第一篇：萬有引力的定律的推導(dǎo)與證明

萬有引力的定律的推導(dǎo)與證明

我推導(dǎo)的，供大家參考與借鑒（QQ:1596058469）

關(guān)鍵詞：微積分，橢圓，高階導(dǎo)數(shù)，二維向量，極坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。符號(hào)說明：

ax代表平行于長軸的水平加速度

ay代表平行于短軸的豎直加速度

r代表恒星與行星的距離

?代表r與x軸夾角

t代表時(shí)間

r''代表r對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)

r'代表r對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)

?代表行星對(duì)于恒星的角速度

?'代表?對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)，即角加速度

i代表沿x軸正向的單位常矢量

j代表沿y軸正向的單位常矢量

a代表行星的合加速度

er代表行星與恒星連線的單位方向向量，方向由恒星指向行星a代表橢圓的長半軸

b代表橢圓的短半軸

c代表橢圓焦距

F1代表橢圓左焦點(diǎn)

S代表極徑r線段掃過的面積

C代表任意常數(shù)

代表萬有引力

Fx代表萬有引力的水平分量

Fy代表萬有引力的豎直分量

T代表行星公轉(zhuǎn)周期

?代表圓周率

m代表行星質(zhì)量

M代表恒星質(zhì)量

K代表開普勒常量

G代表萬有引力常量

標(biāo)量表示式：

d2(rcos?)22ax??r''cos??2r'?sin??r(?'sin???cos?)?(r''?r?)cos??(2r'??r?')sin?2dt

d2(rsin?)22ay??r''sin??2r'?cos??r(?'cos???sin?)?(r''?r?)sin??(2r'??r?')cos?2dt

矢量表示式：

ax?(r''?r?2)cos??(2r'??r?')sin?

ay?(r''?r?2)jsin??(2r'??r?')jcos?

?er?cos??sin???rcos??rsin???der??isin??jcos???d?

a?ax?ay?(r''?r?2)er?(2r'??r?')der

d?

現(xiàn)推導(dǎo)r(?)的函數(shù)關(guān)系式

x2y2

設(shè)橢圓的一般方程為2?2?1,則其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(?c,0),以F1為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)方程，有：ab

(rcos??c)2(rsin?)2

??1a2b2

化簡：b2cos2??a2sin2?r2?2crb2cos??b2c2?a2b2?0??又a2?b2?c2

2cb2cos??4c2b4cos2??4b2cos2??a2sin2?b4

r?2b2cos2??a2sin2?cb2cos??b2c2cos2??b2?c2sin2?cb2cos??b2ab2??22?b2?c2sin2?a?ccos2?a?ccos?

橢圓元面積：

12rd?2

由開普勒 第二定律：單位時(shí)間內(nèi)，極徑掃過的面積是常數(shù)dS?

dS12?r??常數(shù)dt2

即S與t是一次函數(shù)關(guān)系,其通解為：

S?

? 12r?t?C2dS12?r??常數(shù)dt2

?r2?'?2rr'??r2?'?0??

?2r'??r?'?0

?F?Fx?Fy?m(r''?r?2)er?m(2r'??r?')der?m(r''?r?2)erd?

b2b2

?r?(?ccos??a?)a?ccos?r

b2?ra?crcos?,左右對(duì)t求導(dǎo)，關(guān)鍵性一步：

0?ar'?cr'cos??cr?sin?

再對(duì)t求一次導(dǎo)，飛躍性一步：

0?ar''?cr''cos??2cr'?sin??cr(?'sin???2cos?)

0?ar''?c(r?2?r'')cos??c(2r'??r?')sin?

b2b2b2

20?(a?ccos?)r''?cr?cos??r''?r?(a?)?(r''?r?2)?r?2arrr

r2?2a2r''?r???b22

r2?2aF?m(r''?r?)er??m2er b2

行星掃過一周的面積（S?

