟練掌握

不定積分的換元積分和分部積分法。掌握較簡單的有理函數的積分。

3.重點、難點：

重點：原函數與不定積分概念。不積分的性質，基本積分公式。換元積分法和分部積分法。

難點：不定積分的換元積分法。

4.思考題或練習題：

（1）有關不定積分的概念題；

（2）利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分；

（3）用換元法求函數的不定積分；

（4）用分部積分法求函數的不定積分；

（5）求有理函數，三角函數，無理函數的不定積分；

（6）用積分表求函數的不定積分。

第五章 定積分13學時

1.教學內容：定積分的概念，定積分的基本性質、中值定理、微積分基本定理，定積分的換元積分及分部積分法，定積分的近似計算（矩形法、梯形法、拋物線法），無窮區間上的廣義積分，被積函數有無窮間斷點的廣義積分。

2.教學要求：理解定積分的概念及性質。熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。理解變上限的定積分作為其上限的函數及其求導定理。熟悉牛頓－萊布尼茲公式。了解廣義積分的概念。知道定積分的近似計算（矩形法、梯形法、拋物線法）。

3.重點、難點：

重點：定積分的概念，定積分的中值定理，定積分作為可變上限的函數及其求定理，牛頓－萊布尼茲公式。

難點：定積分的構造型定義。

4.思考題或練習題：

（1）用定積分的定義計算定積分及定積分的幾何意義；

（2）利用牛頓－萊布尼茨公式求定積分；

（3）利用換元積分法和分部積分法求定積分；

（4）廣義積分的計算；

第六章定積分的應用10學時

1.教學內容：定積分的元素法，平面圖形的面積（直角坐標情形、極坐標情形），體積（旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積），平面曲線的弧長、功、水壓力、和引力，函數的平均值、均方根。

2.教學要求：熟練掌握用元素法建立積分表達式的方法。掌握面積、體積的計算方法。會求平面曲線的弧長、功、水壓力和引力。

3.重點、難點：

重點：微元法、定積分的幾何、物理應用。

難點：微元法。

4.思考題或練習題：

用定積分的微元法計算定積分幾何、物理方面的應用題。

第七章 空間解析幾何與向量代數17學時

1.教學內容：空間直角坐標系，兩點間距離公式，向量的概念，向量的加減法，向量與數的乘積，向量的分解與向量的坐標，兩向量之間的關系（平行、垂直），向量的坐標運算（加、減、數乘、數量積、向量積），平面方程及其求法，直線方程及其求法，曲線與曲面的概念，球面、柱面、投影、柱面、旋轉曲面、橢球面、拋物面、雙曲面的方程及圖形、空間曲線的參數方程及一般方程。

3.教學要求：

理解向量的概念。掌握向量的運算（線性運算、點乘法、叉乘法）。掌握兩個向量夾角的求法與垂直、平行的條件。熟悉單位向量、方向余弦及向量的傳票坐標的表達式。熟練掌握用坐標表達式進行向量運算。熟悉平面的方程和直線的方程及其教學法求法。理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其其圖形、掌握以坐標為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。知道空間曲線的參數方程和一般方程。

3.重點、難點：

重點：向量的概念，向量的坐標，向量的數量積和矢量積，平面方程（點法式、一般式、截距式），直線方程（參數式、對稱式、一般式），標準二次曲面方程，投影柱面。

難點：矢量積，投影柱面的概念，標準二次曲面的圖形。

4.思考題或練習題：

（1）進行向量的運算；

（2）求平面的方程和直線的方程；

（3）求旋轉曲面的方程。

第二篇：高等數學B上

華南理工大學

高等數學B上（隨堂練習）5.函數A． B．的定義域是（）C．

D．

參考答案：C 6.函數A． B．

C．的定義域是()

D．

參考答案：C 7.函數A． B． C．的定義域是（）D．

參考答案：A 8.若A．C．參考答案：A 9.若A． B．，C．

D．，則

()B． D．，則

()

