第一篇：讀《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》有感

讀《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》有感

池月秋

作者簡介

G·波利亞（GeorgePolya,1887—1985），著名美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。生于匈牙利布達(dá)佩斯。1912年獲布達(dá)佩斯大學(xué)博士學(xué)位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任數(shù)學(xué)助理教授、副教授和教授，1928年后任數(shù)學(xué)系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)和斯坦福大學(xué)的教授。1976年當(dāng)選美國國家科學(xué)院院士。還是匈牙利科學(xué)院、法蘭西科學(xué)院、比利時布魯塞爾國際哲學(xué)科學(xué)院和美國藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院的院士。其數(shù)學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域。1937年提出的波利亞計數(shù)定理是組合數(shù)學(xué)的重要工具。長期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，對數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有深入的研究，這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

內(nèi)容簡介

本書出自一位著名數(shù)學(xué)家G·波利亞的手筆，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導(dǎo)下，學(xué)會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

精彩分享

怎樣解題表

第一步：弄清問題。

1.未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2.畫張圖，并引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

3.把條件的各部分分開，并把它們寫下來。

第二步：擬訂計劃

1.考慮以前是否見過它？ 是否見過相同的問題而形式稍有不同？ 你是否知道一個可能用得上的定理？

2.考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

3.能否利用它的結(jié)果或方法？為了利用它，是否引入某些輔助元素？

4.能否用不同的方法重新敘述它？

5.回到定義去。

6.如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。

7.是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三步：實現(xiàn)計劃

1.實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。

2.你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？()你能否說出你所寫的每一步的理由？.第四步：回顧

1.能否檢驗這個論證？

2.你能否用別的方法導(dǎo)出結(jié)果？

3.能不能一下子看出它來？

4.能不能把這結(jié)果或方法用于其他問題？

讀后反思

在數(shù)學(xué)教育過程中，解題訓(xùn)練是一項重要的教學(xué)內(nèi)容。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，有一半的時間是對學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練的。在現(xiàn)階段的教育活動中，對學(xué)生的評價標(biāo)準(zhǔn)也是依靠解題的準(zhǔn)確率來進(jìn)行衡量的，因此解題尤為重要。“怎樣解題表”是《怎樣解題》這本書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗總結(jié)。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧反思，在這其中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。結(jié)合一些教學(xué)實際題目，波利亞進(jìn)行分析，尋找思路，分解難點，使解題不再是一個難題。

作為一名數(shù)學(xué)老師，我們更應(yīng)該熟讀《怎樣解題》，了解更多的解題方法，獲得更完整的數(shù)學(xué)思維，使自己變成一個聰明的解題者，同時使學(xué)生也成為聰明的解題者，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生的思維能力。

第二篇：讀《怎樣解題》有感

讀《怎樣解題》有感

在老師的強(qiáng)力推薦下，我拜讀了著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞的著作《怎樣解題》。通過讀了這一本書，給了我很深的感觸，也給了我很大的啟示。波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是教會年輕人思考；他把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種手段和途徑。本書是他專門研究解題的思維過程的結(jié)晶。全書都是圍繞一張“怎樣解題”表中的問題和建議而組織的。作者在書中引導(dǎo)學(xué)生按照表中的問題和建議思考問題，探索解題途徑，進(jìn)而逐步掌握解題過程的一般規(guī)律。

在《怎樣解題》一書中指出，解題分為四步走：

第一，理解題目，即審題。我們都知道審題是解題過程中最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，能否審好題是解答題目的關(guān)鍵。在該部分，作者就明確的告訴我們應(yīng)該如何審題，即：“為知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件是否能滿足？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？”。在日常的教學(xué)中，老師常常對學(xué)生強(qiáng)調(diào)一定要仔細(xì)閱讀題目，仔細(xì)審題，清楚的理解題目的意思。但事實告訴我們，學(xué)生在解題過程中的最普遍的不足之處——對題目的理解不完整，無法完全挖掘出題目中所蘊含的信息這一狀況并沒有因此而的得到改善。通過學(xué)習(xí)該部分，即可在很大程度上幫助學(xué)生形成良好的審題方法，進(jìn)而養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣。這個部分對于那些學(xué)習(xí)好的，有良好的階梯習(xí)慣的學(xué)生來說可能其重要性不太突出，但對于更多的學(xué)生來說，學(xué)會審題將對他們正確解題起到極大的促進(jìn)作用。

