第一篇：運(yùn)用波利亞_怎樣解題表_

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運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”

有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)

（原載《中國數(shù)學(xué)教育》［高中版］2008年第11期）

時紅軍嚴(yán)曉鳳

【摘要】

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,解題是最重要的活動形式之一。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)思維方法和技能技巧的獲得以及學(xué)生智力的培養(yǎng)和發(fā)展,都必須通過解題教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。而波利亞的“怎樣解題表”給我們提供了一種解題方法和套路，本文初步探討了如何運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】

怎樣解題表解題教學(xué)數(shù)學(xué)問題

喬治·波利亞(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者.他十分重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,并對解題方法進(jìn)行了多年的研究和實(shí)踐,繪制出舉世聞名的“怎樣解題表”,被各國數(shù)學(xué)界奉為解題寶典.“怎樣解題”表的主要內(nèi)容，分為“弄清問題、擬訂計劃、實(shí)現(xiàn)計劃、回顧”四個階段。弄清問題,即明了已知數(shù)、未知數(shù)和條件;擬定計劃,即找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系或者考慮輔助問題,并具體擬定一個求解的計劃;實(shí)現(xiàn)計劃,即實(shí)現(xiàn)求解計劃,檢驗(yàn)每一步驟;回顧,即驗(yàn)算所得到的解,并將結(jié)果和方法試著用于其他問題[1]。每一個階段又有一系列啟發(fā)性問句。譬如：未知數(shù)是什么，（在證明題中要求證什么），已知數(shù)據(jù)是什么、你以前見過它嗎、你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎、你能利用它的結(jié)果嗎、你能利用它的方法嗎、你能用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果嗎，等等。

數(shù)學(xué)解題教學(xué)不同于平常的概念教學(xué),它是運(yùn)用前面所學(xué)的基礎(chǔ)理論、基本方法和一些特殊方法來解數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)方法,它充分體現(xiàn)教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),是目前素質(zhì)教育不可忽視的內(nèi)容。本文試圖對如何利用波利亞“怎

樣解題表”有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)作初步探討。

一、“弄清問題”階段，重述問題，教會學(xué)生形成正確的審題方法

首先，必須讓學(xué)生了解問題的文字?jǐn)⑹觥Ｒ阎鞘裁?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教師可以要求學(xué)生重新敘述題目，并能夠指出問題的主要部分。

其次，要教會學(xué)生形成正確的審題方法。數(shù)學(xué)問題的給出是通過“數(shù)學(xué)語言”達(dá)到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換來培養(yǎng)學(xué)生好的審題習(xí)慣，形成正確的審題方法。例如：對于文字應(yīng)用題，可以指導(dǎo)他們借助圖像、圖表將題目中條件之間的關(guān)系表示出來，將冗長拗口的文字?jǐn)⑹觯庇^的體現(xiàn)在圖上，一看就能明白。這樣用簡潔明了的圖形呈現(xiàn)的視覺形象進(jìn)行問題表征，能簡化看似復(fù)雜的問題，減少工作記憶的負(fù)擔(dān)。再如：對于幾何題，要求他們盡量將題目中的已知條件標(biāo)在圖上，這樣文字與圖形相結(jié)合，就不用看一下題，看一下圖，分散時間和精力了。

另外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘已知條件與所求之間的關(guān)系，特別是挖掘題

3n?n中的隱含條件。如計算C383n+C21?n，很多學(xué)生無從下手，也有學(xué)生用組合數(shù)公

式展開后一看煩瑣而丟筆，其實(shí)在組合數(shù)公式Cm中隱含著限制n38?n?3n可求得n=10.條件m?n且m?N,n?N,所以先解不等式組即???3n?21?n

二、“擬訂計劃”階段，充分暴露思維過程，傳授解題策略

很多時候，解題的過程并不是從已知條件到問題目標(biāo)，而是從問題目標(biāo)層層向上反推的過程，有些教師在上課時，分析課文內(nèi)容似乎順利流暢，講解例題、習(xí)題似乎一氣呵成。然而，這種表面上的“順利流暢”，其實(shí)掩蓋了教師備課中的深入思考，也可能掩蓋教師解決問題時所經(jīng)歷的曲折或失誤。這就容易給一些學(xué)生造成錯覺:“為什么老師這么聰明，我這樣笨?”這不利于學(xué)生思維的發(fā)展和自信心的形成。

