第一篇：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4—恒成立問題

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4—恒成立問題

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,考查綜合解題能力,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型:1.一次函數(shù)型;2.二次函數(shù)型;3.變量分離型;4.根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì);5.直接根據(jù)函數(shù)的圖象;6.利用導(dǎo)數(shù)求解。

“恒成立”的含義，一定是比“比最大的還大”或“比最小的還小”。因此恒成立問題往往又可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題。A組：

1．（1）實(shí)數(shù)k為何值時(shí)不等式ex

?kx對(duì)任意x?R恒成立？（2）實(shí)數(shù)k為何值時(shí)關(guān)于x的不等式lnx?kx

恒成立？

2．已知函數(shù)f(x)?x3?ax2?x?1,a?R，若函數(shù)f(x)在區(qū)間????23,?1?

3??

內(nèi)是減函數(shù).求a的取值范圍.3．已知函數(shù)f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，當(dāng)x≥1

時(shí)，f(x)≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－e－

x，若對(duì)任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

5．若關(guān)于x的方程x2

?2alnx?2ax（a＞0）有唯一解，求實(shí)數(shù)a的值．

6．已知f(x)?ln(x?1)，g(x)?1?1

x?1，試證：對(duì)任意的x＞0，都有f(x)?g(x)成立．

7．已知函數(shù)f(x)?ex

?kx，x?R。

（Ⅰ）若k?e，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若k?0，且對(duì)于任意x?R，f(x)?0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；

B組：

1．設(shè)函數(shù)f(x)?

sinx

2?cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果對(duì)任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范圍．

2．設(shè)函數(shù)f(x)?

lnx

1?x

?lnx?ln(x?1)．（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f(x)≥a的解集為（0，+?）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．

3．設(shè)函數(shù)f(x)?

xlnx

(x?0且x?1)。1（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知2x

?xa對(duì)任意x?(0,1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函數(shù)f1?x

.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式(1?

1n)n?a

?e對(duì)任意的n?N*都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求?的最大值.5．設(shè)函數(shù)f(x)?x2?bln(x?1)，其中b?0．

（Ⅰ）當(dāng)b?

時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln??1?11?n?1???n2?n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（n?N*）是曲線y?e上的點(diǎn)，a1?a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足

S22

n?3n2an?Sn?1，an?0，n?2，3，4，…．（I）證明：數(shù)列??

bn?2?

?（n≤2）是常數(shù)數(shù)列； ?bn?

（II）確定a的取值集合M，使a?M時(shí)，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；

（III）證明：當(dāng)a?M時(shí)，弦AnAn?1（n?N*）的斜率隨n的增大而單調(diào)遞增．

7．已知函數(shù)f(x)?x2

?|x?1|,g(x)?x3?ax(a?0)，若?x1?[1,2],?x2?[2,3]，使得

f(x1)?x?1

g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a是取值范圍． 1

第二篇：高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題講義二：恒成立

導(dǎo)數(shù)中恒成立存在問題+零點(diǎn)問題

探究1

已知函數(shù)，其中?R．若對(duì)任意的x1，x2?[-1，1]，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

探究2

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線與直線平行。

記函數(shù)恒成立，求c的取值范圍。

探究3

已知函數(shù).若，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.探究4

已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最大值為．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）設(shè)，函數(shù)，．若對(duì)任意，總存在，使，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

探究5

.已知函數(shù)為常數(shù)）．

若a<0，且對(duì)任意的.x

［1,e］，f（x）≥(a－2)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

探究6

已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求函數(shù)在x1處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，其中為常數(shù)，求證：；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

探究7

已知函數(shù)，.（1）若，則，滿足什么條件時(shí)，曲線與在處總有相同的切線？

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求的取值的集合.探究8

已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）令是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且滿足求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

探究9

設(shè)函數(shù).若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）的圖象與函數(shù)的圖象總相切于一個(gè)定點(diǎn).①

求與的值；

②

對(duì)上的任意實(shí)數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.探究10

已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．

若m∈（﹣1，0），設(shè)函數(shù)，求證：對(duì)任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．

