第一篇：怎樣解題表

波利亞的“怎樣解題表”

一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什么？已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數與求知數之間的聯系。

如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能應用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數的其它數據？如果需要的話，你能不能改變未知數和數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？ 你能不能把這結果或方法用于其它的問題？

第二篇：怎樣解題表

歐美的數學家曾經呼吁：學數學的人，要讀讀波利亞；不學數學的人，也要讀讀波利亞。《怎樣解題:數學思維的新方法》是國際著名數學家波利亞論述中學數學教學法的普及名著，對數學教育產生了深刻的影響。波利亞認為數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把“解題”作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。本書是他專門研究解題的思維過程后的結晶。全書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。作者在書中引導學生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑，進而逐步掌握解題過程的一般規律。在《怎樣解題》一書中指出，解題分四步走：第一必須理解題意。許多的學生在剛開始解題時，囫圇吞棗，由于注意力不集中而對題目的理解不完整，這可能是解題過程中最普遍存在的不足之處。因此在日常的教學中，我常常強調學生一定要細讀題目，仔細審題，清楚的理解題目的意思，這是非常關鍵的一步。第二：找出已知量和未知量之間的聯系，擬定方案，根據題意，尋找解決問題的總體思路，抓住總體思路，再研究細節問題。如題：李大伯上山采藥，上山時他每分鐘走50米，18分鐘到達山頂，下山時，他沿原路返回，每分鐘走75米，求李大伯上下山的平均速度。在解決這一問題時，我告訴學生要抓住一條總的思路：平均速度=總路程÷總時間，再根據這一思路，分析理解總路程，求出總時間，只有這樣才能最后求出未知量平均速度。教師要善于引導學生掌握解題時的總思路，這樣學生才能輕松的抓住問題的關鍵所在，不管條件如何千變萬化，也能將注意力集中在要點上進行思考，從而解決問題，學生解題的能力無疑也將得到大大的提高。第三：執行你的方案，在執行你的方案的過程中，要引導學生仔細檢查每一個步驟，要能讓解題者自己清楚的明白每一步的含義及正確性。

第四：檢查已經得到的解答.這樣的結果是正確的嗎？我再將答案放入問題中進行第二次思考，你還有別的更簡單的方法得出這個結果或結論嗎？或者在以后的解題中，你是不是對此類型的題目更加熟悉了呢？在別的什么題目中，你能利用這個結果或這種方法嗎？ 這樣的解題思維讓我受益頗大，每一步都對我們的教學有一定的指導意義。如何引導學生去解決問題，幫助學生提高解題的能力，教師的價值在此可得到充分的體現。作者在此書中還提出了一個史無前例的觀點：學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。我感受最深的是有關發散性思維。發散性思維，又稱擴散性思維、輻射性思維、求異思維。它是一種從不同的方向、途徑和角度去設想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法。發散性思維的特點是：充分發揮人的想象力，突破原有的知識圈，從一點向四面八方想開去，并通過知識、觀念的重新組合，尋找更新更多的設想、答案或方法。作為一名工作在教學一線的數學教師，在教學中，我一定要活學活用，注意培養學生的發散思維，現將自己的初步認識作簡單介紹。首先，要教給學生發散思維的基本方法，如逆向思維、側向思維、想象、聯想及系統思維等。學生掌握了發散思維的基本方法，才能有效地突破思維定勢，變單向思維為多向思維，從而提高思維的獨特性。我想，這種發散性思維訓練，對提高學生思維的變通性、靈活性是有很大幫助的，這實際上就是教學生逆向思維。學生通過逆向思維，可以求得富有獨特性的答案。其次，設計發散思維的作業練習，進行發散思維的訓練。根據發散思維的特征，可以設計多向思維的一套題目，對學生進行有針對性的訓練，以幫助學生學會克服思維定勢。第三，在課堂教學中，啟發學生發散性思維。備課中充分調動孩子們的發散思維，孩子們豐富的想象常常會讓我們意料之外，激動不已。當然也更使我們懂得我啟發學生的發散思維的重要性。