參考答案：D

10.設，則()A． B． C． D．

參考答案：A

11.()A． B． C． D．

參考答案：B

12.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

13.()A．不存在 B． C． D．

參考答案：C

14.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

15.()A． B． C． D． 參考答案：A 16.()A． B． C． 不存在 D．

參考答案：B 17.當時，下列變量是無窮小的是()A． B． C． D．

參考答案：C 18.當時，與

等價的無窮小是()A． B． C． D．

參考答案：A 19.()A．0 B． C． D．1 參考答案：B

20.()A．8 B．2 C． D．0 參考答案：D

21.()A．0 B．1 C． D．2 參考答案：D

22.下列等式成立的是()A． B．

C．參考答案：C 問題解析： 23.A． D．

()B．1 C．不存在 D．

參考答案：A

24.A．1 B．()C．不存在 D．

參考答案：D

25.A．0 B．1 C．參考答案：C

()D．

26.設函數A．2 B．4 C．1 D．0 參考答案：A

在點處極限存在，則()27.設A．0 B．-1 C．1 D．2 參考答案：C，則()

28.設，則A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

()29.設A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

在處連續，則=()C．參考答案：B 5.設直線 D．

是曲線的一條切線，則常數()A．-5 B． 1 C．-1 D．5 參考答案：D

6.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：C

7.設函數，則()A． B．

C． D．

參考答案：A 8.設函數A．C． D．，則 B．

()

參考答案：A 9.設函數A．C．參考答案：D

，則 D．

()B．

10.設函數，則()A． B．

C． D．

參考答案：B 11.設函數A．C．參考答案：C 12.設函數，則

()B． D．，在

()A． B．

C．參考答案：A D．

13.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：C 14.設函數A． B．，則 C．

()

D．

參考答案：D

15.設函數A．C． B． D．，則

()參考答案：C

16.設函數A． B．，則 C．

()D．

參考答案：A

17.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：B

18.設確定隱函數，則()A． B． C． D．

參考答案：B

19.設A．4 B．-4 C．1 D．-1 參考答案：C 20.設方程

函數，則()

所確定的隱函數為，則()

A．參考答案：B B． C． D．

21.設函數由方程所確定，則()A．0 B． C． D．

參考答案：B

22.設方程所確定的隱函數為，則()A． B． C． D．

參考答案：A

23.設方程所確定的隱函數為，則()A． B．0 C． D．

參考答案：D 問題解析： 24.設A．C．參考答案：A D．，則 B．

()

25.設函數，則()

A． B．

C．參考答案：B 26.設函數A．C． D．，則 B．

()

D．

參考答案：B 27.設，則

()A． B．

C． D．

參考答案：A

參考答案：A

3.()A． B．參考答案：B C． D．不存在

4.()A． B．參考答案：A C．1 D．不存在

5.()A． B．參考答案：A 6.C．1 D．不存在

()A． B．參考答案：A 7.函數A． C．1 D．0 的單調減少區間是()B．

C．

D．

參考答案：A 8.函數A． B．的單調區間是()

C．

D．

參考答案：A 9.函數A． B．的單調增加區間是()

C．

D．

參考答案：A 10.函數A． B．的單調增加區間為()． C．

D．

參考答案：C 11.函數A． B．的單調減區間為()C．

D．

參考答案：B 12.函數A． B．的單調增加區間為()

C．

D．

參考答案：D 13.函數A．1 B．0 C．參考答案：C 14.函數A． B．的極值為()C．0 D．1 的極值等于()D．

參考答案：A 15.函數A．1 B．0 C．參考答案：A 的極值為()D．

16.函數的極大值為()A．-16 B．0 C．16 D．-7 參考答案：B 問題解析： 17.函數A．3 B．1 C．-1 D．0 參考答案：A 的極大值為()18.有一張長方形不銹鋼薄板，長為，寬為長的．現在它的四個角上各裁去一個大小相同的小正方形塊，再把四邊折起來焊成一個無蓋的長方盒．問裁去小正方形的邊長為()時，才能使盒子的容積最大． A． B． C．

D．

參考答案：B

19.設有一根長為的鐵絲，分別構成圓形和正方形．為使圓形和正方形面積之和最小，則其中一段鐵絲的長為()A． B． C．

D．

參考答案：A

20.欲圍一個面積為150m2的矩形場地，圍墻高3米．四面圍墻所用材料的選價不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．試問矩形場地的長為()時，才能使材料費最省．

A．15 B．10 C．5 D．8 參考答案：A

21.設兩個正數之和為8，則其中一個數為()時，這兩個正數的立方和最小．

A．4 B．2 C．3 D．5 參考答案：A

22.要造一個體積為的圓柱形油罐，問底半徑為()時才能使表面積最小．

A． B． C． D．

參考答案：C

23.某車間靠墻壁要蓋一間方長形小屋，現有存磚只夠砌20m長的墻壁．問圍成的長方形的長為()時，才能使這間小屋的面積最大．

A．8 B．4 C．5 D．10 參考答案：D 24.曲線的下凹區間為()A． B．

C．

D．

參考答案：A 25.曲線的拐點坐標為()A． B． C．

D．不存在

參考答案：B

3.下列函數中，()是的原函數

A． B． C． D．

參考答案：D 4.()是函數的原函數．

A． B． C． D．

參考答案：D

5.下列等式中，()是正確的 A． B．

C．參考答案：D 6.若

D．，則()A． B． C． D．

參考答案：B 7.若A．滿足 B．

C．，則 D．

（）．

參考答案：B 8.()

