第一篇：波利亞解題心得體會

波利亞解題心得體會

一道題，自己總也想不出解法，而老師卻能給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的?”如果這個解法不是很難時，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢?”

有人聽到“數學”就會頭痛，為什么又會有人熱衷于解題呢？在解答這道或那道不涉及物質利益的題目的愿望背后，也許有著一個更深切的好奇心，一個要求理解解答的各種途徑和方法、動機和步驟的愿望，當我們絞盡腦汁想的題突然被我們解答出來，那種心情只有真正經歷過的人才懂。不管是我們自己或者我們去幫助別人，我們不僅要盡力去理解這道或那道題目的解答，而且要理解這個解答的動機和步驟，并盡力向別人解釋這些動機和步驟。

在老師上課的時候，為什么很多學生能聽懂例題卻不能獨立思考得出問題的答案，總是要等到提示、點撥后才恍然大悟呢？這是因為學生不懂得思考的方法，大多數老師講題總是“頭痛醫頭，腳痛醫腳”，只有實戰經驗，沒有形成方法論。但是學生要的不應該是一道道具體的題目，而是面對任何一道題目時的思維方法。這也就是波利亞要告訴我們的。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”，即未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？“擬定計劃”，找出已知數據與未知量之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃。“實現計劃”和“回顧”，我自己認為回顧在解題中是很重要的一個步驟，很多同學卻不以為然，你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？回顧能讓我們更加理解這一類題目的解題方法。

解答其實也是一種創造，當找到一個方法解決了一道題目，我們同時也應該思考 “你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？”有時我們要舉一反三，改造一道題目。基本的方法有：普遍化、特殊化、類比、分解和重組等。大二的時候修了初等數論這一門課程，它主要研究整數最基本的性質，是一門基礎課程，蘊含了豐富的數學思想方法（整體化、轉化、構造、反證），上這門課時，老師講的都能聽懂，課后解題卻不知所措。還有一些需要證明的習題也是今后能夠用到的結論，卻不懂得如何運用和解答。自己不去反思、去領悟、去歸納，縱使心中方法無數，下筆也只能低頭苦思?！昂妙}目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長。找到一個以后，我們應該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的?！?喬治·波利亞說過：“解題可以是人的最富有特征的活動，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應該在所做的題目當中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時，能起到指導的作用?！?/p>

做一件事情的主體永遠是自己，對于學習數學來說，只有你自己的思維活躍起來了，在學習中尋找到屬于自己的快樂，有了成功的體驗，對數學知識本身才能產生內在的興趣。

第二篇：波利亞解題讀書心得體會

當我們經過反思，有了新的啟發時，不如來好好地做個總結，寫一篇心得體會，這樣我們就可以提高對思維的訓練。應該怎么寫才合適呢？以下是小編為大家整理的波利亞解題讀書心得體會，歡迎大家分享。

生活中我們經常把一個整體分解成它的各個部分，然后又把這些部分重組，使之成為一個與原來或多或少有些不同的整體。在觀察部分時你可能深入到細節中去，這樣你就會在細節中迷失，阻礙你對要點的投入足夠的注意力，甚至使你全然看不到要點。我們不希望在不必要的細節上浪費時間，要把精力用到要點上。因此，我們首先得對題目作一個整體的理解。在理解題目之后，在判斷哪些特點是重要的內容，在確定了一兩個要點后，在判斷還有哪些深一層的細節值得詳細研究。

在研究一道題目時，我們應從以下問題開始：未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？研究每個數據本身，將條件的不同部分分開，并研究每一個部分本身，然后再嘗試用某種新的方式來重組他的元素。再由原來的題目來構建一道新的題目時，我們可以：

（1）保持未知量不變，改變其余的部分（已知數據和條件）；

（2）保持已知數據不變，改變其余的部分（未知量和條件）；

（3）既改變未知量，已改變已知數據。

我們把元素組合成另一個定理，在這一方面，有下列三種可能性：

（1）我們保持結論不變而改變題設。

（2）我們保持題設不變，而改變結論：你能從題設中得到什么有用的東西嗎？

（3）我們同時改變題設和結論。

“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具”，它的學習是為了更好的應用，為社會創造價值。數學能力是指在一定問題情境中，運用數學方法，提出問題、分析問題、解決問題的能力?！霸诳茖W研究中成功地運用數學的關鍵，就在于針對所研究的問題提煉出一個適合的數學模型，這個模型既能反映問題的本質，又能使問題得到必要的簡化，以利于展開數學推導?！?/p>