S橢?S(T)?S(0)?

r2??2?ab

T

22212r?t?C）212r?T??ab22?ab2)a2323r?a(r?)a4?a4?aMm??me??me??me??me???2er rrrr22222222bbrbrTrMTr其中K?a3/T2為開普勒常量2（4?2a3

記G?為萬有引力常量2MT

er指有恒星指向行星的單位方向向量，負(fù)號(hào)代表萬有引力方向與er方向相反。綜上：萬有引力的公式為：F??G

Mmer r2

第二篇：中考科學(xué)——初中物理推導(dǎo)與證明

1.2.3.4.5.6.7.8.由歐姆定律和串聯(lián)電路的特點(diǎn)導(dǎo)出：串聯(lián)的兩個(gè)導(dǎo)體的總電阻等于各導(dǎo)體的電阻之和。并請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行驗(yàn)證。由歐姆定律和并聯(lián)電路的特點(diǎn)導(dǎo)出：并聯(lián)的兩個(gè)導(dǎo)體的總電阻的倒數(shù)等于各導(dǎo)體的電阻倒數(shù)之和。并請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行驗(yàn)證。請(qǐng)證明在有兩個(gè)電阻R1和R2的串并聯(lián)電路中都有P=P1+P2 請(qǐng)證明：在遠(yuǎn)距離傳輸電能過程中若發(fā)電機(jī)輸出功率和傳輸導(dǎo)線電阻一定的情況下，輸電導(dǎo)線上因發(fā)熱而損失的功率與傳輸電壓的平方成反比。使用滑輪組提升物體在不計(jì)摩擦和繩重的情況下其機(jī)械效率與動(dòng)滑輪上繩子的股數(shù)和物體被提升的高度無關(guān)。請(qǐng)證明對(duì)于同種材料制成的均勻?qū)嵭牡牟煌N柱體在高度相等時(shí)對(duì)水平面的壓強(qiáng)相等。對(duì)于能夠漂浮在液體上的物體總有：?物?液?V排V物

對(duì)于密度比液體大的實(shí)心物體用彈簧秤懸掛并完全浸沒在液體中時(shí)總滿足：?物

?液?GG?T示數(shù)

9.一架不準(zhǔn)確的天平，主要是由于它橫梁左右兩臂不等長。為了減少實(shí)驗(yàn)誤差，在實(shí)

驗(yàn)室中常用“交換法”來測定物體的質(zhì)量。即先將被測物體放在左盤，當(dāng)天平平衡時(shí)，右盤中砝碼的總質(zhì)量為ml；再把被測物體放在右盤，當(dāng)天平平衡時(shí)，左盤中砝碼的總質(zhì)量為m2。試證明被測物體的質(zhì)量m?m1m2

10.一具形狀不規(guī)則的木棒水平放置于地面上，采用如下方法測定其重量：在木棒左端

以F1的豎直向上的力剛好能提起木棒，在木棒右端以F2的數(shù)值向上的力也能剛好提起木棒。證明木棒的重量G=F1+F2。

11.某汽車質(zhì)量為M，當(dāng)其在水平路面行駛時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率恒為P1，此時(shí)汽車以v1的最大速度勻速行駛。當(dāng)汽車行駛?cè)腴L度為L高為h的斜坡上，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率為P2，已知在斜坡上汽車受到的總阻力為水平路面上的k倍。證明在斜坡行駛時(shí)汽車的最大速度v2

12.?P2v1LMghv1?P1kL

天津在支援四川德陽地區(qū)抗震救災(zāi)活動(dòng)中，一輛滿載物資的總重為G牛頓的運(yùn)輸車，將物資沿ABCD路線運(yùn)至D處，AB段海拔高度為h1米，CD段海拔高度為h2米，如圖l4甲所示。在整個(gè)運(yùn)輸過程中，汽車以恒定速度v米／秒運(yùn)動(dòng)，汽車t=0時(shí)經(jīng)過A處，tl時(shí)經(jīng)過B處，t2時(shí)經(jīng)過C處，在此過程中汽車牽引力功率P隨時(shí)間，變化的圖象可簡化為圖l4乙所示(P1、P2、tl和t2也為已知量)。

甲乙

請(qǐng)利用已知量證明汽車沿斜坡BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受總阻力

f?P2(t2?t1)?G(h2?h1)v(t2?t1)

