第一篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢(shì)。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“你是怎么想出這個(gè)解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個(gè)人，為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，他利用在大學(xué)任教的機(jī)會(huì)，通過與學(xué)生的交流和對(duì)學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時(shí)間，終于完成一篇著作，這本書指導(dǎo)了人們不僅僅是在數(shù)學(xué)中，乃至在任何其他領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維，引導(dǎo)了一代又一代讀者在學(xué)習(xí)中走上正確的道路。這個(gè)人就是著名數(shù)學(xué)家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。上中學(xué)時(shí)，他就是一個(gè)很有上進(jìn)心的學(xué)生，但每當(dāng)遇較難的數(shù)學(xué)題時(shí)，他也時(shí)常感到困惑：“這個(gè)解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個(gè)結(jié)論好像還行，他看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”為了解決這個(gè)困惑，波利亞經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的累計(jì)以及與一批數(shù)學(xué)大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經(jīng)出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達(dá)了這樣的觀點(diǎn)：解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對(duì)你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時(shí)，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個(gè)步驟，包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”，在這其中，對(duì)第二步

即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程。我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。如果能在平時(shí)的解題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。”這句話頗有現(xiàn)實(shí)意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識(shí)的時(shí)候可能會(huì)不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時(shí)，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨(dú)一無二的方法做出時(shí)，你將飽含成就感，從而更加激發(fā)你學(xué)習(xí)的熱情和對(duì)問題探索的渴望。也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對(duì)于學(xué)生的解題應(yīng)該進(jìn)行怎樣的指導(dǎo)，書的第一章節(jié)，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節(jié)中，波利亞系統(tǒng)地指導(dǎo)了教師如何讓幫助學(xué)生，他說：“教師最重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn)。但是如果讓他獨(dú)自面對(duì)問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進(jìn)步。但若教師對(duì)他幫助過多，那么學(xué)生卻又無事可干，教師對(duì)學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一個(gè)合理的工作量。如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨(dú)立工作。為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。不過，對(duì)學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟。”而在指導(dǎo)學(xué)生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個(gè)問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學(xué)生的注意力集中到未知數(shù)上。有時(shí)，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達(dá)到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動(dòng)。在波利亞看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價(jià)值的。“怎樣解題”表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題和建議；它們對(duì)于那些能獨(dú)立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應(yīng)采取的行動(dòng)之后，他們會(huì)感到這張表中所間接列舉的是對(duì)解題很有用的典型思維活動(dòng)。這些思維活動(dòng)在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點(diǎn)之一是普遍性，當(dāng)然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡(jiǎn)單的、顯而易見的并且來自于普通常識(shí)。如果能夠在遇到一些困難的問題的時(shí)候，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)卻為我們所熟悉的內(nèi)容，那么我們走的這條路也是對(duì)的。波

利亞指出，教師和學(xué)生在實(shí)踐中，教師試圖提高學(xué)生解題能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量的機(jī)會(huì)去模仿與實(shí)踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動(dòng)，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時(shí)，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時(shí)所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要的東西。將此聯(lián)系到實(shí)際中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，在如今應(yīng)試教育的大環(huán)境下，現(xiàn)在教師的教學(xué)過程、學(xué)生的思維都比較的定式化，特別像是數(shù)學(xué)物理等理科，教師運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學(xué)生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當(dāng)做一種機(jī)械的條件反射的運(yùn)動(dòng)而不是思維活動(dòng)。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數(shù)學(xué)師范專業(yè)的學(xué)生，我想我從這本書中學(xué)到了太多，不僅僅解決了自身的學(xué)習(xí)問題，激發(fā)了自己對(duì)于解題的興趣、學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學(xué)會(huì)了，作為一名教師應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生解決問題，如何教育學(xué)生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第二篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣培養(yǎng)

沈 斌

摘要：運(yùn)用波利亞的“怎樣解題”表來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，揭示解題過程的思維訓(xùn)練全貌, 暴露數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心問題的本質(zhì)，以增進(jìn)教學(xué)效果，同時(shí), 在解題的過程中，也使學(xué)生的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養(yǎng)成有益的思維習(xí)慣，進(jìn)而形成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表職業(yè)中學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣

正文：

一、中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

當(dāng)前的職校數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著一種困境，學(xué)生生源質(zhì)量差且參差不齊，經(jīng)常聽到有教師怨言：“這些學(xué)生怎么教呵！”學(xué)生基礎(chǔ)比較差這是事實(shí)，是不是學(xué)生智質(zhì)差？不是，學(xué)生也聰明，活潑好動(dòng)，究其原因是職業(yè)中學(xué)學(xué)生大多,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)被動(dòng)等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯(lián)系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會(huì)學(xué)習(xí)或者說解題不知從何入手。對(duì)于教師而言，面對(duì)著一個(gè)班級(jí)里有許多學(xué)習(xí)目的不明確、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統(tǒng)的課堂教學(xué)目標(biāo)和模式，其結(jié)果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)集中具體地表現(xiàn)在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現(xiàn)可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導(dǎo)性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時(shí)用建議的口氣, 有時(shí)則用引導(dǎo)性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學(xué)生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生”。“教師對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學(xué)思想使我受到啟示，在課堂教學(xué)中嘗試“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟，使學(xué)生逐步養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、在職校數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《怎樣解題》思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養(yǎng)學(xué)生分析已知條件的習(xí)慣