第二，找到已知量和未知量之間的聯(lián)系。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)獲相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去”。從理解題目到構(gòu)思解題方案是一個漫長而曲折的過程。因為對于一些題目，學(xué)生即使做到了理解，但仍會感到無從下手。波利亞啟發(fā)我們說“好的思路大多來源于過去的經(jīng)驗和以前獲得的知識。”因此教師不妨引導(dǎo)學(xué)生思考“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”，并不一定就是一個曾經(jīng)求解過的與當(dāng)前題目緊密相關(guān)的題目，而更可能是通過變化、轉(zhuǎn)換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯(lián)系點，從而“重新敘述這道題目”擬定一個有可能解決問題的方案。

第三，執(zhí)行方案，實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？正如波利亞所指出的，假如這個方案是學(xué)生主動獲得的，則不容易遺忘，反之，學(xué)生則很容易找不到來時的路了。因此，教師必須堅持讓學(xué)生檢查每一個步驟，以使解題者自己清楚的明白每一步的含義及正確性。

第四，檢查已經(jīng)得到的解答。這樣的結(jié)果對嗎？我再將答案放入

問題中進(jìn)行第二次思考，你還有別的更簡單的方法得出這個結(jié)果或結(jié)論嗎？或者在以后的解題中，你是不是對此類的題目更加的熟悉了呢？在別的題目中，你能否利用這個結(jié)果或這種方法嗎？波利亞 認(rèn)為：“沒有任何一個題目是徹底完成了的。”因此，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，深化我們對答案的理解。

這樣的解題思維讓我受益頗大。如何引導(dǎo)學(xué)生解決問題，幫助學(xué)生提高解題的能力，教師的價值在此可得到充分的體現(xiàn)。作為一個即將畢業(yè)，將來有可能成為一名中學(xué)教師的在校大學(xué)生來說，學(xué)習(xí)這樣的解題思維，對以后找工作和教學(xué)，無疑是十分有益的。

波利亞認(rèn)為：“學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出對數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路”。那么，教師應(yīng)該如何提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的興趣呢？教師應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更為重要的東西。

歐美的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)呼吁：“學(xué)數(shù)學(xué)的人，要讀讀波利亞；不學(xué)數(shù)學(xué)的人，也要讀讀波利亞”。通過讀了這本《怎樣解題》，我非常贊同這個觀點。我覺得在這一本書中，我們能找到一些解決問題的普遍原則，這個問題不僅僅是指數(shù)學(xué)問題，還包括我們?nèi)粘Ｉ钪械膯栴}。生活本來就是我們每天所要面臨的一道題目，所以生活過程就是解題的過程。對于一個問題的求解，我想，作為一名大學(xué)生，我們已經(jīng)有了很深的了解。但是關(guān)于問題的求解步驟我們卻是很少認(rèn)真關(guān)心，求解方法的來源更加是沒有時間去想，我們通常的做法只是去接受知識。因此，現(xiàn)在每當(dāng)我們試講的時候總是在解題過程中出現(xiàn)思路混亂的情況。所以學(xué)習(xí)《怎樣解題》可以說是在幫助我們形成良好解題習(xí)慣，為以后走上講臺做準(zhǔn)備。

通過閱讀《怎樣解題》一書，不僅幫助我形成良好的思維習(xí)慣；也為我將來走上工作崗位打下了基礎(chǔ)；我也會將之運用到將來的學(xué)習(xí)、工作中去；我還會將之推廣給我的學(xué)生，最終幫助他們提高解題能力，形成良好的思維習(xí)慣。

