第一篇：高中競賽之重要不等式

高中競賽之重要不等式

1．柯西不等式（給了兩列數，或一列數，有平方和和平方）

定理1 對任意實數組ai,bi(i?1,2,?,n)恒有不等式“積和方不大于方和積”，即

等式當且僅當

時成立。本不等式稱為柯西不等式。

證不等式最基本的方法是作差比較法，柯西不等式的證明也可首選此法。

證明1

n

左=?ai2bi2?2?aibiajbj ∴右-左= i?1i?j

當且僅當 時，等式成立。

柯西不等式的兩個推論：

ⅰ．設 同號（），則

時取等號。，且，則

當且僅當

ⅱ．若

（分母作和）

由柯西不等式可以證下面的不等式。3次可以推廣為4、5等n次。

(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3)?(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3333333333證明:對(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)和(c13+c23+c33)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3 分別用柯西不等式,可得到兩個不等式,將這兩個不等式相乘,再用一次柯西不等式即可證明原不等式.柯西不等式的推廣：閔可夫斯基不等式 設，?，；，?，是兩組正數，k?0且k?1，則

（）

當且僅當a1b1?a2b2???anbn（時等號成立。）

閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當時得平面上的三角形不等式：

若記，右圖給出了對上式的一個直觀理解。，則上式為

特例：(a1?a2???am)?(b1?b2???bm)?a1?b1?22222

a2?b2???22am?bm222(a1?a2???am)?(b1?b2???bm)?(c1?c2???cm)?a1?b1?c1?2222

a2?b2?c2???222am?bm?cm222多個根式可轉化為一個根式。赫爾德不等式

已知

上式中若令????等式。

2〔排序不等式，排序原理〕（給的是兩列數且為對稱的）

設a1?a2???an，b1?b2???bn，則有

nnin?1?initi（）是 個正實數，則，，則此赫爾德不等式即為柯西不?abi?1??abi?1??ab．

iii?1即“反序和”?“亂序和”?“同序和”．其中?t1,t2,?,tn???1,2,?,n?．當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立． 〔切比雪夫不等式〕

實數ai，bi滿足a1?a2???an，b1?b2???bn（i?1，2，?，n）．則

1nn?i?1?1aibi???nn?i?1??1ai????nn?i?1?1bi???nn?abii?1n?1?i．

當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立． 下面給出一個 時的契比雪夫不等式的直觀理解。

如圖，矩形OPAQ中，，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知）。于是有

，也即 琴生不等式 〔凸函數定義〕

1．設f?x?是定義在閉區間?a,b?上的函數，若對任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y?

成立，則稱f?x?是?a,b?上的凸函數（也稱下凸函數或凹函數）．

2．設f?x?是定義在?a,b?上的函數，若對任意x，y??a,b?且x?y和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，則稱f?x?是?a,b?上的嚴格凸函數．

3．設f?x?是定義在?a,b?上的函數，若對任意x，y??a,b?和任意???0,1?，有f??x??1???y???f?x???1???f?y? 成立，則稱f?x?是?a,b?上的上凸函數．

凸函數的定義表明了，上(下)凸函數的兩個自變量的算術平均值處的函數值不

小(大)于其函數值的算術平均值．從圖象上看，表明聯結上(下)凸函數圖形上任何兩點的弦的中點恒位于圖形的對應點之下(上)．見圖1．

圖1 注意到在定義中，凸函數的條件是對區間內的任意兩點x1和x2都成立，不難看出，這實際上就保證了函數在整個區間的凸性．即上凸函數圖象上的任一段弧都在所對應的弦的上方；下凸函數圖象上的任一段弧都在所對應的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的區域．正因為這種函數的圖象具有這種特點，所以我們才把它形象地名之曰：凸函數．

在初等數學里，關于函數的凸性，可根據圖象來判斷．例如，讀者不難根據圖象可以得出：

冪函數y=xa．當a＞1或a＜0時，是(0，∞)上的下凸函數；當0＜a＜1時，是(0，∞)上的上凸函數．

指數函數y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函數．

對數函數y=logcx(a≠1)．當a ＞1時，是(0，∞)上的上凸函數；當0＜a＜1時，是(0，∞)上的下凸函數．

三角函數y=sinx是[0，π]上的上凸函數，是[π，2π]上的下凸函

上述函數的凸性；也可以根據定義用初等方法來證明．學過微分學的讀者還可以根據函數的二階導數的符號來判斷函數的凸性．即，若函數f(x)對在定義域(a，b)內的所有x恒有f' '(x)＜0，則f(x)是(a，b)上的上凸函數；如果恒有f(x)＞0，' '則f(x)是(a，b)上的下凸函數．