第三篇：和與差的對(duì)數(shù)公式的推導(dǎo)證明(公式編輯版)

和與差的對(duì)數(shù)公式的推導(dǎo)證明 張先勝

重慶市合川區(qū)農(nóng)委，重慶市合川區(qū)（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推導(dǎo)證明了和與差的對(duì)數(shù)公式，豐富了對(duì)數(shù)公式體系。

關(guān)鍵詞：和差對(duì)數(shù)公式

中圖分類號(hào)：O122.6

1.引 言

對(duì)數(shù)產(chǎn)生于十七世紀(jì)前二十五年。對(duì)數(shù)方法是蘇格蘭的皮納爾獨(dú)立決發(fā)現(xiàn)的，在其對(duì)數(shù)專著《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中闡明了對(duì)數(shù)原理，布里格斯繼承納皮爾的未竟事業(yè)，發(fā)表了《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的結(jié)構(gòu)》詳細(xì)闡述了對(duì)數(shù)計(jì)算和造對(duì)數(shù)表的方法。十八世紀(jì)，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系。

經(jīng)典對(duì)數(shù)理論已發(fā)現(xiàn)系列對(duì)數(shù)公式，冪積商等對(duì)數(shù)公式發(fā)現(xiàn)已久，但沒有查詢到和與差的對(duì)數(shù)公式。本文運(yùn)用對(duì)數(shù)理論，推導(dǎo)證明了和與差的對(duì)數(shù)公式。

2.和的對(duì)數(shù)公式推導(dǎo)證明 設(shè)logaM?p，logaN?q，(a>0,a≠1)，由對(duì)數(shù)的定義得

M?aPN?aq

則

M?N?ap?aq，那么

loga(M?N)?loga(ap?aq)

根據(jù)

所以 a?axlogaax

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

將M?ap，N?aq代入，得

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

logaMlogaN?log(a?a)a

即分別用M、N的以a為底對(duì)數(shù)——logaM、logaN表示M與N的和(M+N)以a為底的對(duì)數(shù)。

3．差的對(duì)數(shù)公式推導(dǎo)證明 設(shè)logaM?p，logaN?q，(a>0,a≠1)，由對(duì)數(shù)的定義得

M?aPN?aq

則

M?N?ap?aq，那么

loga(M?N)?loga(ap?aq)

根據(jù)

a

所以

loga(M?N)?loga(ap?aq)x?alogaax

?loga(alogaa

p?alogaaq)將M?apN?aq代入，得

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

logaMlogaN?log(a?a)a

即分別用M、N的以a為底對(duì)數(shù)——logaM、logaN表示M與N的差(M-N)以a為底的對(duì)數(shù)。

4．結(jié)論 綜上所述，除存在冪積商等對(duì)數(shù)公式外，也存在和與差的對(duì)數(shù)公式。

（1）和的對(duì)數(shù)公式

loga(M?N)?loga(alogaM?alogaN)

（2）差的對(duì)數(shù)公式

loga(M?N)?loga(alogaM?alogaN)

參考文獻(xiàn)

[1]數(shù)學(xué)手冊(cè)。

[2] 百度百科。

作者簡介: 張先勝，男，籍貫重慶市合川區(qū)，一九八五年四川農(nóng)業(yè)大學(xué)畢業(yè)，科學(xué)愛好者。通訊地址：重慶市合川區(qū)南津街南園路35號(hào)合川農(nóng)業(yè)委員會(huì)

郵編：401520

工作單位：重慶市合川區(qū)農(nóng)業(yè)委員會(huì)

第四篇：《萬有引力定律》說課稿

《萬有引力定律》說課稿

各位領(lǐng)導(dǎo)、各位評(píng)委，你們好！

我是9號(hào)說課者，我說課的課題是：萬有引力定律

一、教材的地位和作用

《萬有引力定律》是人教版教材高中物理必修2第六章第三節(jié)的內(nèi)容。從性質(zhì)與地位上看，本節(jié)內(nèi)容是對(duì)上一節(jié)教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步外推，是下一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)；從思想方法上看，是猜想、假設(shè)與驗(yàn)證相結(jié)合、是演繹與歸納相結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容。教科書的立意還在于物理理論必須接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。

