第一篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數學學習的習慣培養

沈 斌

摘要：運用波利亞的“怎樣解題”表來指導數學教學，揭示解題過程的思維訓練全貌, 暴露數學學習核心問題的本質，以增進教學效果，同時, 在解題的過程中，也使學生的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養成有益的思維習慣，進而形成了良好的數學學習習慣，而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。

關鍵詞：怎樣解題表職業中學學習習慣

正文：

一、中等職業學校學生學習現狀

當前的職校數學教學面臨著一種困境，學生生源質量差且參差不齊，經常聽到有教師怨言：“這些學生怎么教呵！”學生基礎比較差這是事實，是不是學生智質差？不是，學生也聰明，活潑好動，究其原因是職業中學學生大多,數學學習習慣不好，學習被動等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會學習或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個班級里有許多學習目的不明確、學習習慣不好、基礎不扎實的學生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統的課堂教學目標和模式，其結果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數十年的教學與科研經驗集中具體地表現在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時用建議的口氣, 有時則用引導性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務之一是幫助學生”。“教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學思想使我受到啟示，在課堂教學中嘗試“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟，使學生逐步養成了良好的數學學習習慣。

三、在職校數學教學中應用《怎樣解題》思想培養學生學習習慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養學生分析已知條件的習慣

審題過程就是要審清題目數量關系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關系在學生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數量關系和解答問題創造良好的前

提條件。對題中揭示數量關系的關鍵句要反復推敲，理解它的真實含義。數學教師在通常的教學過程中應時時提醒學生這樣盡力去做, 那么我們的學生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養起先弄清問題,分析已知條件的習慣。

例 如果一條直線平行于一個平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個平面, 另一個平面垂直于這條直線.可以用數學語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數學化，同時大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習慣

在波利亞的解題表中，擬定計劃是關鍵環節，“擬定計劃”的過程是在“過去的經驗和已有的知識”基礎上,探索解題思路的發現過程。“擬定計劃”的過程其實就是不斷變換問題的過程，把復雜的問題向簡單的問題轉化，陌生的問題向熟悉的問題轉化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養了學生擬定解題計劃的習慣。學生有了計劃, 就不會拉下已知條件, 就會考慮解題的優先順序，有清晰的目標，就可以通過計劃的實施來實現解題的目標。

講解第二步、擬定計劃:

怎樣證明兩個平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個平面內找到另一個平面的垂線即可。

怎樣找到另一個平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據直線和直線平行的性質定理, 只要在平面α內找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質定理可知, 只須過直線a任意作一個平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結論成立.解題計劃：直線a∥平面α，可找平面α內的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經過直線b結論可得證。

(三)通過實現解題計劃,培養學生將計劃付諸實現的習慣

想出一個計劃,產生一個求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習慣等。我們要把來之不易的好計劃好念頭付諸實現，在解題計劃的實現過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學生弄清一個立體模型.養學生擬定解題計劃的實細節并耐心地檢查每一個細節，直到每一點都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。在這個過程中教師要注意培養學生的耐心和恒心，要時時提醒學生自己解題的計劃是什么?按照解題計劃堅持讓學生檢查每一步驟,這對職業中學的學生而言尤其重要,因他們的關鍵是踏踏實實的做每一件事情，將計劃執行到底。

講解第三步、實現計劃:

證明:過直線a任作一個

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質定理，直線和直線平行的性質定理，平面和平面垂直的判定定理，三個定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養學生主動回顧反思的習慣

即使是相當好的學生, 當他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會合上書本, 找點別的事來干干。這樣做, 他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。

培養學生對自己的解題過程進行回顧反思的習慣，提高學生的思維自我評介水平，這是提高學習效率，培養數學能力的有效的方法。解題是學好數學的必由之路，養成對自己的解題過程進行回顧反思的習慣是具有正確的解題思想的體現。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經驗水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使學生的思維進入理性認識階段，事半功倍，同時可能會產生創新的好念頭。因此，為了提高數學學習效率，必須加強正確的解題思想教育，使學生養成回顧反思的習慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時又要及時提取記憶中的有關知識, 來擬定出一個成功的計劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據直線和平面平行的性質定理找到直線b, 然后根據直線和直線平行的性質定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應更新教育觀念 ,擺出良好姿態

