高中數學不等式的恒成立問題

一、用一元二次方程根的判別式

有關含有參數的一元二次不等式問題，若能把不等式轉化成二次函數或二次方程，通過根的判別式或數形結合思想，可使問題得到順利解決。

基本結論總結

例1??對于x∈R，不等式恒成立，求實數m的取值范圍。

例2：已知不等式對于Ｒ恒成立，求參數的取值范圍．

解：要使對于Ｒ恒成立，則只須滿足：

（1）

或（2）

解（1）得，解（2）＝２

∴參數的取值范圍是－２＜２．

練習1.已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。

2.若對于x∈R，不等式恒成立，求實數m的取值范圍。

3.若不等式的解集是R，求m的范圍。

4.取一切實數時，使恒有意義，求實數的取值范圍．

例3．設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。

O

x

yx

關鍵點撥：為了使在恒成立，構造一個新函數是解題的關鍵，再利用二次函數的圖象性質進行分類討論，使問題得到圓滿解決。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。

解：，則當時，恒成立

當時，顯然成立；

當時，如圖，恒成立的充要條件為：

解得。綜上可得實數的取值范圍為。

例4

。已知，求使不等式對任意恒成立的a的取值范圍。

解法1：數形結合結合函數的草圖可知時恒成立

。所以a的取值范圍是。

解法2：轉化為最值研究

1.若上的最大值。

2.若，得，所以。

綜上：a的取值范圍是。

注：1.此處是對參a進行分類討論，每一類中求得的a的范圍均合題意，故對每一類中所求得的a的范圍求并集。

2.恒成立；

解法3：分離參數

。設，注：1.運用此法最終仍歸結為求函數的最值，但由于將參數a與變量x分離，因此在求最值時避免了分類討論，使問題相對簡化。

2.本題若將“”改為“”可類似上述三種方法完成。

仿解法1：即

讀者可仿解法2，解法3類似完成，但應注意等號問題，即此處也合題。

例5.已知：求使恒成立的a的取值范圍。

解法1：數形結合結合的草圖可得：

或得：。

解法2：轉化為最值研究

1.，所以。

2.若矛盾。

3.若矛盾。綜上：a的取值范圍是。

解法3：分離參數

1.時，不等式顯然成立，即此時a可為任意實數；

2.時。因為上單調遞減，所以；

3.時。因為在（0，1）上單調遞減，所以

。綜上：a的范圍是：。

注：本題中由于x的取值可正可負，不便對參數a直接分離，故采取了先對x分類，再分離參數a，最后對各類中求得a的范圍求交集，這與例1方法三中對各類中求得的a的范圍求并集是不同的，應引起注意！

例6.已知：，求使對任意恒成立的x的取值范圍。

解：習慣上視x為主元而a為輔元，但本題中是a在上任意變化時不等式恒成立，故可將a視為主元。

變更主元法：設，則的圖像為一直線，則時恒成立

即x的范圍是：

總之，處理不等式恒成立問題首先應分清誰是主元（哪一個變量在給定區間上任意變化，則該變量即為主元相當于函數自變量），然后可數形結合或轉化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需分類討論則應注意分類標準和最后的小結（分清是求交集，還是求并集）。

二、利用函數的最值（或值域）

（1）對任意x都成立

（2）對任意x都成立。簡單計作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。

例1．已知函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。

解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得

而拋物線在的最小值得

例2

已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析

本題可以化歸為求函數f(x)在閉區間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立

或或，即a的取值范圍為.點評

對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于或小于等于常數問題,可以求函數最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.設函數是定義在上的增函數，如果不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍。

分析：本題可利用函數的單調性把原不等式問題轉化為對于任意恒成立，從而轉化為二次函數區間最值求解。

解：是增函數對于任意恒成立

對于任意恒成立

對于任意恒成立，令，所以原問題，又即

易求得。

三、變更主元法

在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.用一次函數的性質

對于一次函數有：

例題1：已知不等式對任意的都成立，求的取值范圍.解：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，原不等式可化為

令是關于m的一次函數。

由題意知解得∴x的取值范圍是

關鍵點撥：利用函數思想，變換主元，通過直線方程的性質求解。評注：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折；若轉換一下思路，把待求的x為參數，以為變量，令則問題轉化為求一次函數（或常數函數）的值在內恒為負的問題，再來求解參數應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了

例2．對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。

分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。

解：令，則原問題轉化為恒成立（）。

當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。

故的取值范圍為。

例3

已知對于任意的a∈[-1,1]，函數f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0

恒成立，求x的取值范圍.解析

本題按常規思路是分a=0時f(x)是一次函數，a≠0時是二次函數兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數，我們可以通過變量轉換，把a看成變量，x看成常參數，這就轉化一次函數問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]時，g(a)>0恒成立，則，得.點評

對于含有兩個參數，且已知一參數的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數為自變量的函數，利用函數圖象求另一參數的取值范圍。

例4

對于滿足|p|2的所有實數p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發直接求解較難，若逆向思維把

p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數函數值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。

解：原不等式可化為

(x-1)p+x2-2x+1>0,令

f(p)=

(x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：o

y

x

y

x

方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：∴x<-1或x>3.例5

已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析

本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間的右側三種情況，即Δ≤0或或，即a的取值范圍為[-7，2].點評

對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的問題,可以考慮函數的零點分布情況,要求對應閉區間上函數圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.設

（1）當時，上恒成立，上恒成立

（2）當時，上恒成立

上恒成立

例6

若時，不等式恒成立，求的取值范圍。

解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。

（1）

當即：時，又所以不存在；

（2）

當即：時，又

（3）

當

即：時，又

綜上所得：

四、分離參數法

此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的最值問題：

若對于取值范圍內的任一個數都有恒成立，則；

若對于取值范圍內的任一個數都有恒成立，則.例1．已知函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。

在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數在上的最大值為，所以。

例2．已知函數時恒成立，求實數的取值范圍。

解：

將問題轉化為對恒成立，令，則

由可知在上為減函數，故

∴即的取值范圍為。

注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。

例3

已知函數，若在區間上，的圖象位于函數f(x)的上方，求k的取值范圍.解析

本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數的最值問題.對于恒成立對于恒成立,令,設,則,即x=1時,k的取值范圍是k>2.變式

若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設,則，，k的取值范圍是k>.點評

本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，本題構造的函數求最值對學生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉化為“對勾函數”，從而求得最值.變式題中構造的函數通過換元后轉化為“二次函數型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數最值策略求解.五、數形結合法

如果不等式中涉及的函數、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數范圍.例1　已知函數若不等式恒成立，則實數的取值范圍是

.解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數的圖象應總在函數的圖象下方，因此，當時，所以故的取值范圍是

x

y

o

y1=(x-1)2

y2=logax

例2

當x(1,2)時，不等式(x-1)2

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，右邊為對數函數，故可以采用數形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。

解：設T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),<恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只需

故loga2>1,a>1,1

若不等式在內恒成立，求實數的取值范圍。

解：由題意知：在內恒成立，在同一坐標系內，分別作出函數和

觀察兩函數圖象，當時，若函數的圖象顯然在函數圖象的下方，所以不成立；

當時，由圖可知，的圖象必須過點或在這個點的上方，則，綜上得：

注：解決不等式問題經常要結合函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函數，利用函數圖像的上、下位置關系來確定參數的范圍.利用數形結合解決不等式問題關鍵是構造函數，準確做出函數的圖象.如：不等式，在時恒成立，求的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設然后在同一坐標系下準確做出這兩個函數的圖象，借助圖象觀察便可求解.練習1：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。

變式：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。

練習2：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。

變式1：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。

變式2：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。