第一篇：冪數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及證明

冪數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及證明

我們把諸如“1k，2k，……，nk（k為自然數(shù)）”之類的數(shù)列叫做冪數(shù)列。如1，2，……，n；12，22，……，n2；13，23，……，n3；14，24，……，n4等。

下面幾個(gè)公式經(jīng)數(shù)學(xué)歸納法證明是正確的：

n(n+1)n2+n=1+2+……+n=，2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……，66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[，245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……，3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=，1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=，426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=，249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=，90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=，206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。

66101010我們把這幾個(gè)公式叫做冪數(shù)列前n項(xiàng)和公式，其中前三個(gè)已出現(xiàn)在高中課本上。出人意料的是，這些公式并不隨著

冪次數(shù)的增高而變得像我們想象的那樣復(fù)雜，等號(hào)右端次數(shù)雖高，但項(xiàng)數(shù)并不是特別的多，因?yàn)槟承╉?xiàng)被消掉了。并且各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值也都還沒超過1。這些公式是怎樣推導(dǎo)出來的呢？

下面以4次冪數(shù)列為例介紹一個(gè)推導(dǎo)方法。我們先看一個(gè)展開式: n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n, 由這個(gè)展開式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。

取n=1，則14=1?2?3?4-6-11-6，取n=2，則24=2?3?4?5-6?23-11?22-6?2，……

這些等式兩端分別相加得

3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[1?2?……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)

為了計(jì)算中括號(hào)里邊的值，我們先舉一個(gè)例子：計(jì)算

101?102?103的值。式子1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?按常規(guī)算法，這300次乘法計(jì)算和99次加法計(jì)算即使使用計(jì)算器恐怕1小時(shí)之內(nèi)很難完成任務(wù)。若各項(xiàng)都乘5，得1?2?3?4?5+2?3?4?5?5+3?4?5?6?5+……+100?101102??103?5，這樣前兩項(xiàng)相加得2?3?4?5?6,再加第三項(xiàng)得3?4?5?6?7，依此類推，加到最后一項(xiàng)，101?102?103?104，故得數(shù)應(yīng)是100?1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+100?101?102?1031=（100?101?102?103?104），由此猜想5

1?2?3?4+2?3?4?5+3?4?5?6+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，5所以

2?3?4+2?3?4?5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1?322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n)，1其中方括號(hào)里邊的值為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1，2，3

5次冪數(shù)列求和公式分別代入上式并化簡，得

5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。

304這個(gè)公式的正確性可用數(shù)學(xué)歸納法來證明，證明過程如 下: 6+15+10-1=1，公式顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)公式取n=1，則

306k5+15k4+10k3-k也成立，即1+2+……+k=，則n=k+1時(shí)有

304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4= 1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30，而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=，30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。這3030就證明了當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立。通過以上證明可知，n取任 3

5436n+15n+10n-n444+n=何自然數(shù)公式1+2+……都成立。

30用類似的方法可以分別推導(dǎo)出5至10次冪數(shù)列求和公式，并可仿照上面的方法證明。至于11次及11次以上的冪數(shù)列求和公式,相信你在讀完本文后也一定能推導(dǎo)和證明的。

第二篇：數(shù)列求和公式證明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6從左邊推到右邊

數(shù)學(xué)歸納法可以證

也可以如下做 比較有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消項(xiàng)]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

設(shè)n為奇數(shù),1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

設(shè)n為偶數(shù),請(qǐng)你自己證明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

設(shè)an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

數(shù)列求和的幾種方法

1.公式法：

等差數(shù)列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比數(shù)列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.錯(cuò)位相減法

適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂項(xiàng)法

適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1)的前n項(xiàng)和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂項(xiàng)）

則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項(xiàng)求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意： 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明： 當(dāng)n=1時(shí)，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當(dāng)n=k+1時(shí)有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證

7.通項(xiàng)化歸

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求和。如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和。此時(shí)先將an求出，再利用分組等方法求和。

8.并項(xiàng)求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并項(xiàng)）

求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。

第三篇：數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項(xiàng)和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和． 難點(diǎn)：尋找適當(dāng)?shù)淖儞Q方法，達(dá)到化歸的目的． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

在這之前我們知道一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和,但是有時(shí)候題目中給我們的數(shù)列并不是一定就是等比數(shù)列和等差數(shù)列,有可能就是等差數(shù)列和等比數(shù)列相結(jié)合的形式出現(xiàn)在我們面前,對(duì)于這樣形式的數(shù)列我們?cè)撛趺唇鉀Q,又該用什么方法?

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

通過學(xué)習(xí)我們掌握了是不是等差等比數(shù)列的判斷,同時(shí)我們也掌握也一般等差或者等比數(shù)列的一些性質(zhì)和定義,那么對(duì)于題中給我們的數(shù)列既不是等差也不是等比的數(shù)列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容

三、知識(shí)講解 考點(diǎn)

1、公式法

如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來求.1、等差數(shù)列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數(shù)列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點(diǎn)

2、分組求和法

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習(xí)：求數(shù)列2，14181161，?的前n項(xiàng)和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列?n?1?是一個(gè)等比

2n?1?2?分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?2n?數(shù)列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結(jié)：在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.考點(diǎn)

3、、倒序相加

類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設(shè)S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因?yàn)?sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習(xí)：已知函數(shù)f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.考點(diǎn)

4、裂相相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：

1，求它的前n項(xiàng)和Sn

n(n?1)例、數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.?1?針對(duì)訓(xùn)練

5、求數(shù)列 1111，,?，?的前n項(xiàng)和Sn.1?22?33?2n?n?1練習(xí)：求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n（裂項(xiàng)）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項(xiàng)求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業(yè)：基本練習(xí)

2221、等比數(shù)列{an}的前ｎ項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設(shè)Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數(shù)列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項(xiàng)公式an?，前n項(xiàng)和Sn? 綜合練習(xí)1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數(shù)列{an}中，an?1，.則前n項(xiàng)和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數(shù)列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式；

n(n?1)

考點(diǎn)5錯(cuò)位相減

類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數(shù)列，?cn?是公比為q等比數(shù)列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn?1}的通項(xiàng)之積

設(shè)xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設(shè)制錯(cuò)位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯(cuò)位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結(jié)：錯(cuò)位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列{bn}的公比；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.2462n練習(xí)：

1、求數(shù)列,2,3,???,n,???前n項(xiàng)的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{n}的通項(xiàng)之積

222462n設(shè)Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設(shè)制錯(cuò)22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯(cuò)位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項(xiàng)和為_________ 222264、數(shù)列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項(xiàng)和S2n=；

55、已知數(shù)列an?n?n!，則前n項(xiàng)和Sn=；

小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列?cn?的公比q；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.

第四篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項(xiàng)重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯(cuò)位相減：適用于數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項(xiàng)相消：適用于數(shù)列?a的通項(xiàng)公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn)，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項(xiàng)重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項(xiàng)相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項(xiàng)和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯(cuò)位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項(xiàng)公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn

檢測題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項(xiàng)的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.7：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項(xiàng)和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第五篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標(biāo)

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列,可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.2．錯(cuò)位相減法：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項(xiàng)和； 161例4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?，前n項(xiàng)和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)；（Ⅱ）求?nSn?的前n項(xiàng)和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項(xiàng)和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項(xiàng)法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項(xiàng)）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項(xiàng)求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和；

(4)錯(cuò)位相減法: 對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項(xiàng)求和法: 將相鄰n項(xiàng)合并為一項(xiàng)求和；(6)分部求和法：將一個(gè)數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項(xiàng)的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10