第三篇：讀《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》有感

讀《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》有感

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》一書中提到，數(shù)學(xué)教師成長的一個必然途經(jīng)，即是由唯一重視具體數(shù)學(xué)知識和技能的教學(xué)轉(zhuǎn)而意識到應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生思維方式的養(yǎng)成以及更深層次的文化熏陶，也就是在教學(xué)過程中，要更加關(guān)注數(shù)學(xué)思維的總體特征，并努力做到在小學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)中很好地予以體現(xiàn)，從而就能較好地實現(xiàn)“幫助學(xué)生初步地學(xué)會數(shù)學(xué)地思維”。由此，我們感受到，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動當(dāng)中，要處理好數(shù)學(xué)思維與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)這兩者之間的關(guān)系，用思維方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，并且不僅僅停留于“幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維”，更加強(qiáng)調(diào)“通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維”。在日常的教學(xué)活動中，我不斷探索著，嘗試著：1．在變式中體現(xiàn)思維的靈活性 鄭教授在書中提到，思維的靈活性與綜合性同樣被看成數(shù)學(xué)思維的又一重要特點，在數(shù)學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)情況與需要在不同的方面與環(huán)節(jié)之間作出靈活的轉(zhuǎn)換，乃至作出新的必要整合。例如我在教學(xué)第四冊《求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍》這節(jié)課，由于二年級學(xué)生理解“倍”的概念比較困難，課本例題是以“藍(lán)花有2朵，黃花有6朵，紅花有8朵”分別展開2次“倍”的研究，我適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行了取舍，以“紅花有2朵，黃花有6朵”的信息展開“倍”的例題教學(xué)，然后在不改變花的種類基礎(chǔ)上設(shè)計了兩個“變式練習(xí)”：先變黃花6朵為8朵，再接著變紅花2朵為4朵。首先讓學(xué)生自主研究“黃花分別是紅花的幾倍”，鞏固對“倍”的理解；然后有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩組對比后發(fā)現(xiàn)：一倍數(shù)不變，幾倍數(shù)變化，倍數(shù)也發(fā)生變化；幾倍數(shù)不變，一倍數(shù)變化，倍數(shù)也發(fā)生變化。這樣的處理防止了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維定勢，提高了學(xué)生的判斷分析能力，讓學(xué)生能辨證地、靈活地認(rèn)識“倍”概念，理解“倍”概念。從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，提高學(xué)生的思維能力。2.在延展中體現(xiàn)思維的深刻性。課堂上有價值的數(shù)學(xué)問題，不僅能激發(fā)學(xué)生積極參與的內(nèi)在情感，更能促進(jìn)主動投入的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生的思維潛能得以開啟、智慧火花得以綻放，從而提高思維深刻性。在教學(xué)《認(rèn)識小數(shù)》一課中，我精心設(shè)計、大膽放手，讓小數(shù)概念的建構(gòu)會日益深刻起來。如：當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了由1分米、4分米、7分米、9分米轉(zhuǎn)化成用米做單位的分?jǐn)?shù)十分之一、十分之四、十分之七、十分之九，并改寫成相應(yīng)的小數(shù)零點幾之后，我適時提出了值得探究的問題：“讓我們來觀察一下這些數(shù)量，你可以輕聲讀一讀、比一比，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生在教師優(yōu)美框架結(jié)構(gòu)的板書的縱橫比較中，自覺地發(fā)現(xiàn)了“十分之幾米都可以寫成零點幾米，零點幾米就表示十分之幾米。”不著痕跡地經(jīng)歷了從具體到抽象的“數(shù)學(xué)化”提升的過程。又如：當(dāng)學(xué)生在數(shù)軸上找到了0與

1、在1與2、2與3??之間的小數(shù)之后，我并沒有停留于讓學(xué)生會填寫幾個指定的小數(shù)而已，而是智慧地進(jìn)行滲透延伸“看這箭頭，表示什么含義？再想想，你還能想到哪些小數(shù)呢？”學(xué)生說出了許多小數(shù)：五點幾、六點幾、幾十點幾，乃至于九十點九九九??真是說也說不完。學(xué)生在不知不覺中主動拓展了數(shù)的分類、數(shù)的大小范圍、數(shù)的無窮性等概念內(nèi)涵與外延。3．在開放中體現(xiàn)思維的創(chuàng)造性

鄭教授指出，思維的創(chuàng)造能力對人類而言具有特別的重要性，因此，通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性顯得尤為重要。例如，我在教學(xué)《求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍》一課中，設(shè)計了“水果大拼盤”的練習(xí)，這個練習(xí)是基礎(chǔ)鞏固與趣味挑戰(zhàn)相結(jié)合的開放性練習(xí)，為學(xué)生提供了充分的創(chuàng)造空間。孩子們經(jīng)過對“外部”各種數(shù)量水果的觀察、選擇、思考，能“內(nèi)化”出某兩種量之間存在著倍數(shù)關(guān)系，并能用除法算式“外化”表示——讓個體經(jīng)歷了一次“外—內(nèi)—外”的思維過程。接著在全班“猜算式”所表示意義的活動中，學(xué)生從不同除法算式的“外表”讀出了其“內(nèi)在”的含義，并能用自己的語言“外化”表達(dá)“這個算式表示××是××的×倍”——讓群體經(jīng)歷了一次“外—內(nèi)—外”的思維過程。在這樣由“外”促“內(nèi)”、內(nèi)外互動的創(chuàng)造與分享過程中，孩子們潛移默化地鞏固著“倍”的認(rèn)識，實踐著“倍”的應(yīng)用，不斷體會到數(shù)學(xué)的邏輯與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步提升自己的學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

