第一篇：圓錐體積公式的推導

圓錐體積公式的推導

（定積分）

圓錐體積公式在小學的推導法是實驗法，現(xiàn)在在這里介紹高等幾何的定積分法。

首先，設圓錐的底面半徑為r，高為h。如圖1：

圖1 定義空間直角坐標系，以圓錐底面圓心為坐標原點，線段r（半徑）在x軸上，線段h（高）在z軸上。

把圓錐分割成小圓臺，切面平行于平面xOy。可據(jù)此列出體積V的公式：

因此可得一個圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的三分之一，與實驗法吻合。

dawny 2010-01-07

第二篇：案例圓錐體積公式的推導

在探索圓錐體積的計算公式時，教師直接告訴學生要比較等底等高的圓柱與圓錐，這是學生的內(nèi)心需求和迫切需要嗎，如果不是，學生難免會問：為什么要用圓柱與圓錐進行實驗對比？ 對策：課始，教師先讓學生回憶平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式以及圓柱體積公式的推導過程，梳理知識，形成脈絡：

引導學生：對未知平面圖形面積的計算，一般是把它轉(zhuǎn)化成已知平面圖形面積的計算，再推導出計算公式；對未知圓柱體積的計算，也是把它轉(zhuǎn)化成已知長方體體積的計算，再推導出計算公式。從而滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，使學生自覺產(chǎn)生“能否把未知圓錐體積的計算轉(zhuǎn)化成已知圓柱體積的計算”這一想法。有了以上的知識準備和認知需求，再引導學生分組進行下面的實驗。

[實驗一] 實驗器材：等底等高的圓柱和圓錐形容器、水(沙子或橡皮泥)。

實驗過程：把圓錐形容器裝滿水，然后倒入圓柱形容器，三次恰好倒?jié)M。

實驗結(jié)果：圓柱形容器的容積等于和它等底等高的圓錐形容器容積的3倍，或圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的，從而推導出圓錐體積計算公式。

[實驗二] 實驗器材：等底等高的圓柱和圓錐形容器、沙子、天平。

實驗過程：把兩種容器都裝滿沙子，然后在天平上分別稱出所裝沙子的質(zhì)量，兩種容器容納的沙子質(zhì)量恰好成3倍關系。

實驗結(jié)果：根據(jù)同密度物體的體積與質(zhì)量成正比例，可以得出圓錐形容器的容積等于和它等底等高的圓柱形容器容積的。

教學圓錐體積的計算方法時，一般教師用來演示的教具都是空心的容器，實驗對比的結(jié)果是它們的容積，難道用實心圓柱和圓錐就不能進行實驗了嗎，筆者進行的實驗和調(diào)研測試如下：

[實驗三] 實驗目的：通過實驗，找出等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系。

實驗器材：能夠沉入水中的等底等高的實心圓柱和圓錐、長方體玻璃缸容器、水。

實驗步驟：1.在容器中加入適量的水，測量并記錄水位高度。2.把圓柱放入容器并浸沒水中，測量并記錄水位增加的高度，水位升高部分的體積就等于圓柱的體積。3.取出圓柱，把圓錐放入容器并浸沒水中，測量并記錄水位增加的高度，水位升高部分的體積就等于圓錐的體積。

第三篇：圓柱體積公式的推導

圓柱體積公式的推導（教學設計）三亞市第三小學

王明程 教學目標

1、引導學生通過觀察、猜想、驗證等數(shù)學活動理解圓柱體積計算公式的形成過程并能運用其解決簡單的問題。

2、感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想對解決數(shù)學問題的策略。

3、培養(yǎng)學生的語言表達能力及歸納、總結(jié)的習慣與能力。教學重點

掌握圓柱體積的計算公式，并能運用它解決簡單的相關問題。教學難點

能利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想驗證經(jīng)過觀察作出的圓柱體積計算公式的猜想。教學過程

活動1：溫舊導入，初步感知轉(zhuǎn)化思想。

出示裝滿沙子的圓柱體并提問：誰能計算出這些沙子的體積嗎？如果老師把圓柱體中的沙子倒入旁邊的這個長方體容器中，可以計算出沙子的體積了嗎？為什么呢？從而導出：長方體體積=長X寬X高=底面積X高。如果這是一堆很大很高的圓柱體沙子，我們還能這么做嗎？有什么方法可以直接計算出它的體積嗎？我們這節(jié)課就一起來探討這個問題。（板書課題：圓柱體積的計算）

活動2：觀察、對比、發(fā)現(xiàn)歸納。

課件出示一組（4個）等高不等底的圓柱體。

要求：認真觀察并說出您的發(fā)現(xiàn)（根據(jù)學生的實際表現(xiàn)情況可提示：什么是一樣的？什么是不一樣的？說明了什么呢？）期待值：高相等的情況下，圓柱的底面積越大，它的體積就越大。說明了：圓柱的體積與它的底面積的大小有關。