數學家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現出對學生的關懷和設身處地地為學生考慮的思想。因此，我們職業學校的教師應轉變教育思想,樹立起為學生服務觀念, 擺出良好姿態面對我們的學生，我們要相信每個學生都是有能力學好的。給予學生更多的人文關懷，教師在整個教學過程中應從學生的角度出發，考慮學生的學習感受，特別對于基礎差的學生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態度，應尊重他們受教育的權利，設計出符合學生特點的課堂教學，更好地為學生服務。本著這樣一種觀念，就會創造出一種讓學生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結果則會培養學生的自覺意識，增強自律能力，逐步養成良好的學習習慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學生，這是達到民主和諧的基礎，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關系，教師要放

下架子，把自己當作學生中的一員，使自己成為既是學生學習的指導者，又是合作者，積極參與學生的討論、交流，經常用商量的口吻進行教學。

3、要正視學生的潛能，承認學生能主動發展，視教學過程為學生的發現、創造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數學解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學何雙誼高中數學教與學2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學數學教學參考2004 年第4期

第二篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學習難，學習數學更難”，許多人對數學望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數學在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數學中的發明創造，他利用在大學任教的機會，通過與學生的交流和對學生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數學大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導了人們不僅僅是在數學中，乃至在任何其他領域中怎樣進行正確思維，引導了一代又一代讀者在學習中走上正確的道路。這個人就是著名數學家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。上中學時，他就是一個很有上進心的學生，但每當遇較難的數學題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，他看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？我自己怎樣才能想出或發現他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經過多年教學經驗的累計以及與一批數學大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達了這樣的觀點：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發現可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發現。”這句話頗有現實意義，人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質，就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認為當你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發時，你的創造力將被激起，并被發揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感，從而更加激發你學習的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學生的解題應該進行怎樣的指導，書的第一章節，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節中，波利亞系統地指導了教師如何讓幫助學生，他說：“教師最重要的任務就是幫助學生。學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一個合理的工作量。如果學生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點，教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。”而在指導學生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學生的注意力集中到未知數上。有時，我們用一條建議：看著未知數，來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的。“怎樣解題”表就包含了這類經過仔細挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，當然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯想到與之相關卻為我們所熟悉的內容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學生在實踐中，教師試圖提高學生解題能力，必須培養學生的興趣，然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發展相應于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應該盡可能地經常而自然地向學生提出這些問題和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應當使其思路更吸引人一些，并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導，學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學到比任何具體數學知識更為重要的東西。將此聯系到實際中的數學學習問題，在如今應試教育的大環境下，現在教師的教學過程、學生的思維都比較的定式化，特別像是數學物理等理科，教師運用題海戰術，學生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數學師范專業的學生，我想我從這本書中學到了太多，不僅僅解決了自身的學習問題，激發了自己對于解題的興趣、學會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學會了，作為一名教師應該如何指導學生解決問題，如何教育學生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第三篇：波利亞的怎樣解題表

波利亞的怎樣解題表

怎樣解題第一步：弄清條件

第一：你必需弄清問題

未知是什么？

已知是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖，引入適當的符號。

把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來。

怎樣解題第二步：擬定計劃

第二：找出書籍數與未知數之間的聯系，如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。表中列出了了若干輔助問題，在遇到困境時你可以逐一把這些問題搜索一遍，每個問題的解決都可能是朝向勝利的關鍵一步！你應該最終得出一個求解的計劃。

你以前見過它嗎？

你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與些有關的問題？

你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題？ 這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能不能利用它？ 你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？

為了利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的問題？

一個更普遍的問題？

一個更特殊的問題？

一個類比的問題？

你能否解決這個問題的一部分？

僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數能確定到什么程度？它會怎樣變化？

你能不能從已知數據導出某些有用的東西？

你能不能想出適合于確定未知數的其他數據？

如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使尊長未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？

