第一篇:冪數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及證明
冪數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及證明
我們把諸如“1k,2k,……,nk(k為自然數(shù))”之類的數(shù)列叫做冪數(shù)列。如1,2,……,n;12,22,……,n2;13,23,……,n3;14,24,……,n4等。
下面幾個(gè)公式經(jīng)數(shù)學(xué)歸納法證明是正確的:
n(n+1)n2+n=1+2+……+n=,2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……,66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[,245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……,3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=,1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=,426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=,249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=,90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=,206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。
66101010我們把這幾個(gè)公式叫做冪數(shù)列前n項(xiàng)和公式,其中前三個(gè)已出現(xiàn)在高中課本上。出人意料的是,這些公式并不隨著
冪次數(shù)的增高而變得像我們想象的那樣復(fù)雜,等號(hào)右端次數(shù)雖高,但項(xiàng)數(shù)并不是特別的多,因?yàn)槟承╉?xiàng)被消掉了。并且各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值也都還沒超過1。這些公式是怎樣推導(dǎo)出來的呢?
下面以4次冪數(shù)列為例介紹一個(gè)推導(dǎo)方法。我們先看一個(gè)展開式: n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n, 由這個(gè)展開式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。
取n=1,則14=1?2?3?4-6-11-6,取n=2,則24=2?3?4?5-6?23-11?22-6?2,……
這些等式兩端分別相加得
3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[1?2?……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)
為了計(jì)算中括號(hào)里邊的值,我們先舉一個(gè)例子:計(jì)算
101?102?103的值。式子1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?按常規(guī)算法,這300次乘法計(jì)算和99次加法計(jì)算即使使用計(jì)算器恐怕1小時(shí)之內(nèi)很難完成任務(wù)。若各項(xiàng)都乘5,得1?2?3?4?5+2?3?4?5?5+3?4?5?6?5+……+100?101102??103?5,這樣前兩項(xiàng)相加得2?3?4?5?6,再加第三項(xiàng)得3?4?5?6?7,依此類推,加到最后一項(xiàng),101?102?103?104,故得數(shù)應(yīng)是100?1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?101?102?1031=(100?101?102?103?104),由此猜想5
1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),5所以
2?3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1?322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n),1其中方括號(hào)里邊的值為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1,2,3
5次冪數(shù)列求和公式分別代入上式并化簡,得
5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。
304這個(gè)公式的正確性可用數(shù)學(xué)歸納法來證明,證明過程如 下: 6+15+10-1=1,公式顯然成立;假設(shè)n=k時(shí)公式取n=1,則
306k5+15k4+10k3-k也成立,即1+2+……+k=,則n=k+1時(shí)有
304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4= 1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30,而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=,30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。這3030就證明了當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立。通過以上證明可知,n取任 3
5436n+15n+10n-n444+n=何自然數(shù)公式1+2+……都成立。
30用類似的方法可以分別推導(dǎo)出5至10次冪數(shù)列求和公式,并可仿照上面的方法證明。至于11次及11次以上的冪數(shù)列求和公式,相信你在讀完本文后也一定能推導(dǎo)和證明的。
第二篇:數(shù)列求和公式證明
1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6從左邊推到右邊
數(shù)學(xué)歸納法可以證
也可以如下做 比較有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^
2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/
3所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消項(xiàng)]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
2)1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=?
設(shè)n為奇數(shù),1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
設(shè)n為偶數(shù),請(qǐng)你自己證明一下!
所以,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
設(shè)an=n×(n+1)=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
數(shù)列求和的幾種方法
1.公式法:
等差數(shù)列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數(shù)列求和公式:
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)
2.錯(cuò)位相減法
適用題型:適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如:an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=(a1+an)n/
24.分組法
有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.例如:an=2^n+n-1
5.裂項(xiàng)法
適用于分式形式的通項(xiàng)公式,把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。常用公式:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1)的前n項(xiàng)和.解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)(裂項(xiàng))
則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項(xiàng)求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1)
小結(jié):此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后,其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意: 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。
6.數(shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,有如下步驟:
(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n的第一個(gè)值,k為自然數(shù))時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
例:求證:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明: 當(dāng)n=1時(shí),有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假設(shè)命題在n=k時(shí)成立,于是:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當(dāng)n=k+1時(shí)有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時(shí)原等式仍然成立,歸納得證
7.通項(xiàng)化歸
先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡,再進(jìn)行求和。如:求數(shù)列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和。此時(shí)先將an求出,再利用分組等方法求和。
8.并項(xiàng)求和:
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n(并項(xiàng))
求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和,再相減。
第三篇:數(shù)列求和問題
數(shù)列求和問題·教案
教學(xué)目標(biāo)
1.初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項(xiàng)和的常用方法.