常學(xué)習(xí)著，常思考著，常實踐著，作為一名數(shù)學(xué)教師，將自己所學(xué)的理論用到實際教學(xué)活動中，伴隨著學(xué)生的成長，我們也在學(xué)習(xí)中不斷向前邁進(jìn)。

第四篇：讀《計算機(jī)思維》有感

讀《計算機(jī)思維》有感

《Computational Thinking》（計算機(jī)思維）是Jeannette M.Wing博士，亦卡內(nèi)基—梅隆大學(xué)計算科學(xué)系的系主任于2006年3月發(fā)表在美國計算機(jī)學(xué)會會刊《COMMUNICATIONS OF THE ACM》一篇文章，由趙老師的推薦有幸閱讀。通過閱讀這篇文章，我個人感覺不管是以后從事計算機(jī)方面的工作，還是從事其它工作，都受益終身。這篇文章也可以從一個側(cè)面回答現(xiàn)在我們普遍困惑的問題，那就是1：計算機(jī)專業(yè)的學(xué)生只能從事計算機(jī)方面的工作么？2：如果不從事計算機(jī)的工作，能不能從事其它各種工作？3：我們學(xué)習(xí)的專業(yè)對我們到底有哪些好處呢？以下進(jìn)行闡述，以此共勉。

一：《Computational Thinking》這篇文章的翻譯在我初次閱讀時，我毫無懷疑地把它翻譯為《計算思維》,還有根有據(jù)的找到了文章中的例證：如：To reading,writing,and arithetic,we should add computational thinking to every child’s analytical ablility,我自以為three Rs的擴(kuò)展就是把讀，寫，算結(jié)合起來就是思維。我就把上面理解為閱讀，寫作，計算，和計算思維作為現(xiàn)在孩子應(yīng)該培養(yǎng)的四種能力。隨著閱讀的深入，讀到了大量的計算機(jī)科學(xué)的專業(yè)詞匯，如文章只能怪提到”the machines instruction set(機(jī)器指令集)”,”indirect addresing(間接尋址)”，”procedure call”等等，這也越來越讓我感到我對這篇文章內(nèi)容進(jìn)行了泛化理解，這也讓我想起了趙老師所說的不能把這篇文章擴(kuò)大化，在隨著閱讀的深入，我慢慢理解了文章的內(nèi)容，知道了應(yīng)該把這篇文章的標(biāo)題《Computational Thinking》翻譯為《計算機(jī)思維》，為什么花這么多盡力說標(biāo)題的翻譯了，其實只有正確翻譯這篇文章的標(biāo)題，才能真正了解文章的真正含義，才能主要文章內(nèi)容的本質(zhì)，這是能否閱讀這篇美文的必要前提。

二：在一中提到了，這篇文章中提到了大量的計算機(jī)專業(yè)的詞匯，這些詞匯不僅僅是表面上的專業(yè)術(shù)語，而且還有深刻的含義，即計算機(jī)思維，同時也是這篇文章的主要內(nèi)容的拋磚引玉，這種思維方式對我的行為方面也產(chǎn)生很大影響。以下列出文章中所用到的專業(yè)詞匯，1:the machines instructions set:機(jī)器指令集（計算機(jī)組成原理）

2:recursive:遞歸（程序設(shè)計語言）

3:parallel processing:并行處理（計算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)）

4:dimensional analysis:量綱分析(計算機(jī)各門課程)

5:indirect addressing:間接尋址（計算機(jī)組成原理）

6:procedure call:子程序調(diào)用（程序設(shè)計語言）

7:abstraction and decomposition: 抽象和分解（數(shù)據(jù)庫設(shè)計和軟件工程）8;error correction:糾錯（計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)：糾錯碼）9:deadlock:死鎖（操作系統(tǒng)）