有些教師愿意向?qū)W生暴露自己的思維過程。當(dāng)學(xué)生問到某些較困難的問題時，他們愿意和學(xué)生共同思考，尋找解決問題的思想方法。學(xué)生們不但有機(jī)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教師解決問題的思想方法，還有機(jī)會了解，原來數(shù)學(xué)教師在解決問題時也會遇到挑戰(zhàn)，也會經(jīng)歷曲折與失誤。這對于學(xué)生形成正確的解題觀，樹立自信心是十分有益的。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在哥尼斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)時，他常常把

自己置于危險困難境地，對要講的內(nèi)容總是現(xiàn)想現(xiàn)推。這樣一來，就使得同學(xué)們有機(jī)會瞧一瞧高明的數(shù)學(xué)思維過程如何進(jìn)行，數(shù)學(xué)家是如何接受困難挑戰(zhàn)的。俗話說:失敗是成功之母，有時候，失敗的教訓(xùn)往往能讓成功的過程更加深刻。例如，求函數(shù)y?x2?4?x2?2x?10的最值。第一次探索：解析式右邊含根式，常用方法是將兩邊同時平方，得

y2?2x2?2x?14?2x2?4?x2?2x?10，經(jīng)過一次平方后右邊仍然含有根式，還得再次平方。可是再平方一次后會出現(xiàn)x4項(xiàng)，運(yùn)算非常麻煩。因此不得不轉(zhuǎn)入第二次探索階段。

第二次探索：通過觀察發(fā)現(xiàn)右邊的被開方式是二次式，能配方。

配方的結(jié)果是y?x2?4?(x?1)2?9,進(jìn)一步變形為y?(x?0)2?(0?2)2?x?(?1)]2?(0?3)2

由此可看出,這個式子表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩點(diǎn)A(0,2),B(?1,3)的距離之和，通過畫圖就可以找出最小值，判斷無最大值。這種解題方法確實(shí)巧妙，給學(xué)生以美的享受。然而不向?qū)W生暴露探索過程，學(xué)生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。這就要求教師把自己在解題時由“失敗——成功——再失敗——再成功”的過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生真正體會到研究問題的方法，從而自覺地培養(yǎng)自己。

其次，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行分析、歸納，把解題過程概括、提煉，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的內(nèi)容——數(shù)學(xué)的思想和方法。指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，傳授中學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的解題策略:模式識別、問題轉(zhuǎn)化、以退求進(jìn)、正難則反等等。

三、“實(shí)現(xiàn)計劃”階段，加強(qiáng)基礎(chǔ)教學(xué)，善用一題多變加深和提高解題能力

1、重視非智力因素的作用，規(guī)范運(yùn)算過程。在教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)一絲不茍的品質(zhì)。在運(yùn)算訓(xùn)練中，要抓好教師板書、學(xué)生板演、平時作業(yè)等環(huán)節(jié)，對解題格式、解題過程要作嚴(yán)格的規(guī)范;要幫助學(xué)生克服運(yùn)算的惰性，鼓勵學(xué)生敢于運(yùn)算、合理運(yùn)算、認(rèn)真運(yùn)算，不怕麻煩；要幫助學(xué)生克服不認(rèn)真審題、不認(rèn)真分析的習(xí)慣，使學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。

2、重視基本知識的教學(xué)，強(qiáng)化運(yùn)算基礎(chǔ)。在教學(xué)中要注重基本知識的講授，要幫助學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的理解，區(qū)分鄰近概念，對基本公式、法則透徹掌握。如運(yùn)用公式和法則的錯誤：(a?b)3?a3?b3,loga(M?N)?logaM?logaN等。在教學(xué)過程中，按照理解—掌握—熟練的要求，編寫一些使用概念較多、形式

較靈活的習(xí)題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中比較那些容易混淆的概念，從而為運(yùn)算能力的提高夯實(shí)基礎(chǔ)。

3、在教學(xué)中利用變式教學(xué),將題設(shè)條件或結(jié)論作相應(yīng)的變化,按照一定的梯度設(shè)置變式題。如對那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習(xí),會使學(xué)生快速反饋,并能通過變式練習(xí),將所學(xué)知識串成一線,聯(lián)成一體,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生達(dá)到充分感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力。如在講解二次函數(shù)閉區(qū)間上的極值時,設(shè)置變化題組:（1）鋪墊題:求下列函數(shù)的極值。①y?x2?2x?3,x?[0,3]②y?x2?2x?3,x?[?2,0]③y?x2?2x?3,x?[2,3]；（2）遷移題：求函數(shù)

