第一篇：數列求和方法總結

數列的求和

一、教學目標：1．熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式；

2．能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數學方法進行求和運算； 3．熟記一些常用的數列的和的公式．

二、教學重點：特殊數列求和的方法．

三、教學過程：

（一）主要知識：

1．直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。（1）等差數列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比數列的求和公式Sn??a1(1?q)（切記：公比含字母時一定要討論）

(q?1)??1?q2．公式法： ?k2?12?22?32?k?1n?n2?n(n?1)(2n?1)

62?kk?1n3?1?2?3?333?n(n?1)? ?n????2?33．錯位相減法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和.4．裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項公式：1111111???(?)；

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)n?n!?(n?1)!?n!

(2n?1)(2n?1)22n?12n?15．分組求和法：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和。6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求數列的和注意方法的選取：關鍵是看數列的通項公式； 2．求和過程中注意分類討論思想的運用； 3．轉化思想的運用；

（三）例題分析：

例1．求和：①Sn?1?11?111???11?1 ???n個 ②Sn?(x?)2?(x2?1x1212n)???(x?)x2xn ③求數列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和Sn 思路分析：通過分組，直接用公式求和。

?1?1?10?102???10k?解：①ak?11???k個1k(10?1)911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n]99110(10n?1)10n?1?9n?10?[?n]? 9981②Sn?(x2?11142n?2)?(x??2)???(x??2)242nxxx111????)?2n x2x4x2n?(x2?x4???x2n)?(x2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）當x??1時，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）當x??1時,Sn?4n ③ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]?

k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an?

5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???222622?1n(n?1)(5n?2)6總結：運用等比數列前n項和公式時，要注意公比q?1或q?1討論。2．錯位相減法求和

例2．已知數列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n項和。

思路分析：已知數列各項是等差數列1，3，5，…2n-1與等比數列a0,a,a2,?,an?1對應項積，可用錯位相減法求和。解：Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?1? ?2?

?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an

2a(1?an?1)n當a?1時,(1?a)Sn?1? ?(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?(1?a)2當a?1時,Sn?n2 3.裂項相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.解:(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)

(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2練習:求Sn??2?3???n 答案: Sn??

a(an?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和

012n例4求證：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n mn?m思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。?Cn012n證：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)

mn?m(2)?Cn?Cnnn?1210則Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立

5．其它求和方法

還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知數列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。

思路分析：an??2n?2(?1)n，通過分組，對n分奇偶討論求和。解：an??2n?2(?1)，若n?2m,則Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk

Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)

若n?2m?1,則Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)

??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2

(n為正偶數)??n(n?1)?Sn??2?n?n?2(n為正奇數)?預備：已知f(x)?a1x?a2x2???anxn,且a1,a2,a3,?an成等差數列，n為正偶數，又f(1)?n2,f(?1)?n，試比較f()與3的大小。

12?(a1?an)n?n2?a?a?2n?f(1)?a1?a2?a3???an?n?n2解：? ????1nd?2??f(?1)??a1?a2?a3???an?1?an?n?d?n2?2?a?a1?(n?1)d?2n??1?a1?1?an?2n?1

d?2?f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn

11111f()??3()2?5()3???(2n?1)()n2222212可求得f()?3?()n?2?(2n?1)()n，∵n為正偶數，?f()?3

（四）鞏固練習：

1．求下列數列的前n項和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n?1)，…；（2）12121259111，,1?32?43?5（3）an?,1,n(n?2)；

1n?n?1；（4）a,2a2,3a3，nan,；

（5）1?3,2?4,3?5，n(n?2),；（6）sin21?sin22?sin23?解：（1）Sn?5?55?555??sin289．

n個?5555?(9?99?999?9?(10n?1)]

n個?999)

5?[(10?1)?(102?1)?(103?1)?95?[10?102?103?9（2）∵

?10n?n]?50n5(10?1)?n． 8191111?(?)，n(n?2)2nn?2111111[(1?)?(?)?(?)?232435111111?(?)]?(1???)． nn?222n?1n?2∴Sn?（3）∵an?∴Sn?1n?n?1?n?1?n?n?1?n(n?n?1)(n?1?n)?1

n?1?n11??2?13?2?(2?1)?(3?2)?（4）Sn?a?2a2?3a3??(n?1?n)?n?1?1．

?nan，當a?1時，Sn?1?2?3?…?n?n(n?1)，2 當a?1時，Sn?a?2a2?3a3?…?nan，aSn?a2?2a3?3a4?…?nan?1，兩式相減得(1?a)Sn?a?a?a?…?a?na23nn?1a(1?an)??nan?1，1?anan?2?(n?1)an?1?a∴Sn?． 2(1?a)（5）∵n(n?2)?n2?2n，∴ 原式?(12?22?32?…?n2)?2?(1?2?3?…?n)?（6）設S?sin21?sin22?sin23? 又∵S?sin289?sin288?sin287? ∴ 2S?89，S?n(n?1)(2n?7)．