〔琴生〔Jensen）不等式〕（變量做和）

若f?x?是區間?a,b?上的凸函數，則對任意x1，x2，?，xn??a,b?有

?1f??nn?i?1?1xi???n?f?x?．

ii?1n當且僅當x1?x2???xn時等號成立．當f?x?為上凸函數時，不等式反向． 〔琴生〔Jensen）不等式推論，即加權琴生不等式〕

若f?x?是區間?a,b?上的凸函數，則對任意x1，x2，?，xn??a,b?和對任n意滿足?pi?1的正數p1，p2，?，pn，有

i?1?n?f??pixi???i?1?n?i?1pif?xi?．當且僅當x1?x2???xn時等號成立．

若令qi=pi／(p1＋?＋pn)，其中p1，?，pn是任意正數．則琴生不等式(2)變成：

在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函數，便得不同的不等式．

例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，則f(x)是R+上的凸函數，因此有

例2 令f(x)=lgx，x＞0，則f(x)是R+上的凹函數，故有

取反對數，得

此即加權平均不等式．

1?n?1．設ai全是正數，且s???ai??ai（i?1，2m?i?1?，?，n），且n?m，n?2．求證：

n（1）?i?1ns?aiaiais?ai?n?n?m?mnmn?m；

（2）?i?1?．

證明：不妨設a1?a2???an?0，于是

s?an?s?an?1???s?a1，1ann?1an?1???1a1．由切比雪夫不等式得

n1nn?i?1s?aiai?1???nn?i?1??1?s?ai??????nnn?i?1n1??n?m?s??ai?n?n?1???n??i?11??．（*）?ai?又由均值不等式知?i?11ai?1n?ai?1i．又?ai?ms，所以

i?11n?ani?11i?nn?inms，而n?m，代入（*）后整理可得（1）成立．

?ai?1另一方面

1s?a1?1s?a2???1s?an，a1?a2???an．由切比雪夫不等式得

n1nn?i?1?1???ns?ai?ain?i?1??1??s?ai???n1?i?1?ai?．（**）?由均值不等式：

nn?i?1n1s?ai?1n??s?ai??i?1nns?msn，故

1n?n1s?ai?ni?1?n?m?s．

又?ai?ms，代入（**）整理后可得（2）成立．

i?1 2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龍頭灌滿 總花費的時間為：

T?mp1??m?1?p2???pm??10?m?q1??9?m?q2???q10?m．

其中?p1,p2,?,pm,q1,q2,?,q10?m???t1,t2,?,t10?，t1?t2???t10． 首先我們來證明m?5．若不然，我們讓在 3．在?ABC中，求證下列各不等式：（1）sinA?sinB?sinC?（2）tanAm?tanBm?tanCm332；

?3m?3tan，其中m?N且m?2．

證明：（1）考查正弦函數y?sinx，在?0,??為上凸函數，故

sinA?sinB?sinC3A?B?C3?sin?sin?3?32．

即sinA?sinB?sinC?332xm．，在?0,??上是凸函數．

x?y2（2）考查函數f?x??tan 6．設x?0，y?0，證明：xlnx?ylny??x?y?ln．

1x?0證明：考查函數f?x??xlnx（x?0），其二階導數f???x??凸函數．所以

f?x??f?y??x?y?，f???2?2?，故其為即

x?y2lnx?y2?12?xlnx?ylny?．

7．對正數a1，a2，?，an，若k?1或k?0，則

a1?a2???annkkk?a?a2???an???1?；

n??k若0?k?1，則

a1?a2???ann kkk?a?a2???an???1?．

n??

k證明：考查函數f?x??xk（x?0）．其二階導數f???x??k?k?1?xk?2． 當k?0或k?1時，f???x??0，故函數f?x??xk（x?0）為凸函數； 當0?k?1時，f???x??0，故函數f?x??xk（x?0）為上凸函數． 以下由琴生不等式立得．

n 8．已知正實數ai（i?1，2，?，n）滿足?ai?1．

i?1n求證：?i?1?1??1??ai????n??． ?ai?n????5?x?21??f?x??ln?x??，x??0,1?．因f???x??22x??x1?xn證明：考查函數

?2?2?????0，故該函數為凸函數．

而0?ai?1（i?1，2，?，n），所以

?n??ai???1?i?1?ln?a??ia???ln?n?i???????nn?1???ln?n??．（?ai?1）n?n??i?1?ai?i?1?1?n??n?i?1去掉對數符號立得．

4．設x1?x2???xn?0，實數p，q都不為零，且t?p?q．則（1）若p，q同號，則

1n?nni?1?1x???ntin?i?1n??1xi????npn?xi?1nqi???；

（2）若p，q異號，則

1?ni?1?1x???nti?i?1??1xi????np?i?1q?xi??．

證明：當p，q同號時，兩者都是正數，由不等式單調性得x1?x2???xn ppp，x1q?x2q???xnq，由切比雪夫不等式得（1）成立；

當p，q異號時，假設p?0，q?0，由不等式單調性得x1p?x2p???xnp，xqqq1?x2???xn，由切比雪夫不等式得（2）成立；

5．設a、b、c為某一三角形三邊長，求證：

a2?b?c?a??b2?c?a?b??c2?a?b?c??3abc．

證明：不妨設a?b?c，易證a?b?c?a??b?c?a?b??c?a?b?c?．由排序原理得

a2?b?c?a??b2?c?a?b??c2?a?b?c?

