第一篇：波利亞與怎樣解題表

波利亞與《怎樣解題》表

江蘇省丹陽高級中學楊松扣

喬治·波利亞(George Polya，1887-1985)美籍匈牙利數學家。先后在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀法律、語言、數學、物理和哲學，獲布達佩斯大學哲學博士學位，是法國巴黎科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士。波利亞畢生從事數學研究和數學教學工作，他一生發表了200多篇論文和許多專著，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，許多數學分支上都做出了開創性的貢獻，留下了許多以他的名字命名的術語和定理。波利亞熱心數學教育，十分重視培養學生思考問題和分析問題的能力，他認為中學數學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”?！皩W習數學的主要目的在于解題。”“解題是一種本領,是只能靠模仿和實踐才能學到的本領?！苯忸}關鍵在于找到合適的解題思路，認為“學習任何知識的最佳途徑是由學生自己去發現，因為這種發現，理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。直接從老師或書本那兒被動的不假思索的接受過來的知識，可能很快忘掉，難于成為自己的東西?！?/p>

波利亞說：“掌握數學意味著什么？這就是說善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和有發現創造的題?！彼J為中學數學教學的首要任務就是“加強解題的訓練”，“解題”作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。這種思想得到了國際數學教育界的一致贊同，國際數學管理者委員會把解題能力列為十項基本技能的首位，美國數學教師聯合會理事會把解題提到了“學校數學的核心”這一高度。

“學習難，學習數學更難”，許多人對數學望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”作為數學教授的波利亞為了改變數學在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他很早就開始探索數學中的發明創造，利用在大學任教的機會，通過與學生的交流和對學生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數學大家的交流，花了整整三十年的時間，直到1944年才發展為名著《怎樣解題》一書。該書出版后，被譯成多種文字，直到今天，該書仍被各國數學教育界奉為經典，波利亞的啟發式教學和數學解題方法成為數學教育的一面旗幟，在全世界廣為流傳。

波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時,它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華。波利亞的“怎樣解

題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

“怎樣解題”表

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什么？已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數與求知數之間的聯系。

如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能應用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數的其它數據？如果需要的話，你能不能改變未知數和數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？

你能不能把這結果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。

下面舉個例來說明“怎樣解題表”的應用。

對于[?1,1]的任意任意實數a，求使不等式()x

212?ax12x?a?1恒成立的x 的?()2

取值范圍。

解題過程如下：

1、弄清問題。重新敘述問題如下：當?1?a?1時，x2?ax?2x?a?1恒成立(即與a的取值無關)，求x 的取值范圍。換種說法：g(a)?(x?1)a?x2?2x?1?0在[?1,1]上恒成立，求x 的取值范圍。

2、制訂計劃，建立條件與結論之間的聯系。為了得到x的取值范圍，可分別令a??1和a?1。

3、實現計劃。注意到g(a)是關于a的一次函數，將a??1和a?1分別代入g(a)?0，聯立兩個不等式，可得x?0或x?2。

4、檢驗反思解題過程，看每一步是否合理、充分。

從上看來，弄清問題的本質就是重新敘述問題；制訂計劃的關鍵是將條件與結論進行溝通；實現計劃的過程是選擇合理、簡捷的解法；反思回顧是檢驗每一個步驟，力求解答簡捷、完整。

弄清問題要慎之又慎；擬定計劃要盯著未知數，方法取決于目的；實現計劃要善于轉化；反思回顧要到位，溫故而知新，再思則明。

“怎樣解題表”中的指導性意見，具有普適性。不僅適用于不能獨立解題的人，而且更適用于那些能獨立解題的人；不僅適用于數學學科，而且可適用于其他學科。

【參考資料】

1.《怎樣解集》，G.波利亞.2.王敬庚著《波利亞教我們怎樣解題》.3．劉云章著《波利亞的解題訓練與“題海戰術”的辨析》.

