第一篇：冪數列求和公式的推導及證明

冪數列求和公式的推導及證明

我們把諸如“1k，2k，……，nk（k為自然數）”之類的數列叫做冪數列。如1，2，……，n；12，22，……，n2；13，23，……，n3；14，24，……，n4等。

下面幾個公式經數學歸納法證明是正確的：

n(n+1)n2+n=1+2+……+n=，2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……，66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[，245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……，3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=，1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=，426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=，249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=，90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=，206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。

66101010我們把這幾個公式叫做冪數列前n項和公式，其中前三個已出現在高中課本上。出人意料的是，這些公式并不隨著

冪次數的增高而變得像我們想象的那樣復雜，等號右端次數雖高，但項數并不是特別的多，因為某些項被消掉了。并且各項的系數的絕對值也都還沒超過1。這些公式是怎樣推導出來的呢？

下面以4次冪數列為例介紹一個推導方法。我們先看一個展開式: n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n, 由這個展開式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。

取n=1，則14=1?2?3?4-6-11-6，取n=2，則24=2?3?4?5-6?23-11?22-6?2，……

這些等式兩端分別相加得

3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[1?2?……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)

為了計算中括號里邊的值，我們先舉一個例子：計算

101?102?103的值。式子1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?按常規算法，這300次乘法計算和99次加法計算即使使用計算器恐怕1小時之內很難完成任務。若各項都乘5，得1?2?3?4?5+2?3?4?5?5+3?4?5?6?5+……+100?101102??103?5，這樣前兩項相加得2?3?4?5?6,再加第三項得3?4?5?6?7，依此類推，加到最后一項，101?102?103?104，故得數應是100?1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?101?102?1031=（100?101?102?103?104），由此猜想5

1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，5所以

2?3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1?322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n)，1其中方括號里邊的值為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1，2，3

5次冪數列求和公式分別代入上式并化簡，得

5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。

304這個公式的正確性可用數學歸納法來證明，證明過程如 下: 6+15+10-1=1，公式顯然成立；假設n=k時公式取n=1，則

306k5+15k4+10k3-k也成立，即1+2+……+k=，則n=k+1時有

304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4= 1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30，而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=，30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。這3030就證明了當n=k+1時公式也成立。通過以上證明可知，n取任 3

5436n+15n+10n-n444+n=何自然數公式1+2+……都成立。

30用類似的方法可以分別推導出5至10次冪數列求和公式，并可仿照上面的方法證明。至于11次及11次以上的冪數列求和公式,相信你在讀完本文后也一定能推導和證明的。

第二篇：數列求和公式證明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6從左邊推到右邊

數學歸納法可以證

也可以如下做 比較有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消項]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

設n為奇數,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

設n為偶數,請你自己證明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

設an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

數列求和的幾種方法

1.公式法：

等差數列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比數列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.錯位相減法

適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂項法

適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求數列an=1/n(n+1)的前n項和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂項）

則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。注意： 余下的項具有如下的特點1余下的項前后的位置前后是對稱的。2余下的項前后的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立；

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明： 當n=1時，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假設命題在n=k時成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當n=k+1時有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.通項化歸

先將通項公式進行化簡，再進行求和。如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。

8.并項求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并項）

求出奇數項和偶數項的和，再相減。

第三篇：數列求和問題

數列求和問題·教案

教學目標

1．初步掌握一些特殊數列求其前n項和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和問題，培養學生觀察、分析問題的能力，以及轉化的數學思想．

教學重點與難點

重點：把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和． 難點：尋找適當的變換方法，達到化歸的目的． 教學過程設計

（一）復習引入

在這之前我們知道一般等差數列和等比數列的求和,但是有時候題目中給我們的數列并不是一定就是等比數列和等差數列,有可能就是等差數列和等比數列相結合的形式出現在我們面前,對于這樣形式的數列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復習預習

通過學習我們掌握了是不是等差等比數列的判斷,同時我們也掌握也一般等差或者等比數列的一些性質和定義,那么對于題中給我們的數列既不是等差也不是等比的數列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學習今天的內容

三、知識講解 考點

1、公式法

如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.1、等差數列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點

2、分組求和法

有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習：求數列2，14181161，?的前n項和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數列是一個等差數列，數列?n?1?是一個等比

2n?1?2?分析：此數列的通項公式是an?2n?數列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和.考點

3、、倒序相加

類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因為 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習：已知函數f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.考點

4、裂相相消法

把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項不為零的等差數列，c為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：

1，求它的前n項和Sn

n(n?1)例、數列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.?1?針對訓練

5、求數列 1111，,?，?的前n項和Sn.1?22?33?2n?n?1練習：求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業：基本練習

2221、等比數列{an}的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項公式an?，前n項和Sn? 綜合練習1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數列{an}中，an?1，.則前n項和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數列{dn}的通項公式；

n(n?1)

考點5錯位相減

類似于等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到，即數列是一個“差·比”數列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數列，?cn?是公比為q等比數列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{xn?1}的通項之積

設xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設制錯位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數列{bn}的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和公式求和.2462n練習：

1、求數列,2,3,???,n,???前n項的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{n}的通項之積

222462n設Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設制錯22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項和為_________ 222264、數列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項和S2n=；

55、已知數列an?n?n!，則前n項和Sn=；

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列?cn?的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.

第四篇：數列求和教案

數列求和

數列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數列或者等比數列或者自然數的乘方；

（3）錯位相減：適用于數列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數列，?cn?為等比數列；

（4）裂項相消：適用于數列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數）型；

（5）倒序相加：根據有些數列的特點，將其倒寫后與原數列相加，以達到求和的目的.（6）

分段求和：數列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設f(x)?4x4x?2，利用課本中推導等差數列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構成等差數列． A.（1）求數列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數列{bn}的前n項和Tn。

4.設數列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數列?an?的通項；

（Ⅱ）設bnn?a，求數列?bn?的前n項和Sn n

5.求數列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數列{an}的前n項和Sn?2an?1，數列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數列{an}為等比數列；（Ⅱ）求數列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第五篇：數列求和教案

課題：數列求和

教學目標

（一）知識與技能目標

數列求和方法．

（二）過程與能力目標

數列求和方法及其獲取思路．

教學重點：數列求和方法及其獲取思路． 教學難點：數列求和方法及其獲取思路．

教學過程

1．倒序相加法：等差數列前n項和公式的推導方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數列的第k項與倒數第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結: 對某些前后具有對稱性的數列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數列前n項和公式的推導方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設正項等比數列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設數列的通項為an，則an?例7．求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結：

1．常用數列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數列、等比數列求和公式;(2)化歸法: 將已知數列的求和問題化為等差數列、等比數列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數列與等差數列組合數列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產生相消為零的項的求和方法.四、課外作業： 1．《學案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數列{an}中，an?，又bn?，求數列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數列：（3）．在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數列的性質 m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質項）和對數的運算性質 logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10