A.B．

C．參考答案：D 問題解析： D．

9.()A． B． C． D．

參考答案：B 10.()A．參考答案：A 11.B． C． D．

()A． B．

C．參考答案：B D．

12.()A． B． C． D．

參考答案：B

13.()A． B．

C． 參考答案：A 14.D．

()A． B．

C．參考答案：C D．

15.()A．C．參考答案：A B． D．

16.()A． B．

C． D．

參考答案：A

問題解析： 17.()A．C． B． D．

參考答案：A 18.A．C．參考答案：D 19.()()B． D．

A． B．

C．參考答案：A 20.D．

()A． B．

C． 參考答案：B 21.()

D．

A． B．

C．參考答案：C 22.D．

()A． B．

C．參考答案：A

D．

5.()A．2 B．0 C．1 D．-1 參考答案：B 6.設函數A． B．在 C．

上連續，D．，則

()參考答案：C

7.設A． B．，則 C．

等于()D．

參考答案：D

8.()A． B． C． D．

參考答案：C 9.A．0 B． C．1 D．

參考答案：B 10.A．1 B．0 C． 參考答案：D 11.D．-1

A． B． C． D．1 參考答案：C

12.()A．4 B．9 C．6 D．5 參考答案：A

13.()

A．1 B．2 C．參考答案：B D．

14.()A．2 B．

C．參考答案：D D．

15.()A． B． C．1 D．

參考答案：A 16.()A． B． C．1 D．

參考答案：B

17.A．()B．1 C．

D．

參考答案：D

18.()

A． B．0 C．1 D．參考答案：A

19.()A．0 B． C．1 D．

參考答案：B

20.A．1 B．參考答案：B 21.A． B．

()C． D．

()C．

D．1 參考答案：A

22.()A． B．1 C． D．2 參考答案：C

23.A． B．()C．

D．1 參考答案：A 24.()

參考答案：A

25.A．C．()B． D．

參考答案：C 26.()A． B．1 C． D．

參考答案：A 27.()A． B．1 C． D．

參考答案：B 問題解析： 28.()

A．1 B． C．0 D．參考答案：A

29.()A． B．

C． D．

參考答案：B 30.()A． B．

C．1 D．參考答案：A 31.()A． B． C． D．1 參考答案：C 32.廣義積分

()A． B．不存在 C．0 D．1 參考答案：A

33.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：A

34.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：B 35.由拋物線于()A．2 B．1 C．參考答案：A 36.由直線，D．，直線，及所圍成的平面圖形的面積等

及曲線所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．1 C． D．

參考答案：A 37.由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B． C．2 D．1 參考答案：A

38.由曲線與直線及所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．2 C．1 D．

參考答案：A 39.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A．1 B． C．3 D．

參考答案：B 40.由，所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B．1 C．3 D．2 參考答案：A 41.由及在點（1，0）處的切線和y軸所圍成的圖形的面積等于()A．1 B． C．2 D．3 參考答案：B 問題解析： 42.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A． B．1 C．參考答案：A 問題解析： 43.設由拋物線 D．

；，及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：D 44.設由直線，及曲線

所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B．

C．

D．

參考答案：A

45.設由曲線與直線及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：B 46.設由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()

參考答案：D 47.設由曲線與直線，及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B．參考答案：C 48.設由曲線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋 C．

D．

轉一周所得旋轉體的體積等于()A．C．參考答案：A

B． D．

第三篇：高等數學上教案

第一章 函數 1.1集合，1.2函數，1.3函數的集中特性，1.4復合函數，1.5參數方程、極坐標與復數

第二章極限與連續 2.1數列的極限，2.2函數的極限，2.3兩個重要的極限，2.4無窮

小量與無窮大量，2.5函數的連續性，2.6閉區間上的連續函數的性質

第三章 導數的微分 3.1導數的概念，3.2 導數的運算法則，3.3 初等函數的求導問題，3.4 高階導數，3.5函數的微分，3.6高階微分

第四章 微分中值定理及其應用 4.1微分中值定理，4.2 L’Hspital法則，4.3 Taylor公式，4.4函數的單調性和極值，4.5函數的凸性和曲線的拐點、漸近線，4.6平面曲線的曲率