課件再顯示一組（4個）等底不等高的圓柱體。要求：認真觀察并說出您的發(fā)現(xiàn)

期待值：底面積相等的情況下，圓柱的高越大，它的體積就越大。說明了：圓柱的體積與它的高有關。

課中小結(jié)

圓柱的體積與它的底面積有關，也與它的高有關；圓柱體積的大小是由它的底面積與高共同決定的。

活動3：猜想、驗證

1、猜想圓柱體積計算方法的可能形式，并說說為什么這么去猜想。

2、同桌之間或前后左右的同學之間相互討論用什么方法來驗證自己的猜想是否正確。

3、動手操作與驗證演示

提供學生驗證方法所需的學具，讓學生動手操作，并就正確操作進行演示與評價。

4、歸納總結(jié)

歸納總結(jié)圓柱體積的計算公式并板書 活動4 實踐鞏固

1、課件出示有關圓柱體積公式計算的判斷題。

2、課件顯示已知底面積與高、已知半徑與高和已知直徑與高的3類習題 學生獨立完成、展示與評價 活動5 全課總結(jié)與作業(yè)布置

作業(yè)內(nèi)容類型要求：基礎應用型與拓展型習題相結(jié)合

第四篇：圓柱的體積公式推導

圓柱的體積公式推導

教學內(nèi)容：

西師版六年級下冊數(shù)學教科書第27、28頁的內(nèi)容。

教學目標：

一．知識與技能

1、讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，滲透數(shù)學思想，體驗數(shù)學研究的方法。

2、能夠運用公式正確地計算圓柱的體積，并會解決一些簡單的實際問題。

3、初步體驗轉(zhuǎn)換的數(shù)學思想和方法，并進一步發(fā)展其空間觀念。

4、通過圓柱體積計算公式的推導、運用的過程，體驗數(shù)學問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學思考過程的條理性和數(shù)學結(jié)論的確定性，獲得成功的喜悅。二．過程與方法

教學時，充分利用教具、學具，引導學生觀察、操作和交流探索新知。三．情感、態(tài)度與價值觀

體會類比、轉(zhuǎn)化等思想，初步發(fā)展推理能力和極限思想。

教學重點：掌握圓柱體積計算公式的推導及熟練運用公式解決實際問題。教學難點：圓柱體積計算公式的推導過程。教學準備： 教具：圓柱教具。

學具：圓柱學具，數(shù)學課本。

教學過程：

一、復習引入，質(zhì)疑問難 1．復習

教師出示圓柱教具（學生拿出自制的圓柱），讓同學們回憶圓柱面的組成（兩個底面一個側(cè)面），在上一節(jié)我們把圓柱的側(cè)面展開得出一個長方形（特殊時正方形），利用長方形的面積推出了圓柱的側(cè)面積公式，請同學說一下其內(nèi)容。（圓柱的高的含義，圓的面積，圓的周長，圓柱的表面積）

我們學習圓柱，除了學習這些之外，還需要學習另外一個重要的量——圓柱的體積。能用你自己的話說說，什么是圓柱的體積？（圓柱的體積就是圓柱所占空間的大小）

在我們生活中隨處可以看到圓柱形的物體，有的大，有的小。課件出示圓柱形物體圖片，引導學生注意圓柱形物體所占空間的大小(即體積)，為了說明圓柱形物體體積的大小，我們就需要計算圓柱體體積是多少，這就是我們這一節(jié)所要探討的內(nèi)容。

板書課題：圓柱的體積。2.復習長方體、正方體的體積

物體所占空間的大小就是物體的體積，我們學習了哪些立體圖形的體積？（長方體和正方體。）它們的體積是怎么求的呢？

學生：長方體=長×寬×高，正方體=棱長×棱長×棱長。（出示課件長方體、正方體，讓學生回顧它們的體積公式。總結(jié)長方體、正方體的體積都可以用底面積乘高去計算。）

如果用V表示體積，s表示底面積，h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 議一議

我們學習了長方體、正方體體積，那圓柱的體積該怎樣計算呢？

請同學們分組討論，你們有什么方法計算圓柱的體積。

（用水或沙子轉(zhuǎn)化計算，用橡皮泥轉(zhuǎn)化計算，用圓形紙片疊加計算……）能不能把圓柱轉(zhuǎn)化為我們學過的立體圖形來計算體積呢？ 圓柱的體積是不是也可以用底面積乘高去計算呢？（留下懸念）

二、圖形轉(zhuǎn)化，猜想推理

1、同學們，我們已經(jīng)知道圓的面積公式，請大家回憶圓的面積計算公式是怎樣推導出來的？（生回答）

出示課件演示圓的面積公式推導過程。

2、既然我們運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法求出了圓的面積，那對于圓柱的體積，能不能也利用這種轉(zhuǎn)化的思想？你們想到什么？