?a?b?c?a?b??b?c?a?b?c??c?a?b?c?a??3abc．

6．設x1?x2???xn，y1?y2???yn．求證：

n??x2ni?yi????xi?zi?2．

i?1i?1其中z1，z2，?，zn是y1，y2，?，yn的任意一個排列．

nn證明：要證??xi?y2i????xi?zi?2，只要證

i?1i?1nnnn??x22i?y2i????2xiyi????xi?z2i????2xizi?．只要證

i?1i?1i?1i?1nn?xiyi??xizi．

i?1i?1由題設及排序原理上式顯然成立． 7．在?ABC中求證：（1）1?1?16；

sinA2sinB2sinC?2（2）cotA?cotB?cotC222?33；

證明：（1）考查函數y?1sinxx2，其在??0,??????2?上為凸函數；

（2）考查函數f?x??lncot1，在?0,???2?上是凸函數．證明如下：

即證?f?x1??f?x2???f?2?x1?x2??． 2??f?x1??f?x2??lncotx12?lncotx22?lncotx12cotx22

??? ???x1?x2x1?x2???2cos2cos???22??ln?1??ln?1?x?x2x?x2x?x2???cos1?cos11?cos1???222????2lncotx1?x24?x?x2??2f?1?．證畢．

2?? 8．設0?xi??，i?1，2，?，n．那么（1）1n?nni?1?1sinxi?sin??nni?x?；

i?1??（2）?i?1??1sinxi??sin??n?n?i?1??xi????n．

證明：（1）考查函數f?x??sinx，其在?0,??上為凸函數．（2）考查函數f?x??lnsinx，其在?0,??上為凸函數．證明如下： 令x1，x2??0,??，則

sinx1sinx2?1212?cos?x1?x2??cos?x1?x2??

2? ?1?cos?x1?x2??x?x2????sin1?．

2?? 將上述不等式兩端取自然對數，得

lnsinxx1?x21?lnsinx2?2lnsin2，即

lnsinx1?lnsinx21?x22?lnsinx2．

故函數f?x??lnsinx在?0,??上為凸函數．

由琴生不等式

1nnn?lnsinxlnsin??1i?x?i?1?n?i?． i?1?故

nnn?sinx?sin??1i??x??i?．

i?1??n???i?1?4．平均值不等式

設a1,a2,?,an?R?，對于n?N?，則

a21?a222???an2???annn?a1?an?a1a2?an?n1a?1???1

1a2an其中等號當且僅當a1?a2???an時成立。以下為閱讀材料 5．貝努利不等式

（1）設，且同號，則

（2）設，則

（ⅰ）當

（ⅱ）當等號成立。或 時，有 時，有

；

，上兩式當且僅當

時

不等式（1）的一個重要特例是

（）

6．艾爾多斯—莫迪爾不等式

設P為

當且僅當 內部或邊界上一點，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則

，為正三角形，且P為三角形中心時上式取等號。

這是用于幾何問題的證明和求最大（小）值時的一個重要不等式。

7．冪平均不等式 8．權方和不等式

第二篇：高中數學奧賽講義：競賽中常用的重要不等式

高中數學奧賽講義：

競賽中常用的重要不等式

【內容綜述】

本講重點介紹柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的證明與應用

【要點講解】

目錄 §1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 對任意實數組

恒有不等式“積和方不大于方和積”，即

等式當且僅當

本不等式稱為柯西不等式。

時成立。

思路一 證不等式最基本的方法是作差比較法，柯西不等式的證明也可首選此法。

證明1

∴右-左=

當且僅當 思路2 注意到 證明2

當

當定值時，等式成立。時不等式顯然成立，當

時，不等式左、右皆正，因此可考慮作商比較法。

時等式成立； 時，注意到

=1

故

當且僅當

且

（兩次放縮等式成立條件要一致）

即 同號且 常數，亦即

思路3 根據柯西不等式結構，也可利用構造二次函數來證明。

證明3 構造函數

由于。

恒非負，故其判別式

即有

等式當且僅當

若

常數時成立。

柯西不等式顯然成立。

例1 證明均值不等式鏈：

調和平均數≤算術平均數≤均方平均數。

證 設

本題即是欲證：

本題證法很多，現在我們介紹一種主要利用柯西不等式平證明的方法

(1)先證

注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,從而①真 欲證①,即需證

②

①

(11)再證

欲證③,只需證 , ③

而④即要證

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的條件都是)

即各正數彼此相等.說明：若再利用熟知的關系(★)

（其中，結合代換，即

當且僅當式鏈

時，等式成立，說明★的證明參見下節排序不證式或數學歸納法，這樣就得到一個更完美的均值不等

其中等式成產條件都是

§２．排序不等式

定理２設有兩組實數，．

滿足

則

(例序積和)（亂序積和）（須序積和）

其中是實數組時成立。

一個排列，等式當且僅當或

說明 本不等式稱排序不等式，俗稱

例序積和亂序積和須序積和。

證法一． 逐步調整法

首先注意到數組

也是有限個數的集合，從而也只有有限個不同值，故其中必有最大值和最小值（極端性原理）。

設注意下面的兩個和

注意

S（★）

由小到大的順序排列，最小的和就對應

只要適當調整，如★所示就可越調，可見和數Ｓ中最大的和，只能是對應數組數組從大到小的依序排列，不符合如此須序的越大（小），其中ｉ＝１，２??，n。

證法＝ 設

由 則顯見的一個k階子集

等式當且僅當

式

即，時,成立

這就證明了亂序積和≤順序積和

注意列

這里 含義同上，于是有，仿上面證明，得

又證明了例序積和≤亂序積和

綜上排序不等式成立.例2 利用排序不等式證明柯西不等式：

其中

證 不失一般性，設得

（例序積和≤亂序積和)

相加即得

等式當且僅當；

為常數時成立。，則由排序不等式可

①

又∵算術平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

說明“算術平均≤平方平均”可用數學歸納法直接證明如下：

證（i）設n=2，則

（ii）設n=k時，顯然成立

成立，即有

欲證n=k+1時，有

成立，只需證

考慮到歸納假設，只需證

（★）

而（★）是顯然成立的,故n=k+1時命題成立,于是對證法就不存在循環論證之嫌，否則此證法是不宜的。

且n≥2時,命題成立，正是因為存大著不依賴柯西不等式證明“算術平均≤平方平均”的證明方法，例2的例3 利用排序不等式證明正數的算術平均數不小于幾何平均數。

證 設，易見

構造數列，使

則由★知于是由排序不等式,有

(亂序積和)

，(例序積和)

即

從而

其中等式當且僅當

時成立

說明 這里構造了兩個數列值不等式的簡捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

設

(i)若數算術平均數之積：(i=1,2?，n)

和為應用排序不等式創造了條件，得列一個證明均

則順序積和的算術平均數不小于這兩組

（ⅱ）若兩組數算術平均數之積：

；，則倒序積和的算術平均數不大于這

證明（i）由排序原理有

??