二、學(xué)生情況分析

學(xué)生在本章的第二節(jié)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了太陽與行星間的相互作用規(guī)律，在第五章中已經(jīng)學(xué)習(xí)了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，這些為“月——地檢驗(yàn)”的學(xué)習(xí)和理解奠定了一定的基礎(chǔ)，但“月——地檢驗(yàn)”中，是要驗(yàn)證同一物體在地面上不同高度（地面附近和地面上38萬公里高的地方）受到地球作用力的大小關(guān)系的，可最后要轉(zhuǎn)化為可驗(yàn)證地面附近物體自由下落的加速度（即重力加速度）和月球繞地球運(yùn)動(dòng)的加速度（即月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度）之間的關(guān)系，這步轉(zhuǎn)化不易理解，是學(xué)生理解“月——地檢驗(yàn)”的一大障礙。

三、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本節(jié)課教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容分析，結(jié)合高一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理特征以及學(xué)生的實(shí)際情況，我制定了以下的教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能

1)知道地球上的重物下落與天體運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一性；

2)知道萬有引力是一種存在于所有物體之間的吸引力，知道萬有引力定律的適用范圍； 3)會(huì)用萬有引力定律解決簡單的引力計(jì)算問題，知道萬有引力定律公式中r的物理意義。

2、過程與方法

了解萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的思路和過程，體會(huì)在科學(xué)規(guī)律發(fā)現(xiàn)過程中猜想和求證的重要性。

3、情感態(tài)度和價(jià)值觀

1)了解萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的意義，體會(huì)科學(xué)發(fā)展對(duì)人們世界觀的改變所起的作用； 2)了解引力常量G的測定在科學(xué)歷史上的重大意義，體會(huì)科學(xué)家的在科學(xué)發(fā)展過程中所起的重要作用。

四、教學(xué)的重、難點(diǎn)

基于教材內(nèi)容、學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)目標(biāo)的分析，我設(shè)定了以下的教學(xué)重難點(diǎn)。

重點(diǎn)：萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程，萬有引力定律的理解和簡單應(yīng)用； 難點(diǎn)：“月——地檢驗(yàn)”的理解。

五、教學(xué)法

為了講清教材的重、難點(diǎn)，使學(xué)生能夠達(dá)到本節(jié)內(nèi)容設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，基于本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，我主要采用了以下的教學(xué)方法：

1、啟發(fā)式：

教師通過提問，明確要解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考。學(xué)生通過思考、討論解決教師的提問。

2、自主、合作學(xué)習(xí)

發(fā)揮學(xué)生的主體性原則。學(xué)生能自學(xué)的地方，能合作解決問題的地方，教師就可以放手。

六、教學(xué)過程

課堂主要教學(xué)活動(dòng)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：引入、新課教學(xué)和課堂小結(jié)。

1、引入：（預(yù)計(jì)3—5分鐘）

教師展示：【課件】幻燈片1——牛頓坐在蘋果樹下，蘋果下落的照片。展示照片，目的是激發(fā)學(xué)生的好奇心，引起學(xué)生的無意注意。

教師提問：

（1）既然是行星與太陽之間的力使得行星不能飛離太陽，那么是什么力使得地面上的物體不能離開地球，總要落回地面呢？

（2）這兩種作用是同一種性質(zhì)的力嗎？

（3）拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力，與拉著蘋果下落的力相同嗎？這些力都遵循相同的規(guī)律嗎？

這三個(gè)問題逐漸遞進(jìn)，問題越來越明確，也越來越具有可比性。只要能回答問題（3），也就回答了問題（2），解決了問題（1）。這里實(shí)則是猜想：拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力，與拉著蘋果下落的力性質(zhì)相同，這些力都遵循相同的規(guī)律。

2、講授新課：（預(yù)計(jì)35分鐘）（1）月——地檢驗(yàn)（預(yù)計(jì)15分鐘）

首先，要學(xué)生弄明白將要驗(yàn)證的是什么；其次，要學(xué)生弄明白為什么要驗(yàn)證的是這個(gè)；然后，要學(xué)生思考怎么樣才能驗(yàn)證這個(gè)。要驗(yàn)證的問題是：將某一物體分別放在地面附近和月球軌道上，檢驗(yàn)物體在地面上不同高度受到地球作用力的大小是否滿足1/602的關(guān)系。