第四、啟發想象，培養學生廣闊性思維。教育家烏申斯基說過：“強烈的活躍的想象是通向創新的翅膀。”學生的想象力豐富，教師應創造條件，正確誘導啟發學生進行想象，促進創新思維能力的發展。老師傳遞出的思維信號，使學生的想象有如天馬行空，在自己已有的生活經驗的引導上，做出合情合理而又豐富多彩的回答，有效地培養了學生思維的廣闊性，拓展學生的創新思維空間，突破單一的思維模式，誘導他們轉換角度，多方思考、探詢多

種解決問題的途徑，有利于培養發散思維能力做一個不斷進取的學生。我們教師千萬不可抹殺學生的創造性思維和積極主動的學習動機。

第三篇：解題表

怎樣解題表——波利亞

怎樣解題表

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數，條件是否充分？

2.畫張圖，將已知標上。

3.引入適當的符號。

4.把條件的各個部分分開。

第二步：找出已知與未知的聯系。

1.你能否轉化成一個相似的、熟悉的問題？

2.你能否用自己的語言重新敘述這個問題？

3.回到定義去。

4.你能否解決問題的一部分？

5.你是否利用了所有的條件？

第三步：寫出你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？

第四步：回顧。

1.你能否一眼就看出結論？

2.你能否用別的方法導出這個結論？

3.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？

波利亞和他的解題表

喬治·波利亞（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布達佩斯。上中學時，他就是一個很有上進心的學生。但每當遇到較難的數學

題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？我自己怎樣才能想出或發現他們呢？”

波利亞帶著一連串的困惑與1905年走進了布達佩斯大學，并在那里獲得博士學位。之后，波利亞先后到哥廷根大學、巴黎大學、瑞士聯邦工學院進行數學研究或任教。1940年移居美國，并在斯坦福大學任教，直到退休。

無論在學習期間或任教期間，波利亞始終不忘研究少年時學數學所遇到的困惑。1944年8月，波利亞終于將他的研究成果公布于世，這就是名著《怎樣解題表》。該書出版后，不脛而走，迅速傳遍全世界。直到今天，該書仍被各國數學教育界奉為經典。

“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學們如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

怎樣解題表

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？條件是什么？

滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2.畫張圖，將已知標上。

3.引入適當的符號。

4.把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來？

第二步：找出已知與未知的聯系。(如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。你應該最終得出一個求解的計劃。

1.你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

2.你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

3.看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

4.這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

5.回到定義去。

6.你能否解決問題的一部分？

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。我能不能想出一個與此有關的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數的其它數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知九和新數據彼此更接近？

7.你是否利用了所有的條件？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三步：實行你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

第四步：回顧，驗算所得到的解。

1.你能否一眼就看出結論？

2.你能否用別的方法導出這個結論？

3.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？

(轉自中學試卷網論壇)

第四篇：怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國數學家和數學教育家波利亞所寫得一部經久不衰的暢銷書，雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律，但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導下，學會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

目錄

內容簡介

作者簡介

目錄

怎樣解題表

編輯本段內容簡介這本經久不衰的暢銷書出自一位著名數學家的手筆，雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律，但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導下，學會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

編輯本段作者簡介波利亞(男)（George Polya，1887—1985），著名美國數學家和數學教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年后任數學系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數定理是組合數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的1.幫助學生

2.問題，建議，思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學生，模仿和實踐

主要部分，主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學們如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什么？

已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數與求知數之間的聯系。

如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能應用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數的其它數據？如果需要的話，你能不能改變未知數和數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。

我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。

******************

生活中，碰到一個的問題的時候，我們如何解決？首先我們明確要解決的問題，然后搜集相關情報或者已有的資源，考慮問題關鍵因素之間的內在規律，接著嘗試一些可行的方案，最后選擇其中最優的辦法實踐，最后問題得以解決。對于數學解題來說：首先我們明確未知量，然后明確已知量，確定條件，接著嘗試一些可行的方案，最終得到可以獲得未知量的方案，解出題目。

然而這里有一個模糊的地方，解決問題最關鍵的一步——想出可行的方案，是如何辦到的？當我們對未知、已知、條件都已經了如指掌之后還是想不出任何的方案，這個時候解題面臨本質的智力困難的時候，是如何從無到有思考出可能的方案供我們嘗試的？