審題過程就是要審清題目數(shù)量關(guān)系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關(guān)系在學(xué)生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數(shù)量關(guān)系和解答問題創(chuàng)造良好的前

提條件。對(duì)題中揭示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句要反復(fù)推敲，理解它的真實(shí)含義。數(shù)學(xué)教師在通常的教學(xué)過程中應(yīng)時(shí)時(shí)提醒學(xué)生這樣盡力去做, 那么我們的學(xué)生不管他對(duì)每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養(yǎng)起先弄清問題,分析已知條件的習(xí)慣。

例 如果一條直線平行于一個(gè)平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個(gè)平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個(gè)平面, 另一個(gè)平面垂直于這條直線.可以用數(shù)學(xué)語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數(shù)學(xué)化，同時(shí)大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習(xí)慣

在波利亞的解題表中，擬定計(jì)劃是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”基礎(chǔ)上,探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程。“擬定計(jì)劃”的過程其實(shí)就是不斷變換問題的過程，把復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化，陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養(yǎng)了學(xué)生擬定解題計(jì)劃的習(xí)慣。學(xué)生有了計(jì)劃, 就不會(huì)拉下已知條件, 就會(huì)考慮解題的優(yōu)先順序，有清晰的目標(biāo)，就可以通過計(jì)劃的實(shí)施來實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)。

講解第二步、擬定計(jì)劃:

怎樣證明兩個(gè)平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線即可。

怎樣找到另一個(gè)平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理, 只要在平面α內(nèi)找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內(nèi)找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質(zhì)定理可知, 只須過直線a任意作一個(gè)平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結(jié)論成立.解題計(jì)劃：直線a∥平面α，可找平面α內(nèi)的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經(jīng)過直線b結(jié)論可得證。

(三)通過實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃,培養(yǎng)學(xué)生將計(jì)劃付諸實(shí)現(xiàn)的習(xí)慣

想出一個(gè)計(jì)劃,產(chǎn)生一個(gè)求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識(shí)、良好的思維習(xí)慣等。我們要把來之不易的好計(jì)劃好念頭付諸實(shí)現(xiàn)，在解題計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學(xué)生弄清一個(gè)立體模型.養(yǎng)學(xué)生擬定解題計(jì)劃的實(shí)細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個(gè)細(xì)節(jié)，直到每一點(diǎn)都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯(cuò)誤的含糊之處為止。在這個(gè)過程中教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心和恒心，要時(shí)時(shí)提醒學(xué)生自己解題的計(jì)劃是什么?按照解題計(jì)劃堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟,這對(duì)職業(yè)中學(xué)的學(xué)生而言尤其重要,因他們的關(guān)鍵是踏踏實(shí)實(shí)的做每一件事情，將計(jì)劃執(zhí)行到底。

講解第三步、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃:

證明:過直線a任作一個(gè)

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質(zhì)定理，直線和直線平行的性質(zhì)定理，平面和平面垂直的判定定理，三個(gè)定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)回顧反思的習(xí)慣

即使是相當(dāng)好的學(xué)生, 當(dāng)他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會(huì)合上書本, 找點(diǎn)別的事來干干。這樣做, 他們就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有教益的方面。

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評(píng)介水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的有效的方法。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，養(yǎng)成對(duì)自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣是具有正確的解題思想的體現(xiàn)。如果在獲得正確答案后就此終止,不對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和反思，那么解題活動(dòng)就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對(duì)自己的思路作自我評(píng)價(jià)，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會(huì)在更高的層次上進(jìn)行再概括，并促使學(xué)生的思維進(jìn)入理性認(rèn)識(shí)階段，事半功倍，同時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)新的好念頭。因此，為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想教育，使學(xué)生養(yǎng)成回顧反思的習(xí)慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時(shí)又要及時(shí)提取記憶中的有關(guān)知識(shí), 來擬定出一個(gè)成功的計(jì)劃。此題我們?cè)谒季S策略上是二層次解決問題, 首先根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理找到直線b, 然后根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應(yīng)更新教育觀念 ,擺出良好姿態(tài)

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生的關(guān)懷和設(shè)身處地地為學(xué)生考慮的思想。因此，我們職業(yè)學(xué)校的教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教育思想,樹立起為學(xué)生服務(wù)觀念, 擺出良好姿態(tài)面對(duì)我們的學(xué)生，我們要相信每個(gè)學(xué)生都是有能力學(xué)好的。給予學(xué)生更多的人文關(guān)懷，教師在整個(gè)教學(xué)過程中應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，特別對(duì)于基礎(chǔ)差的學(xué)生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態(tài)度，應(yīng)尊重他們受教育的權(quán)利，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生特點(diǎn)的課堂教學(xué)，更好地為學(xué)生服務(wù)。本著這樣一種觀念，就會(huì)創(chuàng)造出一種讓學(xué)生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結(jié)果則會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的自覺意識(shí)，增強(qiáng)自律能力，逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學(xué)生，這是達(dá)到民主和諧的基礎(chǔ)，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關(guān)系，教師要放