第二篇：波利亞的怎樣解題表

波利亞的怎樣解題表

怎樣解題第一步：弄清條件

第一：你必需弄清問題

未知是什么？

已知是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖，引入適當的符號。

把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來。

怎樣解題第二步：擬定計劃

第二：找出書籍數與未知數之間的聯系，如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。表中列出了了若干輔助問題，在遇到困境時你可以逐一把這些問題搜索一遍，每個問題的解決都可能是朝向勝利的關鍵一步！你應該最終得出一個求解的計劃。

你以前見過它嗎？

你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與些有關的問題？

你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題？ 這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能不能利用它？ 你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？

為了利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的問題？

一個更普遍的問題？

一個更特殊的問題？

一個類比的問題？

你能否解決這個問題的一部分？

僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數能確定到什么程度？它會怎樣變化？

你能不能從已知數據導出某些有用的東西？

你能不能想出適合于確定未知數的其他數據？

如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使尊長未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？

你是否利用了整個條件？

你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？

怎樣解題第三步：實現計劃

第三：實行你的計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

你能否證明這一步驟是正確的？

怎樣解題第四步：回顧

第四：驗算所得到的解

驗算所得到的解。

你能否檢驗這個論證？

你能否用別的方法導出這個結果？

現在你能不能一下了看出它來？

你能不能把這一結果或方法用于其他的問題？

若條件或結論做些改變，又將如何解決？

第三篇：運用波利亞_怎樣解題表_

百度文庫專用

運用波利亞“怎樣解題表”

有效實施數學解題教學

（原載《中國數學教育》［高中版］2008年第11期）

時紅軍嚴曉鳳

【摘要】

在數學教學中,解題是最重要的活動形式之一。學生對數學概念的形成、數學命題的掌握、數學思維方法和技能技巧的獲得以及學生智力的培養和發展,都必須通過解題教學來實現。而波利亞的“怎樣解題表”給我們提供了一種解題方法和套路，本文初步探討了如何運用波利亞“怎樣解題表”有效實施數學解題教學。

【關鍵詞】

怎樣解題表解題教學數學問題

喬治·波利亞(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利數學家、教育家、數學解題方法論的開拓者.他十分重視解題在數學學習中的作用,并對解題方法進行了多年的研究和實踐,繪制出舉世聞名的“怎樣解題表”,被各國數學界奉為解題寶典.“怎樣解題”表的主要內容，分為“弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧”四個階段。弄清問題,即明了已知數、未知數和條件;擬定計劃,即找出已知數與未知數之間的聯系或者考慮輔助問題,并具體擬定一個求解的計劃;實現計劃,即實現求解計劃,檢驗每一步驟;回顧,即驗算所得到的解,并將結果和方法試著用于其他問題[1]。每一個階段又有一系列啟發性問句。譬如：未知數是什么，（在證明題中要求證什么），已知數據是什么、你以前見過它嗎、你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎、你能利用它的結果嗎、你能利用它的方法嗎、你能用別的方法導出這個結果嗎，等等。

數學解題教學不同于平常的概念教學,它是運用前面所學的基礎理論、基本方法和一些特殊方法來解數學問題的一種教學方法,它充分體現教師和學生的數學素質,是目前素質教育不可忽視的內容。本文試圖對如何利用波利亞“怎

樣解題表”有效實施數學解題教學作初步探討。

一、“弄清問題”階段，重述問題，教會學生形成正確的審題方法

首先，必須讓學生了解問題的文字敘述。已知是什么?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教師可以要求學生重新敘述題目，并能夠指出問題的主要部分。

其次，要教會學生形成正確的審題方法。數學問題的給出是通過“數學語言”達到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學生利用數學語言的轉換來培養學生好的審題習慣，形成正確的審題方法。例如：對于文字應用題，可以指導他們借助圖像、圖表將題目中條件之間的關系表示出來，將冗長拗口的文字敘述，直觀的體現在圖上，一看就能明白。這樣用簡潔明了的圖形呈現的視覺形象進行問題表征，能簡化看似復雜的問題，減少工作記憶的負擔。再如：對于幾何題，要求他們盡量將題目中的已知條件標在圖上，這樣文字與圖形相結合，就不用看一下題，看一下圖，分散時間和精力了。

另外，還要注意引導學生挖掘已知條件與所求之間的關系，特別是挖掘題

3n?n中的隱含條件。如計算C383n+C21?n，很多學生無從下手，也有學生用組合數公

式展開后一看煩瑣而丟筆，其實在組合數公式Cm中隱含著限制n38?n?3n可求得n=10.條件m?n且m?N,n?N,所以先解不等式組即???3n?21?n

二、“擬訂計劃”階段，充分暴露思維過程，傳授解題策略

很多時候，解題的過程并不是從已知條件到問題目標，而是從問題目標層層向上反推的過程，有些教師在上課時，分析課文內容似乎順利流暢，講解例題、習題似乎一氣呵成。然而，這種表面上的“順利流暢”，其實掩蓋了教師備課中的深入思考，也可能掩蓋教師解決問題時所經歷的曲折或失誤。這就容易給一些學生造成錯覺:“為什么老師這么聰明，我這樣笨?”這不利于學生思維的發展和自信心的形成。