這個問題更有畫面感的描述是：數學課，老師出了一道幾何題，先讓大家試解，無人能解。然后老師開始講題，前面的步驟1、2、3大家都會也都想到了，這時老師添加了一條輔助線，引出步驟4，問題得解，大家豁然開朗。然而，解題的關鍵步驟3到4是如何思考到的呢，老師為何就想到做這一條輔助線呢？

《怎樣解題》就是在回答以上問題。

書中有一個例子可以形象的問答這個問題：

一個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經過昨天一夜，已經漲了上來；因此他面臨一個問題：如何越過這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對象，是原始題目中的X。這個人可能會回憶起，他以前曾經踏著一顆倒下的樹度過了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹，就構成了他新的未知量Y。他找不到合適的樹，但是沿著溪流有大量的樹木在岸上，他希望其中有一個樹會倒下來。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上？這樣又產生了一個新的未知量Z。這一連串的念頭就是分析。如果這個人成功的完成了分析，他可能就成了橋和斧子的發明者。

而這個分析問題的過程，正包含了普遍的解決問題中本質智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過同樣或者類似的問題，即使沒有，我們可以嘗試想更簡單的相關問題，可以是更普遍化的問題、更特殊化的問題，甚至只是問題中的一小部分問題。或者干脆來變化我們遇到的問題的已知情況，觀察未知情況如何跟隨變化；或者變化未知量；或者同時變化已知未知量，來觀察問題如何變化。正是這樣一個分解和重構問題的過程，使得我們逐漸逾越了問題的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我們驗證疑似可行的方案，如果其中確有可行的，問題得解。如果沒有，我們將重復以上的過程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當然原著對分解和重構問題的過程做了更為細致、嚴謹的分析和探討，并配以精妙的數學題示例來演示各種細節。作為一本數學方法著作，更難能可貴的是，波利亞頗為人性化的闡釋了解題過程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中，“決心、希望、成功”“潛意識活動”“進展”三個詞條都嚴謹、科學的闡述了情感是如何作用于我們解題過程的。

“決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產生波動。如果我們認為答案即將來臨，就很容易繼續干下去，當我們看不到有什么克服困難的出路時，要堅持不懈就會很難。”“有超常天賦的人主要的優勢也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力，他能感覺到進展的細微標志，或者注意到這些標志的缺乏。”這些非智力因素對于我們解決生活和工作中的問題尤其重要，我們需要敏感的覺察來自情感腦的反饋，并加以利用，來幫助解決問題。舉例來說，生活中碰到一個很復雜問題，在長期解決問題的過程中，有一段時間可能解決問題時沒有明顯的反饋給我們標志，最后我們沮喪的放棄了解決問題。然而很有可能的是，這個過程真是解決問題的關鍵期，實際上也是有標志出現的，只是當時的我們還不理解這些標志。由此可見非智力因素之于解決問題的重要性，我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亞還舉出一個心理學試驗：用一個缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側放上一個被試很想要的物體（對動物來說是食物，對人類嬰兒來說是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發現，狗在扒著圍欄吠了幾聲發現無法通過的時候，不久便學會了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，人類嬰兒很快就學會了繞過障礙，而黑猩猩也學得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬）。

“母雞的行為就像那些面臨問題的時候渾渾噩噩的人，試了一次又一次，最后靠一些運氣碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應責怪母雞的笨拙。要轉過身從目標跑開，不一直盯著目標前進，不沿著直接的道路到達目標，確實有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性。”最后一句話貌似有些哲理，是全書嚴謹行文之中唯一有些文藝的一句。`

...............

第五篇：運用波利亞_怎樣解題表_

百度文庫專用

運用波利亞“怎樣解題表”

有效實施數學解題教學

（原載《中國數學教育》［高中版］2008年第11期）

時紅軍嚴曉鳳

【摘要】

在數學教學中,解題是最重要的活動形式之一。學生對數學概念的形成、數學命題的掌握、數學思維方法和技能技巧的獲得以及學生智力的培養和發展,都必須通過解題教學來實現。而波利亞的“怎樣解題表”給我們提供了一種解題方法和套路，本文初步探討了如何運用波利亞“怎樣解題表”有效實施數學解題教學。