下架子，把自己當(dāng)作學(xué)生中的一員，使自己成為既是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，又是合作者，積極參與學(xué)生的討論、交流，經(jīng)常用商量的口吻進(jìn)行教學(xué)。

3、要正視學(xué)生的潛能，承認(rèn)學(xué)生能主動(dòng)發(fā)展，視教學(xué)過程為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，而不僅是知識(shí)獲得的過程。

參考文獻(xiàn)：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數(shù)學(xué)解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學(xué)何雙誼高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2004 年第4期

第三篇：波利亞的怎樣解題表

波利亞的怎樣解題表

怎樣解題第一步：弄清條件

第一：你必需弄清問題

未知是什么？

已知是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

把條件的各個(gè)部分分開，你能否把它們寫下來。

怎樣解題第二步：擬定計(jì)劃

第二：找出書籍?dāng)?shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。表中列出了了若干輔助問題，在遇到困境時(shí)你可以逐一把這些問題搜索一遍，每個(gè)問題的解決都可能是朝向勝利的關(guān)鍵一步！你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

你以前見過它嗎？

你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與些有關(guān)的問題？

你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題？ 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？ 你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？

為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的問題？

一個(gè)更普遍的問題？

一個(gè)更特殊的問題？

一個(gè)類比的問題？

你能否解決這個(gè)問題的一部分？

僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？

你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？

你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？

如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使尊長未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？

你是否利用了整個(gè)條件？

你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？

怎樣解題第三步：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

第三：實(shí)行你的計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？

你能否證明這一步驟是正確的？

怎樣解題第四步：回顧

第四：驗(yàn)算所得到的解

驗(yàn)算所得到的解。

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？

你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？

現(xiàn)在你能不能一下了看出它來？

你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？

若條件或結(jié)論做些改變，又將如何解決？

第四篇：怎樣解題 波利亞 摘要

怎樣解題 波利亞

摘要

波利亞的《怎樣解題》曾經(jīng)掀起歐美數(shù)學(xué)界的震動(dòng)。他是一位基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)家和教育家，作為數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，都有璀璨的成就。歐美的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)呼吁，學(xué)數(shù)學(xué)的人，要讀讀波利亞，不學(xué)數(shù)學(xué)的人，也要讀讀波利亞。數(shù)學(xué)老師要讀讀波利亞，初中生高中生大學(xué)生要讀，數(shù)學(xué)家也要讀讀波利亞。他寫的怎樣解題，介紹了在數(shù)學(xué)中的普遍規(guī)律，幾乎全部是文字?jǐn)⑹觥榱朔奖愦蠹腋斓拈喿x，節(jié)省時(shí)間，我整理了一下，這樣，您在10分鐘之內(nèi)，就可以讀完。有些地方，值得仿佛閱讀，牢記

解題是對(duì)過去的回憶

讓目標(biāo)調(diào)動(dòng)你的記憶力。

我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開細(xì)節(jié)。

這樣做，我能得到什么好處?你會(huì)明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推 任何事物的學(xué)生，最后也會(huì)被迫對(duì)解題的思路至少作出微小的貢獻(xiàn)。

我應(yīng)該從哪兒開始?從問題的敘述開始,我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開細(xì)節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會(huì)明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點(diǎn)。

力圖利用已知結(jié)果和回到定義去，是引入輔助元素的一些最好的理由；但

它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們?cè)鯓硬拍芾眠@些

所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是

個(gè)“好念頭”。

探尋你解題步驟目的和動(dòng)機(jī)

如果一條微妙的輔助線在圖中出現(xiàn)得很突然看不出任何動(dòng)機(jī)，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學(xué)生將會(huì)失望，他們感到上當(dāng)受騙。因?yàn)橹挥性谖覀兊恼撟C及發(fā)明會(huì)創(chuàng)造的能力中充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的作用后，數(shù)學(xué)才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動(dòng)機(jī)和目的不可理解，那么我們?cè)谡撟C和發(fā)明創(chuàng)造方面就學(xué)不到什么東西。為使這樣的步驟可以理解，需要加以適當(dāng)?shù)恼f明(如前面(3)中所做的那樣)，或者精選問題和建議(象第lO、18、*

9、20節(jié)中所做的那樣)，這需要大量的時(shí)間和精力，但卻是值得一做的。

人和飛蟲的區(qū)別

一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進(jìn)來的那扇。人能夠或者至少能夠行動(dòng)得更聰明些。人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他 會(huì)繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問題。構(gòu)想一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)。舉出一個(gè)有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把 到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個(gè)新目標(biāo)，這都是運(yùn)用智慧的卓越成就。學(xué)會(huì)(或教會(huì))怎樣聰明地處理輔助問題是一項(xiàng)重大任務(wù)。