在獲取信息方面的培養，在通過讀題時，了解問題信息以后，學生首先要能識別問題，了解問題類型、性質，接著能掌握數學問題的結構，通過思維訓練，培養學生掌握數學問題結構。什么叫數學問題結構，通常人們在解答一個問題之前必須先了解這個問題，分析這個問題，找出問題的已知條件和要求，初步的研究條件與條件之間的關系，條件與問題之間的關系，抓住問題中的具有本質意義的那些關系，這就抓住了“數學問題的結構”。能力強的學生拿到一道數學題時，一眼就看到問題的結構，就能把己知條件和問題聯系起來，在教一步應用題時，就著重抓住了數學問題結構的訓練，如畫線段圖的訓練，補充問題與條件的訓練，題意不變，敘述方法改變的訓練，自編應用題的訓練，根據問題說出所需條件的訓練，對比訓練等。

在分析問題、解決問題方面。應用題之所以難學，除問題本身比較復雜是個原因外，從教學方法來說，關鍵缺少解題思路(思維過程的順序、步驟與方法)的訓練，使許多學生拿到問題無從下手，不知怎樣去想。對于這一點，我們只要把它同計算題作一比較就清楚了，解計算題時，學生對運算法則、計算的順序、運算的步驟都是清清楚楚的，學生思維過程間運算順序也是一致的，計算的每一步都書寫出來，看得見，摸得著，計算的對與錯一目了然。通過訓練學習容易掌握。解應用題則不同，學生要了解題意，分析條件與條件之間，條件與問題之間的各種數量關系，要分析、綜合，找到解題的途徑與方法，從審題到列出式子，思維過程少則幾步，多則幾十步，都是內部語言的形式進行的。這種內部語言的思維過程，教師既無從知道它是否合理、正確，對于這樣一個關鍵性問題，在解題教學中要設計一套教學方法，使學生的解題思維過程由內隱到外化，有計劃、有步驟地訓練學生的解題思路。

培養學生解題過程思維的有序性和合理性，有利于培養學生的邏輯思維能力。在解題思路訓練基礎上，對問題的分析、綜合、聯想、想像等思維方式進行綜合的訓練、發散訓練等方法，培養學生思維的靈活性、創造性，同時也培養學生思維的獨立性、變通性和流暢性，使學生能更好地運用所學的數學知識，解決日常生活中的一些實際問題。

每個同學差不多都有過這樣的經歷:一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的?”如果這個解法不是很難時，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢?”

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞(George Polya,1887~1985)對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數學的發現》和《數學與猜想》。

喬治.波利亞(George Polya)1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯邦理工學院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學教授。他一生發表達200多篇論文和許多專著，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，對實變函數、復變函數、概率論、數論、幾何和微分方程等若干分支領域都做出了開創性的貢獻，留下了以他的名字命名的術語和定理。他是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士。他不愧為一位杰出的數學家。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數與未知數之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃?！彼褜ふ也l現解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的提示語，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。

波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么?怎樣聯想?讓我們看一看他在表中所提出的建議和提示性的問題吧。“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?看著未知數!試指出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題。你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方式重新敘述它?”

這些大量提示性的問題，不是問別人，而是問自己，實際是解題者的自我詰問，自我反省。問題中有一部分其對象是針對問題具體的內容的，也就是“客體水平”的，屬于認知性的;問題中的還有一部分是以解題者身軀為對象，針對主體內部心理抽象認知過程的，屬于元認知性的。這些問題并沒有直接涉及問題的具體內容，完全是針對主體自身思維，是對自身解題思維活動的反詰，是自我監察，自我意識，自我預測，自我調節，自我監控。因此在地理解題過程中我們應該:

一、加強對解題過程的監控

在解題過程中，自己應該對以下幾個主要要素進行監控:控制、監察、預見、調節和評價。

1.控制，即在解題過程中，對如何入手，如何策劃，如何構思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計劃和安排。對學習情境中的各種信息做出準確的知覺和分類，調動頭腦中已有的`相關知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當的方式組織信息，選擇解決問題的策略，安排學習步驟，控制自己的思維方向。關注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節奏，對整個解題過程做到“心中有數”，明確地意識到自己所采取的每一個解題步驟的意圖。