（3）深化題：求函數(shù)y?sin2x?4acosx?3,x?[0,3]y?x2?2ax?3,x?[1,3]的極值；的極值。顯然,通過題組的練習(xí)，使學(xué)生總結(jié)歸納二次函數(shù)在閉區(qū)間上的極值的求解方法，得到解決相關(guān)的問題，從而增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),提高了數(shù)學(xué)解題能力。

四、“回顧”階段，加強(qiáng)解題后的反思教學(xué)

所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結(jié)論的反思來進(jìn)一步暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，從而開發(fā)學(xué)習(xí)者的解題智慧，以達(dá)到事半功倍，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的目的。教師可以在課堂小結(jié)，單元復(fù)習(xí)時，適時地對某種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵點(diǎn)或要素進(jìn)行概括、強(qiáng)化和揭示，對它的內(nèi)容、規(guī)律、運(yùn)用等有意識地適度點(diǎn)撥。在解題后，教師可以訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行以下三方面的反思：

1、反思審題過程。對審題過程進(jìn)行反思，就是在解題活動完成后，對自己最初審題時在理解題意過程中是這樣“獲取信息”進(jìn)行再思考。特別是對那些有過反復(fù)曲折過程的問題進(jìn)行反思，比如獲得過哪些信息？遺漏過哪些信息？為什么會遺漏這些信息？題意中的哪些信息是自己比較清楚的，哪些信息自己還不清楚？為什么不清楚？是被題目表面形式所迷惑，還是遺忘了？對條件和結(jié)論之間的哪些關(guān)系沒有發(fā)現(xiàn)，關(guān)系轉(zhuǎn)化是否有錯誤？對條件和結(jié)論是否作過適當(dāng)討論？討論是否全面？以后在理解題意時應(yīng)該怎樣去做？等等。

y?3?集合N??例如：設(shè)集合M??(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?15?，?a?1?，?(x,y)|?x?2?

且M?N??,求實(shí)數(shù)a的值。錯解：M??(x,y)|(a?1)x?y?2a?1?，要使

?(a?1)x?y?2a?1無解，所以a滿足條件M?N??，就是使方程組?2?(a?1)x?(a?1)y?1

5a?1?12a?1，解之，得a??1。教師可引導(dǎo)學(xué)生反思：集合M的轉(zhuǎn)化是??215a?1a?1

否是等價變形？它與由x?3得出x?6有何本質(zhì)區(qū)別？由方程組無解得出2

a?1?12a?1的根據(jù)是什么？（兩條直線平行）(a2?1)x?(a?1)y?15一??215a?1a?1

定表示直線嗎？

2、反思解題思路。做完一道題后，應(yīng)考慮能否根據(jù)該題的基本特征與特殊因素，進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想，找到更多的思維通路，也即培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性。一般的，學(xué)生學(xué)會的第一種解題思路是老師交給的，并會在很長一段時間內(nèi)相信和依賴這種思路，然而在解題實(shí)踐中，解題的思路常常不止一條，當(dāng)原來的慣用思路受阻時，學(xué)生就會開始迷茫。這就需要老師在解題教學(xué)中，指明多種解題思路，幫助學(xué)生學(xué)會觀察、找出新的解題思路，這有助于中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力由局部向整體發(fā)展。同時，在做完一道題后，應(yīng)認(rèn)真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉(zhuǎn)換，還有沒有更好的解題途徑?這樣的反思，有助于縮短解題長度，從而培養(yǎng)了思維的批判性，促進(jìn)中學(xué)生自我監(jiān)控能力的發(fā)展。例如已知|a|?1,|b|?1，求無窮數(shù)列：1，（1+b）a,(1?b?b2)a2,(1?b?b2?b3)a3,?的所有項(xiàng)之和。大多數(shù)學(xué)生從分析通項(xiàng)入手來解答：an= 1?bn

n?1an?1b(1?b?b?b)a?a??(ab)n?1，所以所求數(shù)列所有項(xiàng)之和為1?b1?b1?b

1bS?(1?a?a2?????an)?[1?ab?(ab)2?(ab)3????] 1?b1?b

1?1?1?b?1? 1?b1?a1?b1?ab(1?a)(1?ab)233

該法符合學(xué)生思維特點(diǎn)，易于找到問題的突破口，但解題過程較長且有一定的計算量，易于出錯。教師可引導(dǎo)學(xué)生反思題目結(jié)構(gòu)特征，將已知題目與過去學(xué)過的知識比較聯(lián)系，若注意到題中含字母a恰好構(gòu)成等比數(shù)列，聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，便可得到如下簡潔解法：設(shè)