為什么要驗(yàn)證的是這個(gè)：用同一物體或質(zhì)量相同的兩個(gè)物體，這樣作用力的大小關(guān)系只由距離來決定，體現(xiàn)的是控制變量的思想。

如何才能驗(yàn)證這個(gè)？

教師提問：你能將這個(gè)物體放到38萬公里高的地方，測出它受到地球?qū)λ淖饔昧幔?/p>

設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的，是要學(xué)生通過思考、討論，體會(huì)到：將這個(gè)物體放到38萬公里高的地方不現(xiàn)實(shí)，至少牛頓那個(gè)時(shí)代的人做不到，也就是說，直接測量該物體在38萬公里高度上受到的地球?qū)λ淖饔昧Γ痪哂锌刹僮餍浴?duì)于已經(jīng)預(yù)習(xí)過的學(xué)生，肯定是知道要將之轉(zhuǎn)化為加速度的關(guān)系來驗(yàn)證，可是怎樣轉(zhuǎn)化，正是本節(jié)的難點(diǎn)所在。

教師提問：假設(shè)地面附近有個(gè)蘋果，其質(zhì)量等于月球的質(zhì)量，這樣算不算是同一個(gè)物體分別放在地面附近和距離地面38萬公里高的地方了呢？

設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的，是要學(xué)生體會(huì)到：換一個(gè)角度，多一條路；正所謂：山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村。

教師啟發(fā)式提問：根據(jù)牛頓第二定律，物體的加速度由什么決定？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考：力的作用效果之一，就是使物體產(chǎn)生加速度，既然力的關(guān)系難以驗(yàn)證，那么我們就驗(yàn)證力的作用效果好了。我們知道地面附近的物體在只受地球作用下做自由落體運(yùn)動(dòng)，而月球在地球的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

這樣，問題就得到了轉(zhuǎn)化。

教師提問：這兩個(gè)加速度多大？它們滿足1/602的關(guān)系嗎？請(qǐng)你計(jì)算后說明。設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的，是要學(xué)生通過分組討論、計(jì)算、驗(yàn)證，用數(shù)據(jù)說明牛頓的猜想的正確性。（此驗(yàn)證，所用數(shù)據(jù)都是常識(shí)，不必教師給出。）最后教師要指出：雖然在中學(xué)階段只能將橢圓軌道近似為圓形軌道來證明萬有引力定律，但牛頓當(dāng)年是在橢圓軌道情形下證明了萬有引力定律的。這一步是要學(xué)生體會(huì)：更嚴(yán)格的證明，需要更高的數(shù)學(xué)水平。從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

（2）萬有引力定律（預(yù)計(jì)10分鐘）

這部分內(nèi)容實(shí)則是：進(jìn)一步猜想、進(jìn)一步推廣。

鑒于萬有引力定律的文字?jǐn)⑹觥?shù)學(xué)表達(dá)式、各個(gè)量的物理意義及單位、適用范圍等，都不難理解，因此，這部分內(nèi)容我就交給學(xué)生自學(xué)去了。

完了，我再交代：牛頓將太陽與行星間的引力規(guī)律，一步步推廣至自然界中任何兩個(gè)物體之間，是需要魄力、膽識(shí)和驚人的想象力的，物理學(xué)的許多重大理論的發(fā)現(xiàn)，不是簡單的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的總結(jié)，它需要直覺和想象力，大膽的猜測和嚴(yán)格的證明。

我這么一交代，是培養(yǎng)學(xué)生敢想敢做的意識(shí)，也就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)。

（3）引力常量（預(yù)計(jì)10分鐘）

教師提問：如果你是牛頓同時(shí)代的人，當(dāng)你聽說牛頓弄出來個(gè)什么“萬有引力定律”，你能據(jù)此算出兩個(gè)人之間的引力嗎？請(qǐng)解決課后問題與練習(xí)1。設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的，是要學(xué)生通過問題解決過程中出現(xiàn)的問題，而體會(huì)到兩點(diǎn)：