第五章 不定積分 5.1不定積分的概念和性質，5.2換元積分法，5.3分部積分法，5.4

幾種特殊類型函數的不定積分

第六章 定積分 6.1定積分的概念，6.2定積分的性質與中值定理，6.3微積分基本公式，6.4 定積分的換元法與分部積分法 6.5 定積分的近似計算6.6廣義積分

第七章 定積分的應用 7.1微元法的基本思想，7.2定積分在幾何上的應用，7.3 定積分

在物理上的應用

第八章 微分方程 8.1 微分方程的基本概念，8.2 幾類簡單的微分方程，8.3一階微分方

程8.4全微分方程與積分因子8.5二階常系數線性微分方程，8.6常系數線性微分方程

第四篇：高等數學(上)重要知識點歸納

高等數學（上）重要知識點歸納

第一章 函數、極限與連續

一、極限的定義與性質

1、定義（以數列為例）

limxn?a????0,?N,當n?N時，|xn?a|??

n??

2、性質

f(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)為某一個無窮小。(1)limx?x0f(x)?A?0，則???0,當x?U(x0,?)時，(2)(保號性）若limx?x0of(x)?0。

(3)*無窮小乘以有界函數仍為無窮小。

二、求極限的主要方法與工具

1、*兩個重要極限公式

(1)lim??0sin?1?

1(2)lim(1?)??e ?????

2、兩個準則

(1)*夾逼準則

(2)單調有界準則

3、*等價無窮小替換法 常用替換：當??0時

（1)sin?~?

（2）tan?~?

（3）arcsin?~?

（4)arctan?~?（5）ln(1??)~?

（6）e??1~?（7）1?cos?~?

2（8）n1???1~

12? n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定積分定義

三、無窮小階的比較*

高階、同階、等價

四、連續與間斷點的分類

1、連續的定義*

f(x)在a點連續

?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a)

?x?0x?a??可去型（極限存在）第一類???跳躍型（左右極限存在但不相等）??

2、間斷點的分類? ?無窮型（極限為無窮大）?第二類?震蕩型（來回波動）???其他???

3、曲線的漸近線*(1)水平漸近線：若limf(x)?A,則存在漸近線：y?Ax??(2)鉛直漸近線：若limf(x)??,則存在漸近線：x?ax?a

五、閉區間連續函數性質

1、最大值與最小值定理

2、介值定理和零點定理

第二章 導數與微分

一、導數的概念

1、導數的定義* y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a)|x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a

2、左右導數

左導數f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?右導數f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?

3、導數的幾何意義* y?|x?a?曲線f(x)在點（a,f(a))處的切線斜率k

4、導數的物理意義

若運動方程：s?s(t)則s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）

5、可導與連續的關系:

可導?連續，反之不然。

二、導數的運算

1、四則運算(u?v)??u??v?

(uv)??u?v?uv?

()??uvu?v?uv?

2vdydydu?u?

2、復合函數求導 設y?f[?(x)]，一定條件下? ?yuxdxdudx3、反函數求導 設y?f(x)和x?f?1(y)互為反函數，一定條件下：y?x?1 x?y4、求導基本公式*（要熟記）

5、隱函數求導* 方法：在F(x,y)?0兩端同時對x求導，其中要注意到：y是中間變量，然后再解出y?

?x?x(t)

6、參數方程確定函數的求導* 設?，一定條件下

?y?y(t)y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不記）y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)

7、常用的高階導數公式（1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)

n（2）cosx?cos(x??),(n?0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...)n(1?x)1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...)（4）(n?11?x(1?x)（5）（萊布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k)

(n)k?0n

三、微分的概念與運算

1、微分定義 * 若?y?A?x?o(?x)，則y?f(x)可微，記dy?A?x?Adx

2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx

3、可微與可導的關系* 兩者等價

4、近似計算 當|?x|較小時，?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x

第三章 導數的應用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(2)f(x)、g(x)在(a,b)內可導（3）g(x)?0,則：f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),使得：?g?(?)g(b)?g(a)當取g(x)?x時，定理演變成：

2、拉格朗日中值定理*

???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

b?a當加上條件f(a)?f(b)則演變成：

3、羅爾定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0

4、泰勒中值定理 在一定條件下：

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)

n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之間.其中Rn(x)?(n?1)!當公式中n=0時，定理演變成拉格朗日定理.當x0?0時，公式變成:

f(n)(0)n5、麥克勞林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x)

n!