有些教師愿意向學生暴露自己的思維過程。當學生問到某些較困難的問題時，他們愿意和學生共同思考，尋找解決問題的思想方法。學生們不但有機會學習數學教師解決問題的思想方法，還有機會了解，原來數學教師在解決問題時也會遇到挑戰，也會經歷曲折與失誤。這對于學生形成正確的解題觀，樹立自信心是十分有益的。著名數學家希爾伯特在哥尼斯堡大學學習時，他常常把

自己置于危險困難境地，對要講的內容總是現想現推。這樣一來，就使得同學們有機會瞧一瞧高明的數學思維過程如何進行，數學家是如何接受困難挑戰的。俗話說:失敗是成功之母，有時候，失敗的教訓往往能讓成功的過程更加深刻。例如，求函數y?x2?4?x2?2x?10的最值。第一次探索：解析式右邊含根式，常用方法是將兩邊同時平方，得

y2?2x2?2x?14?2x2?4?x2?2x?10，經過一次平方后右邊仍然含有根式，還得再次平方?？墒窃倨椒揭淮魏髸霈Fx4項，運算非常麻煩。因此不得不轉入第二次探索階段。

第二次探索：通過觀察發現右邊的被開方式是二次式，能配方。

配方的結果是y?x2?4?(x?1)2?9,進一步變形為y?(x?0)2?(0?2)2?x?(?1)]2?(0?3)2

由此可看出,這個式子表示直角坐標平面內x軸上的點P(x,0)到兩點A(0,2),B(?1,3)的距離之和，通過畫圖就可以找出最小值，判斷無最大值。這種解題方法確實巧妙，給學生以美的享受。然而不向學生暴露探索過程，學生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。這就要求教師把自己在解題時由“失敗——成功——再失敗——再成功”的過程展示給學生，讓學生真正體會到研究問題的方法，從而自覺地培養自己。

其次，教師應指導學生對數學解題過程進行分析、歸納，把解題過程概括、提煉，形成數學學習最重要的內容——數學的思想和方法。指導學生理解和運用數學思想方法，傳授中學數學解題常用的解題策略:模式識別、問題轉化、以退求進、正難則反等等。

三、“實現計劃”階段，加強基礎教學，善用一題多變加深和提高解題能力

1、重視非智力因素的作用，規范運算過程。在教學中要重視培養學生科學嚴謹一絲不茍的品質。在運算訓練中，要抓好教師板書、學生板演、平時作業等環節，對解題格式、解題過程要作嚴格的規范;要幫助學生克服運算的惰性，鼓勵學生敢于運算、合理運算、認真運算，不怕麻煩；要幫助學生克服不認真審題、不認真分析的習慣，使學生養成良好的運算習慣。

2、重視基本知識的教學，強化運算基礎。在教學中要注重基本知識的講授，要幫助學生加強對數學概念的理解，區分鄰近概念，對基本公式、法則透徹掌握。如運用公式和法則的錯誤：(a?b)3?a3?b3,loga(M?N)?logaM?logaN等。在教學過程中，按照理解—掌握—熟練的要求，編寫一些使用概念較多、形式

較靈活的習題，使學生在學習過程中比較那些容易混淆的概念，從而為運算能力的提高夯實基礎。

3、在教學中利用變式教學,將題設條件或結論作相應的變化,按照一定的梯度設置變式題。如對那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習,會使學生快速反饋,并能通過變式練習,將所學知識串成一線,聯成一體,從而激發學生的學習熱情,使學生達到充分感受學習數學的魅力。如在講解二次函數閉區間上的極值時,設置變化題組:（1）鋪墊題:求下列函數的極值。①y?x2?2x?3,x?[0,3]②y?x2?2x?3,x?[?2,0]③y?x2?2x?3,x?[2,3]；（2）遷移題：求函數

（3）深化題：求函數y?sin2x?4acosx?3,x?[0,3]y?x2?2ax?3,x?[1,3]的極值；的極值。顯然,通過題組的練習，使學生總結歸納二次函數在閉區間上的極值的求解方法，得到解決相關的問題，從而增強了學生的數學素質,提高了數學解題能力。