1、引力常量的測定是多么重要，沒有引力常量G的值，萬有引力定律是沒有應(yīng)用價(jià)值的，還只是停留在理論的層面；

2、引力常量的測定難度之大，可以想象，在牛頓之后100年內(nèi)，都沒有人測定出來，從而為學(xué)生體會(huì)卡文迪許工作的重要性和難度之大打下伏筆。

教師提問：卡文迪許是怎樣測量兩個(gè)鉛球之間的萬有引力的呢？

這個(gè)問題，有時(shí)間的話呢，就展示【課件】幻燈片2，介紹卡文迪許的扭秤裝置。沒有時(shí)間的話呢，就不展開了，我就這么一問，只要學(xué)生心中一閃：是呀，這怎么測量呀？我的目的就達(dá)到了。

介紹完了引力常量G的值，教師還需指出：引力常量能夠測定，本身就是對(duì)萬有引力定律的一次證明。

教師提問：現(xiàn)在，我們有了較精確的引力常量G的值，那么，你能估算兩個(gè)人之間的萬有引力嗎？請(qǐng)?jiān)俅谓鉀Q課后問題與練習(xí)1。

設(shè)計(jì)這個(gè)問題的目的，是要學(xué)生通過解決問題，體會(huì)兩點(diǎn)：

1、萬有引力定律的應(yīng)用方法，各量的物理意義；2兩個(gè)人之間的萬有引力有多小，卡文迪許通過測量兩個(gè)鉛球之間的萬有引力而測定引力常量G有多難。

3、課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)3—5分鐘）

要求學(xué)生先獨(dú)立整理本節(jié)內(nèi)容，弄明白自己會(huì)了什么？還有什么不懂的？然后小組內(nèi)討論，共同解決還不懂的問題。

完了教師指出：本節(jié)內(nèi)容，主要是兩個(gè)猜想、兩步推廣和兩次驗(yàn)證。

4、板書設(shè)計(jì)

我比較注重直觀、系統(tǒng)的板書設(shè)計(jì)，他能體現(xiàn)教材中的知識(shí)點(diǎn)和課堂的教學(xué)進(jìn)程，以便于學(xué)生能夠理解掌握。

5、布置作業(yè)。

作業(yè)為：課后問題與練習(xí)2、3。這兩題，都是直接應(yīng)用萬有引力定律的，其訓(xùn)練價(jià)值有兩個(gè)：

1、可加深學(xué)生對(duì)萬有引力定律的理解，2、體會(huì)在宏觀世界中萬有引力起絕對(duì)的支配作用，而在微觀世界中，萬有引力是很微弱的。這為以后微觀粒子所受萬有引力的處理方法埋下伏筆。

各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師，我的說課完畢，水平有限，錯(cuò)誤難免，還望指正，謝謝大家。說課教師：亳州二中 晏仲新 2012-4-18

第五篇：萬有引力定律教案

《萬有引力定律應(yīng)用》教案

【教學(xué)目標(biāo)】 1．（1）（2）（3）2．（1）（2）知識(shí)與技能

會(huì)計(jì)算天體的質(zhì)量.會(huì)計(jì)算人造衛(wèi)星的環(huán)繞速度.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度.過程與方法

通過自主思考和討論與交流，認(rèn)識(shí)計(jì)算天體質(zhì)量的思路和方法

預(yù)測未知天體是萬有引力定律最輝煌的成就之一.引導(dǎo)學(xué)生讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)探究的過程，體會(huì)科學(xué)探究需要極大的毅力和勇氣.（3）（4）通過對(duì)海王星發(fā)現(xiàn)過程的了解，體會(huì)科學(xué)理論對(duì)未知世界探索的指導(dǎo)作用.由牛頓曾設(shè)想的人造衛(wèi)星原理圖，結(jié)合萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)推出第一宇宙速度.（5）從衛(wèi)星要擺脫地球或太陽的引力而需要更大的發(fā)射速度出發(fā)，引出第二宇宙速度和第三宇宙速度.3．（1）（2）【教材分析】