迭加可得，，兩邊除以得

等式當且僅當

類似可證(ⅱ)成立

例4 設

證明 不妨令

由切比雪夫不等式，有

；，求證，則

即

從而得證

說明 大家較熟悉的美國競賽題

1979年青海賽題

1978年上海賽題

都是本例的特殊情況或變形。

本周強化練習：

★★★1．設

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長，s是半周長。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

1．不妨令

由切比雪夫不等式

當且僅當 2．設a≥b≥c,則a+b≥a+c≥b+c,()

第三篇：高中不等式問題專題講解

不等式

不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性，對數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據題設與結論的結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。

一、知識整合1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，互相轉化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數、數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系，對含有參數的不等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰．

2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函數的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，相互轉化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰．

4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．

5．證明不等式的方法多樣，內容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯系的途徑，證明時往往聯合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．

6．不等式應用問題體現了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用

1不等式解應用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數學問題，4.作答。

7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識．

二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。

2.解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活運用。3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。

4．根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法。

三、例題分析

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元

素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？ 解：依題可知，本題等價于求函數x=f(y)=(y+3)·

|y-1|+(y+3)

(2)當1≤y≤3時，所以當y=1時，xmin= 4．

簡評：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示 其

數

學

實

質

．

即

求

集

合M

中的元

素

滿

足

關

系

式

例2．已知非負實數x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）A．

B．C．2D． 3 3

3解：畫出圖象，由線性規劃知識可得，選D 例3．數列xn由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?（1）證明：對于n?2,總有xn?

??

1?a??

?? x?,n?Nn??2?xn?

a,（2）證明：對于n?2,總有xn?xn?1． 證明：（1）x1?a?0及xn?1?(xn?

a1aa)知xn?0,從而xn?1?(xn?)?xn??a(n?N?)xn2xnxn

?當n?2時xn?a成立

（2）當n?2時，xn?

a?0,xn?1?

1a1a

(xn?),?xn?1?xn?(?xn)2xn2xn

1a?xn

=??0.?n?2時,xn?xn?1成立。2xn

2a

2?a?0? 例4．解關于x的不等式：xx?a?9

分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數a進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

?x?a?x?a

解：當x?a時，不等式可轉化為 即?2?22

?9x?x?a??2a?9x?9ax?2a?0

?a?x?

3?a b

?x?a?x?a

當x?a時不等式可化為即?2?22

?ax(a?x)?2a?9x?9ax?2a?0

?x?

a2a或?x?a33

a

故不等式的解集為(??,???2a,3?

?3

?

?

a?。6?

例5．若二次函數y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質)

不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)

所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數形結合)

建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以3≤3f(-1)≤6．② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現以下一種錯解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數學結構，然后依其數學結構特征，揭示其代數的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數形結合、方程等數學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數學的素養一定會迅速提高．

例6．設函數f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=?x，均不相交.試證明對一切x?R都有

ax2?bx?c?

.4a

分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則

又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同。為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

解：設2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3....，每年新增汽車x萬輛。由題意得

an?1?0.94an?x即an?1?

x0.06?0.94(ax

n?0.06)axn?(30?)0.94n?1x

0.06?0.06

令a?60,解得x?(30?30

n1?0.94n?1)?0.06

上式右端是關于n的減函數,且當n??時,上式趨于3.6故要對一切自然數n滿足an?60,應有x?3.6,即每年新增汽車不應超過3.6萬輛

第四篇：重要不等式匯總(例題答案)

其他不等式綜合問題

例1：（第26屆美國數學奧題之一）設a、b、c∈R+，求證：

1???.（1）

a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abcabc

分析；最初，某刊物給出了一種通分去分母的較為復雜的證法，這里試從分析不等式的結構出發，導出該不等式的編擬過程，同時，揭示證明此類問題的真諦，并探索其推廣命題成功的可能性。思考方向：（1）的左邊較為復雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應該從左至右進行, 思考方法：（1）從左至右是一個由簡單到復雜的逐步放大過程，所以，一個簡單的想法就是將各分母設法縮小，但考慮到各分母結構的相似性，故只要對其中之一做恰倒好處的變形，并構造出右邊之需要即便大功告成.實施步驟；聯想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端?

1???.ab(a?b)?abcbc(b?c)?abcca(c?a)?abcabc

這一證明是極其簡單的，它僅依賴高中數學課本上的基礎知識，由此可見，中學課本上的知識也能用來攻克高層次的數學競賽題，看來，我們要好好守住課本這快陣地。

（1）刻畫了3個變量的情形，左端的三個分式分母具有如下特征：三個字母中取兩個的三次方與這三個變量的乘積之和，那么，對于更多個變量會有怎樣的結論？

以下為行文方便，記（1）的左端為 ?似處理，不再贅述,為了搞清多個變量時（1）的演變，首先從4個變量時的情形入手,11

。（2）?

a3?b3?c3?abcdabcd

4分析：注意到上面的（*），要證（2），需要證 x+y+z≥xyz(x+y+z)（**），表示對a、b、c輪換求和，以下其它的類

a?b3?abc

3推廣1：設a、b、c、d∈R+，求證：?