四、“回顧”階段，加強解題后的反思教學

所謂解題后的反思是指在解決了數學問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結論的反思來進一步暴露數學解題的思維過程，從而開發學習者的解題智慧，以達到事半功倍，提高中學生數學學科自我監控能力的目的。教師可以在課堂小結，單元復習時，適時地對某種數學思想方法的關鍵點或要素進行概括、強化和揭示，對它的內容、規律、運用等有意識地適度點撥。在解題后，教師可以訓練學生進行以下三方面的反思：

1、反思審題過程。對審題過程進行反思，就是在解題活動完成后，對自己最初審題時在理解題意過程中是這樣“獲取信息”進行再思考。特別是對那些有過反復曲折過程的問題進行反思，比如獲得過哪些信息？遺漏過哪些信息？為什么會遺漏這些信息？題意中的哪些信息是自己比較清楚的，哪些信息自己還不清楚？為什么不清楚？是被題目表面形式所迷惑，還是遺忘了？對條件和結論之間的哪些關系沒有發現，關系轉化是否有錯誤？對條件和結論是否作過適當討論？討論是否全面？以后在理解題意時應該怎樣去做？等等。

y?3?集合N??例如：設集合M??(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?15?，?a?1?，?(x,y)|?x?2?

且M?N??,求實數a的值。錯解：M??(x,y)|(a?1)x?y?2a?1?，要使

?(a?1)x?y?2a?1無解，所以a滿足條件M?N??，就是使方程組?2?(a?1)x?(a?1)y?1

5a?1?12a?1，解之，得a??1。教師可引導學生反思：集合M的轉化是??215a?1a?1

否是等價變形？它與由x?3得出x?6有何本質區別？由方程組無解得出2

a?1?12a?1的根據是什么？（兩條直線平行）(a2?1)x?(a?1)y?15一??215a?1a?1

定表示直線嗎？

2、反思解題思路。做完一道題后，應考慮能否根據該題的基本特征與特殊因素，進行多角度的觀察、聯想，找到更多的思維通路，也即培養學生數學思維的廣闊性。一般的，學生學會的第一種解題思路是老師交給的，并會在很長一段時間內相信和依賴這種思路，然而在解題實踐中，解題的思路常常不止一條，當原來的慣用思路受阻時，學生就會開始迷茫。這就需要老師在解題教學中，指明多種解題思路，幫助學生學會觀察、找出新的解題思路，這有助于中學生數學學科自我監控能力由局部向整體發展。同時，在做完一道題后，應認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉換，還有沒有更好的解題途徑?這樣的反思，有助于縮短解題長度，從而培養了思維的批判性，促進中學生自我監控能力的發展。例如已知|a|?1,|b|?1，求無窮數列：1，（1+b）a,(1?b?b2)a2,(1?b?b2?b3)a3,?的所有項之和。大多數學生從分析通項入手來解答：an= 1?bn

n?1an?1b(1?b?b?b)a?a??(ab)n?1，所以所求數列所有項之和為1?b1?b1?b

1bS?(1?a?a2?????an)?[1?ab?(ab)2?(ab)3????] 1?b1?b

1?1?1?b?1? 1?b1?a1?b1?ab(1?a)(1?ab)233

該法符合學生思維特點，易于找到問題的突破口，但解題過程較長且有一定的計算量，易于出錯。教師可引導學生反思題目結構特征，將已知題目與過去學過的知識比較聯系，若注意到題中含字母a恰好構成等比數列，聯想到等比數列前n項和公式的推導方法，便可得到如下簡潔解法：設

S?1?(1?b)a?(1?b?b2)a2?(1?b?b2?b3)a3????,則aS?a?(1?b)a2?(1?b?b2)a3?(1?b?b2?b3)a4????,兩式錯位相減，即可求得S。通過這一反思，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，提高了學生靈活解題的能力。