你是否利用了整個條件？

你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？

怎樣解題第三步：實現計劃

第三：實行你的計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

你能否證明這一步驟是正確的？

怎樣解題第四步：回顧

第四：驗算所得到的解

驗算所得到的解。

你能否檢驗這個論證？

你能否用別的方法導出這個結果？

現在你能不能一下了看出它來？

你能不能把這一結果或方法用于其他的問題？

若條件或結論做些改變，又將如何解決？

第四篇：怎樣解題 波利亞 摘要

怎樣解題 波利亞

摘要

波利亞的《怎樣解題》曾經掀起歐美數學界的震動。他是一位基礎的數學家和教育家，作為數學家，他在數學的各個分支中，都有璀璨的成就。歐美的數學家曾經呼吁，學數學的人，要讀讀波利亞，不學數學的人，也要讀讀波利亞。數學老師要讀讀波利亞，初中生高中生大學生要讀，數學家也要讀讀波利亞。他寫的怎樣解題，介紹了在數學中的普遍規律，幾乎全部是文字敘述。為了方便大家更快的閱讀，節省時間，我整理了一下，這樣，您在10分鐘之內，就可以讀完。有些地方，值得仿佛閱讀，牢記

解題是對過去的回憶

讓目標調動你的記憶力。

我能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節。

這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調動起你的記憶力，即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推 任何事物的學生，最后也會被迫對解題的思路至少作出微小的貢獻。

我應該從哪兒開始?從問題的敘述開始,我能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節。這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調動起你的記憶力，做好準備去重新聯想與問題有關的各點。

力圖利用已知結果和回到定義去，是引入輔助元素的一些最好的理由；但

它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，更富于啟發性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們怎樣才能利用這些

所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是

個“好念頭”。

探尋你解題步驟目的和動機

如果一條微妙的輔助線在圖中出現得很突然看不出任何動機，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學生將會失望，他們感到上當受騙。因為只有在我們的論證及發明會創造的能力中充分發揮了數學的作用后，數學才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動機和目的不可理解，那么我們在論證和發明創造方面就學不到什么東西。為使這樣的步驟可以理解，需要加以適當的說明(如前面(3)中所做的那樣)，或者精選問題和建議(象第lO、18、*

9、20節中所做的那樣)，這需要大量的時間和精力，但卻是值得一做的。

人和飛蟲的區別

一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進來的那扇。人能夠或者至少能夠行動得更聰明些。人的高明之處就在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時，他 會繞過去；當原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題。構想一個輔助問題是一項重要的思維活動。舉出一個有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把 到另一目標的手段設想成一個新目標，這都是運用智慧的卓越成就。學會(或教會)怎樣聰明地處理輔助問題是一項重大任務。

但是，我將煞費苦心地用清晰的詞句來說明所有有才能的人所遵循的研究規則與方法

人們可能認為，這種現象對于處理某個高級問題的有經驗的數學家要比那些解決某個初等問題的初學者更有可能發生。可是，具有大量數學知識的數學家比初學者更容易冒濫用知識而使論證不必要地復雜起來的危險。但作為補償的是，有經驗的數學家比初學者更能重視結果中細微部分的重新解釋，并且把它們積聚起來，最終重新寫出整個結果。

解題本質，跨越鴻溝

在我們面前有個未解決的問題，一個隨便用什么方法處理的問題。我們必

須找出已知與未知間的聯系。我們可以把我們待解的問題表示成已知與未知之間的廣闊空間，當作已知與未知之間的一道鴻溝，在其上需要架橋。我們架橋可以從任何一邊(從未知或者從已知)開始

一個高水平的學生對此也可能一籌莫展。當然，有各種辦法可試，但幫助學生精神重新振作起來的最好問題是：你能從已知事項導出什么有用的東西

如果你鉆到細節中去，你可能會在細節中迷途。過多或過細的具體情節是腦力的一種負擔。它們如一葉障目會阻礙你充分注意主要之點，甚至使你完全看不到主要之點，只見樹木而不見森林。

我們當然不希望為不必要的細節去浪費我們的時間，我們應該把我們的精力用到主要內容上。困難就在于我們事先說不出哪些細節最后會變成主要的，而哪些又不會。

數學的解題是一種組合當然，重新組合的可能性是無限的。困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合。而解題者的才能就在于組合的獨創性。但也存在著某些普通的、相對簡單的組合，它們對于較簡單的問題而言已經夠用。對于這樣的組合我們應當徹底加以了解并且首先試用，即使我們最后不得不求助于不太顯而易見的方法。