S?1?(1?b)a?(1?b?b2)a2?(1?b?b2?b3)a3????,則aS?a?(1?b)a2?(1?b?b2)a3?(1?b?b2?b3)a4????,兩式錯位相減，即可求得S。通過這一反思，使學(xué)生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發(fā)展，提高了學(xué)生靈活解題的能力。

3、反思題目結(jié)論。事實(shí)上，就問題解決的一個周期而言，問題是問題解

決的端始，而一個問題的解決往往意味著一個新問題的產(chǎn)生。在做完一道題后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生思考該題所得出的結(jié)論：能否檢驗(yàn)這個結(jié)論？能否以不同的方式來推導(dǎo)這個結(jié)論？能否在其他的問題中應(yīng)用這個結(jié)論？能否從其它的角度重新審視題目，將問題的結(jié)論進(jìn)行推廣？這樣的反思，有助于提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性。如已知圓(x?2)2?y2?1與拋物線y2?2px(p?0)有公共點(diǎn)，求p的范圍。這個問題在眾多學(xué)生心目中是一個簡單問題，他們知道兩曲線公共點(diǎn)的問題等價于兩曲線方程組成的方程組有實(shí)數(shù)解的問題，從而容易由方程組有解得出??0，進(jìn)而求出錯誤答案0?p?2?或p?2?3。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：能否從圖形上檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論？為什么p?2?不可能？什么原因造成的？引導(dǎo)學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)方程組有解且1?x?3，從而得出正確答案（0?p?2?）。

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾談到：在你找到第一個蘑菇時，繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇。在問題解決之后，教師可根據(jù)情況，進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊活}多解、一題多變、多題組合，注意數(shù)學(xué)思想和方法的總結(jié)、提煉和升華，進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維平臺，優(yōu)化解題過程。不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，使學(xué)生完成自我意識、自我評價、自我調(diào)整的過程，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1] G.Polya著,閻育蘇譯.HowtoSolveIt[M].北京:科學(xué)出版社,1982.4.[2]劉云章,趙雄輝.數(shù)學(xué)解題思維策略———波利亞著作選講[M].長沙:湖南教育出版社, 1999.3—4

[3]苗建成.淺談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題反思能力[J].數(shù)學(xué)通報, 2007年46卷1期.54—56

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第二篇：波利亞的怎樣解題表

波利亞的怎樣解題表

怎樣解題第一步：弄清條件

第一：你必需弄清問題

未知是什么？

已知是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來。

怎樣解題第二步：擬定計劃

第二：找出書籍?dāng)?shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。表中列出了了若干輔助問題，在遇到困境時你可以逐一把這些問題搜索一遍，每個問題的解決都可能是朝向勝利的關(guān)鍵一步！你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。

你以前見過它嗎？

你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與些有關(guān)的問題？

你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題？ 這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？ 你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？

為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的問題？

一個更普遍的問題？

一個更特殊的問題？

一個類比的問題？

你能否解決這個問題的一部分？

僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？

你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？

你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？

如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使尊長未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？

你是否利用了整個條件？

你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？

怎樣解題第三步：實(shí)現(xiàn)計劃

第三：實(shí)行你的計劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

你能否證明這一步驟是正確的？

怎樣解題第四步：回顧

第四：驗(yàn)算所得到的解

驗(yàn)算所得到的解。

你能否檢驗(yàn)這個論證？

你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？

現(xiàn)在你能不能一下了看出它來？

你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？

若條件或結(jié)論做些改變，又將如何解決？

第三篇：波利亞與怎樣解題表

波利亞與《怎樣解題》表

江蘇省丹陽高級中學(xué)楊松扣

喬治·波利亞(George Polya，1887-1985)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀法律、語言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲布達(dá)佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，是法國巴黎科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。波利亞畢生從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)工作，他一生發(fā)表了200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，許多數(shù)學(xué)分支上都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了許多以他的名字命名的術(shù)語和定理。波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題和分析問題的能力，他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題。”“解題是一種本領(lǐng),是只能靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到的本領(lǐng)。”解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，認(rèn)為“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。直接從老師或書本那兒被動的不假思索的接受過來的知識，可能很快忘掉，難于成為自己的東西。”