2.監察，即臨視和考察。在解題過程中，密切關注解題進程，保持良好的批判性，以高度的警覺審視解題每一歷程問題的認識、策略的選取、前景的設想、概念的理解、定理的運用、形式的把握，用恰當的方式方法檢查自己的猜想、推理、運算和結論。

3.預見，即在解題的整個過程，隨時估計自己的處境，判斷問題的性質，展望問題的前景。對問題的性質、特點和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計、判斷和選擇;猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計各方法的前景和成功的可能性等等，要設法使自己置易于抓住問題的位置上。

4.調節，即根據監察的結果，根據對解題各方面的預見，及時調整解題進程，轉換思考的策略，重新考慮已知條件、未知數或條件、假設和結論;對問題重新表述，以使其變得更加熟悉，更易于接近目標。如，“盡可能畫一張圖”，“引入適當的符號”，“回到定義中去”。

5.評價，即以“理解性”和“發展性”標準來認識自己解題的收獲，自覺對問題的本質進行重新解剖，反思自己發現解題念頭的經歷，抽取解決問題的關鍵，總結解題過程的經驗與教訓，反思解題過程的成敗得失及其原因;從思維策略的高度對解題過程進行總結，從中概括出一般性規律，概括出點點滴滴的新經驗、新見解、新體會，以及對問題進行推廣、深化，尋找新的解法、更好的解法，對解題過程或表述予以簡化。評價應該貫穿于解題的始終，隨時進行評價，而不僅僅是在解題后。

二、提高解題的自我意識

意識是人對客觀現實的反映，它包括自我意識和對外界事物的意識。自我意識是人的意識的最高形式，由于自我意識以主體及其內部活動為意識對象，因而它能對人的認識活動進行監控和調節，它是自我監控的最高水平。在地理解題學習中，人的自我意識是對自己在問題感知、表征、思考、記憶和體驗的意識，對自己的目的、計劃、行動以及行動效果的意識。

提高解題能力，就是要使解題的監控上升到自我意識的水平。只在當各種監控達到不假思索，油然而生的境界，也就是上升到“意識”的層次，才能使主體的地理解題能力達到自己的最高水平。地理解題的自我意識包括:問題意識、審題意識、聯想意識、目標意識、接近度意識、猜想意識、反思意識、概括意識等等，也就是波利亞的提示語所要達到的期望。

三、運用波利亞的“提示語”

波利亞在他的解題理論著作中給出了很多的提示語。因而在解題時經常自覺地運用這些提示語，是提高解題能力的有效途徑。正如波利亞指出，“表中的問題除了普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的，來自于普通常識。這些問題總是勸告你去做此時你該去做的合乎情理的事，而對你正要解決的特定問題并沒有提出特定的勸告?！薄叭绻麊柕檬堑胤?，是時候，就可能引出好的答案，引出正確的想法，或一個能夠推動解題進程的合宜的步子?！?/p>

波利亞提示語的常識性、普遍性，使得這些問題對學生的幫助并非是強加于人的，學生自己也可以很自然地提出類似的問題。在各種不同的問題情境下，如果學生以各種不同的方式反復用同一個提示語詰問自己，就很容易引起同樣的思維活動，從而利于形成一種思維習慣。如果表中的同一個提示語反復的對學生有所幫助，那么他就更會注意到這個提示語，從而在類似的情況下，不斷地運用這個提示語。這些提示語只不過是指出了一般的方向，而留給學生去做的還很多。通過反復地提出這些提示語，總會獲得一次誘導出正確念頭的成功。通過這樣的成功，就會逐漸真正領會它。

在解題教學中，教師為學生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，特別應當反復經常地提出這些提示語，促使他自已想出一個好念頭。這樣的指導，可以使學生找到使用各種提示語的正確方法。因為這些知識超越了具體的對象而實用于任何問題，從而學生就學到比任何具體地理知識更重要的東西。

四、提煉自己的“提示語”