6、常用麥克勞林展開式

x21n（1）e?1?x??...?x?o(xn)

2!n!xx3x5(?1)n?12n?1x?o(x2n)（2）sinx?x??...?3!5!(2n?1)!x2x4(?1)n2nx?o(x2n?1)（3）cosx?1??...?2!4!(2n)!x2x3(?1)n?1n（4）ln(1?x)?x??...?x?o(xn)

23n

二、羅比達法則* 記住：法則僅能對,型直接用，對于0??,???,1?,00,?0,轉化后用.冪指函數恒等式*fg?eglnf

三、單調性判別*

1、y??0?y?,y??0?y?

2、單調區間分界點：駐點和不可導點.四、極值求法*

1、極值點來自：駐點或不可導點（可疑點）.2、求出可疑點后再加以判別.3、第一判別法：左右導數要異號，由正變負為極大，由負變正為極小.4、第二判別法：一階導等于0，二階導不為0時，是極值點.正為極小，負為極大.五、閉區間最值求法* 找出區間內所有駐點、不可導點、區間端點，比較大小.0?0? 7

六、凹凸性與拐點*

1、y???0?y?,y???0?y?

2、拐點：曲線上凹凸分界點(x0,y0).橫坐標x0不外乎f??(x0)?0,或f??(x0)不存在，找到后再加以判別x0附近的二階導數是否變號.七、曲率與曲率半徑

1、曲率公式K?|y??|(1?y?2)

12、曲率半徑R?

K32

第四章 不定積分

一、不定積分的概念* 若在區間I上，F?(x)?f(x),亦dF(x)?f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的原函數.稱全體原函數F(x)+c為f(x)的不定積分，記為?f(x)dx.二、微分與積分的互逆關系

1、[?f(x)dx]??f(x)?d?f(x)dx?f(x)dx

2、?f?(x)dx?f(x)?c??df(x)?f(x)?c

三、積分法*

1、湊微分法*

2、第二類換元法

3、分部積分法* ?udv?uv??vdu

4、常用的基本積分公式(要熟記).第五章 定積分

一、定積分的定義 ?af(x)dx?limf(?i)?xi ??x?0i?

1二、可積的必要條件

有界.三、可積的充分條件

連續或只有有限個第一類間斷點或單調.四、幾何意義

定積分等于面積的代數和.bn 9

五、主要性質*

1、可加性 ?a??a??c

2、估值 在[a,b]上，m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

3、積分中值定理* 當f(x)在[a,b]上連續時：?af(x)dx?f(?)(b?a),??[a,b]

4、函數平均值：?babcbbbf(x)dxb?a

六、變上限積分函數*

1、若f(x)在[a,b]連續，則F(x)??af(t)dt可導，且[?af(t)dt]??f(x)

2、若f(x)在[a,b]連續，?(x)可導，則：[?a

七、牛-萊公式* 若f(x)在[a,b]連續，則?af(x)dx?[?f(x)dx]|b?F(b)?F(a)

axx?（x）f(t)dt]??f[?(x)]??(x)

b

八、定積分的積分法*

1、換元法

牢記：換元同時要換限

2、分部積分法

?audv?uv|??avdu

babb3、特殊積分（1）??aa??0,當f(x)為奇函數時f(x)dx??a

??2?0f(x)dx,當f(x)為偶函數時（2）當f(x)為周期為T的周期函數時：

?aa?nTf(x)dx?n?0f(x)dx,n?Z?

?T（3）一定條件下:?0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx

2?? 10

?(n?1)！，n是正奇數時????（4）?02sinnxdx??02cosnxdx??n!

?(n?1)！?，n是正偶數時?!2?n！（5）?0sinxdx?2?02sinnxdx n??

九、反常積分*

1、無窮區間上

???a?