10:interface:界面（程序設(shè)計語言）

11:synchronizing:同步（操作系統(tǒng)）

12:prefecting and caching:預(yù)取和緩存（操作系統(tǒng)）

13:back-tracking:回朔（數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）

以上僅僅是簡單列舉一些，從這些專業(yè)術(shù)語的使用來看，我們可以得出兩個結(jié)論：(1)Jeannette M.Wing博士對計算機(jī)科學(xué)的各門課程都相當(dāng)?shù)纳钊耄材馨言搶W(xué)科的各門課程的知識融會貫通；（2）從如此眾多的專業(yè)詞匯中可以看出我之前的翻譯《計算思維》是錯誤的，應(yīng)該譯為《計算機(jī)思維》。三：以上簡單闡述了文章的標(biāo)題和文章的主要內(nèi)容，下面我們要闡述一下思維的含義，思維分廣義的和狹義的，廣義的思維是人腦對客觀現(xiàn)實概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質(zhì)和事物間規(guī)律性的聯(lián)系，包括邏輯思維和形象思維。而狹義的通常的心理學(xué)意義上的思維專指邏輯思維。計算機(jī)思維就是從如何設(shè)計計算機(jī)，到如何由計算機(jī)生產(chǎn)出產(chǎn)品的整過程，所用到的邏輯思維和形象思維，計算機(jī)思維是從那里來的呢？是經(jīng)過各個時期的科學(xué)家從實踐或從思想中提煉出來的，這是毫無疑問，這也是經(jīng)過實踐檢驗過的，總之一句話，計算機(jī)科學(xué)就是人類思想或思維的結(jié)晶，按照哲學(xué)的角度來講，它是從實踐上升的到理論，又用理論來指導(dǎo)實踐，從這個角度來說，這就是人的能力，把握事物規(guī)律的思維或方法，有了這種能力，難道你還害怕是否要從事計算機(jī)專業(yè)的工作么，這就回答了本文一開始提的1和2的問題，下面來回答第3個問題，在《計算機(jī)思維》

一文中隱含的告訴了我們，在學(xué)習(xí)計算機(jī)是主要要學(xué)習(xí)它的思維和模型，可以把計算機(jī)的這種思維給它推廣到年輕人中去，讓他們能掌握到人類思維的精華。從另一個側(cè)面也告訴我們，學(xué)習(xí)的某個專業(yè)，最主要的是要學(xué)習(xí)這個專業(yè)是如何從事物發(fā)展中掌握它的規(guī)律性，然后把這種規(guī)律性的法則應(yīng)用到實踐中去，這就是能力。學(xué)習(xí)的過程就是掌管這種能力的過程，當(dāng)我們明白這個道理時，我們就不會太在意專業(yè)了，若我們能掌握這種能力，那我們就終身受用。但有一點，我個人覺得計算機(jī)的思維方式最多，在思維方式上它是其它學(xué)科很難與之匹配，因為計算機(jī)是模擬人的大腦，是最具有創(chuàng)造性的事物，美國科學(xué)家約翰.馮.諾伊曼著的《計算機(jī)與人腦》就闡述了這一點。

以上只是我認(rèn)真閱讀了《計算機(jī)思維》一文后，得到的一些感悟。

第五篇：怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞所寫得一部經(jīng)久不衰的暢銷書，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導(dǎo)下，學(xué)會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

目錄

內(nèi)容簡介

作者簡介

目錄

怎樣解題表

編輯本段內(nèi)容簡介這本經(jīng)久不衰的暢銷書出自一位著名數(shù)學(xué)家的手筆，雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導(dǎo)下，學(xué)會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

編輯本段作者簡介波利亞(男)（George Polya，1887—1985），著名美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。生于匈牙利布達(dá)佩斯。1912年獲布達(dá)佩斯大學(xué)博士學(xué)位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任數(shù)學(xué)助理教授、副教授和教授，1928年后任數(shù)學(xué)系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)和斯坦福大學(xué)的教授。1976年當(dāng)選美國國家科學(xué)院院士。還是匈牙利科學(xué)院、法蘭西科學(xué)院、比利時布魯塞爾國際哲學(xué)科學(xué)院和美國藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院的院士。其數(shù)學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域。1937年提出的波利亞計數(shù)定理是組合數(shù)學(xué)的重要工具。長期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，對數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的1.幫助學(xué)生

2.問題，建議，思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學(xué)生，模仿和實踐

主要部分，主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執(zhí)行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學(xué)們?nèi)绻茉谄綍r的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數(shù)是什么？

已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數(shù)，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗總結(jié)。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個過程。

我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達(dá)到靈活運用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

******************

生活中，碰到一個的問題的時候，我們?nèi)绾谓鉀Q？首先我們明確要解決的問題，然后搜集相關(guān)情報或者已有的資源，考慮問題關(guān)鍵因素之間的內(nèi)在規(guī)律，接著嘗試一些可行的方案，最后選擇其中最優(yōu)的辦法實踐，最后問題得以解決。對于數(shù)學(xué)解題來說：首先我們明確未知量，然后明確已知量，確定條件，接著嘗試一些可行的方案，最終得到可以獲得未知量的方案，解出題目。