2.通過把某些既非等差數(shù)列,又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力,以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):把某些既非等差數(shù)列,又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和. 難點(diǎn):尋找適當(dāng)?shù)淖儞Q方法,達(dá)到化歸的目的. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)復(fù)習(xí)引入
在這之前我們知道一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和,但是有時(shí)候題目中給我們的數(shù)列并不是一定就是等比數(shù)列和等差數(shù)列,有可能就是等差數(shù)列和等比數(shù)列相結(jié)合的形式出現(xiàn)在我們面前,對(duì)于這樣形式的數(shù)列我們?cè)撛趺唇鉀Q,又該用什么方法?
二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)
通過學(xué)習(xí)我們掌握了是不是等差等比數(shù)列的判斷,同時(shí)我們也掌握也一般等差或者等比數(shù)列的一些性質(zhì)和定義,那么對(duì)于題中給我們的數(shù)列既不是等差也不是等比的數(shù)列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容
三、知識(shí)講解 考點(diǎn)
1、公式法
如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列,我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來求.1、等差數(shù)列求和公式:Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?
2、等比數(shù)列求和公式:Sn??a1(1?qn)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)
4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2
2k?1n
考點(diǎn)
2、分組求和法
有一類數(shù)列,它既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.例求和:Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解:Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?
??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?
4,6,?,2n?練習(xí):求數(shù)列2,14181161,?的前n項(xiàng)和Sn. 2n?11?1?{2n},而數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列,數(shù)列?n?1?是一個(gè)等比
2n?1?2?分析:此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?2n?數(shù)列,故采用分組求和法求解.
1?11?111解:Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1.
2?22?222小結(jié):在求和時(shí),一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式,如果它能拆分成幾項(xiàng)的和,而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列,那么我們就用此方法求和.考點(diǎn)
3、、倒序相加
類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列{an},與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和,可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和。
這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解:設(shè)S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①
將①式右邊反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②(反序)
又因?yàn)?sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得(反序相加)
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)=89 ∴ S=44.5
2x練習(xí):已知函數(shù)f?x??x 2?2(1)證明:f?x??f?1?x??1;
?1?(2)求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解:(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡,后證明左邊=右邊(2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得:
?2S?9???
?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結(jié):解題時(shí),認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列,可以運(yùn)用倒序相加法求和.考點(diǎn)
4、裂相相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似?
?(其中{an}是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和,需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法:
1,求它的前n項(xiàng)和Sn
n(n?1)例、數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?解:Sn?a1?a2?a3???an?1?an
?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????
22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結(jié):裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差,且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng),即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致,并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.?1?針對(duì)訓(xùn)練
5、求數(shù)列 1111,,?,?的前n項(xiàng)和Sn.1?22?33?2n?n?1練習(xí):求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解:設(shè)an?n?n?11??n?1?n(裂項(xiàng))
1n?n?1則 Sn?12?31?2?????(裂項(xiàng)求和)
=(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
=n?1?1
作業(yè):基本練習(xí)
2221、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則a12?a2=________________.?a3???an2、設(shè)Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1),則Sn=_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)
4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)
5、數(shù)列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項(xiàng)公式an?,前n項(xiàng)和Sn? 綜合練習(xí)1、12?22?32?42?52?62???992?1002=____________;
2、在數(shù)列{an}中,an?1,.則前n項(xiàng)和Sn;
n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2),n3、已知數(shù)列{an}滿足:a1?6,an?1?(1)求a2,a3;(2)若dn? an,求數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式;
n(n?1)
考點(diǎn)5錯(cuò)位相減
類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到,即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列,則采用錯(cuò)位相減法.若an?bn?cn,其中?bn?是等差數(shù)列,?cn?是公比為q等比數(shù)列,令
Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn
則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得
例4 求和:Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①
解:由題可知,{(2n?1)xn?1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n-1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn?1}的通項(xiàng)之積
設(shè)xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②(設(shè)制錯(cuò)位)
①-②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn(錯(cuò)位相減)
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結(jié):錯(cuò)位相減法的步驟是:①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列{bn}的公比;②將兩個(gè)等式相減;③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.2462n練習(xí):
1、求數(shù)列,2,3,???,n,???前n項(xiàng)的和.22222n1解:由題可知,{n}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{n}的通項(xiàng)之積
222462n設(shè)Sn??2?3?????n?????????????①
222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②(設(shè)制錯(cuò)22222位)
1222222n①-②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1(錯(cuò)位相減)
222222212n?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
2、已知 an?n?2n?1,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解:Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①
2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②
②—①得
Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1
1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項(xiàng)和為_________ 222264、數(shù)列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*,則前n項(xiàng)和S2n=;
55、已知數(shù)列an?n?n!,則前n項(xiàng)和Sn=;
小結(jié):錯(cuò)位相減法的求解步驟:①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列?cn?的公比q;②將兩個(gè)等式相減;③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.