但是，我將煞費(fèi)苦心地用清晰的詞句來說明所有有才能的人所遵循的研究規(guī)則與方法

人們可能認(rèn)為，這種現(xiàn)象對(duì)于處理某個(gè)高級(jí)問題的有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家要比那些解決某個(gè)初等問題的初學(xué)者更有可能發(fā)生。可是，具有大量數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更容易冒濫用知識(shí)而使論證不必要地復(fù)雜起來的危險(xiǎn)。但作為補(bǔ)償?shù)氖牵薪?jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更能重視結(jié)果中細(xì)微部分的重新解釋，并且把它們積聚起來，最終重新寫出整個(gè)結(jié)果。

解題本質(zhì)，跨越鴻溝

在我們面前有個(gè)未解決的問題，一個(gè)隨便用什么方法處理的問題。我們必

須找出已知與未知間的聯(lián)系。我們可以把我們待解的問題表示成已知與未知之間的廣闊空間，當(dāng)作已知與未知之間的一道鴻溝，在其上需要架橋。我們架橋可以從任何一邊(從未知或者從已知)開始

一個(gè)高水平的學(xué)生對(duì)此也可能一籌莫展。當(dāng)然，有各種辦法可試，但幫助學(xué)生精神重新振作起來的最好問題是：你能從已知事項(xiàng)導(dǎo)出什么有用的東西

如果你鉆到細(xì)節(jié)中去，你可能會(huì)在細(xì)節(jié)中迷途。過多或過細(xì)的具體情節(jié)是腦力的一種負(fù)擔(dān)。它們?nèi)缫蝗~障目會(huì)阻礙你充分注意主要之點(diǎn)，甚至使你完全看不到主要之點(diǎn)，只見樹木而不見森林。

我們當(dāng)然不希望為不必要的細(xì)節(jié)去浪費(fèi)我們的時(shí)間，我們應(yīng)該把我們的精力用到主要內(nèi)容上。困難就在于我們事先說不出哪些細(xì)節(jié)最后會(huì)變成主要的，而哪些又不會(huì)。

數(shù)學(xué)的解題是一種組合當(dāng)然，重新組合的可能性是無限的。困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合。而解題者的才能就在于組合的獨(dú)創(chuàng)性。但也存在著某些普通的、相對(duì)簡(jiǎn)單的組合，它們對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題而言已經(jīng)夠用。對(duì)于這樣的組合我們應(yīng)當(dāng)徹底加以了解并且首先試用，即使我們最后不得不求助于不太顯而易見的方法。

消去花哨讓人犯怵的數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語，回到定義上，看到客觀事實(shí)的真正聯(lián)系。（你看到WC你應(yīng)該像想到廁所，然后，是排泄的地方，然后是具體馬桶小便池，于是，就把WC這個(gè)專業(yè)術(shù)語消去，讓花哨而讓人反感的術(shù)語，變成了現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)術(shù)語也是這樣。）

數(shù)學(xué)中的專業(yè)術(shù)語有兩類。有些作為原始術(shù)語不加定義而被接受.可是數(shù)學(xué)家卻不關(guān)心他的專業(yè)術(shù)語有什么流行的意義，至少他主要不關(guān)心.數(shù)學(xué)定義產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的意義。

消去專業(yè)術(shù)語。為了消去一個(gè)專業(yè)術(shù)語，我們必須知道這個(gè)專業(yè)術(shù)語的定義；但僅知其定義還不夠，我們還必須利用定義。我們?cè)趩栴}的概念中引入適當(dāng)?shù)脑亍Ｎ覀冊(cè)诙x的基礎(chǔ)上建立所引入的元素之間的關(guān)系。如果這些關(guān)系完全表 了術(shù)語的含義，則我們就已經(jīng)利用了定義。利用了定義，我們同時(shí)也就消去了專業(yè)術(shù)語。

剛才所敘述的過程可稱為：回到定義去.用回到一個(gè)專業(yè)術(shù)語定義的辦法，我們除去了這個(gè)術(shù)語，而代之以新元素和新關(guān)系。這在我們的問題的概念中所產(chǎn)生的變化可能很重要。無論如何，對(duì)問題的某種重新敘述，“問題的某種變化”是與結(jié)果密切相關(guān)的。

然而在有些情況下，我們并沒有選擇的余地。如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就只好被迫采用這定義。如果我們所知并不比定義為多，我們最好的機(jī)會(huì)可能是：回到定義去。但是，如果我們知道有關(guān)概念的許多定理，并且已有許多使用這些定理的經(jīng)驗(yàn)，那么我們就有機(jī)會(huì)找到一個(gè)涉及上述概念

合適的定理。

回到定義去是一項(xiàng)重要的智力活動(dòng)。如果我們希望了解為什么字的定義如此重要，那么我們應(yīng)當(dāng)首先認(rèn)識(shí)到，字是重要的。如果不用字，不用符號(hào)或某種記號(hào)，我們幾乎不能思維。所以，字和符號(hào)是有威力的。原始民族信仰字和符號(hào)具有魔力。我們可以理解這種信仰，但卻不可茍同。我們應(yīng)當(dāng)知道在于字給我們提示的概念以及這些概念最終所依據(jù)的事實(shí)