然而這里有一個模糊的地方，解決問題最關(guān)鍵的一步——想出可行的方案，是如何辦到的？當(dāng)我們對未知、已知、條件都已經(jīng)了如指掌之后還是想不出任何的方案，這個時候解題面臨本質(zhì)的智力困難的時候，是如何從無到有思考出可能的方案供我們嘗試的？

這個問題更有畫面感的描述是：數(shù)學(xué)課，老師出了一道幾何題，先讓大家試解，無人能解。然后老師開始講題，前面的步驟1、2、3大家都會也都想到了，這時老師添加了一條輔助線，引出步驟4，問題得解，大家豁然開朗。然而，解題的關(guān)鍵步驟3到4是如何思考到的呢，老師為何就想到做這一條輔助線呢？

《怎樣解題》就是在回答以上問題。

書中有一個例子可以形象的問答這個問題：

一個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經(jīng)過昨天一夜，已經(jīng)漲了上來；因此他面臨一個問題：如何越過這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對象，是原始題目中的X。這個人可能會回憶起，他以前曾經(jīng)踏著一顆倒下的樹度過了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹，就構(gòu)成了他新的未知量Y。他找不到合適的樹，但是沿著溪流有大量的樹木在岸上，他希望其中有一個樹會倒下來。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上？這樣又產(chǎn)生了一個新的未知量Z。這一連串的念頭就是分析。如果這個人成功的完成了分析，他可能就成了橋和斧子的發(fā)明者。

而這個分析問題的過程，正包含了普遍的解決問題中本質(zhì)智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過同樣或者類似的問題，即使沒有，我們可以嘗試想更簡單的相關(guān)問題，可以是更普遍化的問題、更特殊化的問題，甚至只是問題中的一小部分問題。或者干脆來變化我們遇到的問題的已知情況，觀察未知情況如何跟隨變化；或者變化未知量；或者同時變化已知未知量，來觀察問題如何變化。正是這樣一個分解和重構(gòu)問題的過程，使得我們逐漸逾越了問題的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我們驗證疑似可行的方案，如果其中確有可行的，問題得解。如果沒有，我們將重復(fù)以上的過程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當(dāng)然原著對分解和重構(gòu)問題的過程做了更為細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊吞接懀⑴湟跃畹臄?shù)學(xué)題示例來演示各種細(xì)節(jié)。作為一本數(shù)學(xué)方法著作，更難能可貴的是，波利亞頗為人性化的闡釋了解題過程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中，“決心、希望、成功”“潛意識活動”“進(jìn)展”三個詞條都嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的闡述了情感是如何作用于我們解題過程的。

“決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產(chǎn)生波動。如果我們認(rèn)為答案即將來臨，就很容易繼續(xù)干下去，當(dāng)我們看不到有什么克服困難的出路時，要堅持不懈就會很難。”“有超常天賦的人主要的優(yōu)勢也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力，他能感覺到進(jìn)展的細(xì)微標(biāo)志，或者注意到這些標(biāo)志的缺乏。”這些非智力因素對于我們解決生活和工作中的問題尤其重要，我們需要敏感的覺察來自情感腦的反饋，并加以利用，來幫助解決問題。舉例來說，生活中碰到一個很復(fù)雜問題，在長期解決問題的過程中，有一段時間可能解決問題時沒有明顯的反饋給我們標(biāo)志，最后我們沮喪的放棄了解決問題。然而很有可能的是，這個過程真是解決問題的關(guān)鍵期，實際上也是有標(biāo)志出現(xiàn)的，只是當(dāng)時的我們還不理解這些標(biāo)志。由此可見非智力因素之于解決問題的重要性，我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亞還舉出一個心理學(xué)試驗：用一個缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側(cè)放上一個被試很想要的物體（對動物來說是食物，對人類嬰兒來說是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現(xiàn)，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現(xiàn)無法通過的時候，不久便學(xué)會了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，人類嬰兒很快就學(xué)會了繞過障礙，而黑猩猩也學(xué)得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬）。

“母雞的行為就像那些面臨問題的時候渾渾噩噩的人，試了一次又一次，最后靠一些運氣碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應(yīng)責(zé)怪母雞的笨拙。要轉(zhuǎn)過身從目標(biāo)跑開，不一直盯著目標(biāo)前進(jìn)，不沿著直接的道路到達(dá)目標(biāo)，確實有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性。”最后一句話貌似有些哲理，是全書嚴(yán)謹(jǐn)行文之中唯一有些文藝的一句。`

...............