第一篇：第65節(jié)數(shù)列求和

北師大(珠海)附中2010年高考(文)第一輪復習教學案 總節(jié)數(shù)第 65 節(jié)

5.4數(shù)列求和（2）

【課前預習】

1、（09全國文（14））設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S9?72，則a2?aa?___________ 4?9

2n?

12、數(shù)列1，x，x，…，x的前n項和Sn?

1?xn

A．

1?x

1?xn?1B．

1?x1?xn?1C．

1?xD．以上都不對

n，那么Sn? 2nn?1n?1n?

1A．1?n B．2?n?1 C．1?n?1

2223、已知數(shù)列?an?中，an?

D．2?n?1 2n?

14、一彈性球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程和為

A．299.6m B．199.8m C．166.9m D．266.9m

【復習目標】

理解數(shù)列求和的基本思路，熟練掌握以下方法： 1．等差（比）數(shù)列求和.2．錯位相減法.3．倒序相加法。

4．裂項求和與并項求和.提高對代數(shù)式觀察能力與變形能力，能通過適當變形，將一些特殊數(shù)列求和轉化為等差（比）數(shù)列求和或其它較易求和型.【典型例題】

例

1、求數(shù)列的前n項和：1?1, 111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa1 北師大(珠海)附中2010年高考(文)第一輪復習教學案 總節(jié)數(shù)第65節(jié)

例2 在數(shù)列{an}中，an?

12n2??????，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?1例3．設正項等比數(shù)列?an?的首項a1?

【練習與作業(yè)】

1、已知數(shù)列?an?的通項公式an?則n的值為()A．98 B．99

1，前n項和為Sn，且 210S30?(210?1)S20?S10?0。2（1）求?an?的通項；（2）求?nSn?的前n項和Tn。

1n?1?n ,且它的前n項和Sn?101?1，D．101

C．100

22102、S?1??1?2??1?2?2???1?2?2???2的值是（）????1112A．2?1

1B．2?1

3C．2?13

D．2?11 1113-2 ?1?1000T?的前項和為，問滿足的最小正整數(shù)n是多少？ Tn?nn2009?bnbn?1?北師大(珠海)附中2010年高考(文)第一輪復習教學案 總節(jié)數(shù)第 65 節(jié)

5.4數(shù)列求和（2）答案

【課前預習】

1、【解析】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和，基礎題。（同理14）解: ??an?是等差數(shù)列,由S9?72,得?S9?9a5,a5?8

?a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24。

2、D

3、B

4、A 【典型例題】

例

1、解：設Sn?(1?1)?(111?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)aaa將其每一項拆開再重新組合得

111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)（分組）aaa(3n?1)n(3n?1)n當a＝1時，Sn?n?＝（分組求和）

2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?當a?1時，Sn?＝ ?1a?1221?a12nn??????? 例

2、解：∵ an?n?1n?1n?12211 ∴ bn??8(?)（裂項）nn?1nn?1?22Sn?(1?∴ 數(shù)列{bn}的前n項和

1111111Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)]（裂項求和）

22334nn?118n)＝

＝8(1? n?1n?1例

3、【解析】（1）由 210S30?(210?1)S20?S10?0得 210(S30?S20)?S20?S10，即210(a21?a22???a30),?a11?a12???a20 可得：210?q10(a11?a12???a20)?a11?a12???a20 因為an?0，所以 2q1010?1, 解得q?11n?1?n,n?1,2,?.，因而 an?a1q2211(1?n)112?1?1,（2）因為{an}是首項a1?、公比q?的等比數(shù)列，所以Sn?2n12221?2nSn?n?n12n.T?(1?2???n)?(????),則數(shù)列的前n項和 {nS}nnn2n22225 北師大(珠海)附中2010年高考(文)第一輪復習教學案 總節(jié)數(shù)第65節(jié)

Tn112n?1n?(1?2???n)?(2?3???n?n?1).222222前兩式相減，得 Tn1111n?(1?2???n)?(?2???n)?n?1 22222211(1?n)n(n?1)22?n 即 T?n(n?1)?1?n?2.??n1242n?12n2n?11?2【練習與作業(yè)】

1、C

2、C

4、解：由log3x??11?log3x??log32?x?

log232 由等比數(shù)列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn（利用常用公式）11(1?)nx(1?xn)22＝1－1 ＝＝

12n1?x1?2115、解：由等差數(shù)列求和公式得 Sn?n(n?1)，Sn?(n?1)(n?2)（利用常用公式）

221n11Sn? ∴ f(n)?＝2＝＝

64850(n?32)Sn?1n?34n?64n?34?(n?)2?50nn18 ∴ 當 n?，即n＝8時，f(n)max?