引導學生體會：我們雖然不會計算圓柱的體積，但我們會計算長方體的體積，如果能將圓柱轉(zhuǎn)化成長方體就好辦了。

3、思考：怎樣才能把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體呢？

引導學生思考：我們可以沿著圓柱的底面直徑把圓柱的底面平均分成若干個扇形，再沿圓柱的高切開，然后拼成一個近似的長方體。

活動：學生操作學具(如有)，進行拼組。

4、課件演示拼組的過程。（提醒學生認真觀察）

上面近似的長方體是把圓柱平分成若干份拼成的，如果將圓柱等分成更多的份數(shù)，你會有什么發(fā)現(xiàn)？（引導學生體會圓柱底面等分的份數(shù)越多，拼組成的立體圖形就越接近于長方體，體會無限逼近的數(shù)學極限思想。）

5、學生根據(jù)以下問題進行討論。

（1）圓柱拼成近似的長方體后，兩者形狀變了嗎?體積發(fā)生變化了嗎？（2）圓柱拼成近似的長方體后，兩者底面積與高發(fā)生變化了嗎？

討論后學生匯報：

（拼成的近似長方體的底面積等于圓柱的底面積，近似長方體的高就是圓柱的高，因此要求圓柱的體積就只要求切拼后的近似長方體的體積就可以了。）

6、課件演示

長方體的體積=底面積×高，圓柱的高等于拼好的長方體的高，圓柱的底面積等于拼好的長方體的底面積。由此推導出圓柱的體積=底面積×高。

如果用S表示底面積，h表示高，那么圓柱體積公式怎樣表示？

板書：V=Sh

7、課件出示，以填空的方式鞏固回憶圓柱體積公式推導過程。

三、運用新知，解決問題

課件出示練習題

四、全課小結(jié)

老師根據(jù)學生發(fā)言，對本節(jié)課的知識進行總結(jié)，學生說得不夠全面教師補充：

五、作業(yè)布置

課本29頁練習八。板書設計：

圓柱的體積公式推導 長/正方體體積=底面積×高 圓柱的體積=底面積×高

第五篇：《長方體正方體體積公式推導》教學設計

《長方體正方體體積公式推導》教學設計

《長方體正方體體積公式推導》教學設計

瞿靖中心小學

朱

鵬

教學目標：

１、使學生理解長方體和正方體體積公式的推導，能運用公式進行計算。

２、培養(yǎng)學生空間和空間想象能力。教學重點：長正方體體積公式的推導。教學難點：運用公式計算。

教學用具：課件

１立方厘米學具。教學過程：

一、課件出示復習題：

１、什么叫物體的體積？

２、常用的體積單位有哪些？

３、下面的物體是用1立方厘米的正方體擺成的，它們的體積各是多少立方厘米？

二、導入新課：

１、導入：

我們知道了每個物體都有一定的體積，我們也知道可以利用數(shù)體積單位的方法計算物體的體積。

要知道老師手中的這個長方體和正方體的體積？你有什么辦法？（用將它切成1立方厘米（1立方分米）的小正方體后數(shù)一數(shù)的方法。）

說明：用拼或切的方法看它有多少個體積單位。但是在實際生活中，有許多物體是切不開或不能切的，如：冰箱，電視機等，怎樣計算它的體積呢？他們的體積會和什么有關系呢？這節(jié)課我們就來研究長方體和正方體的體積。（板書課題）

２、新課：

（！）、請同學們?nèi)我馊〕鰩讉€１立方厘米的正方體在小組里合作擺出一個長方體，邊擺邊想：你們是怎么擺的？你們擺出的長方體體積是多少？

（２）、板書學生的：（設想舉例）體積

每排個數(shù)排數(shù)

排數(shù)

層數(shù) ４

４

１

１ ８

４

２

１ ２４

４

３

２

（３）、觀察：每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)與體積有什么關系？ 板書：體積＝每排個數(shù)排數(shù)排數(shù)×層數(shù) 每排個數(shù)、排數(shù)、層數(shù)相當于長方體的什么？

因為每一個小正方體的棱長是１厘米，所以，每排擺幾個小正方體，長正好是幾厘米；擺幾排，寬正好是幾厘米；擺幾層，高也正好是幾厘米。(4)課件演示

（5）如何計算長方體的體積？

板書：長方體體積＝長×寬×高

字母公式：Ｖ＝ａｂｈ

三、鞏固練習：

１、一個長方體，長7厘米，寬4厘米，高3厘米，它的面積是多少？

２、導出正方體體積公式：

根據(jù)長方體和正方體的關系，你能想出正方體的體積怎樣計算嗎？

正方體體積＝棱長×棱長×棱長 Ｖ＝ａａａ＝ａ3 讀作ａ的立方

3、一塊正方體的石料，棱長是6分米，這塊石料的體積是多少立方分米？

請同學們擺一個體積是２４立方厘米的長方體，擺后說一說長、寬、高各是幾厘米？

長方體體積＝長×寬×高

提問：長方體的長、寬、高不同，體積相同這是為什么？

四、小結(jié)：這節(jié)課學會了什么？

五、作業(yè)：