波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？這就是說善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題。”他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是“加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”，“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種手段和途徑。這種思想得到了國際數(shù)學(xué)教育界的一致贊同，國際數(shù)學(xué)管理者委員會把解題能力列為十項(xiàng)基本技能的首位，美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會理事會把解題提到了“學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”這一高度。

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”作為數(shù)學(xué)教授的波利亞為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，利用在大學(xué)任教的機(jī)會，通過與學(xué)生的交流和對學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時間，直到1944年才發(fā)展為名著《怎樣解題》一書。該書出版后，被譯成多種文字，直到今天，該書仍被各國數(shù)學(xué)教育界奉為經(jīng)典，波利亞的啟發(fā)式教學(xué)和數(shù)學(xué)解題方法成為數(shù)學(xué)教育的一面旗幟，在全世界廣為流傳。

波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時,它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華。波利亞的“怎樣解

題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。如果能在平時的解題中不斷實(shí)踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

“怎樣解題”表

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。

如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實(shí)行你的計劃。

實(shí)現(xiàn)計劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗(yàn)算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗(yàn)這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能否一下子看出它來？

你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實(shí)現(xiàn)計劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。

下面舉個例來說明“怎樣解題表”的應(yīng)用。

對于[?1,1]的任意任意實(shí)數(shù)a，求使不等式()x

212?ax12x?a?1恒成立的x 的?()2

取值范圍。

解題過程如下：

1、弄清問題。重新敘述問題如下：當(dāng)?1?a?1時，x2?ax?2x?a?1恒成立(即與a的取值無關(guān))，求x 的取值范圍。換種說法：g(a)?(x?1)a?x2?2x?1?0在[?1,1]上恒成立，求x 的取值范圍。

2、制訂計劃，建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。為了得到x的取值范圍，可分別令a??1和a?1。

3、實(shí)現(xiàn)計劃。注意到g(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，將a??1和a?1分別代入g(a)?0，聯(lián)立兩個不等式，可得x?0或x?2。

4、檢驗(yàn)反思解題過程，看每一步是否合理、充分。

從上看來，弄清問題的本質(zhì)就是重新敘述問題；制訂計劃的關(guān)鍵是將條件與結(jié)論進(jìn)行溝通；實(shí)現(xiàn)計劃的過程是選擇合理、簡捷的解法；反思回顧是檢驗(yàn)每一個步驟，力求解答簡捷、完整。

弄清問題要慎之又慎；擬定計劃要盯著未知數(shù)，方法取決于目的；實(shí)現(xiàn)計劃要善于轉(zhuǎn)化；反思回顧要到位，溫故而知新，再思則明。

“怎樣解題表”中的指導(dǎo)性意見，具有普適性。不僅適用于不能獨(dú)立解題的人，而且更適用于那些能獨(dú)立解題的人；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科，而且可適用于其他學(xué)科。

【參考資料】

1.《怎樣解集》，G.波利亞.2.王敬庚著《波利亞教我們怎樣解題》.3．劉云章著《波利亞的解題訓(xùn)練與“題海戰(zhàn)術(shù)”的辨析》.