這節(jié)課通過對(duì)一些天體運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析，使學(xué)生了解：通常物體之間的萬有引力很小，常常覺察不出來，但在天體運(yùn)動(dòng)中，由于天體的質(zhì)量很大，萬有引力將起決定性作用，對(duì)天

體質(zhì)量的計(jì)算，對(duì)天文學(xué)的發(fā)展起了方大的推動(dòng)作用，其中一個(gè)重要的應(yīng)用就是計(jì)算天體的質(zhì)量.在講課時(shí)，應(yīng)用萬有引力定律有三條思路要交待清楚。

1．從天體質(zhì)量的計(jì)算，是發(fā)現(xiàn)海王星的成功事例，注意對(duì)學(xué)生研究問題的方法教育，即提出問題，然后猜想與假設(shè)，接著制定計(jì)劃，應(yīng)按計(jì)劃計(jì)算出結(jié)果，最后將計(jì)算結(jié)果同實(shí)際結(jié)合對(duì)照....直到使問題得到解決.2．把天體（或衛(wèi)星）的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即F引=F向，用于計(jì)算天體（中心體）的質(zhì)量，討論衛(wèi)星的速度、角速度、周期及半徑等問題。

3．在地面附近把萬有引力看成物體的重力，即F引=mg.主要用于計(jì)算涉及重力加速 的問題。 【教學(xué)重點(diǎn)】 1． 2．

【教學(xué)難點(diǎn)】

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

體會(huì)和認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要意義.體會(huì)科學(xué)定律對(duì)人類探索未知世界的作用.人造衛(wèi)星、月球繞地球的運(yùn)動(dòng)；行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬有引力提供的 會(huì)用已知條件求中心天體的質(zhì)量

根據(jù)已有條件求天體的質(zhì)量和人造衛(wèi)星的應(yīng)用.【教學(xué)過程及師生互動(dòng)分析】

自從卡文迪許測出了萬有引力常量，萬有引力定律就對(duì)天文學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用.(一）天體質(zhì)量的計(jì)算

提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考：在天文學(xué)上，天體的質(zhì)量無法直接測量，能否利用萬有引定 律和前面學(xué)過的知識(shí)找到計(jì)算天體質(zhì)量的方法呢？

1．基本思路：在研究天體的運(yùn)動(dòng)問題中，我們近似地把一個(gè)天體繞另一個(gè)天體的運(yùn)動(dòng) 看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供天體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.2．計(jì)算表達(dá)式：

例如：已知某一行星到太陽的距離為r，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽質(zhì)量為多少？

分析：設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，由萬有引力提供行星公轉(zhuǎn)的向心力得：，∴提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考：如何計(jì)算地球的質(zhì)量？學(xué)生討論后自己解決

分析：應(yīng)選定一顆繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的衛(wèi)星，測定衛(wèi)星的軌道半徑和周期，利用上式求出地球質(zhì)量。因此上式是用測定環(huán)繞天體的軌道半徑和周期方法測被環(huán)繞天體的質(zhì)量，不能測環(huán)

繞天體自身質(zhì)量.對(duì)于一個(gè)天體，M是一個(gè)定值.所以，繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的行星都有

.即開普勒第三定律。老師總結(jié)：應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量的基本思路是：根據(jù)行星（或衛(wèi)星）運(yùn)動(dòng)的情況，求出行星（或衛(wèi)星）的向心力，而F向=F萬有引力。根據(jù)這個(gè)關(guān)系列方程即可.（二）預(yù)測未知天體：利用教材和動(dòng)畫模型，講述自1781年天王星的發(fā)現(xiàn)后，人們發(fā)現(xiàn)天王星的實(shí)際軌道與由萬有引力定律計(jì)算出的理論軌道存在較大的誤差，進(jìn)而提出猜想...然后收集證據(jù)提出問題的焦點(diǎn)所在---還有一顆未知的行星影響了天王星的運(yùn)行，最后亞當(dāng)斯和勒維烈爭得在計(jì)算出來的位置上發(fā)現(xiàn)了海王星.（此部分內(nèi)容，讓學(xué)生看教材看動(dòng)畫，然后學(xué)生暢所欲言，也可以讓學(xué)生課后找資料寫一個(gè)科普小論文，闡述一下科學(xué)的研究方法.三）人造衛(wèi)星和宇宙速度 人造衛(wèi)星：