（**）是（*）的發展，它的由來得益于證明（1）時用到的（*），這是一條有用的思維發展軌道。事實上，由高中數學課本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x+y+z≥xy+yz+zx≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),這樣（**）得證, 從而（2）便可仿（1）不難證明，略, 推廣2：設ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求證：?

n

44422222

2i?k

i?

1?a??ai

i?1

ni

n

?

1?ai

i?1n

。（3）

有了前面的推廣1的證明，這里的推廣2的證明容易多了，聯想（**），只要能證明

nn

a1n?a2?????an?1?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)（這是（**）的發展）

事實上，由切比雪夫不等式及算術——幾何平均值不等式可知

a?a?????a

n

n2

nn?1

n?1n?1

a1n?1?a2?????an?1?(a1?a2?????an?1)?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)

n?1

有了上式，推廣2便不難證明，略.很顯然，對于推廣2，若按（1）的最初的去分母去證明，當然是行不通的，這也表明，解決數學問題的關鍵一著就是要把握問題的實質，不要被一些較復雜的表面現象所迷惑，要善于觀察，善于分析，善于總結，善于概括，善于發現，善于利用，盡力從表象的東西里抽象概括出本質性的實質性的規律，這才是學習數學的要旨。例2：設x、y、z∈R+，求證：

x2y2z

2?2?2?1.（4）2222

y?z?yzz?x?zxx?y?xy

分析：這是一個并不復雜的分式不等式，但是若要通過去分母來證明，肯定會走彎路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端較為復雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應該從從左至右的進行。思考方法：（1）從左至右是一個逐步縮小的過程，所以，對于本題，一個簡單的想法就是將個分母設法放大，但考慮到分母結構的相似性，故只要對其中之一進行恰倒好處的變形，并設法構造出（4）的右邊即可大功告成。

實施步驟；聯想到高中課本上熟知的的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R),剛好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下證明：

x3x2x22x

2?證明：∵? 只要證明，（5）???,??22y2?z2212y2?z2?yz3(y?z)222

y?z?(y?z)

給（5）的兩邊同時加3，得到?

(x2?y2?z2)(?

x2?y2?z2

y2?z2

?

9，這等價于 2

19122)??(y?z)()?9，??2y2?z2y2?z2

這由Cauchy不等式便知，從而（4）得證。

（4）式刻畫了3個變量的情形，其特點是；左端每一個分式的分母是從3個變量中取兩個，為

兩個的二次方與這兩個變量之積之和，而分子則是剩下一個變量的二次方。現在，我們如果站在變量個數方面考慮，即再增加若干個變量，結論會怎樣？證法還靈嗎？經過再三考慮，得到 推廣1：設ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求證：?

n

ain

k?i

n

?ak??ak

k?i

i?

1?1.（6）

聯想（4）的證明過程，知關鍵是對分母中的乘積項利用二元均值不等式進行放大，然后運用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的證明也只要對每一個分式中分母乘積項逆用多元算術——幾何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，詳細的證明略。

y2x2z2

???1.（7）另外，如果一不小心，將（4）錯寫為如下形式：2

y?yz?z2z2?zx?x2x2?xy?y2

那么，雖然（7）與（4）相比，實質性的東西并沒有發生改變，但就其結構而言已經發生了相當大的改變，即（7）的每一個分母中連續3項依次成等比數列，而（4）的分母中就不具備這樣的性質，繼而，（7）是否從某一方面反映某一普遍意義下的一種特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比數列的角度去審視（7），就可以探索從改變分母的指數出發去聯想，從而得到一個很好的結論，（7）的分母多項式為3項，最高指數為2，分子與分母指數相同，左邊為三個式子之和，右邊為1，試想，當分母中的多項式指數增高時，（7）應該變成什么樣子，準確點兒，當指數為n+1時，相應的結論如何？這就是

推廣2：設xyz∈R+，求證：

xn?1yn?1zn?13（8）?n?1n?n?1n?n?1nn?12n?1n?12n?1n?12n?1

n?2y?yz?yz?????zz?zx?zx????xx?xy?xy?????y

分析：聯想與類比有時候是提出問題和解決問題的金鑰匙，相似問題的解決方法在很多場合往往

都是十分相似的，在這一點上請同學們注意領會并掌握。

思考方向與思考方法基本同于（4），只是實施步驟中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右邊的指數2改為n+1時，結論會變成什么相適應的樣子？

類似于（*），由高中課本上知識知（當然可從指數為3，4，5，…,去探索，這里就省去探索的過程了，因為高中課本上已有指數為3、5時的結論）： nkknn+kn+k

xy+xy≤x+y,(x、y∈R+，n、k∈N+)

這是一個有意義的結論，于是xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤

yn?1xn?