6?sin289，?sin21，89． 2?6n?5(n為奇數)2．已知數列{an}的通項an??n，求其前n項和Sn．

2(n為偶數)?解：奇數項組成以a1?1為首項，公差為12的等差數列，偶數項組成以a2?4為首項，公比為4的等比數列； 當n為奇數時，奇數項有

n?1n?1項，偶數項有項，22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?，???21?423當n為偶數時，奇數項和偶數項分別有

n項，2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?，???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)???23所以，Sn??nn(3n?2)4(2?1)???23?

(n為奇數)．

(n為偶數)

四、小結：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數列求和公式時注意分q?1或q?1討論。

第二篇：數列求和方法總結

數列求和的基本方法和技巧

數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧。

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。

1、差數列求和公式：Sn(a1?an)

n?2?na?n(n?1)

12d

?na1(q?1)

2、等比數列求和公式：S???an

n?1(1?q)a

1?1?q??anq

1?q(q?1)

n3、S??k?1n

(n?1)

4、S

21nn?

k?12?k?(n?1)(2n?1)

k?16

n4、Sn??k3?[1(n?1)]

2k?12

例 ：已知log?12

3x?log，求x?x?x3?????xn????的前n項和.2

3解：由log

13x??

log3?log??log1

3x32?x?2

2由等比數列求和公式得Sn?x?x2?x3?????xn

＝x(1?xn)

1?x 1(1?1

＝n)

1?1

＝1－1

2n

解析：如果計算過程中出現了這些關于n的多項式的求和形式，可以直接利用公式。

二、錯位相減

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·

項和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列。

bn}的前n

1例：求數列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數)的前n項和。

解：若a=0, 則Sn=0

若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=

若a≠0且a≠1

則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan

∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1

∴(1-a)Sn=a+ a2+ a3+…+an-nan+1

n?1a?a= ?nan?1

1?an(n?1)

2n?1n?1a?ana ∴Sn=?(a?1)2(1?a)1?a

當a=0時，此式也成立。

∴Sn=

n(n?1)(a?1)2a?an?1nan?1?(a?1)2(1?a)1?a

解析：數列是由數列?n?與an對應項的積構成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行討論，最后再綜合成兩種情況。

三、倒序相加

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1?an)。

[例5] 求證：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)

2證明： 設Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn…………………………..①

把①式右邊倒轉過來得

nn?110（反序）Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn012n012nn???

又由Cn?Cnmn?m可得

1n?1n…………..……..② ?CnSn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn0

01n?1n①+②得2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n（反序相加）

∴Sn?(n?1)?2n

解析：此類型關鍵是抓住數列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。

四、分組求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。

例：Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)

解法：按n為奇偶數進行分組，連續兩項為一組。

當n為奇數時：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)

=2×n?1+(-2n+1)

2=-n

當n為偶數時：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]

=2×

=n

∴Sn=

n 2

五、裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后

重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：（1）an?f(n?1)?f(n)（2）sin1?tan(n?1)?tanncosncos(n?1)

111(2n)2111??（3）an?（4）an??1?(?)n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?

1（5）an?1111?[?] n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

(6)an?n?212(n?1)?n1111?n??n??,則S?1? nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)

21111，，…，…的前n項和S 1?32?43?5n(n?2)例：求數列

解：∵1111=(?）n(n?2)2nn?2

Sn=1?11111?(1?)?(?)?????(?)? 2?324nn?2??

1111(1???)22n?1n?2

311?=? 42n?22n?4=

解析：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項，后面還很可能和極限、求參數的最大小值聯系。

六、合并求和

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例：數列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.解：設S2002＝a1?a2?a3?????a200

2由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得

a4??1,a5??3,a6??2,a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,……

a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2

∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0（找特殊性質項）∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002（合并求和）

＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)

?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002

＝a1999?a2000?a2001?a2002

＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?