5081?n?1?n（裂項）

6、解：設an?n?n?1111??????則 Sn?（裂項求和）

1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)＝n?1?1

7、解：設Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N 得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)（合并求和）＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)＝log39?log39?????log39 ＝10 1x8、解：∵ 點(1,)是函數(shù)f(x)?a(a?0,且a?1)的圖像上一點，31?1?∴ f(1)?a?，即f(x)???

3?3?-6

第二篇：數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題·教案

教學目標

1．初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，培養(yǎng)學生觀察、分析問題的能力，以及轉化的數(shù)學思想．

教學重點與難點

重點：把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和． 難點：尋找適當?shù)淖儞Q方法，達到化歸的目的． 教學過程設計

（一）復習引入

在這之前我們知道一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和,但是有時候題目中給我們的數(shù)列并不是一定就是等比數(shù)列和等差數(shù)列,有可能就是等差數(shù)列和等比數(shù)列相結合的形式出現(xiàn)在我們面前,對于這樣形式的數(shù)列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復習預習

通過學習我們掌握了是不是等差等比數(shù)列的判斷,同時我們也掌握也一般等差或者等比數(shù)列的一些性質(zhì)和定義,那么對于題中給我們的數(shù)列既不是等差也不是等比的數(shù)列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學習今天的內(nèi)容

三、知識講解 考點

1、公式法

如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前n項和的公式來求.1、等差數(shù)列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數(shù)列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點

2、分組求和法

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習：求數(shù)列2，14181161，?的前n項和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數(shù)列是一個等差數(shù)列，數(shù)列?n?1?是一個等比

2n?1?2?分析：此數(shù)列的通項公式是an?2n?數(shù)列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結：在求和時，一定要認真觀察數(shù)列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.考點

3、、倒序相加

類似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因為 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習：已知函數(shù)f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數(shù)的相關性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.考點

4、裂相相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：

1，求它的前n項和Sn

n(n?1)例、數(shù)列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結：裂項相消法求和的關鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.?1?針對訓練

5、求數(shù)列 1111，,?，?的前n項和Sn.1?22?33?2n?n?1練習：求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業(yè)：基本練習

2221、等比數(shù)列{an}的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數(shù)列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項公式an?，前n項和Sn? 綜合練習1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數(shù)列{an}中，an?1，.則前n項和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數(shù)列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數(shù)列{dn}的通項公式；

n(n?1)

考點5錯位相減

類似于等比數(shù)列的前n項和的公式的推導方法。若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘得到，即數(shù)列是一個“差·比”數(shù)列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數(shù)列，?cn?是公比為q等比數(shù)列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{xn?1}的通項之積

設xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設制錯位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列{bn}的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.2462n練習：

1、求數(shù)列,2,3,???,n,???前n項的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{n}的通項之積

222462n設Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設制錯22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項和為_________ 222264、數(shù)列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項和S2n=；

55、已知數(shù)列an?n?n!，則前n項和Sn=；

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列?cn?的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和的公式求和.

第三篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯位相減：適用于數(shù)列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項相消：適用于數(shù)列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設f(x)?4x4x?2，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

4.設數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項；

（Ⅱ）設bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數(shù)列{an}的前n項和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第四篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學目標

（一）知識與技能目標

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學重點：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學難點：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項和公式的推導方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結: 對某些前后具有對稱性的數(shù)列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數(shù)列前n項和公式的推導方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設正項等比數(shù)列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設數(shù)列的通項為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數(shù)列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相消為零的項的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

第五篇：數(shù)列求和方法總結

數(shù)列的求和

一、教學目標：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；

2．能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數(shù)學方法進行求和運算； 3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式．

二、教學重點：特殊數(shù)列求和的方法．

三、教學過程：

（一）主要知識：

1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比數(shù)列的求和公式Sn??a1(1?q)（切記：公比含字母時一定要討論）

(q?1)??1?q2．公式法： ?k2?12?22?32?k?1n?n2?n(n?1)(2n?1)

62?kk?1n3?1?2?3?333?n(n?1)? ?n????2?33．錯位相減法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和.4．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項公式：1111111???(?)；

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)n?n!?(n?1)!?n!

