第一篇：波利亞教我們怎樣解題

波利亞教我們怎樣解題

-------送給渴望學好數學的同學

喬治·波利亞，美籍匈牙利人，是20世紀舉世公認的數學家，著名的數學教育家，享有國際盛譽的數學方法論大師。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。學知識，先學方法。他的這些解題的方法，對我啟發很大!所以特意摘錄給同學們看看，希望大家也能從中受到啟發。

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數，條件是否充分？

2.畫張圖，將已知標上。

3.引入適當的符號。

4.把條件的各個部分分開。

第二步：找出已知與未知的聯系。

1.你能否轉化成一個相似的、熟悉的問題？

2.你能否用自己的語言重新敘述這個問題？

3.回到定義去。

4.你能否解決問題的一部分？

5.你是否利用了所有的條件？

第三步：寫出你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？

第四步：回顧。

1.你能否一眼就看出結論？

2.你能否用別的方法導出這個結論？

3.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？

第二篇：波利亞教我們怎樣解題

每個同學差不多都有過這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的？”如果這個解法不是很難時，“我自己完全可以

想出，但為什么我沒有想到呢？”

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數學的發現》和《數學與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界范圍內的數學教育名著。對數學(http://luntan.flycity.cn)教育產生了深刻的影響。正因為如此，當波利亞93歲高齡時，還被國

際數學教育大會聘為名譽主席。

波利亞1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯邦理工學院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學教授。他一生發表達200多篇論文和許多專著，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，對實變函數、復變函數、概率論、縱使數學、數論，幾何和微分方程等若干分支領域都做出了開創性的貢獻，留下了以他的名字命名的術語和定理。他是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士，不愧為一位杰出的數學家。波利亞熱心數學教育，十分重視培養學生思考問題分析問題的能力。他認為中學數學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發學生自己發現解法，從而從根本上提高學生的解題能力。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數與未知數（http://）之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃。”他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數！試指出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不

同的方式重新敘述它？......”

波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程。實際上是他解決研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學教育，特別是研究解題教學時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細想一想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。現在波利亞把這些問題和建議（http://tuan.flycity.cn）去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。而這是比任何具

體的數學知識重要得多的東西。

波利亞教我們怎樣解題

波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數學家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說：“每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關于怎樣解題的思想對于廣大中學

生同樣也是非常需要的和有益的。

波利亞強調發現，不僅僅是指發現解法，而且也包括數學的創新發現。他把闡述自己“對解題的理解、研究和講授”的書取名為《數學的發現》，我想大概就是這個原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細介紹了數學大師歐拉發現凸多面體的歐拉公式（頂點數—棱數+面數=2）的全過程，生動地再現了歐拉如何一步一步地進行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處于發現過程中的數學，照原

樣提供給我們。展示教學家創新發現的思維活動過程，自然而生動地顯示歸納和猜想在數學發現中的重要作用，這在教科書和一般的數學著作中是極少見到的，而這對于學習數學（http://）卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學習證明，而且要學習猜想。也就是不僅要培養和提高解題能力，而且要學習和培養創新

能力。

第三篇：波利亞 教我們怎樣解題

學習波利亞《教我們怎樣解題》

(美籍匈牙利數學家喬治?波利亞（George Polya,1887—1985），法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士，杰出的數學家。波利亞一生發表達200多篇論文和許多專著，他在數學的廣闊領域內有精深的造詣，他熱心數學教育，十分重視培養學生思考問題分析問題的能力。他認為中學數學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發學生自己發現解法，從而從根本上提高學生的解題能力。)

每個同學差不多都有過這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的？”如果這個解法不是很難時，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢？”

波利亞對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數學的發現》和《數學與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界范圍內的數學教育名著。對數學教育產生了深刻的影響。正因為如此，當波利亞93歲高齡時，還被國際數學教育大會聘為名譽主席。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數與未知數之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃。”他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。

波利亞的《怎樣解題》一書中的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數！試指出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？......”

波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程。實際上是他解決研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學教育，特別是研究解題教學時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細想一想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。現在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。

波利亞強調發現，不僅僅是指發現解法，而且也包括數學的創新發現。展示教學家創新發現的思維活動過程，自然而生動地顯示歸納和猜想在數學發現中的重要作用，這對于學習數學卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學習證明，而且要學習猜想。也就是不僅要培養和提高解題能力，而且要學習和培養創新能力。

附：波利亞解題表

一、弄清題意

1)已知是什么?