問題一：1.有1kg的物體在北京的重力大還是在上海的重力大？ 問題二：衛(wèi)星為什么不會(huì)跳下來呢？ 問題三：

1、地球在作什么運(yùn)動(dòng)？人造地球衛(wèi)星在作什么運(yùn)動(dòng)？

通過展示圖片為學(xué)生建立清晰的圖景．

2、作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是誰提供的？

回答：地球與衛(wèi)星間的萬有引力即由牛頓第二定律得：

3、由以上可求出什么？

①衛(wèi)星繞地球的線速度：

②衛(wèi)星繞地球的周期：

③衛(wèi)星繞地球的角速度：

教師可帶領(lǐng)學(xué)生分析上面的公式得：

當(dāng)軌道半徑不變時(shí)，則衛(wèi)星的周期不變、衛(wèi)星的線速度不變、衛(wèi)星的角速度也不變．

當(dāng)衛(wèi)星的角速度不變時(shí)，則衛(wèi)星的軌道半徑不變． 宇宙速度：當(dāng)衛(wèi)星軌道最低—貼近地球表面運(yùn)動(dòng)的時(shí)候呢？

上式中將R替換r，即可得到第一宇宙速度.注意:讓學(xué)生親自計(jì)算一下第一宇宙速度的大小，并幫助學(xué)生分析出來，第一宇宙速度就是最大的運(yùn)行速度和最小的發(fā)射速度.引出第二宇宙速度和第三宇宙速度.指明應(yīng)用的狀況.【課堂例題及練習(xí)】

例1．木星的一個(gè)衛(wèi)星運(yùn)行一周需要時(shí)間1.5×10s，其軌道半徑為9.2×10m，求木星的質(zhì)量為多少千克？

解：木星對(duì)衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的向心力：

，例2．地球繞太陽公轉(zhuǎn)，軌道半徑為R，周期為T。月球繞地球運(yùn)行軌道半徑為r，周期為t，則

太陽與地球質(zhì)量之比為多少？

解：⑴地球繞太陽公轉(zhuǎn)，太陽對(duì)地球的引力提供向心力

則，得：

⑵月球繞地球公轉(zhuǎn)，地球?qū)υ虑虻囊μ峁┫蛐牧?/p>

則 ,得：

⑶太陽與地球的質(zhì)量之比探空火箭使太陽公轉(zhuǎn)周期為多少年？

例3．一探空箭進(jìn)入繞太陽的近乎圓形的軌道運(yùn)行，軌道半徑是地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑的9倍，則 解：方法一：設(shè)火箭質(zhì)量為m1，軌道半徑R，太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m2，軌道半徑為r.⑴火箭繞太陽公轉(zhuǎn)，則

得：………………①

⑵地球繞太陽公轉(zhuǎn)，則

得：………………②

∴【課后作業(yè)及練習(xí)】 1． 的質(zhì)量.∴火箭的公轉(zhuǎn)周期為27年.方法二：要題可直接采用開普勒第三定律求解，更為方便.已知月球到地球的球心距離為r=4×10m,月亮繞地球運(yùn)行的周期為30天，求地球

2．將一物體掛在一彈簧秤上，在地球表面某處伸長30mm,而在月球表面某處伸長5mm.如果在地球表面該處的重力加速度為9.84 m/s,那么月球表面測量處相應(yīng)的重力加速度為

A．1.64 m/s

B．3.28 m/s

C．4.92 m/s

D．6.56 m/s 3．地球是一個(gè)不規(guī)則的橢球，它的極半徑為6357km，赤道半徑為6378km，物體在兩極所受的引力與在赤道所受的引力之比為

參考答案：

1． 解：月球繞地球運(yùn)行的向心力即月地間的萬有引力 即有： 2

F向=F引=

得：

2．A

3． 1.0066