第四篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個人，為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，他利用在大學(xué)任教的機(jī)會，通過與學(xué)生的交流和對學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時間，終于完成一篇著作，這本書指導(dǎo)了人們不僅僅是在數(shù)學(xué)中，乃至在任何其他領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維，引導(dǎo)了一代又一代讀者在學(xué)習(xí)中走上正確的道路。這個人就是著名數(shù)學(xué)家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。上中學(xué)時，他就是一個很有上進(jìn)心的學(xué)生，但每當(dāng)遇較難的數(shù)學(xué)題時，他也時常感到困惑：“這個解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結(jié)論好像還行，他看起來是個事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個事實(shí)的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”為了解決這個困惑，波利亞經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的累計以及與一批數(shù)學(xué)大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經(jīng)出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達(dá)了這樣的觀點(diǎn)：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實(shí)現(xiàn)計劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個過程。我們在解題時，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。如果能在平時的解題中不斷實(shí)踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。”這句話頗有現(xiàn)實(shí)意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨(dú)一無二的方法做出時，你將飽含成就感，從而更加激發(fā)你學(xué)習(xí)的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學(xué)生的解題應(yīng)該進(jìn)行怎樣的指導(dǎo)，書的第一章節(jié)，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節(jié)中，波利亞系統(tǒng)地指導(dǎo)了教師如何讓幫助學(xué)生，他說：“教師最重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn)。但是如果讓他獨(dú)自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進(jìn)步。但若教師對他幫助過多，那么學(xué)生卻又無事可干，教師對學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一個合理的工作量。如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨(dú)立工作。為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。不過，對學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個學(xué)生自己可能會產(chǎn)生的問題，或者指出一個學(xué)生自己可能會想出來的步驟。”而在指導(dǎo)學(xué)生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學(xué)生的注意力集中到未知數(shù)上。有時，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達(dá)到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價值的。“怎樣解題”表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨(dú)立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應(yīng)采取的行動之后，他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點(diǎn)之一是普遍性，當(dāng)然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)卻為我們所熟悉的內(nèi)容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學(xué)生在實(shí)踐中，教師試圖提高學(xué)生解題能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量的機(jī)會去模仿與實(shí)踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更為重要的東西。將此聯(lián)系到實(shí)際中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，在如今應(yīng)試教育的大環(huán)境下，現(xiàn)在教師的教學(xué)過程、學(xué)生的思維都比較的定式化，特別像是數(shù)學(xué)物理等理科，教師運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學(xué)生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當(dāng)做一種機(jī)械的條件反射的運(yùn)動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數(shù)學(xué)師范專業(yè)的學(xué)生，我想我從這本書中學(xué)到了太多，不僅僅解決了自身的學(xué)習(xí)問題，激發(fā)了自己對于解題的興趣、學(xué)會了如何運(yùn)用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學(xué)會了，作為一名教師應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生解決問題，如何教育學(xué)生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第五篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣培養(yǎng)

沈 斌

摘要：運(yùn)用波利亞的“怎樣解題”表來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，揭示解題過程的思維訓(xùn)練全貌, 暴露數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心問題的本質(zhì)，以增進(jìn)教學(xué)效果，同時, 在解題的過程中，也使學(xué)生的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養(yǎng)成有益的思維習(xí)慣，進(jìn)而形成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識重要得多的東西。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表職業(yè)中學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣

正文：

一、中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

當(dāng)前的職校數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著一種困境，學(xué)生生源質(zhì)量差且參差不齊，經(jīng)常聽到有教師怨言：“這些學(xué)生怎么教呵！”學(xué)生基礎(chǔ)比較差這是事實(shí)，是不是學(xué)生智質(zhì)差？不是，學(xué)生也聰明，活潑好動，究其原因是職業(yè)中學(xué)學(xué)生大多,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)被動等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯(lián)系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會學(xué)習(xí)或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個班級里有許多學(xué)習(xí)目的不明確、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統(tǒng)的課堂教學(xué)目標(biāo)和模式，其結(jié)果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實(shí)現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)集中具體地表現(xiàn)在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現(xiàn)可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導(dǎo)性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時用建議的口氣, 有時則用引導(dǎo)性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學(xué)生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生”。“教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個學(xué)生自己可能會產(chǎn)生的問題，或者指出一個學(xué)生自己可能會想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學(xué)思想使我受到啟示，在課堂教學(xué)中嘗試“弄清問題”、“擬定計劃”、“實(shí)現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟，使學(xué)生逐步養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、在職校數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《怎樣解題》思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養(yǎng)學(xué)生分析已知條件的習(xí)慣

審題過程就是要審清題目數(shù)量關(guān)系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關(guān)系在學(xué)生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數(shù)量關(guān)系和解答問題創(chuàng)造良好的前

提條件。對題中揭示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句要反復(fù)推敲，理解它的真實(shí)含義。數(shù)學(xué)教師在通常的教學(xué)過程中應(yīng)時時提醒學(xué)生這樣盡力去做, 那么我們的學(xué)生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養(yǎng)起先弄清問題,分析已知條件的習(xí)慣。

例 如果一條直線平行于一個平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個平面, 另一個平面垂直于這條直線.可以用數(shù)學(xué)語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數(shù)學(xué)化，同時大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習(xí)慣