4＝

5七、拆項求和

先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數列的和或差的形式，再代入公式求和。

例：求數5，55，555，…，的前n項和Sn

解： 因為5n9(10?1)

所以 Sn=5+55+555+…=5?(10?1)?(102?1)?????(10n

9?1)?

=5?10(10n?1)?

9?10?1?n?

??

=50

81?10n?5

9n?50

解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然后再分別求和。另外：S1

n=12?21

4?311

8?????n2n

可以拆成：S…+n）+(1111

n=（1+2+3+2?4?8?????2n)

第三篇：數列求和方法及數學歸納法

數列求和

一、常用公式法

直接利用公式求和是數列求和的最基本的方法．常用的數列求和公式有：

等差數列求和公式:

等比數列求和公式:

二、錯位相減法

可以求形如 的數列的和，其中

為等差數列，為等比數列.例1：求和：.設

減法求和.解：，其中 為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相，兩端同乘以，得，兩式相減得

于是.說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.三、裂項相消法

適用于 階乘的數列等 例2

求數列{1/（＋)}的前n項和 其中{

}是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋說明：對于分母是兩二次根式的和，且被開方數是等差數列，利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項相消而可求。

四、分組轉化法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，能分為幾個

等差、等比或常見的數列，則對拆開后的數列分別求和，再將其合并即可求出原數列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個數，以及這些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10個元素,記這些元素的和為S10，則

(首項為9，公差為9的等差數列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首項為2，公比為2的等比數列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 說明：本題中A是一個集合，集合中的元素是不可重復的，也是沒有順序，所以集合與數列是不同的，但在求和時與10個元素的順序無關，所以可借用數列的方法求和。

五、配對求和法

對一些特殊的數列，若將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，則在數列求和時，可考慮把這些項放在一起先配對求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 設數列的首項為，前項和

（1）求證：數列是等比數列。

滿足關系式：

（2）設數列的公比為，作數列使，求。（3）對（2）中的數列求和：。

（1997年上海高考試題）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配對求和）

六、數學歸納法

第一數學歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若命題P(k)成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）可知命題P(n)都成立。

簡單實例：證明1?2?3?4???2n?22n?1?2n?1(n?N*)； 第二數學歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若當n?k時命題P(k)都成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）命題P(n)都成立。

應用的注意點：

（1）兩步缺一不可

（2）第二步證明是必須利用歸納假設；

例5．用數學歸納法證明：。

證明：i)當n=2時，左式=，右式=，∵，∴，即n=2時，原不等式成立。

ii)假設n=k(k≥2, k∈Z)時，不等式成立，即 ，則n=k+1時，左邊=

右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證

2，只要證 4k+8k+4>4k+8k+3

只要證4>3。

而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式對n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一個數列｛an｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

例6.求和

解析：據組合數性質，將倒序寫為

以上兩式相加得：

八.待定系數法

類似等差數列，如果是關于的次式，那么它的前項和

次式的各項系數即可。

是關于的次式，且不含常數項。因此，只要求出這個例7.求和解析：由于通項是的二次式，則是的三次式，且不含常數項。

設，令得

解得

所以

九．無窮等比數列各項和

符號：S?a1?a2?...?an?...?limSn

n??n??n??顯然：1）q?1，limSn?limna1不存在

2）q??1,，Sn??,1?a1，n?2m?ilSn不存在(m?N*)mn???0,n?2ma1(1?qn)3）q?1，limSn?lim不存在

n??n??1?qa1(1?qn)a4）q?1，limSn?lim?1

n??n??1?q1?q定義：我們把q?1的無窮等比數列前n項的和Sn當n??時的極限叫做無窮等比數列各項的和，并用S表示，即S=

a1(q?1)。1?q注：1.無窮等比數列前n項和Sn與它的各項和S的區別與聯系； 2.前n項之和Sn是數列中有限個項的和,而無窮等比數列各項的和Sn是數列中所有的項的和,它們之間有著本質的區別。

3.對有無窮多項的等比數列,我們是不可能把它們所有的項一一相加的,而是通過對它的前n項之和取極限運算而求得,是用有限的手段解決無限的問題。

4.求和前提：0?q?1,q?0；公式表明它只求公比0?q?1,q?0 的無窮等比數列各項的和.數學歸納法

●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；(3)求數列{an}所有項的和.2

22命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.知識依托：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－

1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項，為公差的等差數列，進而求得SnS12技巧與方法：求通項可證明{通項公式.11成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.2②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k?3)(2k?1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數列前n項和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1數學歸納法的應用

具體常用數學歸納法證明：恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.