1??

yn?1?ynz?yn?1z2?????zn?1zn?1?znx?zn?1x2????xn?1xn?1?xny?xn?1y2?????yn?1

n?2n?1

(x?yn?1),即 2n?1z

2xn?1yn?1zn?1

3?(n?1??)?.(注意到（5）)到此，推廣2獲證。n?1n?1n?1n?1n?1

n?2y?zn?2z?xx?y

實際上，通過剛才對（7）的分析知道，（7）還有從變量個數方面的推廣，例如變量個數為4，5，6，…，12或者小于等于23的奇數（結論成立）時，結論的證明就比較復雜了，況且，也不能推廣到任意多個變量。關于這點，請讀者參考有關資料。例3：設x、y∈（0，1），求證：

2??。（9）1?x21?y21?xy

分析：本題的結構看似簡單，實際上，要向前面兩個不等式那樣去設法從左至右的證明在這里就不好進行，于是，需要進行等價分析變形，這是在當前一時找不到好的證法時常用的證題方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

實施步驟：一般的程序應該是配方或者分解因式。

證明：由條件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等價于[

1?]?（10）

21?x21?y21?xy

?2(1?x2)(1?y2)-(1?xy)(2?x2?y2)?0?(x2?y2-2xy)(1-xy)?0（11）

結合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命題獲證。

這一證明看起來比較簡明，但是，真正實施起來也不是太簡單，請同學們仔細領悟。到這里本題的證明已經結束，但是，如果僅停留在這個層次上就得到的甚少，應該及時進行反思、總結、提煉，看看本題有無推廣演變的可能？即能否由此產生新的數學命題？

觀察例3的結構可以看出，（10）的左端可以看成是函數f(x)?

在兩個變量x、y處的函數

21?x

值的算術平均值，右邊是兩個變量x、y在其幾何平均值處的函數值f(xy)，聯想到Jensen不等式，可以很容易的將（10）推廣到多個變量時的情形，即

推廣1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求證：?

1n

?。（12）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1這由數學歸納法不難確認其正確，詳細證明留給感興趣的讀者。

繼續觀察（11），不難看出，當x＞1，y＞1時，不等號應該反向，于是可得原命題的另一種演變的推廣，即

推廣2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證： ?

1n

?（13）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1繼續觀察（10），容易想到，當變量個數再增加時會有怎樣的結論？即對于三個變量 若x、y、z∈（0，1）,可得[

這三式相加得：

11111111111

1?]??]?，[[ ?]?222

221?x1?xy21?y1?yz21?z21?x21?y1?z1?zx111111

?????（14）1?x21?y21?z21?xy1?yz1?zx

這樣我們又得到了一個新的命題。如此繼續，便得

推廣3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

n11?（15）?

2i?11?xi?11?xixi?

1in

n11

（16）?.（xn+1=x1）?2

i?11?xi?11?xixi?1

in

推廣4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

（15）、（16）的證明可仿照（14）的證明進行，在此就略去其詳細的證明了。

從這幾個推廣命題的由來我們可以看出，很多數學命題都是在認真分析已有命題的基礎上，對原命題進行分析、歸納、總結、提煉，得到描述問題的本質，在原有問題及其求解思路的基礎上，運用自己所掌握的數學知識通過思維的遷移加工就可得到一系列新的數學命題，這也是許多命題專家的研究心得，更是解題者應該多多注意的一個方面，也是我們輔導老師應該向學生介紹的重要一環——展示知識發生、發展的全過程。

研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作，有事實表明，近多年來的高層次競賽就多次涉及到多個變量的復雜不等式證明問題，而且，有些問題本身就是一些固有問題的發展和演變，故應引起參加競賽的同學的重視。

例4已知a,b,c,m為正數．求證：證明：不妨設a?c,b?c，則

abc???3bcaab?bca????2?????1?ba?cab?

abca?mb?mc?m

． ?????

bcab?mc?ma?m

b??a?b?

ab

?a?c??b?c??

ac

故

abca?mb?mc?m

?????． bcab?mc?ma?m

?a?b??a?c??b?c???

a?mb?ma?mc?m

2a?m?b?m???????????a?m???c?m??????b?m???c?m?????

a?mb?ma?mc?ma?mb?m?b?mc?mb?m???2?????1?b?ma?m?c?ma?ma?m?a?mb?mc?m????3.b?mc?ma?m?

x2y2z2

例5設正數x,y,z,a,b,c滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數f(x,y,z)=的最小值.??

1?x1?y1?z

222

c2?a2?b2a2?b2?c2b?c?a解:由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得:x?,y?,z?,且

2ca2ab2bc

a+b>c,b+c>a,c+a>b.22222

[?(b2?c2?a2)]2x1(b?c?a)1由對稱性不妨設a≥b≥c,從而f(x,y,z)=? ???1?x2(a?b?c)bc(b?c?a)2(a?b?c)bc(b?c?a)

1(a2?b2?c2)2

1???2(a?b?c)bc(b?c?a)2

?a4+b4+c4+2

?bc

≥2

?bc

+

?bc??bc

?3?a2bc?a4+b4+c4+

3?abc??bc??bc

?

a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0?a(a-b)+a(b-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c-b)≥0,最后的不等式顯然成立,22222222

11x21

?,其中等號成立當且僅當a=b=c且x=y=z=,故函數f(x,y,z)的最小值為.所以?221?x2

例6設n是給定的正整數，且n≥3,對于n個實數x1,x2,…,xn，記|xi-xj|(1≤i

x12+x22+…+xn2=1,試求m的最大值。

解:不妨設x1≤x2≤…≤xn,則x2-x1≥m,x3-x2≥m,x4-x3≥m,…,xn-xn-1≥m.xj-xi≥(j-i)m(1≤i

k(k?1)(2k?1)m∴有?(xi?xj)?m?(j?i)?m??