3、反思題目結論。事實上，就問題解決的一個周期而言，問題是問題解

決的端始，而一個問題的解決往往意味著一個新問題的產生。在做完一道題后，教師應指導學生思考該題所得出的結論：能否檢驗這個結論？能否以不同的方式來推導這個結論？能否在其他的問題中應用這個結論？能否從其它的角度重新審視題目，將問題的結論進行推廣？這樣的反思，有助于提高中學生數學學科自我監控能力，培養學生數學思維的深刻性。如已知圓(x?2)2?y2?1與拋物線y2?2px(p?0)有公共點，求p的范圍。這個問題在眾多學生心目中是一個簡單問題，他們知道兩曲線公共點的問題等價于兩曲線方程組成的方程組有實數解的問題，從而容易由方程組有解得出??0，進而求出錯誤答案0?p?2?或p?2?3。教師引導學生思考：能否從圖形上檢驗你的結論？為什么p?2?不可能？什么原因造成的？引導學生最終發現方程組有解且1?x?3，從而得出正確答案（0?p?2?）。

數學教育家波利亞曾談到：在你找到第一個蘑菇時，繼續觀察，就能發現一堆蘑菇。在問題解決之后，教師可根據情況，進行適當的一題多解、一題多變、多題組合，注意數學思想和方法的總結、提煉和升華，進一步拓展學生的思維平臺，優化解題過程。不斷地引導學生進行解題后的反思，使學生完成自我意識、自我評價、自我調整的過程，提高中學生數學學科自我監控能力。

【參考文獻】

[1] G.Polya著,閻育蘇譯.HowtoSolveIt[M].北京:科學出版社,1982.4.[2]劉云章,趙雄輝.數學解題思維策略———波利亞著作選講[M].長沙:湖南教育出版社, 1999.3—4

[3]苗建成.淺談如何在數學教學中培養學生的解題反思能力[J].數學通報, 2007年46卷1期.54—56

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第四篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學習難，學習數學更難”，許多人對數學望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數學在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數學中的發明創造，他利用在大學任教的機會，通過與學生的交流和對學生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數學大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導了人們不僅僅是在數學中，乃至在任何其他領域中怎樣進行正確思維，引導了一代又一代讀者在學習中走上正確的道路。這個人就是著名數學家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。上中學時，他就是一個很有上進心的學生，但每當遇較難的數學題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，他看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？我自己怎樣才能想出或發現他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經過多年教學經驗的累計以及與一批數學大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達了這樣的觀點：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發現可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發現?！边@句話頗有現實意義，人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質，就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認為當你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發時，你的創造力將被激起，并被發揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感，從而更加激發你學習的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學生的解題應該進行怎樣的指導，書的第一章節，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節中，波利亞系統地指導了教師如何讓幫助學生，他說：“教師最重要的任務就是幫助學生。學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一個合理的工作量。如果學生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點，教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟?！倍谥笇W生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學生的注意力集中到未知數上。有時，我們用一條建議：看著未知數，來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的?！霸鯓咏忸}”表就包含了這類經過仔細挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，當然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯想到與之相關卻為我們所熟悉的內容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學生在實踐中，教師試圖提高學生解題能力，必須培養學生的興趣，然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發展相應于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應該盡可能地經常而自然地向學生提出這些問題和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應當使其思路更吸引人一些，并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導，學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學到比任何具體數學知識更為重要的東西。將此聯系到實際中的數學學習問題，在如今應試教育的大環境下，現在教師的教學過程、學生的思維都比較的定式化，特別像是數學物理等理科，教師運用題海戰術，學生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數學師范專業的學生，我想我從這本書中學到了太多，不僅僅解決了自身的學習問題，激發了自己對于解題的興趣、學會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學會了，作為一名教師應該如何指導學生解決問題，如何教育學生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第五篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數學學習的習慣培養

沈 斌

摘要：運用波利亞的“怎樣解題”表來指導數學教學，揭示解題過程的思維訓練全貌, 暴露數學學習核心問題的本質，以增進教學效果，同時, 在解題的過程中，也使學生的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養成有益的思維習慣，進而形成了良好的數學學習習慣，而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。

關鍵詞：怎樣解題表職業中學學習習慣

正文：

一、中等職業學校學生學習現狀

當前的職校數學教學面臨著一種困境，學生生源質量差且參差不齊，經常聽到有教師怨言：“這些學生怎么教呵！”學生基礎比較差這是事實，是不是學生智質差？不是，學生也聰明，活潑好動，究其原因是職業中學學生大多,數學學習習慣不好，學習被動等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會學習或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個班級里有許多學習目的不明確、學習習慣不好、基礎不扎實的學生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統的課堂教學目標和模式，其結果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數十年的教學與科研經驗集中具體地表現在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時用建議的口氣, 有時則用引導性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務之一是幫助學生”。“教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學思想使我受到啟示，在課堂教學中嘗試“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟，使學生逐步養成了良好的數學學習習慣。