其他類似 f(x)dx?lim?af(t)dt?F(x)|?a?F(??)?F(a)x?????x2、p積分：?a?p?1時收斂1 dx(a?0):?px?p?1時發散

3、瑕積分：若a為瑕點：

b?則?af(x)dx?limf(t)dt?F(x)|?F(b)?F(a)

其他類似處理

?ax?ax??bb

第六章

定積分應用

一、幾何應用

1、面積（1）A??（y上-y下）dxaA??（x右-x左）dyabb

??x?x(t),(??t??),則A???|y(t)x?(t)|dt（2）C:??y?y(t)C:???(?),與???，???，（?????)圍成圖形面積（3）1?2A????（?）d?2

2、體積*（1）旋轉體體積*Vx???ay2dx

Vy???cx2dy

或Vy?2??axydx（2）截面面積為A?A(x)的立體體積為V??aA(x)dx

bbdb 11

3、弧長

（1）s??a1?y?2dx(a?x?b)（2）s???x?2(t)?y?2(t)dt,(??t??)（3）s????2???2d?,(?????)

二、物理應用

1、變力作功

一般地：先求功元素：再積分w??aF(x)dx dw?F(x)dx,x?[a,b]，克服重力作功的功元素dw=體積???g?位移

2、水壓力

dP=水深?面積???g

第七章

微分方程

一、可分離變量的微分方程

dy形式：?f(x)g(y)

dxbb??二、一階線性微分方程*

1、線性齊次：y??p(x)y?0 通解公式*：y?Ce?p(x)dx?

2、線性非齊次

y??p(x)y?q(x)通解公式*：y?e?

?p(x)dxp(x)dx?[?eq(x)dx?C)

第五篇：2016高等數學(上)考試大綱

2016 級《高等數學 BI》考試大綱

一、函數、根限和連續性

1、函數：函數的概念及性質，函數的表達式、定義域，反函數。函數的四則運

算與復合運算；基本初等函數的性質及其圖；初等函數的概念。

2、極限：極限的概念（左極限與右根限），極限的性質，極限的四則運算法則；

無窮小量、無窮大量的概念，無窮小量的性質、無窮小量階的比較，等價無窮小，兩個重要極限，極限存在準則；數列極限和函數極限的求法。

3、連續：函數連續與間斷的概念，函數的間斷點及判定其類型的方法；閉區間

上連續函數的性質，證明一些簡單命題。二、一元函數微分學

1、導數與微分：導數的概念及其幾何意義，可導性與連續性的關系；求曲線上

一點處的切線方程與法線方程；基本函數的導數公式，導數的四則運算法則，復

合函數求導法；隱函數求導法（對數求導法），參數方程確定的函數的求導法；

高階導數的概念及求法函數；微分的概念，微分運算法則，可微與可導的關系。

2、中值定理及導數的應用：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理（條

件、結論及其幾何意義）；用洛必達法則求極限；利用導數求函數的單調增、減

區間，利用導數判定曲線的凹凸性與拐點；函數極值的概念，函數極值與最值；

證明簡單的不等式；曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。三、一元函數積分學

1、不定積分：原函數與不定積分的概念及其關系，不定積分的性質；不定積分 的基本公式；不定積分的第一換元法、第二換元法，不定積分的分部積分法。

2、定積分：定積分的概念與幾何意義，定積分的基本性質；積分上限的函數及

其導數；牛頓-萊布尼茨公式；定積分的換元積分法與分部積分法。

3、定積分的應用：.平面圖形的面積，平面曲線弧長，平面圖形繞坐標軸旋轉所

生成旋轉體的體積。

四、常微分方程

1、一階微分方程：微分方程的定義，微分方程的階、解、通解、初始條件和特

解；可分離變量方程、齊次方程和一階線性方程的解法。

?n ??型方程。

2、可降階的微分方程：降階法解 y ? f ?x?、y???? f ?x, y??、y?????f ?y, y???

3、二階線性微分方程：二階線性微分方程解的結構，常系數齊次線性微分方程

x 的解法；常系數非齊次線性微分方程的解法（f ?x ? ? Pm ?x ? e，其中 Pm ?x?為

?x的 m 次多項式，? 為實常數）。

（注：教材《高等數學》（上）（同濟第七版）中帶”*”的內容不作為考試內容）

考試形式及試卷結構

一．試卷總分：100 分 二．考試時間：120 分鐘 三．考試方式：閉卷，筆試 四．試卷內容比例：

1、函數、極限和連續

2、導數與微分

3、微分中值定理與導數應用

4、不定積分

5、定積分

6、定積分的應用

7、微分方程 五．試卷題型比例：

1、選擇題（5*3=15 分）

2、填空題（5*3=15 分）

3、計算題（6*8=48 分）

4、應用題（2*7=14 分）

5、證明題（1*8= 8 分）

約 17% 約 22% 約 18% 約 11% 約 18% 約 7% 約 7%

重慶交通大學大學數學教研室 2016 年 12 月 25 日