【關鍵詞】

怎樣解題表解題教學數學問題

喬治·波利亞(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利數學家、教育家、數學解題方法論的開拓者.他十分重視解題在數學學習中的作用,并對解題方法進行了多年的研究和實踐,繪制出舉世聞名的“怎樣解題表”,被各國數學界奉為解題寶典.“怎樣解題”表的主要內容，分為“弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧”四個階段。弄清問題,即明了已知數、未知數和條件;擬定計劃,即找出已知數與未知數之間的聯系或者考慮輔助問題,并具體擬定一個求解的計劃;實現計劃,即實現求解計劃,檢驗每一步驟;回顧,即驗算所得到的解,并將結果和方法試著用于其他問題[1]。每一個階段又有一系列啟發性問句。譬如：未知數是什么，（在證明題中要求證什么），已知數據是什么、你以前見過它嗎、你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎、你能利用它的結果嗎、你能利用它的方法嗎、你能用別的方法導出這個結果嗎，等等。

數學解題教學不同于平常的概念教學,它是運用前面所學的基礎理論、基本方法和一些特殊方法來解數學問題的一種教學方法,它充分體現教師和學生的數學素質,是目前素質教育不可忽視的內容。本文試圖對如何利用波利亞“怎

樣解題表”有效實施數學解題教學作初步探討。

一、“弄清問題”階段，重述問題，教會學生形成正確的審題方法

首先，必須讓學生了解問題的文字敘述。已知是什么?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教師可以要求學生重新敘述題目，并能夠指出問題的主要部分。

其次，要教會學生形成正確的審題方法。數學問題的給出是通過“數學語言”達到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學生利用數學語言的轉換來培養學生好的審題習慣，形成正確的審題方法。例如：對于文字應用題，可以指導他們借助圖像、圖表將題目中條件之間的關系表示出來，將冗長拗口的文字敘述，直觀的體現在圖上，一看就能明白。這樣用簡潔明了的圖形呈現的視覺形象進行問題表征，能簡化看似復雜的問題，減少工作記憶的負擔。再如：對于幾何題，要求他們盡量將題目中的已知條件標在圖上，這樣文字與圖形相結合，就不用看一下題，看一下圖，分散時間和精力了。

另外，還要注意引導學生挖掘已知條件與所求之間的關系，特別是挖掘題

3n?n中的隱含條件。如計算C383n+C21?n，很多學生無從下手，也有學生用組合數公

式展開后一看煩瑣而丟筆，其實在組合數公式Cm中隱含著限制n38?n?3n可求得n=10.條件m?n且m?N,n?N,所以先解不等式組即???3n?21?n

二、“擬訂計劃”階段，充分暴露思維過程，傳授解題策略

很多時候，解題的過程并不是從已知條件到問題目標，而是從問題目標層層向上反推的過程，有些教師在上課時，分析課文內容似乎順利流暢，講解例題、習題似乎一氣呵成。然而，這種表面上的“順利流暢”，其實掩蓋了教師備課中的深入思考，也可能掩蓋教師解決問題時所經歷的曲折或失誤。這就容易給一些學生造成錯覺:“為什么老師這么聰明，我這樣笨?”這不利于學生思維的發展和自信心的形成。

有些教師愿意向學生暴露自己的思維過程。當學生問到某些較困難的問題時，他們愿意和學生共同思考，尋找解決問題的思想方法。學生們不但有機會學習數學教師解決問題的思想方法，還有機會了解，原來數學教師在解決問題時也會遇到挑戰，也會經歷曲折與失誤。這對于學生形成正確的解題觀，樹立自信心是十分有益的。著名數學家希爾伯特在哥尼斯堡大學學習時，他常常把

自己置于危險困難境地，對要講的內容總是現想現推。這樣一來，就使得同學們有機會瞧一瞧高明的數學思維過程如何進行，數學家是如何接受困難挑戰的。俗話說:失敗是成功之母，有時候，失敗的教訓往往能讓成功的過程更加深刻。例如，求函數y?x2?4?x2?2x?10的最值。第一次探索：解析式右邊含根式，常用方法是將兩邊同時平方，得

y2?2x2?2x?14?2x2?4?x2?2x?10，經過一次平方后右邊仍然含有根式，還得再次平方。可是再平方一次后會出現x4項，運算非常麻煩。因此不得不轉入第二次探索階段。