消去花哨讓人犯怵的數學專業術語，回到定義上，看到客觀事實的真正聯系。（你看到WC你應該像想到廁所，然后，是排泄的地方，然后是具體馬桶小便池，于是，就把WC這個專業術語消去，讓花哨而讓人反感的術語，變成了現實的聯系，數學術語也是這樣。）

數學中的專業術語有兩類。有些作為原始術語不加定義而被接受.可是數學家卻不關心他的專業術語有什么流行的意義，至少他主要不關心.數學定義產生數學上的意義。

消去專業術語。為了消去一個專業術語，我們必須知道這個專業術語的定義；但僅知其定義還不夠，我們還必須利用定義。我們在問題的概念中引入適當的元素。我們在定義的基礎上建立所引入的元素之間的關系。如果這些關系完全表 了術語的含義，則我們就已經利用了定義。利用了定義，我們同時也就消去了專業術語。

剛才所敘述的過程可稱為：回到定義去.用回到一個專業術語定義的辦法，我們除去了這個術語，而代之以新元素和新關系。這在我們的問題的概念中所產生的變化可能很重要。無論如何，對問題的某種重新敘述，“問題的某種變化”是與結果密切相關的。

然而在有些情況下，我們并沒有選擇的余地。如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就只好被迫采用這定義。如果我們所知并不比定義為多，我們最好的機會可能是：回到定義去。但是，如果我們知道有關概念的許多定理，并且已有許多使用這些定理的經驗，那么我們就有機會找到一個涉及上述概念

合適的定理。

回到定義去是一項重要的智力活動。如果我們希望了解為什么字的定義如此重要，那么我們應當首先認識到，字是重要的。如果不用字，不用符號或某種記號，我們幾乎不能思維。所以，字和符號是有威力的。原始民族信仰字和符號具有魔力。我們可以理解這種信仰，但卻不可茍同。我們應當知道在于字給我們提示的概念以及這些概念最終所依據的事實

因此，尋求字面背后的意義和事實是一種健全的傾向。對于回到定義去數學家尋求的是：掌握那些在專業術語后面數學對象間的實際關系；物理學家尋求的是：專業術語后面的明確實驗；而具有某種常識的普通人則希望找出鐵的事實而不僅僅為字面所愚弄。

決心，希望，成功

（按照《誰動了我的奶酪》觀點，一些技巧不要問什么，記住使用，立即行動。）

認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的；決心與情緒所起的作用很重要半心半意和懶洋洋地同意做一點事情，對于在教室中做代公式題可能是夠了但是，去求解一個嚴肅的科學問題需要堅強的意志才能成年累月地含辛茹苦和

決心隨著希望與失望，稱心與挫折而波動搖擺。當我們認為解答就在眼前時，決心很容易維持；當我們陷入困境，無計可施時，決心很難 持下去。

當我們的推 成為現實時，我們歡欣鼓舞。當我們以某種信心所遵循的道路突然受阻時，我們又不免垂頭喪氣，我們的決心也隨之動搖了。

鎖定你的目標

在科學工作中，決心的大小必須靈活地根據前景而定。除非你對一個問題有某些興趣，你才去著手解答它；如果這問題看來有指導意義，那么你就定下心來認真地去作；如果它很有搞頭，你就全力以赴。一旦你目標已定，你就要鍥而不舍，但你的日標對你自己來說不可過高。你不要輕視微小的成功，相反你要追求它們：如果你不能解決所提問題，首先嘗試解決某個有關的問題。

當一個學生的錯誤實在很大或者遲鈍得令人惱火時，原因幾乎總是相同的：他根本不想解題，甚至不愿正確理解這個問題，所以他對問題并未理解。因此，凡是真心希望幫助學生的教師首先應當挑起學生的好奇心，給他某種解題的愿望。同時教師也應當給學生一一些時間，使他下定決心，定下心來做他的功課。

數學好的人是堅強的，不達目的，決不罷休。

教學生解題是意志的教育。當學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待主要的念頭，學會了當主要念頭出現后全力以赴。如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了