對于善于解決問題而已經擁有這些常識的人來說，這些常識性提示似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他們往往不注意用明確的語言來表達他們的行動，而波利亞則以自己的明確意識，清晰地表達出這些觀點。

因此，一方面需要學習運用波利亞的解題監控的提示語，培養良好的解題習慣，另一方面解題者還應當從自己的體驗中提煉和總結自己在解題監控中的經驗和體會，形成有自己風格的解題監控的提示語。

第三篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學習難，學習數學更難”，許多人對數學望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數學在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數學中的發明創造，他利用在大學任教的機會，通過與學生的交流和對學生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數學大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導了人們不僅僅是在數學中，乃至在任何其他領域中怎樣進行正確思維，引導了一代又一代讀者在學習中走上正確的道路。這個人就是著名數學家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。上中學時，他就是一個很有上進心的學生，但每當遇較難的數學題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，他看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？我自己怎樣才能想出或發現他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經過多年教學經驗的累計以及與一批數學大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達了這樣的觀點：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結?！霸鯓咏忸}”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發現可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發現?！边@句話頗有現實意義，人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質，就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認為當你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發時，你的創造力將被激起，并被發揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感，從而更加激發你學習的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學生的解題應該進行怎樣的指導，書的第一章節，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節中，波利亞系統地指導了教師如何讓幫助學生，他說：“教師最重要的任務就是幫助學生。學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一個合理的工作量。如果學生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點，教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。”而在指導學生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學生的注意力集中到未知數上。有時，我們用一條建議：看著未知數，來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的。“怎樣解題”表就包含了這類經過仔細挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，當然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯想到與之相關卻為我們所熟悉的內容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學生在實踐中，教師試圖提高學生解題能力，必須培養學生的興趣，然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發展相應于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應該盡可能地經常而自然地向學生提出這些問題和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應當使其思路更吸引人一些，并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導，學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學到比任何具體數學知識更為重要的東西。將此聯系到實際中的數學學習問題，在如今應試教育的大環境下，現在教師的教學過程、學生的思維都比較的定式化，特別像是數學物理等理科，教師運用題海戰術，學生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數學師范專業的學生，我想我從這本書中學到了太多，不僅僅解決了自身的學習問題，激發了自己對于解題的興趣、學會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學會了，作為一名教師應該如何指導學生解決問題，如何教育學生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第四篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數學學習的習慣培養

沈 斌

摘要：運用波利亞的“怎樣解題”表來指導數學教學，揭示解題過程的思維訓練全貌, 暴露數學學習核心問題的本質，以增進教學效果，同時, 在解題的過程中，也使學生的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養成有益的思維習慣，進而形成了良好的數學學習習慣，而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。

關鍵詞：怎樣解題表職業中學學習習慣

正文：

一、中等職業學校學生學習現狀

當前的職校數學教學面臨著一種困境，學生生源質量差且參差不齊，經常聽到有教師怨言：“這些學生怎么教呵！”學生基礎比較差這是事實，是不是學生智質差？不是，學生也聰明，活潑好動，究其原因是職業中學學生大多,數學學習習慣不好，學習被動等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會學習或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個班級里有許多學習目的不明確、學習習慣不好、基礎不扎實的學生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統的課堂教學目標和模式，其結果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數十年的教學與科研經驗集中具體地表現在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時用建議的口氣, 有時則用引導性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務之一是幫助學生”?！敖處煂W生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學思想使我受到啟示，在課堂教學中嘗試“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟，使學生逐步養成了良好的數學學習習慣。

三、在職校數學教學中應用《怎樣解題》思想培養學生學習習慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養學生分析已知條件的習慣

審題過程就是要審清題目數量關系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關系在學生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數量關系和解答問題創造良好的前

提條件。對題中揭示數量關系的關鍵句要反復推敲，理解它的真實含義。數學教師在通常的教學過程中應時時提醒學生這樣盡力去做, 那么我們的學生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養起先弄清問題,分析已知條件的習慣。

例 如果一條直線平行于一個平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個平面, 另一個平面垂直于這條直線.可以用數學語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數學化，同時大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習慣