第二次探索：通過觀察發現右邊的被開方式是二次式，能配方。

配方的結果是y?x2?4?(x?1)2?9,進一步變形為y?(x?0)2?(0?2)2?x?(?1)]2?(0?3)2

由此可看出,這個式子表示直角坐標平面內x軸上的點P(x,0)到兩點A(0,2),B(?1,3)的距離之和，通過畫圖就可以找出最小值，判斷無最大值。這種解題方法確實巧妙，給學生以美的享受。然而不向學生暴露探索過程，學生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。這就要求教師把自己在解題時由“失敗——成功——再失敗——再成功”的過程展示給學生，讓學生真正體會到研究問題的方法，從而自覺地培養自己。

其次，教師應指導學生對數學解題過程進行分析、歸納，把解題過程概括、提煉，形成數學學習最重要的內容——數學的思想和方法。指導學生理解和運用數學思想方法，傳授中學數學解題常用的解題策略:模式識別、問題轉化、以退求進、正難則反等等。

三、“實現計劃”階段，加強基礎教學，善用一題多變加深和提高解題能力

1、重視非智力因素的作用，規范運算過程。在教學中要重視培養學生科學嚴謹一絲不茍的品質。在運算訓練中，要抓好教師板書、學生板演、平時作業等環節，對解題格式、解題過程要作嚴格的規范;要幫助學生克服運算的惰性，鼓勵學生敢于運算、合理運算、認真運算，不怕麻煩；要幫助學生克服不認真審題、不認真分析的習慣，使學生養成良好的運算習慣。

2、重視基本知識的教學，強化運算基礎。在教學中要注重基本知識的講授，要幫助學生加強對數學概念的理解，區分鄰近概念，對基本公式、法則透徹掌握。如運用公式和法則的錯誤：(a?b)3?a3?b3,loga(M?N)?logaM?logaN等。在教學過程中，按照理解—掌握—熟練的要求，編寫一些使用概念較多、形式

較靈活的習題，使學生在學習過程中比較那些容易混淆的概念，從而為運算能力的提高夯實基礎。

3、在教學中利用變式教學,將題設條件或結論作相應的變化,按照一定的梯度設置變式題。如對那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習,會使學生快速反饋,并能通過變式練習,將所學知識串成一線,聯成一體,從而激發學生的學習熱情,使學生達到充分感受學習數學的魅力。如在講解二次函數閉區間上的極值時,設置變化題組:（1）鋪墊題:求下列函數的極值。①y?x2?2x?3,x?[0,3]②y?x2?2x?3,x?[?2,0]③y?x2?2x?3,x?[2,3]；（2）遷移題：求函數

（3）深化題：求函數y?sin2x?4acosx?3,x?[0,3]y?x2?2ax?3,x?[1,3]的極值；的極值。顯然,通過題組的練習，使學生總結歸納二次函數在閉區間上的極值的求解方法，得到解決相關的問題，從而增強了學生的數學素質,提高了數學解題能力。

四、“回顧”階段，加強解題后的反思教學

所謂解題后的反思是指在解決了數學問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結論的反思來進一步暴露數學解題的思維過程，從而開發學習者的解題智慧，以達到事半功倍，提高中學生數學學科自我監控能力的目的。教師可以在課堂小結，單元復習時，適時地對某種數學思想方法的關鍵點或要素進行概括、強化和揭示，對它的內容、規律、運用等有意識地適度點撥。在解題后，教師可以訓練學生進行以下三方面的反思：

1、反思審題過程。對審題過程進行反思，就是在解題活動完成后，對自己最初審題時在理解題意過程中是這樣“獲取信息”進行再思考。特別是對那些有過反復曲折過程的問題進行反思，比如獲得過哪些信息？遺漏過哪些信息？為什么會遺漏這些信息？題意中的哪些信息是自己比較清楚的，哪些信息自己還不清楚？為什么不清楚？是被題目表面形式所迷惑，還是遺忘了？對條件和結論之間的哪些關系沒有發現，關系轉化是否有錯誤？對條件和結論是否作過適當討論？討論是否全面？以后在理解題意時應該怎樣去做？等等。

y?3?集合N??例如：設集合M??(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?15?，?a?1?，?(x,y)|?x?2?