661?i?j?n1?i?j?nk?1

2n?1

?[2k(k?1)(k?2)?3k(k?1)]

k?1

n?1

m2

?6

∵

?(12C

k?1

n?1

3k?2

?6C

2k?1)?m(2?C

k?1

n?1

3k?2

??Ck2?1)?m2(2Cn?2?Cn?1)=k?1

n?1

1222

mn(n?1).12

1?i?j?n

?(x

i

?xj)?n?1?2

1?i?j?n

?xx

i

j

?n?(?xk)2≤n.∴m2n2(n2-1)≤12n,m≤

k?1

n

12.僅當x1,x2,…,xn成等差數列,且xk2

n(n?1)k?1

?

n

?0時等號成立∴mmax=

.n(n2?1)

例7設n是一個固定的整數，n≥2.(Ⅰ)確定最小的常數c，使得不等式對所有的非負實數x1，x2，…，xn都成立；

(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的常數c，確定等號成立的充要條件。解：將和式

1?i?j?n

1?i?j?n

?xx(x

ij

2i

?xj)?c(?xi)

4i?1

n

?f(x,x)簡記為?f(x,x).(Ⅰ)當x，x，…，x不全為0時，記

i

j

jj

12n

xx?x?

(?x)

ini?1

i

j2

xxx(x?x?,y?

(?x)

i

jk

in

i?1

i

n

j

?xk).∵

?xx(x

i

j

2i

?xj)??xixj[(?xk)?2?xixj?

k?1

k?1(k?i,j)

?x

i

j

n

2k

]?(?xk)2?xixj?

k?1

n

2(?xixj)2??xixjxk(xi?xj?xk)∴?2x2?x?y∵?2x2?x?y?

1?i?j?n

?xx(x

2i

?x)?c(?xi)4?c?

i?1

2j

n

111,其中等號成立僅當x?,y?0∴cmin?.848

n

11(Ⅱ)c?中等號成立?x?,y?0?(xi)2?4

4i?1

??xx,?xxx

ij

ij

k

(xi?xj?xk)

?0??xixjxk?0且?xi?2?xixj?x1，x2，…，xn中任意三項之積為0，最多有兩項xi、i?

1n

xj不為0，滿足xi+xj=2xixj即xi=xj∴c?余全為0

2中等號成立?x1，x2，…，xn中有兩項相等(可以為0)，其8

2n?2006

例

8、（2007年CMO試題5）設有界數列{an}(n?1)滿足a?

n

?

k?n

ak1

?,n?1,2,3?求證：k?12n?2007

an?,n?1,2,3,? n

2n?20061

則 bn??bknk?nk?1

證明：設bn?an?

n?1

(1)

下證bn?an?，因為an有界，故存在常數M。使得bn?M，n?100000時，我們有 n

2n?2006

2n?2006

(3s)2

2n?2006

bk111

bn???M??M??M? k?nk?1k?nk?1k?nk?1k?nk?1

n

?2006

16?M??M2?M

27?12

由此可以看出，對任意的正整數m有bn?()M于是有bn?0,n?100000 將其代入（1），得bn?0,n?10000 0

再次利用（1），可以得：如果當n?N?1時bn?0，則bN?0，這就推出bn?0,n?1,2,3,?，即an?

m,n?1,2,3,? n

第五篇：第二節 重要不等式

第二節 重要不等式

在自主招生與競賽的考試中，經常會出現對一些重要不等式的考查，主要有：絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、權方和不等式、琴生不等式及卡爾松不等式等.下面我們來認識這些不等式及這些不等式的應用.一．絕對值不等式

從不等式的背景可以看到，許多不等關系都涉及距離的長短、面積的大小、重量的輕重等等，它們都要通過非負數來表示.因此，絕對值不等式具有非常重要的現實意義.定理1如果a、b都是實數，則|a?b|?|a|?|b|，當且僅當ab?0時等號成立.定理2如果a、b、c都是實數，則|a?c|?|a?b|?|b?c|，當且僅當(a?b)(b?c)?0時等號成立.例1.解不等式|x?5|?|2x?3|?1.練習：（1）求證：對于任何實數a，b，三個數|a?b|、|a?b|、|1?a|中至少有一個不小于.（2004年同濟大學）

（2）若對一切實數x都有|x?5|?|x?7|?a，則實數a的取值范圍是（）

A.a?12B.a?7C.a?5D.a?2（2008年復旦大學）

（3）設實數a使得不等式|2x?a|?|3x?2a|?a2對任意的實數x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是（）A.[?,]B.[?,]C.[?,]D.[?3,3]（2007年一試T2）例2.求f(x)?|x?1|?|2x?1|?121***?|2011x?1|的最小值.（2011年北約）

二．平均值不等式

設ai?0（i?1,2,調和平均值Hn?,n），記這n個數的 n

1?i?1ain

幾何平均值Gn?算術平均值An??ai?1ni

n

方冪平均值Xn?則Hn?Gn?An?Hn，當且僅當a1?a2??an時等號成立.例3.設有正數a，b滿足a?b，若有實數x1，x2，y1，y2使得x1?y1是a，b的算術平

均值，x2y2是a，b的幾何平均數，的取值范圍.（2004年同濟大學）

22例4.若正數a,b,c滿足a?b?c?1，求證(a?)(b?)(c?)?例5.設

1a1b1c1000

.（2009年南京大學）27

?x?