在波利亞的解題表中，擬定計劃是關鍵環節，“擬定計劃”的過程是在“過去的經驗和已有的知識”基礎上,探索解題思路的發現過程。“擬定計劃”的過程其實就是不斷變換問題的過程，把復雜的問題向簡單的問題轉化，陌生的問題向熟悉的問題轉化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養了學生擬定解題計劃的習慣。學生有了計劃, 就不會拉下已知條件, 就會考慮解題的優先順序，有清晰的目標，就可以通過計劃的實施來實現解題的目標。

講解第二步、擬定計劃:

怎樣證明兩個平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個平面內找到另一個平面的垂線即可。

怎樣找到另一個平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據直線和直線平行的性質定理, 只要在平面α內找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質定理可知, 只須過直線a任意作一個平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結論成立.解題計劃：直線a∥平面α，可找平面α內的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經過直線b結論可得證。

(三)通過實現解題計劃,培養學生將計劃付諸實現的習慣

想出一個計劃,產生一個求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習慣等。我們要把來之不易的好計劃好念頭付諸實現，在解題計劃的實現過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學生弄清一個立體模型.養學生擬定解題計劃的實細節并耐心地檢查每一個細節，直到每一點都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。在這個過程中教師要注意培養學生的耐心和恒心，要時時提醒學生自己解題的計劃是什么?按照解題計劃堅持讓學生檢查每一步驟,這對職業中學的學生而言尤其重要,因他們的關鍵是踏踏實實的做每一件事情，將計劃執行到底。

講解第三步、實現計劃:

證明:過直線a任作一個

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質定理，直線和直線平行的性質定理，平面和平面垂直的判定定理，三個定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養學生主動回顧反思的習慣

即使是相當好的學生, 當他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會合上書本, 找點別的事來干干。這樣做, 他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。

培養學生對自己的解題過程進行回顧反思的習慣，提高學生的思維自我評介水平，這是提高學習效率，培養數學能力的有效的方法。解題是學好數學的必由之路，養成對自己的解題過程進行回顧反思的習慣是具有正確的解題思想的體現。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經驗水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使學生的思維進入理性認識階段，事半功倍，同時可能會產生創新的好念頭。因此，為了提高數學學習效率，必須加強正確的解題思想教育，使學生養成回顧反思的習慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時又要及時提取記憶中的有關知識, 來擬定出一個成功的計劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據直線和平面平行的性質定理找到直線b, 然后根據直線和直線平行的性質定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應更新教育觀念 ,擺出良好姿態

數學家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現出對學生的關懷和設身處地地為學生考慮的思想。因此，我們職業學校的教師應轉變教育思想,樹立起為學生服務觀念, 擺出良好姿態面對我們的學生，我們要相信每個學生都是有能力學好的。給予學生更多的人文關懷，教師在整個教學過程中應從學生的角度出發，考慮學生的學習感受，特別對于基礎差的學生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態度，應尊重他們受教育的權利，設計出符合學生特點的課堂教學，更好地為學生服務。本著這樣一種觀念，就會創造出一種讓學生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結果則會培養學生的自覺意識，增強自律能力，逐步養成良好的學習習慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學生，這是達到民主和諧的基礎，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關系，教師要放

下架子，把自己當作學生中的一員，使自己成為既是學生學習的指導者，又是合作者，積極參與學生的討論、交流，經常用商量的口吻進行教學。

3、要正視學生的潛能，承認學生能主動發展，視教學過程為學生的發現、創造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數學解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學何雙誼高中數學教與學2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學數學教學參考2004 年第4期

第五篇：波利亞解題辨析論文

文 章

來源蓮山

課件 w ww.5 y kj.Co m來源 徐利治先生早就指出，我們要培養一大批波利亞型的數學家，要按照波利亞思想改革數學教 材 和教學方法．目前，從理論研究方面來看，已出現“超越波利亞”的苗頭，但從中學數學教 學的現狀來看，離波利亞的想法還存在很大差距；對于很多學校，波利亞思想還沒有“進入 校門”，其主要原因是，很多中學同志買不到波利亞的著作，對波利亞的數學教育思想缺乏 認識．為此，徐利治先生前年來寧講學期間再次強調，為了搞好中學素質教育，我們還要加 大力度傳播波利亞思想．

有些中學同志講，我們沒有辦法，要提高學生應試能力，不得不搞題海戰術，“題?！笔?客 觀存在，無法回避，波利亞也是強調解題訓練的．的確，“題?！笔强陀^存在，波利亞也強 調解題訓練，他說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題的訓練．”但波利亞的解題訓 練與題海戰術有很大區別．