且M?N??,求實數a的值。錯解：M??(x,y)|(a?1)x?y?2a?1?，要使

?(a?1)x?y?2a?1無解，所以a滿足條件M?N??，就是使方程組?2?(a?1)x?(a?1)y?1

5a?1?12a?1，解之，得a??1。教師可引導學生反思：集合M的轉化是??215a?1a?1

否是等價變形？它與由x?3得出x?6有何本質區別？由方程組無解得出2

a?1?12a?1的根據是什么？（兩條直線平行）(a2?1)x?(a?1)y?15一??215a?1a?1

定表示直線嗎？

2、反思解題思路。做完一道題后，應考慮能否根據該題的基本特征與特殊因素，進行多角度的觀察、聯想，找到更多的思維通路，也即培養學生數學思維的廣闊性。一般的，學生學會的第一種解題思路是老師交給的，并會在很長一段時間內相信和依賴這種思路，然而在解題實踐中，解題的思路常常不止一條，當原來的慣用思路受阻時，學生就會開始迷茫。這就需要老師在解題教學中，指明多種解題思路，幫助學生學會觀察、找出新的解題思路，這有助于中學生數學學科自我監控能力由局部向整體發展。同時，在做完一道題后，應認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉換，還有沒有更好的解題途徑?這樣的反思，有助于縮短解題長度，從而培養了思維的批判性，促進中學生自我監控能力的發展。例如已知|a|?1,|b|?1，求無窮數列：1，（1+b）a,(1?b?b2)a2,(1?b?b2?b3)a3,?的所有項之和。大多數學生從分析通項入手來解答：an= 1?bn

n?1an?1b(1?b?b?b)a?a??(ab)n?1，所以所求數列所有項之和為1?b1?b1?b

1bS?(1?a?a2?????an)?[1?ab?(ab)2?(ab)3????] 1?b1?b

1?1?1?b?1? 1?b1?a1?b1?ab(1?a)(1?ab)233

該法符合學生思維特點，易于找到問題的突破口，但解題過程較長且有一定的計算量，易于出錯。教師可引導學生反思題目結構特征，將已知題目與過去學過的知識比較聯系，若注意到題中含字母a恰好構成等比數列，聯想到等比數列前n項和公式的推導方法，便可得到如下簡潔解法：設

S?1?(1?b)a?(1?b?b2)a2?(1?b?b2?b3)a3????,則aS?a?(1?b)a2?(1?b?b2)a3?(1?b?b2?b3)a4????,兩式錯位相減，即可求得S。通過這一反思，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，提高了學生靈活解題的能力。

3、反思題目結論。事實上，就問題解決的一個周期而言，問題是問題解

決的端始，而一個問題的解決往往意味著一個新問題的產生。在做完一道題后，教師應指導學生思考該題所得出的結論：能否檢驗這個結論？能否以不同的方式來推導這個結論？能否在其他的問題中應用這個結論？能否從其它的角度重新審視題目，將問題的結論進行推廣？這樣的反思，有助于提高中學生數學學科自我監控能力，培養學生數學思維的深刻性。如已知圓(x?2)2?y2?1與拋物線y2?2px(p?0)有公共點，求p的范圍。這個問題在眾多學生心目中是一個簡單問題，他們知道兩曲線公共點的問題等價于兩曲線方程組成的方程組有實數解的問題，從而容易由方程組有解得出??0，進而求出錯誤答案0?p?2?或p?2?3。教師引導學生思考：能否從圖形上檢驗你的結論？為什么p?2?不可能？什么原因造成的？引導學生最終發現方程組有解且1?x?3，從而得出正確答案（0?p?2?）。

數學教育家波利亞曾談到：在你找到第一個蘑菇時，繼續觀察，就能發現一堆蘑菇。在問題解決之后，教師可根據情況，進行適當的一題多解、一題多變、多題組合，注意數學思想和方法的總結、提煉和升華，進一步拓展學生的思維平臺，優化解題過程。不斷地引導學生進行解題后的反思，使學生完成自我意識、自我評價、自我調整的過程，提高中學生數學學科自我監控能力。

【參考文獻】

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[3]苗建成.淺談如何在數學教學中培養學生的解題反思能力[J].數學通報, 2007年46卷1期.54—56

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