(2n?1)(2n?1)22n?12n?15．分組求和法：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數(shù)列，再求和。6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求數(shù)列的和注意方法的選取：關鍵是看數(shù)列的通項公式； 2．求和過程中注意分類討論思想的運用； 3．轉化思想的運用；

（三）例題分析：

例1．求和：①Sn?1?11?111???11?1 ???n個 ②Sn?(x?)2?(x2?1x1212n)???(x?)x2xn ③求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和Sn 思路分析：通過分組，直接用公式求和。

?1?1?10?102???10k?解：①ak?11???k個1k(10?1)911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n]99110(10n?1)10n?1?9n?10?[?n]? 9981②Sn?(x2?11142n?2)?(x??2)???(x??2)242nxxx111????)?2n x2x4x2n?(x2?x4???x2n)?(x2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）當x??1時，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）當x??1時,Sn?4n ③ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]?

k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an?

5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???222622?1n(n?1)(5n?2)6總結：運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q?1或q?1討論。2．錯位相減法求和

例2．已知數(shù)列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n項和。

思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5，…2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,?,an?1對應項積，可用錯位相減法求和。解：Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?1? ?2?

?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an

2a(1?an?1)n當a?1時,(1?a)Sn?1? ?(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?(1?a)2當a?1時,Sn?n2 3.裂項相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.解:(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)

(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2練習:求Sn??2?3???n 答案: Sn??

a(an?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和

012n例4求證：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n mn?m思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。?Cn012n證：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)

mn?m(2)?Cn?Cnnn?1210則Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立

5．其它求和方法

還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知數(shù)列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。

思路分析：an??2n?2(?1)n，通過分組，對n分奇偶討論求和。解：an??2n?2(?1)，若n?2m,則Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk

Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)

若n?2m?1,則Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)

??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2

(n為正偶數(shù))??n(n?1)?Sn??2?n?n?2(n為正奇數(shù))?預備：已知f(x)?a1x?a2x2???anxn,且a1,a2,a3,?an成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又f(1)?n2,f(?1)?n，試比較f()與3的大小。

12?(a1?an)n?n2?a?a?2n?f(1)?a1?a2?a3???an?n?n2解：? ????1nd?2??f(?1)??a1?a2?a3???an?1?an?n?d?n2?2?a?a1?(n?1)d?2n??1?a1?1?an?2n?1

d?2?f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn

11111f()??3()2?5()3???(2n?1)()n2222212可求得f()?3?()n?2?(2n?1)()n，∵n為正偶數(shù)，?f()?3

（四）鞏固練習：

1．求下列數(shù)列的前n項和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n?1)，…；（2）12121259111，,1?32?43?5（3）an?,1,n(n?2)；

1n?n?1；（4）a,2a2,3a3，nan,；

（5）1?3,2?4,3?5，n(n?2),；（6）sin21?sin22?sin23?解：（1）Sn?5?55?555??sin289．

n個?5555?(9?99?999?9?(10n?1)]

n個?999)

5?[(10?1)?(102?1)?(103?1)?95?[10?102?103?9（2）∵

?10n?n]?50n5(10?1)?n． 8191111?(?)，n(n?2)2nn?2111111[(1?)?(?)?(?)?232435111111?(?)]?(1???)． nn?222n?1n?2∴Sn?（3）∵an?∴Sn?1n?n?1?n?1?n?n?1?n(n?n?1)(n?1?n)?1

n?1?n11??2?13?2?(2?1)?(3?2)?（4）Sn?a?2a2?3a3??(n?1?n)?n?1?1．

?nan，當a?1時，Sn?1?2?3?…?n?n(n?1)，2 當a?1時，Sn?a?2a2?3a3?…?nan，aSn?a2?2a3?3a4?…?nan?1，兩式相減得(1?a)Sn?a?a?a?…?a?na23nn?1a(1?an)??nan?1，1?anan?2?(n?1)an?1?a∴Sn?． 2(1?a)（5）∵n(n?2)?n2?2n，∴ 原式?(12?22?32?…?n2)?2?(1?2?3?…?n)?（6）設S?sin21?sin22?sin23? 又∵S?sin289?sin288?sin287? ∴ 2S?89，S?n(n?1)(2n?7)．

6?sin289，?sin21，89． 2?6n?5(n為奇數(shù))2．已知數(shù)列{an}的通項an??n，求其前n項和Sn．

2(n為偶數(shù))?解：奇數(shù)項組成以a1?1為首項，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項組成以a2?4為首項，公比為4的等比數(shù)列； 當n為奇數(shù)時，奇數(shù)項有

n?1n?1項，偶數(shù)項有項，22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?，???21?423當n為偶數(shù)時，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別有

n項，2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?，???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)???23所以，Sn??nn(3n?2)4(2?1)???23?

(n為奇數(shù))．

(n為偶數(shù))

四、小結：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數(shù)列求和公式時注意分q?1或q?1討論。