因此，尋求字面背后的意義和事實(shí)是一種健全的傾向。對(duì)于回到定義去數(shù)學(xué)家尋求的是：掌握那些在專業(yè)術(shù)語后面數(shù)學(xué)對(duì)象間的實(shí)際關(guān)系；物理學(xué)家尋求的是：專業(yè)術(shù)語后面的明確實(shí)驗(yàn)；而具有某種常識(shí)的普通人則希望找出鐵的事實(shí)而不僅僅為字面所愚弄。

決心，希望，成功

（按照《誰動(dòng)了我的奶酪》觀點(diǎn)，一些技巧不要問什么，記住使用，立即行動(dòng)。）

認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的；決心與情緒所起的作用很重要半心半意和懶洋洋地同意做一點(diǎn)事情，對(duì)于在教室中做代公式題可能是夠了但是，去求解一個(gè)嚴(yán)肅的科學(xué)問題需要堅(jiān)強(qiáng)的意志才能成年累月地含辛茹苦和

決心隨著希望與失望，稱心與挫折而波動(dòng)搖擺。當(dāng)我們認(rèn)為解答就在眼前時(shí)，決心很容易維持；當(dāng)我們陷入困境，無計(jì)可施時(shí)，決心很難 持下去。

當(dāng)我們的推 成為現(xiàn)實(shí)時(shí)，我們歡欣鼓舞。當(dāng)我們以某種信心所遵循的道路突然受阻時(shí)，我們又不免垂頭喪氣，我們的決心也隨之動(dòng)搖了。

鎖定你的目標(biāo)

在科學(xué)工作中，決心的大小必須靈活地根據(jù)前景而定。除非你對(duì)一個(gè)問題有某些興趣，你才去著手解答它；如果這問題看來有指導(dǎo)意義，那么你就定下心來認(rèn)真地去作；如果它很有搞頭，你就全力以赴。一旦你目標(biāo)已定，你就要鍥而不舍，但你的日標(biāo)對(duì)你自己來說不可過高。你不要輕視微小的成功，相反你要追求它們：如果你不能解決所提問題，首先嘗試解決某個(gè)有關(guān)的問題。

當(dāng)一個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤實(shí)在很大或者遲鈍得令人惱火時(shí)，原因幾乎總是相同的：他根本不想解題，甚至不愿正確理解這個(gè)問題，所以他對(duì)問題并未理解。因此，凡是真心希望幫助學(xué)生的教師首先應(yīng)當(dāng)挑起學(xué)生的好奇心，給他某種解題的愿望。同時(shí)教師也應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一一些時(shí)間，使他下定決心，定下心來做他的功課。

數(shù)學(xué)好的人是堅(jiān)強(qiáng)的，不達(dá)目的，決不罷休。

教學(xué)生解題是意志的教育。當(dāng)學(xué)生求解那些對(duì)他來說并不太容易的題目時(shí)，他學(xué)會(huì)了敗而不餒，學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)展，學(xué)會(huì)了等待主要的念頭，學(xué)會(huì)了當(dāng)主要念頭出現(xiàn)后全力以赴。如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了

學(xué)生常犯的毛病

由于思想不集中而造成的對(duì)問題了解不完整大概是解題中最為常見的毛病。至于在制定一個(gè)計(jì)劃并得到求解的一個(gè)總的概念這一階段中，常見的是兩種截然不同的毛病。有的學(xué)生沒有任何計(jì)劃或總的概念，就急急忙忙地選人具體計(jì)算和作圖；另 一些學(xué)生則笨頭呆腦地 等著某個(gè)念頭的降臨，而不會(huì)做任何事情去加速其來到。在實(shí)現(xiàn)計(jì)劃階段，最常見的毛病是粗枝大葉，不耐心檢查每一步。根本不檢查結(jié)果是屢見不鮮的；學(xué)生樂意得到一個(gè)答案，丟下筆結(jié)束，對(duì)于最靠不住的答案他們也滿不在乎。

由于我們的知識(shí)是逐步增加的，我們對(duì)問題的概念在結(jié)束時(shí)要比開始時(shí)豐富得多，但現(xiàn)在它怎么樣了?我們已經(jīng)得到所需要的了嗎?我們的概念足夠嗎?你是否利用了所有的已知數(shù)?你是否利用了整個(gè)條件?對(duì)于求證題，相應(yīng)的問題是：你是否利用了全部前提?

我們所討論的問題以審查我們對(duì)問題的概念的完整性為目的。如果我們沒有把任何主要的數(shù)據(jù)，或條件，或前提考慮進(jìn)去，那么我們的概念肯定不會(huì)完整。但如果我們不體會(huì)某個(gè)主要術(shù)語的意義，則我們的概念也不完整。因此，為了檢查我們的概念，也應(yīng)該提問：你已考慮了問題中所包含的所有必要的概念嗎?