學生常犯的毛病

由于思想不集中而造成的對問題了解不完整大概是解題中最為常見的毛病。至于在制定一個計劃并得到求解的一個總的概念這一階段中，常見的是兩種截然不同的毛病。有的學生沒有任何計劃或總的概念，就急急忙忙地選人具體計算和作圖；另 一些學生則笨頭呆腦地 等著某個念頭的降臨，而不會做任何事情去加速其來到。在實現計劃階段，最常見的毛病是粗枝大葉，不耐心檢查每一步。根本不檢查結果是屢見不鮮的；學生樂意得到一個答案，丟下筆結束，對于最靠不住的答案他們也滿不在乎。

由于我們的知識是逐步增加的，我們對問題的概念在結束時要比開始時豐富得多，但現在它怎么樣了?我們已經得到所需要的了嗎?我們的概念足夠嗎?你是否利用了所有的已知數?你是否利用了整個條件?對于求證題，相應的問題是：你是否利用了全部前提?

我們所討論的問題以審查我們對問題的概念的完整性為目的。如果我們沒有把任何主要的數據，或條件，或前提考慮進去，那么我們的概念肯定不會完整。但如果我們不體會某個主要術語的意義，則我們的概念也不完整。因此，為了檢查我們的概念，也應該提問：你已考慮了問題中所包含的所有必要的概念嗎?

你知道一個與此有關的問題嗎?（我們要記住曾經發生過什么）

我們幾乎不能想象有一個問題是絕對的新穎，和我們以前解決過的任何問題都不相似，都無關系；但若居然有這樣一個問題存在，它將是不可解的。事實上，當解決問題時，我們總利用以前解決的問題，用其結果或用其方法，或利用解決它們時所得到的經驗。當然我們所利用的這些問題必須在某一方面與我們當前的問題有關。所以，我們提這個問題：你知道一個與此有關的問題嗎?

畫張圖

檢驗你的猜

讓幾何圖形幫助你思考

這個定理看起來比前一定理更好著手；當然，它較弱。無論如何，我們應當弄清楚它們是什么意思；我們應當有勇氣更詳細地去重新說明它。用代數語言去重新表述它一遍是有好處的。

已知的條件，用紅色的筆寫，未知的用黑色

為了強調不同線段的不同地位，你可以使用粗線或細線，實線或虛線，或者用不同顏色的線。如果你尚未完全決定采用某一根線作輔助線的話，你就輕一點畫它。你可以用紅筆畫已知元素，而用其他的顏色來強調重要的部分

為了得到解答，我們必須從我們的記憶中汲取有關的知識，我們必須調動起我們記憶中處于休眠狀態的知識的有關部分(“進展與成就”)。當然我們事先不知道哪部分知識有用，但是存在可能性，我們不應放棄探索。

集中注意力于我們的目標，集中意志于我們的目的，我們就會想出 到它的方式和方法。到目的的方法是什么?你怎樣 到你的目的?你怎樣才能得到這類結果?什么原因會產生這樣一個結果?你在哪里看見過這樣一個結果?為了得到這樣一個結果，人們通常怎么辦?于是嘗試想起一個具有相同或相似未知數的熟悉的問題。嘗試想起一個具有相同或相類似結論的熟悉的定理集中注意力于我們面前的問題，我們嘗試找出應該引入哪類問題，哪個早已解決的問題(具有相同未知數的)最適合我們當前的目的。

阿基米德是如何用已有的知識解決新問題的我們剛才提過，當阿基米德求球面積時，他并不知道任何有相同未知數而且早已解決的問題。但他卻知道各種有相似未知數而早已解決的問題。有些曲面的面積比球面積容易求，它們在阿基米德時代已為人所共知，如正圓柱體的側面積，正圓錐體的側面積，圓臺的側面積等等。我們可以肯定，阿基米德曾經仔細地考慮過這些較簡單的相似情況。事實上，在其解答中，他利用了一個由兩個錐體與若于個圓臺所組成的復合體來作為球體的近似(見“定義”，數學符號

對數學符號的重要性我們幾乎總是不會估計過高的。說活與思維有密切聯系，使用文字有助于思維，凡對嚴肅的數學工作稍具經驗的人都知道：不用文字而只注視幾何圖形或僅演算代數符號也可以進行一些相當艱巨的思維。圖及符號和數學思維有密切的聯系，它們的使用有助于思維。使用符號對于運用推理看來是必不可少的。