1解答：

“對(duì)任意的x1，x2?[-1，1]，都有|f￠(x1)-f￠(x2)|￡4”等價(jià)于“函數(shù)y=f

′(x),x?[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于4”.對(duì)于f

′(x)=x2－2mx－1,對(duì)稱軸x=m.①當(dāng)m<-1時(shí),f

′(x)的最大值為f

′(1),最小值為f

′(-1),由

f

′(1)-f

′(-1)￡4,即-4m￡4,解得m31,舍去;

……………………………6分

②當(dāng)-1￡m￡1時(shí),f

′(x)的最大值為f

′(1)或f

′(-1),最小值為f

′(m),由,即,解得-1￡m￡1;

………………………………8分

③當(dāng)m>1時(shí),f

′(x)的最大值為f

′(-1),最小值為f

′(1),由

f

′(-1)-f

′(1)￡4,即4m￡4,解得m￡1,舍去;

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,1].2：解答

3解答

4解答．（1）當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，由條件，當(dāng)x

4∈(-4，-2)，的最大值為

4，所以的最大值為

1．……………………………………………………………2分

因?yàn)椋睿裕?分

因?yàn)椋裕?dāng)x∈(0，)時(shí)，是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(，2)時(shí)，；是減函數(shù)．

則當(dāng)x

=時(shí)，取得最大值為．所以a

=

1．……6分

（2）設(shè)在的值域?yàn)锳，在的值域?yàn)锽，則依題意知AB．

因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以A

=

．

又，因?yàn)椋裕?/p>

①

b

0時(shí)，>

0，g(x)是增函數(shù)，B

=

．

因?yàn)锳B，所以．解得．

②

b

0時(shí)，<

0，g(x)是減函數(shù)，B

=

．

因?yàn)锳B，所以．．

由①，②知，或．……………………………………………

5解答

6解答：（1）因?yàn)椋裕剩?/p>

所以函數(shù)在x1處的切線方程為，即．

……

2分

（2）由已知等式得．

記，則．

……

4分

假設(shè)．

①

若，則，所以在上為單調(diào)增函數(shù)．

又，所以，與矛盾．

……

6分

②

若，記，則．

令，解得．

當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)．

所以，所以，所以在上為單調(diào)增函數(shù)．

又，所以，與矛盾．

綜合①②，假設(shè)不成立，所以．

……

9分

（3）由得．

記，則．

①

當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕栽谏蠟閱握{(diào)增函數(shù)，所以，故原不等式恒成立．

……

12分

②

法一：

當(dāng)時(shí)，由（2）知，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，所以，不合題意．

法二：

當(dāng)時(shí)，一方面．

另一方面，．

所以，使，又在上為單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，故在上為單調(diào)減函數(shù)，所以，不合題意．

綜上，．

……

16分

7解答．解：（1），又，在處的切線方程為，……………2分

又，又，在處的切線方程為，所以當(dāng)且時(shí)，曲線與在處總有相同的切線

………4分

（2）由，，………7分

由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，.………10分

（3）由，則，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，時(shí)，與函數(shù)矛盾，………12分

②當(dāng)時(shí)，；，函數(shù)在單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，又，與函數(shù)矛盾，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，同理，與函數(shù)矛盾，（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，故滿足題意.綜上所述，的取值的集合為.……………16分

8解答

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論函數(shù)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值（2）先轉(zhuǎn)化不等式不妨取，則，即恒成立，即在上單調(diào)遞增，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在恒成立.最后利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，求參數(shù).（3）不等式有解問題與恒成立問題一樣，先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，這要用到二次求導(dǎo)，才可確定函數(shù)單調(diào)性：在上單調(diào)遞增，進(jìn)而確定函數(shù)最值

試題解析：解（1），令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最小值為；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，的最小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）,對(duì)于任意的，不妨取，則,則由可得，變形得恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，故在恒成立，在恒成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，.（3），.，使得成立.令，則，令，則由

可得或（舍）

當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.在上恒成立.在上單調(diào)遞增.，即.實(shí)數(shù)的最大值為.9解

（2）①，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，據(jù)題意是與無關(guān)的常數(shù)，故，切點(diǎn)為，……………6分

由點(diǎn)斜式得切線的方程為，即，故.…..………8分

②

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有;

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有;

故對(duì)恒成立，或?qū)愠闪?而，設(shè)函數(shù).則對(duì)恒成立，或?qū)愠闪ⅲ?0分，當(dāng)時(shí)，,恒成立,所以在上遞增，故在上恒成立，符合題意..……...………12分