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一、訓練的目的不同

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“題海戰術”的目的明顯表現為應考．而波利亞強調解題訓練的目的在于提高學生的數學 素質．波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面．對于數學，能力比起僅僅具有 一些知識來重要得多．因此，“學校的目的應該是發展學生本身的內蘊能力，而不僅僅是傳 授知識”．波利亞發現，在日常解題和攻克難題而獲得數學上重大發現之間，并沒有不可逾 越的鴻溝．他說：“一個重大的發現可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發現．”要想有重大的發現，就必須重視平時的解題．

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數學有兩個側面，一方面，已嚴格地提出來的數學是一門系統的演繹科學；另一方面，在 創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．波利亞指出，通過研究解題方法，我 們可以看到數學的第二個側面，也就是看到“處于發現過程中的數學”． 因此，波利亞 把 “解題”作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數 學教育界的廣泛贊同．1976年數學管理者委員會把解題能力列為10項基本技能的首位，美 國數學教師聯合會理事會把解題提到了“80年代學校數學的核心”這一高度．

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波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的中心思想就是談解題過程 中 怎樣誘發靈感．書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與 建 議．波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用 的 智力活動．他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上 就是 試圖誘發靈感的“智力活動表”．正如波利亞在書中所寫：“我們的表實際上是一個在解題 中典型有用的智力活動表．”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實際上所有的問 題和建議都與它有關．”

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“怎樣解題表”包含四部分內容：弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧．波利亞說：“ 弄清問題是為好念頭的出現做準備；制訂計劃是試圖引發它；在引發之后，我們實現它；回 顧此過程和求解的結果，是試圖更好地利用它．”波利亞所講的好念頭，就是指靈感．

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《怎樣解題》書中有一部分內容叫“探索法小詞典”，從篇幅上看，它占全書的 4/5．“探索法小辭典”的主要內容就是配合“怎樣解題表”，對解題 過程中典型有用的智力活動做進一步解釋．

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全書的字里行間，處處給人一個強烈的感覺：波利亞強調解題訓練的目的是引導學生開展 智力活動，提高數學才能．

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二、訓練的方式不同

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“題海戰術”是讓學生做大量的題，熟悉題型及其解法．波利亞反對讓學生做大量的題，他認為，一個數學教師，如果“把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生，他就扼 殺了學生的興趣，妨礙了他們的智力發展……”因此，他主張與其窮于應付繁瑣的教學內 容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發掘題目的各 個側面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地．比如，“證明 是無理數”和“證明素數有無限多個”就是這樣的好題目，前者通 向實數的精確概念，而后者是通向數論的門戶，打開數學發現大門的金鑰匙往往就在這類好 題目之中．

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過去，國內外有關學習數學的著作和習題集基本上偏重于解決個別類型的問題，例如算術 問題、幾何問題、代數問題等，但很少涉及解題的一般方法．然而，“學生熟悉了解答個別 類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨立解 決新問題的本領．”波利亞的《怎樣解題》就彌補了這一空白，這本書給出了求解數學問題 的一般方法．今天人們公認，在數學解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時代的 貢獻．

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“怎樣解題表”中的指導性意見，具有普適性．不僅適用于“不太能獨立工作”的人，而 且適用于那些能獨立解題的人；不僅適用于數學學科，而且可適用于其他學科．例如，未知 數是什么?已知數是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數的 或幾何的，數學的或非數學的，理論的或實際的)，我們提出這些問題都會取得良好效果． 波利亞解題訓練的方式是引導學生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑．試 圖引導學生逐步掌握解題過程的一般規律．這與“題海戰術”的“題型＋解法”的訓練方式 是絕然不同的．

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波利亞高度重視解題過程中的合情推理．數學中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比 是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數學里，發現真理的工具也是 歸納與類比．”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理 ；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學意義和教學方法 ．

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波利亞反復呼吁：只要我們能承認數學創造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數學教 學中就必須有教猜想的地位，必須為發明做準備，或至少給一點發明的嘗試．對于一個想以 數學作為終身職業的學生來說，為了在數學上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一 般學生來說，他也必須學習和體驗合情推理，這是他未來生活的需要．