數學符號看來象一種語言一種構造良好的語言，一種非常適合其目的、簡練而準確的語言，其規則與常的語法不同

但在精確性很重要的場合下，我們必須小心選擇我們的用詞。在解題中，選擇符號是重要的一步。應謹慎從事。我們現在花費在選擇符號上的時間，以后可由避免了狐疑不定和混亂而節省下來的時間所彌補。此wai在小心選擇符號時，我們必須把問題中需加符號的元素仔細想個明白。這樣選擇一個合適的符號可能大大促進了對于問題的了解。

一個好符號應該是不含糊的、富有意義的、便于記憶的；它應該避免有害的第二重意義而利用有用的第二重要意義；符號的次序與聯系應提示事物的次序與聯系。

當符號的次序與聯系可向我們提示對象的次序與聯系時，符號對于形成哉們的概念特別有用

聰明過人的孩子有時也會對數學符號反感

不但班級中最不可造就的孩子可能討厭代數，甚至聰明過人的孩子有時也會對它反感。符號總不免有些武斷和不自然；學習一種新符號對記憶是一種負擔。如果聰明的學生不理解這種負擔有什么好處，他就會加以拒絕。如果他沒有充分的機會親身體驗到“數學符號語言有助于思維”，那么他討厭代數是無可非議的。幫助學生獲得這方面的經驗體會是教師的重要職責，是最重要的職責之一。

分析和綜合-------原始人過河的故事（同濟大學第四版關于二元函數泰勒級數的公式，剛開始引用的輔助函數，實際是在三位空間中，把相對xy軸變量的變動，歸結為對角線的變動，然后，通過設比例的方式，同以表達了二元的分別變動，但是，他沒有給出說明，我認為，違背了分析的精神，爛）

什么是綜合?這就是一步一步地做完這些由分析所預見到的可能的計算。解題者完成他的問題并不需要什么新念頭，計算各個未知數時只需要耐心與注意。

一個原始人希望 過一條小河；但他不能用通常的辦法 河，因為昨晚已經漲水了。于是，河成為一個問題的對象；“ 河”即這個原始問題中的x。這個人可能回想起他曾沿著一棵倒下的樹 過其它幾條河。于是他到處尋找一棵合適的倒下的樹，這就成為他的新的未知數y。他找不到合適的樹，但有大量的樹立在河邊；他希望其中有一棵能倒下來。他能使一棵樹倒下來橫跨這條小河嗎?這是個了不起的念頭，并且這里有一個新未知數：用什么辦法能弄倒這挺使之磺跨小河。

如果我們接受帕撲斯的術語，這一串念頭應稱之為“分析”。如果這原始人成功地完成了他的分析，他可能就成為橋與斧頭的發明人了。什么是綜合?就是把念頭化為行動。綜合的最后一個行動是沿著一棵樹走過小河。

解決實際問題

有一種廣為流傳的意見，即實際問題比數學問題需要更多的經驗。這可能如此。但很可能，這種差別只存在于所需要知識的性質，而不是我們對問題的態度。在解決這樣那樣的問題時，我們必須依賴我們在處理類似問題方面的經驗，我們經常問這個問題：你是否見過相同的問題，只是形式上稍有不同?你知道一個與此有關的問題嗎?

你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條件?當我們處理純數學問題時，我們不能放過這些問題。但在實際問題中，我們應當改變這些問題的形式：你是否利用了可能對求解有顯著作用的所有數據?你是否利用了可能對求解顯著影響的全部條件?我們估量一下現成可用的有關資料，如果必要的話，我們再去收集一些，但最終我們必定要停止收集，我們必會在某處劃地為界不再越雷池一步，我們不能不忽略某些東西；