第四篇：高中數列求和方法及鞏固

數列求和的方法

1、公式法：

如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.①等差數列求和公式：Sn?n?a1?an?n?n?1??na1?d 2

2?na1?q?1??②等比數列求和公式：Sn??a1?1?qn?a?aq 1n??q?1??1?q?1?q

n(n?1)2常見的數列的前n項和：1?2?3?……+n=，1+3+5+??+(2n-1)=n 2

n(n?1)(2n?1)?n(n?1)?333312?22?32?……+n2=，1?2?3?……+n=等.??6?2?22、倒序相加法：

類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列?an?，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.x

例

1、已知函數f?

x??（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f????10??8??f????10??9?f??的值.?10?

解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊

（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10?

?2?f????10?

?8?f????10??8?f????10??5??f????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??8??f????10??2??f????10?

兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9所以S?.2?10??

1小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.1222

32???針對訓練

3、求值：S?

21?10222?9232?82

?22 10?

13、錯位相減法：

類似于等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到，即數列是一個“差·比”數列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數列，?cn?是公比為q等比數列，令Sn?b1c1?b2c2?

?bn?1cn?1?bncn

?

n?

則qSn?b1c2?b2c?3bnc1?

n?n

b c

兩式相減并整理即得 例

2、（2008年全國Ⅰ第19題第（2）小題，滿分6分）已知 an?n?2n?1，求數列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn

?120?221??(n?1)2n?2?n2n?1①

2Sn?121?222?

②—①得

?(n?1)2n?1?n2n②

2n?1?n2n?2n?

1Sn?n2n?120?21?

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列?cn?的公比

q；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.針對訓練

4、求和：Sn

?x?2x2?3x3?

?nxn?x?0,x?1?

4、裂項相消法：

把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求

?c?和方法稱為裂項相消法。適用于類似??（其中?an?是各項不為零的等差數

aa?nn?1?

列，c為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常

見的裂項方法：（1）

11111?11?

k?1??，特別地當時，????

nn?1nn?1nn?kk?nn?k?

（2?

k，特別地當k?

1?例

3、數列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3??，求它的前n項和Sn

n(n?1)

?an?1?an

1?n?n1nn??1

1??11??1

???????? n?1nnn?1???

?

?1?22?33?

4?1??11??11?

=?1??????

?????

?2??

23??34?

1n? n?1n?1

小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.?1?

針對訓練5的前n項和Sn.5、分組求和法：

有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例

4、求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3??解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3??

??2?4?6?

?2n??3?5?1?5?2?5?3?

??2n?3?5?n?

??2n?3?5?n? ?5?n?

n

1??1???1????n5???31??5?????

2?n?n?1??3??n?n??1????

14???5???1?

5小結：這是求和的常用方法，按照一定規律將數列分成等差（比）數列或常見的數列，使問題得到順利求解.針對訓練

6、求和：Sn??a?1???a2?2???a3?3??

??an?n?

提高練習

1．數列{an}滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，則

1111??????()a1a2a3a2008

A．

4016

2009

B．

2008

2009

C．

2007

4D．

2007

2008

2．數列{an}、{bn}都是公差為1的等差數列，若其首項滿足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b

1∈N*，則數列{abn}前10項的和等于()

A．100 B．85 C．70 D．5

53．設m=1×2+2×3+3×4+?+(n-1)·n，則m等于()

n(n2?1)111A.B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+7)

322

2n-1

4．若Sn=1-2+3-4+?+(-1)·n，則S17+S33＋Ｓ50等于()A.1B.-1C.0D.2 5．設{an}為等比數列,{bn}為等差數列，且b1=0,cn=an+bn,若數列{cn}是1,1,2,?,則{cn}的前10項和為()A.978B.557C.467D.979

6．1002-992+982-972+?+22-12的值是()A.5000B.5050C.10100D.20200

7．一個有2001項且各項非零的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為8．若12+22+?+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a,bc9．已知等差數列{an}的首項a1＝1，公差d＞0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等

比數列{bn}的第二、三、四項．(1)求數列{an}與{bn}的通項公式；

(2)設數列{cn}對任意自然數n均有求c1＋c2＋c3＋?＋c2003的值．

10．已知數列{an}的前n項和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n≥1.(1)求證數列{an+

cc1c2c3

?????n?an?1成立． b1b2b3bn

(-1)n}是等比數列;3

1117?????.a4a5am8

(2)求數列{an}的通項公式；(3)證明：對任意的整數m>4,有

提高練習答案

1．解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，∴利用疊加法得到：an?

n(n?1)1211，∴??2(?)，2ann(n?1)nn?1

∴

1111111111

??????2(1???????)?2(1?)a1a2a3a***20094016

． 2009

?