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怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩的教學方法．波利亞說，教學中最重要的就是 選取一些典型教學結論的創造過程，分析其發現動機和合情推理，然后再讓學生模仿范例去 獨立實踐，在實踐中發展合情推理能力．波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應當誕生在學 生的心里，教師僅僅應當像助產士那樣辦事．”他指出，教師要選擇典型的問題，創設情境，讓學生饒有興趣地、自覺地去試驗、觀察，得到猜想．

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“學生自己提出了猜想，也就會有追求證明的渴望，因而此時的數學教學最富有吸引力，切莫錯過時機”．波利亞指出，要充分發揮班級教學的優勢，鼓勵學生之間互相討論和啟發，教師只有在學生受阻的時候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預備好的道路，這樣學生才能體驗到猜想、發現的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題 的能力．

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這種訓練方式與“題型＋解法”的做法也是完全不同的．

三、能力培養的效果不同

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應該承認，“題海戰術”對提高學生的能力也有一定的積極作用，但經驗表明，“題海戰 術”在能力培養方面主要表現為提高模仿力與復制力，所謂“高分低能”癥正是如此產生的 ．

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在數學學科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指 的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性 和創造精神．”波利亞致力于培養學生的獨立探索能力．從教育心理學角度看，“怎樣解題 表”的確是十分可取的，利用這張表教師可行之有效地指導學生自學，發展學生獨立思考和 進行創造性活動的能力．如果我們提出一個“波利亞探索法”的話，那么“波利亞探索法” 的主要特點就是變更問題，誘發靈感．在波利亞看來，解題過程就是不斷變更問題的過程． 事實上，“怎樣解題表”中許多問題和建議都是“直接以變化問題為目的的”．如，你知道 與 它有關的問題嗎?你能不能試想出一個有相同或相似未知數的熟悉問題?你是否見過形式稍微 有不同樣 的題目?你能改述這題目嗎?你能不能用不同的方法重新敘述它?你能不能想出一個更容易著 手的有關問題，一個更普遍的題，一個更特殊的題，一個類似的題?你能否解決這道題的一 部分 ?你能不能從已知數據導出某些有用的東西?能不能想出適于確定未知數的其他數據?你能改 變未知數，或已知數，必要時改變兩者，使新未知數和新的已知數更加互相接近嗎?

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波利亞說：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進展．”“變更問題”是《怎樣 解題》一書的主旋律．書中多次強調了“變更問題”的幾種特殊手段．例如“回到定義去”，“分解與重新組合”，“引入輔助元”，“普遍化、特殊化及類比”．

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這里只談談“回到定義”．波利亞說，“回到定義”是一項重要的智力活動．回到定義是 為了“掌握那些專業術語后面數學對象間的實際關系”．面對一個數學題，“如果我們只知 道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義”．

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《怎樣解題》書中，有個精彩的實例：

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已知拋物線的焦點Ｆ，準線ｄ和一直線l，求作此拋物線與已知直線的交點．

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觀察題意可見，眼下的情況就是“只知道概念的定義，別無其他”，因此，我們不得不回 到定義．考慮到拋物線的定義，原問題就變化為：

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在直線ｌ上求一點，使它和已知點Ｆ及已知直線ｄ等距離．

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這是第一次變化，解析幾何題變成了平面幾何題．這道平面幾何題本身也是一道有意義的 題．

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“你能不能用不同的方法重新敘述它?”

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這道題可以換個說法敘述為：

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在直線ｌ上求一點，以它為圓心作圓與直線ｄ相切且通過點Ｆ．

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這是第二次變化．

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所作的圓要滿足兩個條件．“你能否解決這問題的一部分?”可以，先放棄一個條件，第 三次變化問題．

（下略）

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“怎樣解題表”風靡全球．經驗證明，適當使用表中的問題與建議，對培養學生的探索力 是有益的．

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“題?！笔强陀^存在，我們應研究對付“題?！钡膽鹦g．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴 的金鑰匙，但卻切實可行，給出了探索解題途徑的可操作機制，被人們公認為“指導學生在 題海游泳”的“行動綱領”．著名的現代數學家瓦爾登早就說過：“每個大學生，每個學者，特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書《怎樣解題》．”

文 章

來源蓮山

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