第四篇:數(shù)列求和教案
數(shù)列求和
數(shù)列求和常見的幾種方法:(1)公式法:①等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;
1n(n?1)21222?n2?nn(?
1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式:1?2?3?......?n?(2)拆項(xiàng)重組:適用于數(shù)列
1n)(?2 1)?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn,其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方;
(3)錯(cuò)位相減:適用于數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn,其中?bn?為等差數(shù)列,?cn?為等比數(shù)列;
(4)裂項(xiàng)相消:適用于數(shù)列?a的通項(xiàng)公式:akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)(其中k為常數(shù))型;
(5)倒序相加:根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn),將其倒寫后與原數(shù)列相加,以達(dá)到求和的目的.(6)
分段求和:數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為分段形式
二、例題講解
例
1、(拆項(xiàng)重組)求和:3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]
練習(xí)1:求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)
例
2、(裂項(xiàng)相消)求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項(xiàng)和
練習(xí)2:求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n
例
3、(錯(cuò)位相減)求和:1473n?22?22?23?...?2n
練習(xí)3:求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)
例
4、(倒序相加)設(shè)f(x)?4x4x?2,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法,求:f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值
a?3n?2(n?4)例
5、已知數(shù)列?n?的通項(xiàng)公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn
檢測題
1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N),則f(n)等于()
2n222n?4(8?1)
B.(8n?1?1)
C.(8n?3?1)
D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an?,則S5等于()
n(n?1)511A.1
B.
C.
D.
66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3?7,且a1?3,3a2,a3?4構(gòu)成等差數(shù)列. A.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)令ban?ln3n?1,n?1,2...,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a
3,a?N*n?.(Ⅰ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng);
(Ⅱ)設(shè)bnn?a,求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn n
5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項(xiàng)的和.6:求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.7:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?2an?1,數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).(Ⅰ)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
8:
求數(shù)列21,41,6114816,2n?2n?1,...的前n項(xiàng)和Sn.
.
9、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n,求S100.10:在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11:求數(shù)列的前n項(xiàng)和:1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2,…
12:求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2(n?N?)
13:已知函數(shù)f?x??2x2x?2(1)證明:f?x??f?1?x??1;
(2)求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.
第五篇:數(shù)列求和教案
課題:數(shù)列求和
教學(xué)目標(biāo)
(一)知識(shí)與技能目標(biāo)
數(shù)列求和方法.
(二)過程與能力目標(biāo)
數(shù)列求和方法及其獲取思路.
教學(xué)重點(diǎn):數(shù)列求和方法及其獲取思路. 教學(xué)難點(diǎn):數(shù)列求和方法及其獲取思路.
教學(xué)過程
1.倒序相加法:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法:(1)??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)
?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1.求和:21?10222?9232?8210?1分析:數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)和為1,故宜采用倒序相加法.
小結(jié): 對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列,可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.2.錯(cuò)位相減法:等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法:
(2)??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2.求和:x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)
3.分組法求和
1?的前n項(xiàng)和; 161例4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?,前n項(xiàng)和為Sn,且210S30?(210?1)S20?S10?0
2例3求數(shù)列1,2,3,4(Ⅰ)求?an?的通項(xiàng);(Ⅱ)求?nSn?的前n項(xiàng)和Tn。例5.求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項(xiàng)和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]
1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14.裂項(xiàng)法求和 例6.求和:1?211?2(?),n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解:設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an,則an?例7.求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解:設(shè)an?n?n?11??n?1?n
(裂項(xiàng))
1n?n?1則 Sn?12?31?2?????
(裂項(xiàng)求和)
=(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
=n?1?1
三、課堂小結(jié):
1.常用數(shù)列求和方法有:
(1)公式法: 直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題;(3)倒序相加法: 對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和;
(4)錯(cuò)位相減法: 對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和;(5)并項(xiàng)求和法: 將相鄰n項(xiàng)合并為一項(xiàng)求和;(6)分部求和法:將一個(gè)數(shù)列分成n部分求和;
(7)裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差,從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法.四、課外作業(yè): 1.《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2.思考題
111?4?6??前n項(xiàng)的和.481612n2??????(2).在數(shù)列{an}中,an?,又bn?,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.n?1n?1n?1an?an?12(1).求數(shù)列:(3).在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解:設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10
由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq
(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N
得
Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)
(合并求和)
=(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)
=log39?log39?????log39
=10