你知道一個(gè)與此有關(guān)的問題嗎?（我們要記住曾經(jīng)發(fā)生過什么）

我們幾乎不能想象有一個(gè)問題是絕對(duì)的新穎，和我們以前解決過的任何問題都不相似，都無關(guān)系；但若居然有這樣一個(gè)問題存在，它將是不可解的。事實(shí)上，當(dāng)解決問題時(shí)，我們總利用以前解決的問題，用其結(jié)果或用其方法，或利用解決它們時(shí)所得到的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然我們所利用的這些問題必須在某一方面與我們當(dāng)前的問題有關(guān)。所以，我們提這個(gè)問題：你知道一個(gè)與此有關(guān)的問題嗎?

畫張圖

檢驗(yàn)?zāi)愕牟?/p>

讓幾何圖形幫助你思考

這個(gè)定理看起來比前一定理更好著手；當(dāng)然，它較弱。無論如何，我們應(yīng)當(dāng)弄清楚它們是什么意思；我們應(yīng)當(dāng)有勇氣更詳細(xì)地去重新說明它。用代數(shù)語言去重新表述它一遍是有好處的。

已知的條件，用紅色的筆寫，未知的用黑色

為了強(qiáng)調(diào)不同線段的不同地位，你可以使用粗線或細(xì)線，實(shí)線或虛線，或者用不同顏色的線。如果你尚未完全決定采用某一根線作輔助線的話，你就輕一點(diǎn)畫它。你可以用紅筆畫已知元素，而用其他的顏色來強(qiáng)調(diào)重要的部分

為了得到解答，我們必須從我們的記憶中汲取有關(guān)的知識(shí)，我們必須調(diào)動(dòng)起我們記憶中處于休眠狀態(tài)的知識(shí)的有關(guān)部分(“進(jìn)展與成就”)。當(dāng)然我們事先不知道哪部分知識(shí)有用，但是存在可能性，我們不應(yīng)放棄探索。

集中注意力于我們的目標(biāo)，集中意志于我們的目的，我們就會(huì)想出 到它的方式和方法。到目的的方法是什么?你怎樣 到你的目的?你怎樣才能得到這類結(jié)果?什么原因會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)結(jié)果?你在哪里看見過這樣一個(gè)結(jié)果?為了得到這樣一個(gè)結(jié)果，人們通常怎么辦?于是嘗試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問題。嘗試想起一個(gè)具有相同或相類似結(jié)論的熟悉的定理集中注意力于我們面前的問題，我們嘗試找出應(yīng)該引入哪類問題，哪個(gè)早已解決的問題(具有相同未知數(shù)的)最適合我們當(dāng)前的目的。

阿基米德是如何用已有的知識(shí)解決新問題的我們剛才提過，當(dāng)阿基米德求球面積時(shí)，他并不知道任何有相同未知數(shù)而且早已解決的問題。但他卻知道各種有相似未知數(shù)而早已解決的問題。有些曲面的面積比球面積容易求，它們?cè)诎⒒椎聲r(shí)代已為人所共知，如正圓柱體的側(cè)面積，正圓錐體的側(cè)面積，圓臺(tái)的側(cè)面積等等。我們可以肯定，阿基米德曾經(jīng)仔細(xì)地考慮過這些較簡(jiǎn)單的相似情況。事實(shí)上，在其解答中，他利用了一個(gè)由兩個(gè)錐體與若于個(gè)圓臺(tái)所組成的復(fù)合體來作為球體的近似(見“定義”，數(shù)學(xué)符號(hào)

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的重要性我們幾乎總是不會(huì)估計(jì)過高的。說活與思維有密切聯(lián)系，使用文字有助于思維，凡對(duì)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)工作稍具經(jīng)驗(yàn)的人都知道：不用文字而只注視幾何圖形或僅演算代數(shù)符號(hào)也可以進(jìn)行一些相當(dāng)艱巨的思維。圖及符號(hào)和數(shù)學(xué)思維有密切的聯(lián)系，它們的使用有助于思維。使用符號(hào)對(duì)于運(yùn)用推理看來是必不可少的。

數(shù)學(xué)符號(hào)看來象一種語言一種構(gòu)造良好的語言，一種非常適合其目的、簡(jiǎn)練而準(zhǔn)確的語言，其規(guī)則與常的語法不同

但在精確性很重要的場(chǎng)合下，我們必須小心選擇我們的用詞。在解題中，選擇符號(hào)是重要的一步。應(yīng)謹(jǐn)慎從事。我們現(xiàn)在花費(fèi)在選擇符號(hào)上的時(shí)間，以后可由避免了狐疑不定和混亂而節(jié)省下來的時(shí)間所彌補(bǔ)。此wai在小心選擇符號(hào)時(shí)，我們必須把問題中需加符號(hào)的元素仔細(xì)想個(gè)明白。這樣選擇一個(gè)合適的符號(hào)可能大大促進(jìn)了對(duì)于問題的了解。