三、在職校數學教學中應用《怎樣解題》思想培養學生學習習慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養學生分析已知條件的習慣

審題過程就是要審清題目數量關系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關系在學生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數量關系和解答問題創造良好的前

提條件。對題中揭示數量關系的關鍵句要反復推敲，理解它的真實含義。數學教師在通常的教學過程中應時時提醒學生這樣盡力去做, 那么我們的學生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養起先弄清問題,分析已知條件的習慣。

例 如果一條直線平行于一個平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個平面, 另一個平面垂直于這條直線.可以用數學語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數學化，同時大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習慣

在波利亞的解題表中，擬定計劃是關鍵環節，“擬定計劃”的過程是在“過去的經驗和已有的知識”基礎上,探索解題思路的發現過程。“擬定計劃”的過程其實就是不斷變換問題的過程，把復雜的問題向簡單的問題轉化，陌生的問題向熟悉的問題轉化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養了學生擬定解題計劃的習慣。學生有了計劃, 就不會拉下已知條件, 就會考慮解題的優先順序，有清晰的目標，就可以通過計劃的實施來實現解題的目標。

講解第二步、擬定計劃:

怎樣證明兩個平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個平面內找到另一個平面的垂線即可。

怎樣找到另一個平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據直線和直線平行的性質定理, 只要在平面α內找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質定理可知, 只須過直線a任意作一個平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結論成立.解題計劃：直線a∥平面α，可找平面α內的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經過直線b結論可得證。

(三)通過實現解題計劃,培養學生將計劃付諸實現的習慣

想出一個計劃,產生一個求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習慣等。我們要把來之不易的好計劃好念頭付諸實現，在解題計劃的實現過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學生弄清一個立體模型.養學生擬定解題計劃的實細節并耐心地檢查每一個細節，直到每一點都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。在這個過程中教師要注意培養學生的耐心和恒心，要時時提醒學生自己解題的計劃是什么?按照解題計劃堅持讓學生檢查每一步驟,這對職業中學的學生而言尤其重要,因他們的關鍵是踏踏實實的做每一件事情，將計劃執行到底。

講解第三步、實現計劃:

證明:過直線a任作一個

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質定理，直線和直線平行的性質定理，平面和平面垂直的判定定理，三個定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養學生主動回顧反思的習慣

即使是相當好的學生, 當他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會合上書本, 找點別的事來干干。這樣做, 他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。

培養學生對自己的解題過程進行回顧反思的習慣，提高學生的思維自我評介水平，這是提高學習效率，培養數學能力的有效的方法。解題是學好數學的必由之路，養成對自己的解題過程進行回顧反思的習慣是具有正確的解題思想的體現。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經驗水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使學生的思維進入理性認識階段，事半功倍，同時可能會產生創新的好念頭。因此，為了提高數學學習效率，必須加強正確的解題思想教育，使學生養成回顧反思的習慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時又要及時提取記憶中的有關知識, 來擬定出一個成功的計劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據直線和平面平行的性質定理找到直線b, 然后根據直線和直線平行的性質定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應更新教育觀念 ,擺出良好姿態

數學家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現出對學生的關懷和設身處地地為學生考慮的思想。因此，我們職業學校的教師應轉變教育思想,樹立起為學生服務觀念, 擺出良好姿態面對我們的學生，我們要相信每個學生都是有能力學好的。給予學生更多的人文關懷，教師在整個教學過程中應從學生的角度出發，考慮學生的學習感受，特別對于基礎差的學生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態度，應尊重他們受教育的權利，設計出符合學生特點的課堂教學，更好地為學生服務。本著這樣一種觀念，就會創造出一種讓學生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結果則會培養學生的自覺意識，增強自律能力，逐步養成良好的學習習慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學生，這是達到民主和諧的基礎，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關系，教師要放

下架子，把自己當作學生中的一員，使自己成為既是學生學習的指導者，又是合作者，積極參與學生的討論、交流，經常用商量的口吻進行教學。

3、要正視學生的潛能，承認學生能主動發展，視教學過程為學生的發現、創造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數學解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學何雙誼高中數學教與學2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學數學教學參考2004 年第4期