在波利亞的解題表中，擬定計劃是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“擬定計劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識”基礎(chǔ)上,探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程。“擬定計劃”的過程其實(shí)就是不斷變換問題的過程，把復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化，陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養(yǎng)了學(xué)生擬定解題計劃的習(xí)慣。學(xué)生有了計劃, 就不會拉下已知條件, 就會考慮解題的優(yōu)先順序，有清晰的目標(biāo)，就可以通過計劃的實(shí)施來實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)。

講解第二步、擬定計劃:

怎樣證明兩個平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線即可。

怎樣找到另一個平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理, 只要在平面α內(nèi)找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內(nèi)找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質(zhì)定理可知, 只須過直線a任意作一個平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結(jié)論成立.解題計劃：直線a∥平面α，可找平面α內(nèi)的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經(jīng)過直線b結(jié)論可得證。

(三)通過實(shí)現(xiàn)解題計劃,培養(yǎng)學(xué)生將計劃付諸實(shí)現(xiàn)的習(xí)慣

想出一個計劃,產(chǎn)生一個求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習(xí)慣等。我們要把來之不易的好計劃好念頭付諸實(shí)現(xiàn)，在解題計劃的實(shí)現(xiàn)過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學(xué)生弄清一個立體模型.養(yǎng)學(xué)生擬定解題計劃的實(shí)細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個細(xì)節(jié)，直到每一點(diǎn)都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。在這個過程中教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心和恒心，要時時提醒學(xué)生自己解題的計劃是什么?按照解題計劃堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟,這對職業(yè)中學(xué)的學(xué)生而言尤其重要,因他們的關(guān)鍵是踏踏實(shí)實(shí)的做每一件事情，將計劃執(zhí)行到底。

講解第三步、實(shí)現(xiàn)計劃:

證明:過直線a任作一個

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質(zhì)定理，直線和直線平行的性質(zhì)定理，平面和平面垂直的判定定理，三個定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養(yǎng)學(xué)生主動回顧反思的習(xí)慣

即使是相當(dāng)好的學(xué)生, 當(dāng)他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會合上書本, 找點(diǎn)別的事來干干。這樣做, 他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。

培養(yǎng)學(xué)生對自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評介水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的有效的方法。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，養(yǎng)成對自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣是具有正確的解題思想的體現(xiàn)。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進(jìn)行回顧和反思，那么解題活動就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會在更高的層次上進(jìn)行再概括，并促使學(xué)生的思維進(jìn)入理性認(rèn)識階段，事半功倍，同時可能會產(chǎn)生創(chuàng)新的好念頭。因此，為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想教育，使學(xué)生養(yǎng)成回顧反思的習(xí)慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時又要及時提取記憶中的有關(guān)知識, 來擬定出一個成功的計劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理找到直線b, 然后根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應(yīng)更新教育觀念 ,擺出良好姿態(tài)

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現(xiàn)出對學(xué)生的關(guān)懷和設(shè)身處地地為學(xué)生考慮的思想。因此，我們職業(yè)學(xué)校的教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教育思想,樹立起為學(xué)生服務(wù)觀念, 擺出良好姿態(tài)面對我們的學(xué)生，我們要相信每個學(xué)生都是有能力學(xué)好的。給予學(xué)生更多的人文關(guān)懷，教師在整個教學(xué)過程中應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，特別對于基礎(chǔ)差的學(xué)生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態(tài)度，應(yīng)尊重他們受教育的權(quán)利，設(shè)計出符合學(xué)生特點(diǎn)的課堂教學(xué)，更好地為學(xué)生服務(wù)。本著這樣一種觀念，就會創(chuàng)造出一種讓學(xué)生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結(jié)果則會培養(yǎng)學(xué)生的自覺意識，增強(qiáng)自律能力，逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學(xué)生，這是達(dá)到民主和諧的基礎(chǔ)，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關(guān)系，教師要放

下架子，把自己當(dāng)作學(xué)生中的一員，使自己成為既是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，又是合作者，積極參與學(xué)生的討論、交流，經(jīng)常用商量的口吻進(jìn)行教學(xué)。

3、要正視學(xué)生的潛能，承認(rèn)學(xué)生能主動發(fā)展，視教學(xué)過程為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻(xiàn)：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數(shù)學(xué)解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學(xué)何雙誼高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2004 年第4期