一個(gè)好符號(hào)應(yīng)該是不含糊的、富有意義的、便于記憶的；它應(yīng)該避免有害的第二重意義而利用有用的第二重要意義；符號(hào)的次序與聯(lián)系應(yīng)提示事物的次序與聯(lián)系。

當(dāng)符號(hào)的次序與聯(lián)系可向我們提示對(duì)象的次序與聯(lián)系時(shí)，符號(hào)對(duì)于形成哉們的概念特別有用

聰明過人的孩子有時(shí)也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)反感

不但班級(jí)中最不可造就的孩子可能討厭代數(shù)，甚至聰明過人的孩子有時(shí)也會(huì)對(duì)它反感。符號(hào)總不免有些武斷和不自然；學(xué)習(xí)一種新符號(hào)對(duì)記憶是一種負(fù)擔(dān)。如果聰明的學(xué)生不理解這種負(fù)擔(dān)有什么好處，他就會(huì)加以拒絕。如果他沒有充分的機(jī)會(huì)親身體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)符號(hào)語言有助于思維”，那么他討厭代數(shù)是無可非議的。幫助學(xué)生獲得這方面的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)是教師的重要職責(zé)，是最重要的職責(zé)之一。

分析和綜合-------原始人過河的故事（同濟(jì)大學(xué)第四版關(guān)于二元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)的公式，剛開始引用的輔助函數(shù)，實(shí)際是在三位空間中，把相對(duì)xy軸變量的變動(dòng)，歸結(jié)為對(duì)角線的變動(dòng)，然后，通過設(shè)比例的方式，同以表達(dá)了二元的分別變動(dòng)，但是，他沒有給出說明，我認(rèn)為，違背了分析的精神，爛）

什么是綜合?這就是一步一步地做完這些由分析所預(yù)見到的可能的計(jì)算。解題者完成他的問題并不需要什么新念頭，計(jì)算各個(gè)未知數(shù)時(shí)只需要耐心與注意。

一個(gè)原始人希望 過一條小河；但他不能用通常的辦法 河，因?yàn)樽蛲硪呀?jīng)漲水了。于是，河成為一個(gè)問題的對(duì)象；“ 河”即這個(gè)原始問題中的x。這個(gè)人可能回想起他曾沿著一棵倒下的樹 過其它幾條河。于是他到處尋找一棵合適的倒下的樹，這就成為他的新的未知數(shù)y。他找不到合適的樹，但有大量的樹立在河邊；他希望其中有一棵能倒下來。他能使一棵樹倒下來橫跨這條小河嗎?這是個(gè)了不起的念頭，并且這里有一個(gè)新未知數(shù)：用什么辦法能弄倒這挺使之磺跨小河。

如果我們接受帕撲斯的術(shù)語，這一串念頭應(yīng)稱之為“分析”。如果這原始人成功地完成了他的分析，他可能就成為橋與斧頭的發(fā)明人了。什么是綜合?就是把念頭化為行動(dòng)。綜合的最后一個(gè)行動(dòng)是沿著一棵樹走過小河。

解決實(shí)際問題

有一種廣為流傳的意見，即實(shí)際問題比數(shù)學(xué)問題需要更多的經(jīng)驗(yàn)。這可能如此。但很可能，這種差別只存在于所需要知識(shí)的性質(zhì)，而不是我們對(duì)問題的態(tài)度。在解決這樣那樣的問題時(shí)，我們必須依賴我們?cè)谔幚眍愃茊栴}方面的經(jīng)驗(yàn)，我們經(jīng)常問這個(gè)問題：你是否見過相同的問題，只是形式上稍有不同?你知道一個(gè)與此有關(guān)的問題嗎?

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件?當(dāng)我們處理純數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們不能放過這些問題。但在實(shí)際問題中，我們應(yīng)當(dāng)改變這些問題的形式：你是否利用了可能對(duì)求解有顯著作用的所有數(shù)據(jù)?你是否利用了可能對(duì)求解顯著影響的全部條件?我們估量一下現(xiàn)成可用的有關(guān)資料，如果必要的話，我們?cè)偃ナ占恍罱K我們必定要停止收集，我們必會(huì)在某處劃地為界不再越雷池一步，我們不能不忽略某些東西；

進(jìn)展與成就

你有任何進(jìn)展嗎?主要成就是什么?在解題過程中，你可能問自己或者問一個(gè)你督促其功課的學(xué)生。這樣，我們慣于或多或少滿懷信心地判斷具體情況下的進(jìn)展與成就。為了解題，我們必須具備本論題方面的知識(shí)并且必須對(duì)我們現(xiàn)有的，但原來屬于休眠狀態(tài)的知識(shí)進(jìn)行挑選并收集相關(guān)內(nèi)容。我們對(duì)該問題的理解在問題結(jié)束時(shí)總比開始時(shí)要豐富得多；增加了些什么呢?從我們的記憶中，我們成功地汲取了什么呢?為了得到解答，我們必須回憶各式各樣的基本事實(shí)。如果是個(gè)數(shù)學(xué)問題，則我們?yōu)榱说玫浇獯穑仨毣貞浺郧敖獯疬^的問題，已知的定理和定義。從我們的記憶中汲取這些有關(guān)內(nèi)容可稱之為“動(dòng)員”。