5，證明不等式?（2003年一試）

2例6.n個正數x1,x2，xn滿足?xi?1.i?

1n

x

12x2

求證：??

x1?x

2x2?x322xnxn1?1???.xn?1?xnx

n?x12

練習：設x,y,z?[0,1]，則M?.（2012一試3）

三．柯西不等式

柯西（Cauchy）不等式：對于任意的兩組實數a1,a2,n

n

2i

n,an和b1,b2，bn(n?2)，有

(?aibi)?(?a)(?bi2)，等號當且僅當?ai??bi(?,?為常數，i?1,2，n)時成立.i?1

i?1

i?1

?

當ai,bi?R時，等號成立的條件可以改寫為

a1a2

??b1b2

?

an

.bn

這就是著名的柯西不等式的一般情況.從運算的角度來看，就是“乘積和的平方不大于平方和的乘積”.對于柯西不等式，有以下幾條需要說明：

1：由于“

?a

i?1n

n

2i

?0,?b?0,?aibi?0”情況之一出現時，不等式顯然成立，因此，2ii?1

i?1

nn

在討論中不妨設

?a

i?1

2i

?0,?b?0,?aibi?0都成立.2ii?1

i?1

nn

2：柯西不等式取等號的條件常常可以寫成比例形式

aa1a2

?＝＝n，并約定：分b1b2bn

母為0時，相應的分子也為0.“等號成立”是柯西不等式應用的一個重要組成部分.3：使用柯西不等式的方便之處在于，對任意的兩組實數都成立.這個不等式告訴我們，任意兩組實數a1,a2，an和b1,b2,“求和”、再“平方”,bn(n?2)其對應項“相乘”之后、三種運算不滿足交換律，先各自平方，然后求和、最后相乘，運算的結果不會不變小.推論1：若ci?0(i?1,2,x12x

2,n,n?1)，則??

c1c2

2xn(x1?x2??xn)2，當且僅??

cnc1?c2??cn

當

x1x2

??c1c2

?

xn

時成立.cn

2xn(x1?x2??xn)2??.當且僅ana1x1?a2x2??anxn

x12x2

推論2：當ai?0,ci?0(1?i?n)時，??

a1a2

當a1?a

2??an時成立.,n)時，(??ai?bi.i?

1i?1

i?1

n

n

n

推論3：當ai,bi?0(i?1,2,例7.設P為?ABC內一點，它到三邊BC,CA,AB的距離分別為d1,d2,d3,S為?ABC的面

abc(a?b?c)2積，求證：???.（2009年南京大學）

d1d2d32S

.求證：3?a?9?b?27?c?1.（2008年西安交通大學）2

121212?

例9.設a,b,c?R，且a?b?c?1，求證：(a?)?(b?)?(c?)的最小值.abc

例8.設實數a,b,ca?2b?3c?

（2008年南開）

例10.已知x,y,z?0，x?y?z?3，求證：

xyz

???1.323232

x?y?zy?z?xz?x?y

（2013年北京大學“百年數學” 金秋科學體驗營）

9?222

?

x?y?z?,例11.在實數范圍內求滿足方程組?的實數x,y,z的值.（2008年同濟）

4???8x?6y?

24z

?39

例12.求函數y?（2009一試11）

四．排序不等式

排序不等式：設a1?a2?

b1?b2??an，?bn為兩組實數，c1,c2，cn是b1,b2，bn的任一排列，則a1bn?a2bn?1?當且僅當a1?a2?

?anb1?a1c1?a2c2??ancn?a1b1?a2b2??anbn，?an或b1?b2??bn時，等號成立.例13.有10個人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿第i（i?1,2，10）個人的水桶需要

ti分鐘，假設這些ti各不相同.問只有一只水龍頭時，應如何安排10個人的順序，使他們等

候的總時間最少？這個最小的總時間等于多少？

例14．設a1，a2，?，an是n個互不相同的自然數，證明：

1?

11??2

3?

1a?a1?2?2n2

?

an

.2n

abc

???3.xyz

練習：已知x、y、z?0，a、b、c是x、y、z的一個排列.求證：

（2009年清華大學）

五．琴生不等式

凸函數：一般地，設f(x)是定義在區間(a,b)上的函數，如果對于定義域內的任意兩個數x1，x2都有f（x1?x2f(x1)?f(x2))?，則稱f(x)是(a,b)內的下凸函數.22x?x2f(x1)?f(x2))?同理，如果有f(1，則稱f(x)為(a,b)內的上凸函數.2

2我們一般說的凸函數，通常來言是指的下凸函數.性質1（琴生不等式）對于(a,b)內的下凸函數f(x)，有

f（x1?x2?

n

?xn)?

f(x1)?f(x2)?

n

?f(xn)

.性質2（加權琴生不等式）對于(a,b)內的下凸函數f(x)，若a1?a2??an?1，則

f(a1x1?a2x2??anxn)?a1f(x1)?a2f(x2)??anf(xn).對于上述的兩個關于琴生不等式的有關性質，我們將“?”改為“?”，即得上凸函數的琴生不等式.例15.已知A,B,C是銳角三角形?ABC的三個內角，求tanA?tanB?tanC的最小值.（2010年北京科技大學）

222

例16.已知A、B、C?(0,)，且sinA?sinB?sinC?1.求A?B?C的最大值.π2

（2013年清華大學夏令營）

未完，待下周續……