2)未知是什么?

3)題目要求你干什么?

4)可否畫一個圖形?

5)可否數學化?

二、擬定方案(核心)

1)你能否一眼看出結果?

2)是否見過形式上稍有不同的題目?

3)你是否知道與此有關的題目,是否知道用得上的定義,定理,公式?

4)有一個與你現在的題目有關且你已解過的題目,你能利用它嗎?

5)已知條件A,B,C……可否轉化?可否建立一個等式或不等式?

6)你能否引入輔助元素?

7)如果你不能解這個題,可先解一個有關的題,你能否想出一個較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?

三、執行方案

1)把你想好的解題過程具體地用術語,符號,圖形,式子表述出來.2)修正解題方向以及原來擬定的不恰當的方案.3)解題要求是:嚴密具有邏輯性.四、檢驗回顧

1)你能擬定其它解題方案嗎?

2)你能利用它嗎?你能用它的結果嗎?你能用它的方法嗎?

3)你能找到什么方法檢驗你的結果嗎?

第四篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學習難，學習數學更難”，許多人對數學望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數學在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數學中的發明創造，他利用在大學任教的機會，通過與學生的交流和對學生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數學大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導了人們不僅僅是在數學中，乃至在任何其他領域中怎樣進行正確思維，引導了一代又一代讀者在學習中走上正確的道路。這個人就是著名數學家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。上中學時，他就是一個很有上進心的學生，但每當遇較難的數學題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，他看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？我自己怎樣才能想出或發現他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經過多年教學經驗的累計以及與一批數學大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達了這樣的觀點：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養成了有益的思維習慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發現可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發現。”這句話頗有現實意義，人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質，就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認為當你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發時，你的創造力將被激起，并被發揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感，從而更加激發你學習的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學生的解題應該進行怎樣的指導，書的第一章節，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節中，波利亞系統地指導了教師如何讓幫助學生，他說：“教師最重要的任務就是幫助學生。學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一個合理的工作量。如果學生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點，教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。”而在指導學生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學生的注意力集中到未知數上。有時，我們用一條建議：看著未知數，來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的。“怎樣解題”表就包含了這類經過仔細挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，當然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯想到與之相關卻為我們所熟悉的內容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學生在實踐中，教師試圖提高學生解題能力，必須培養學生的興趣，然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發展相應于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應該盡可能地經常而自然地向學生提出這些問題和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應當使其思路更吸引人一些，并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導，學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學到比任何具體數學知識更為重要的東西。將此聯系到實際中的數學學習問題，在如今應試教育的大環境下，現在教師的教學過程、學生的思維都比較的定式化，特別像是數學物理等理科，教師運用題海戰術，學生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數學師范專業的學生，我想我從這本書中學到了太多，不僅僅解決了自身的學習問題，激發了自己對于解題的興趣、學會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學會了，作為一名教師應該如何指導學生解決問題，如何教育學生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第五篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數學學習的習慣培養

沈 斌

摘要：運用波利亞的“怎樣解題”表來指導數學教學，揭示解題過程的思維訓練全貌, 暴露數學學習核心問題的本質，以增進教學效果，同時, 在解題的過程中，也使學生的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養成有益的思維習慣，進而形成了良好的數學學習習慣，而這是比任何具體的數學知識重要得多的東西。

關鍵詞：怎樣解題表職業中學學習習慣

正文：

一、中等職業學校學生學習現狀

當前的職校數學教學面臨著一種困境，學生生源質量差且參差不齊，經常聽到有教師怨言：“這些學生怎么教呵！”學生基礎比較差這是事實，是不是學生智質差？不是，學生也聰明，活潑好動，究其原因是職業中學學生大多,數學學習習慣不好，學習被動等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會學習或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個班級里有許多學習目的不明確、學習習慣不好、基礎不扎實的學生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統的課堂教學目標和模式，其結果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數十年的教學與科研經驗集中具體地表現在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時用建議的口氣, 有時則用引導性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務之一是幫助學生”。“教師對學生應當設身處地，應當了解學生情況，應當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學思想使我受到啟示，在課堂教學中嘗試“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟，使學生逐步養成了良好的數學學習習慣。