進展與成就

你有任何進展嗎?主要成就是什么?在解題過程中，你可能問自己或者問一個你督促其功課的學生。這樣，我們慣于或多或少滿懷信心地判斷具體情況下的進展與成就。為了解題，我們必須具備本論題方面的知識并且必須對我們現有的，但原來屬于休眠狀態的知識進行挑選并收集相關內容。我們對該問題的理解在問題結束時總比開始時要豐富得多；增加了些什么呢?從我們的記憶中，我們成功地汲取了什么呢?為了得到解答，我們必須回憶各式各樣的基本事實。如果是個數學問題，則我們為了得到解答，必須回憶以前解答過的問題，已知的定理和定義。從我們的記憶中汲取這些有關內容可稱之為“動員”。

工作進展的另一側面是：概念變換的方式。收集了資料并進行加工以后，我們關于問題的概念在結束時比在開始時豐富得多了。由于我們想從初始的概念前進到一個更滿足要求的、更適用的概念，我們可以嘗試從不同的觀點并從各個不同的側面觀察此問題。如果不“變化問題”，我們幾乎不能有什么進展

1，困難的題目需要隱秘的、特殊的、獨創的組合方式，解題者的才智在獨創中顯現出來。

2，成人也要學數學，歐洲人上班族很多學的。

3，心算，盡量少的用計算器，增加腦力，防止遲鈍。

4，數學的靈魂在于思考

5，假如，以前基礎的東西，你都掌握得很熟練，不用你操心了，你學數學的面貌會怎樣。

6，數學家和學數學的人，是鑄劍師和劍客的關系嗎？

7，假如一個新的問題，無法用新的方法解決。那么，就只能用舊的方法解決了。而如果用舊的方法不能直接解決，那么只能改變新的問題為舊的問題，或者把舊的問題加以改變，以適應新的問題。

8，能否把解題當成一種挑戰。

9，不要怕麻煩，慢慢來。不要著急，慢慢來，學數學的人都是慢性子。

10，閑著沒事，就做些最基本的題目吧。

11，假如有一個目標，你要登到哪里，需要很多的臺階，你可以一步步的爬上去，但是，如果感覺很困難，你肯定和以前的知識失去了聯系

12，人在休息的時候，思維容易發散。

13，學數學，如同走迷宮，僅僅是錯誤常識的探索是不夠的，還要總結歸納，找到規律。

14，遇到難題，思維要發散開，至少，要提出多種解決方案。

15，學數學，狼的哲學，1，信心2，轉，發現機會3，窮追不舍4，試探，試驗

16，把題目的條件，寫一寫，列一列

17，不要坐在那里發呆，要動動手，嘗試一下。

18，我整體的看看這一部分如何

19，倒著推導，倒著干

20，你些最基本的技術你熟悉馬

21，看到它，我想到什么？

22，在你能力范圍之內的，絞盡腦汁吧。

23，人無法一下子弄明白一個公式定理。（如同打麥場，你無法一下子碾下所有的粒子）

24，數學灶，-------思維的連續聚焦和廣博

25，just do it

26，做題，探索，有時候，要靠較好的運氣

27，分析問題，step by step , one by one

28，畫一個草圖

29，主動學習，愛數學，愛思考。

30，塑造浪漫，不妨對一道你認為不會做的難題，列出所有可能，做他一天，直到思考出來為止。

31，數學教授對數學的理解，往往是，看吧，直到把這道題看穿。

32，解一道復雜的難題，往往要比容易題花費更多的時間，這提醒我們，如果我們對難題投入更多的時候，就怎加了解決的希望。

第五篇：波利亞教我們怎樣解題

波利亞教我們怎樣解題

-------送給渴望學好數學的同學

喬治·波利亞，美籍匈牙利人，是20世紀舉世公認的數學家，著名的數學教育家，享有國際盛譽的數學方法論大師。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。學知識，先學方法。他的這些解題的方法，對我啟發很大!所以特意摘錄給同學們看看，希望大家也能從中受到啟發。

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數，條件是否充分？

2.畫張圖，將已知標上。

3.引入適當的符號。

4.把條件的各個部分分開。

第二步：找出已知與未知的聯系。

1.你能否轉化成一個相似的、熟悉的問題？

2.你能否用自己的語言重新敘述這個問題？

3.回到定義去。

4.你能否解決問題的一部分？

5.你是否利用了所有的條件？

第三步：寫出你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？

第四步：回顧。

1.你能否一眼就看出結論？

2.你能否用別的方法導出這個結論？

3.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？