工作進(jìn)展的另一側(cè)面是：概念變換的方式。收集了資料并進(jìn)行加工以后，我們關(guān)于問題的概念在結(jié)束時(shí)比在開始時(shí)豐富得多了。由于我們想從初始的概念前進(jìn)到一個(gè)更滿足要求的、更適用的概念，我們可以嘗試從不同的觀點(diǎn)并從各個(gè)不同的側(cè)面觀察此問題。如果不“變化問題”，我們幾乎不能有什么進(jìn)展

1，困難的題目需要隱秘的、特殊的、獨(dú)創(chuàng)的組合方式，解題者的才智在獨(dú)創(chuàng)中顯現(xiàn)出來。

2，成人也要學(xué)數(shù)學(xué)，歐洲人上班族很多學(xué)的。

3，心算，盡量少的用計(jì)算器，增加腦力，防止遲鈍。

4，數(shù)學(xué)的靈魂在于思考

5，假如，以前基礎(chǔ)的東西，你都掌握得很熟練，不用你操心了，你學(xué)數(shù)學(xué)的面貌會(huì)怎樣。

6，數(shù)學(xué)家和學(xué)數(shù)學(xué)的人，是鑄劍師和劍客的關(guān)系嗎？

7，假如一個(gè)新的問題，無法用新的方法解決。那么，就只能用舊的方法解決了。而如果用舊的方法不能直接解決，那么只能改變新的問題為舊的問題，或者把舊的問題加以改變，以適應(yīng)新的問題。

8，能否把解題當(dāng)成一種挑戰(zhàn)。

9，不要怕麻煩，慢慢來。不要著急，慢慢來，學(xué)數(shù)學(xué)的人都是慢性子。

10，閑著沒事，就做些最基本的題目吧。

11，假如有一個(gè)目標(biāo)，你要登到哪里，需要很多的臺(tái)階，你可以一步步的爬上去，但是，如果感覺很困難，你肯定和以前的知識(shí)失去了聯(lián)系

12，人在休息的時(shí)候，思維容易發(fā)散。

13，學(xué)數(shù)學(xué)，如同走迷宮，僅僅是錯(cuò)誤常識(shí)的探索是不夠的，還要總結(jié)歸納，找到規(guī)律。

14，遇到難題，思維要發(fā)散開，至少，要提出多種解決方案。

15，學(xué)數(shù)學(xué)，狼的哲學(xué)，1，信心2，轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)機(jī)會(huì)3，窮追不舍4，試探，試驗(yàn)

16，把題目的條件，寫一寫，列一列

17，不要坐在那里發(fā)呆，要?jiǎng)觿?dòng)手，嘗試一下。

18，我整體的看看這一部分如何

19，倒著推導(dǎo)，倒著干

20，你些最基本的技術(shù)你熟悉馬

21，看到它，我想到什么？

22，在你能力范圍之內(nèi)的，絞盡腦汁吧。

23，人無法一下子弄明白一個(gè)公式定理。（如同打麥場(chǎng)，你無法一下子碾下所有的粒子）

24，數(shù)學(xué)灶，-------思維的連續(xù)聚焦和廣博

25，just do it

26，做題，探索，有時(shí)候，要靠較好的運(yùn)氣

27，分析問題，step by step , one by one

28，畫一個(gè)草圖

29，主動(dòng)學(xué)習(xí)，愛數(shù)學(xué)，愛思考。

30，塑造浪漫，不妨對(duì)一道你認(rèn)為不會(huì)做的難題，列出所有可能，做他一天，直到思考出來為止。

31，數(shù)學(xué)教授對(duì)數(shù)學(xué)的理解，往往是，看吧，直到把這道題看穿。

32，解一道復(fù)雜的難題，往往要比容易題花費(fèi)更多的時(shí)間，這提醒我們，如果我們對(duì)難題投入更多的時(shí)候，就怎加了解決的希望。

第五篇：波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

-------送給渴望學(xué)好數(shù)學(xué)的同學(xué)

喬治·波利亞，美籍匈牙利人，是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家，著名的數(shù)學(xué)教育家，享有國際盛譽(yù)的數(shù)學(xué)方法論大師。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。學(xué)知識(shí)，先學(xué)方法。他的這些解題的方法，對(duì)我啟發(fā)很大!所以特意摘錄給同學(xué)們看看，希望大家也能從中受到啟發(fā)。

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數(shù)，條件是否充分？

2.畫張圖，將已知標(biāo)上。

3.引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

4.把條件的各個(gè)部分分開。

第二步：找出已知與未知的聯(lián)系。

1.你能否轉(zhuǎn)化成一個(gè)相似的、熟悉的問題？

2.你能否用自己的語言重新敘述這個(gè)問題？

3.回到定義去。

4.你能否解決問題的一部分？

5.你是否利用了所有的條件？

第三步：寫出你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？

第四步：回顧。

1.你能否一眼就看出結(jié)論？

2.你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？

3.你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問題？