三、在職校數學教學中應用《怎樣解題》思想培養學生學習習慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養學生分析已知條件的習慣

審題過程就是要審清題目數量關系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關系在學生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數量關系和解答問題創造良好的前

提條件。對題中揭示數量關系的關鍵句要反復推敲，理解它的真實含義。數學教師在通常的教學過程中應時時提醒學生這樣盡力去做, 那么我們的學生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養起先弄清問題,分析已知條件的習慣。

例 如果一條直線平行于一個平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個平面, 另一個平面垂直于這條直線.可以用數學語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數學化，同時大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習慣

在波利亞的解題表中，擬定計劃是關鍵環節，“擬定計劃”的過程是在“過去的經驗和已有的知識”基礎上,探索解題思路的發現過程。“擬定計劃”的過程其實就是不斷變換問題的過程，把復雜的問題向簡單的問題轉化，陌生的問題向熟悉的問題轉化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養了學生擬定解題計劃的習慣。學生有了計劃, 就不會拉下已知條件, 就會考慮解題的優先順序，有清晰的目標，就可以通過計劃的實施來實現解題的目標。

講解第二步、擬定計劃:

怎樣證明兩個平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個平面內找到另一個平面的垂線即可。

怎樣找到另一個平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據直線和直線平行的性質定理, 只要在平面α內找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質定理可知, 只須過直線a任意作一個平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結論成立.解題計劃：直線a∥平面α，可找平面α內的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經過直線b結論可得證。

(三)通過實現解題計劃,培養學生將計劃付諸實現的習慣

想出一個計劃,產生一個求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習慣等。我們要把來之不易的好計劃好念頭付諸實現，在解題計劃的實現過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學生弄清一個立體模型.養學生擬定解題計劃的實細節并耐心地檢查每一個細節，直到每一點都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。在這個過程中教師要注意培養學生的耐心和恒心，要時時提醒學生自己解題的計劃是什么?按照解題計劃堅持讓學生檢查每一步驟,這對職業中學的學生而言尤其重要,因他們的關鍵是踏踏實實的做每一件事情，將計劃執行到底。

講解第三步、實現計劃:

證明:過直線a任作一個

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質定理，直線和直線平行的性質定理，平面和平面垂直的判定定理，三個定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養學生主動回顧反思的習慣

即使是相當好的學生, 當他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會合上書本, 找點別的事來干干。這樣做, 他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。

培養學生對自己的解題過程進行回顧反思的習慣，提高學生的思維自我評介水平，這是提高學習效率，培養數學能力的有效的方法。解題是學好數學的必由之路，養成對自己的解題過程進行回顧反思的習慣是具有正確的解題思想的體現。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經驗水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗或失敗的教訓，那么學生的思維就會在更高的層次上進行再概括，并促使學生的思維進入理性認識階段，事半功倍，同時可能會產生創新的好念頭。因此，為了提高數學學習效率，必須加強正確的解題思想教育，使學生養成回顧反思的習慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時又要及時提取記憶中的有關知識, 來擬定出一個成功的計劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據直線和平面平行的性質定理找到直線b, 然后根據直線和直線平行的性質定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應更新教育觀念 ,擺出良好姿態

數學家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現出對學生的關懷和設身處地地為學生考慮的思想。因此，我們職業學校的教師應轉變教育思想,樹立起為學生服務觀念, 擺出良好姿態面對我們的學生，我們要相信每個學生都是有能力學好的。給予學生更多的人文關懷，教師在整個教學過程中應從學生的角度出發，考慮學生的學習感受，特別對于基礎差的學生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態度，應尊重他們受教育的權利，設計出符合學生特點的課堂教學，更好地為學生服務。本著這樣一種觀念，就會創造出一種讓學生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結果則會培養學生的自覺意識，增強自律能力，逐步養成良好的學習習慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學生，這是達到民主和諧的基礎，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關系，教師要放

下架子，把自己當作學生中的一員，使自己成為既是學生學習的指導者，又是合作者，積極參與學生的討論、交流，經常用商量的口吻進行教學。

3、要正視學生的潛能，承認學生能主動發展，視教學過程為學生的發現、創造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數學解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學何雙誼高中數學教與學2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學數學教學參考2004 年第4期