答案：A.2．解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴abn＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1

＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3

則數列{abn}也是等差數列，并且前10項和等于：答案：B.3．解：因為 an=n2-n.，則依據分組集合即得.答案;A.4?13

?10?85 2

?n?1

(n為奇)??2

4．解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：Sn=?

??n(n為偶)??2

答案：A

5．解由題意可得a1=1,設公比為q,公差為d,則?

?q?d?1?q?2d?2

∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.答案：A

6．解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050.答案：B

7． 解： 設此數列{an},其中間項為a1001,則S奇=a1+a3+a5+?+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+?+a2000=1000a1001.答案:

1001

1000

(n?1)n?(2n?1)2n3?3n2?n

?.8．解： 原式=

答案：;?;

326

9．解：(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0)

－

解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n1(2)當n＝1時，c1＝3；

當n≥2時，由

cn

?an?1?an，得cn＝2·3n－1，n

故cn??

?3(n?1),?2?3

n?1

(n?2).故c1＋c2＋c3＋?＋c2003＝3＋2×3＋2×32＋?＋2×32002＝32003． 10．(1)證明由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2),化簡得an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),2221(-1)n=2［an-1+(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+(-1)1=.333321

故數列{an+(-1)n}是以為首項，公比為2的等比數列.33

n?1

2n2(2)解由（1）可知an+(-1)=.33

1222

∴an=×2n-1-(-1)n=［2n-2-(-1)n］,故數列{an}的通項公式為an=［2n-2-(-1)n］.3333

上式可化為an+(3)證明由已知得

???? a4a5am

=

?3?111?3?111111

?3???m?2?????????2???

2?2?12?12?(?1)m?2?391533632m?2?(?1)m?

1111111111

=(1??????)?(1??????)23511212351020

11??

(1?)m?5?1?4514221***572=?????.??(???m?5)???()m?5?

12?32355***082?1?

??2??

故

1117?????(m?4)a4a5am8

第五篇：數列求和問題

數列求和問題·教案

教學目標

1．初步掌握一些特殊數列求其前n項和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和問題，培養學生觀察、分析問題的能力，以及轉化的數學思想．

教學重點與難點

重點：把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和． 難點：尋找適當的變換方法，達到化歸的目的． 教學過程設計

（一）復習引入

在這之前我們知道一般等差數列和等比數列的求和,但是有時候題目中給我們的數列并不是一定就是等比數列和等差數列,有可能就是等差數列和等比數列相結合的形式出現在我們面前,對于這樣形式的數列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復習預習

通過學習我們掌握了是不是等差等比數列的判斷,同時我們也掌握也一般等差或者等比數列的一些性質和定義,那么對于題中給我們的數列既不是等差也不是等比的數列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學習今天的內容

三、知識講解 考點

1、公式法

如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.1、等差數列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點

2、分組求和法

有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習：求數列2，14181161，?的前n項和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數列是一個等差數列，數列?n?1?是一個等比

2n?1?2?分析：此數列的通項公式是an?2n?數列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和.考點

3、、倒序相加

類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因為 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習：已知函數f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.考點

4、裂相相消法

把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項不為零的等差數列，c為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：

1，求它的前n項和Sn

n(n?1)例、數列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.?1?針對訓練

5、求數列 1111，,?，?的前n項和Sn.1?22?33?2n?n?1練習：求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業：基本練習

2221、等比數列{an}的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項公式an?，前n項和Sn? 綜合練習1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數列{an}中，an?1，.則前n項和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數列{dn}的通項公式；

n(n?1)

考點5錯位相減

類似于等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到，即數列是一個“差·比”數列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數列，?cn?是公比為q等比數列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{xn?1}的通項之積

設xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設制錯位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數列{bn}的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和公式求和.2462n練習：

1、求數列,2,3,???,n,???前n項的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{n}的通項之積

222462n設Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設制錯22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項和為_________ 222264、數列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項和S2n=；

55、已知數列an?n?n!，則前n項和Sn=；

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列?cn?的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.