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得,故在上遞減，所以，而設(shè)函數(shù)，則，恒成立，在上遞增，恒成立，在上遞增，恒成立，即，而，不合題意.綜上，知實(shí)數(shù)的取值范圍.………………16分

10解

（2）G（x）=，則G′（x）=﹣，對(duì)任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即證G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]遞增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]遞減，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要證G（x）max≤H（x）min，即證≤﹣（1﹣m）+，即證4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，則t∈（1，2），設(shè)r（x）=ex（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5ex﹣xex﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）ex﹣4≥2ex﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]遞增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴ex（5﹣x）≥4（x+1），從而有﹣（1﹣m）+≥，即當(dāng)x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．

第三篇：淺談導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用

淺談導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，很多數(shù)學(xué)問題如果利用導(dǎo)數(shù)探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點(diǎn)，而且能夠把復(fù)雜的分析推理轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數(shù)的單調(diào)性、最值問題；數(shù)列，不等式等相關(guān)問題方面，導(dǎo)數(shù)都能發(fā)揮重要的作用。

一、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

例1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x過點(diǎn)A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點(diǎn)A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設(shè)切點(diǎn)為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點(diǎn)B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點(diǎn)A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點(diǎn)B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個(gè)數(shù)。

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當(dāng)a>3，x∈［0，2］時(shí)f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個(gè)根。

三、求參數(shù)的范圍

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；x∈（-，+）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個(gè)相異實(shí)根時(shí)，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題

例4.函數(shù)f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當(dāng)m-1≤1即m≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，不合題意。

（2）當(dāng)m-1>1即m>2時(shí)，函數(shù)f'（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，m-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（m-1，+∞）上為增函數(shù)。根據(jù)題意有：當(dāng)x∈（1，4）時(shí)f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值

例5.已知函數(shù)（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時(shí)f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時(shí)f'（x）>0

當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1,1）為減函數(shù)。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

例6.若函數(shù)y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則f（x）的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項(xiàng)中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例7.對(duì)于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設(shè)f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續(xù)，f（x）在［0，+∞］上單調(diào)遞增，∴x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

例8.求數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項(xiàng)和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數(shù)列nxn-1（x≠0，1）的前n項(xiàng)和。

九、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題

例9.某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）。

（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式。

（注：函數(shù)的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達(dá)縣石橋中學(xué)）

第四篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)

班級(jí)第小組，姓名學(xué)號(hào)

高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)題

8、偶函數(shù)f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點(diǎn)P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(diǎn)(4,2)的切線方程。

4、設(shè)曲線y?

x?1

x?1

在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數(shù)y?x3

?3x的單調(diào)減區(qū)間是

6、已知函數(shù)f(x)?x3

?12x?8在區(qū)間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當(dāng)x?[?1,2]時(shí)，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

高二數(shù)學(xué)下導(dǎo)學(xué)案

函數(shù)y?f(x)的解析式。

9.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數(shù)y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設(shè)函數(shù)f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對(duì)于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數(shù)f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當(dāng)x?2函數(shù)f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

第五篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

石志群

13題：求一個(gè)正常數(shù)a，使得對(duì)于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價(jià)于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對(duì)于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當(dāng)｜x|≤1時(shí)，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區(qū)間的端點(diǎn)取得，就是在極值點(diǎn)處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個(gè)結(jié)果有何用呢？現(xiàn)在該考慮極值點(diǎn)了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點(diǎn)，考慮f(x)在兩側(cè)的符號(hào)可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個(gè)題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數(shù)思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數(shù)觀點(diǎn)為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發(fā)揮所得到的信息的作用。本題中先從區(qū)間端點(diǎn)入手，對(duì)a的取值范圍作初步控制，而這個(gè)控制為后續(xù)思維的展開提供了依據(jù)：它確定了極值點(diǎn)的位置，為對(duì)a作進(jìn)一步的限制提供了可能。三是要學(xué)會(huì)運(yùn)用等與不等的辯證關(guān)系從不等中構(gòu)造相等關(guān)系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會(huì)想到，肯定是由區(qū)間端點(diǎn)與極值點(diǎn)這些可能取得最值的點(diǎn)之間的制約關(guān)系，構(gòu)造出需要的幾個(gè)不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。