第一篇：數列求和教案

數列求和

數列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數列或者等比數列或者自然數的乘方；

（3）錯位相減：適用于數列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數列，?cn?為等比數列；

（4）裂項相消：適用于數列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數）型；

（5）倒序相加：根據有些數列的特點，將其倒寫后與原數列相加，以達到求和的目的.（6）

分段求和：數列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設f(x)?4x4x?2，利用課本中推導等差數列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構成等差數列． A.（1）求數列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數列{bn}的前n項和Tn。

4.設數列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數列?an?的通項；

（Ⅱ）設bnn?a，求數列?bn?的前n項和Sn n

5.求數列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數列{an}的前n項和Sn?2an?1，數列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數列{an}為等比數列；（Ⅱ）求數列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第二篇：數列求和教案

課題：數列求和

教學目標

（一）知識與技能目標

數列求和方法．

（二）過程與能力目標

數列求和方法及其獲取思路．

教學重點：數列求和方法及其獲取思路． 教學難點：數列求和方法及其獲取思路．

教學過程

1．倒序相加法：等差數列前n項和公式的推導方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數列的第k項與倒數第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結: 對某些前后具有對稱性的數列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數列前n項和公式的推導方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設正項等比數列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設數列的通項為an，則an?例7．求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結：

1．常用數列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數列、等比數列求和公式;(2)化歸法: 將已知數列的求和問題化為等差數列、等比數列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數列與等差數列組合數列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產生相消為零的項的求和方法.四、課外作業： 1．《學案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數列{an}中，an?，又bn?，求數列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數列：（3）．在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數列的性質 m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質項）和對數的運算性質 logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

第三篇：數列求和問題

數列求和問題·教案

教學目標

1．初步掌握一些特殊數列求其前n項和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和問題，培養學生觀察、分析問題的能力，以及轉化的數學思想．

教學重點與難點

重點：把某些既非等差數列，又非等比數列的數列化歸成等差數列或等比數列求和． 難點：尋找適當的變換方法，達到化歸的目的． 教學過程設計

（一）復習引入

在這之前我們知道一般等差數列和等比數列的求和,但是有時候題目中給我們的數列并不是一定就是等比數列和等差數列,有可能就是等差數列和等比數列相結合的形式出現在我們面前,對于這樣形式的數列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復習預習

通過學習我們掌握了是不是等差等比數列的判斷,同時我們也掌握也一般等差或者等比數列的一些性質和定義,那么對于題中給我們的數列既不是等差也不是等比的數列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學習今天的內容

三、知識講解 考點

1、公式法

如果一個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.1、等差數列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點

2、分組求和法

有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習：求數列2，14181161，?的前n項和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數列是一個等差數列，數列?n?1?是一個等比

2n?1?2?分析：此數列的通項公式是an?2n?數列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和.考點

3、、倒序相加

類似于等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因為 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習：已知函數f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.考點

4、裂相相消法

把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項不為零的等差數列，c為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：

1，求它的前n項和Sn

n(n?1)例、數列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同.?1?針對訓練

5、求數列 1111，,?，?的前n項和Sn.1?22?33?2n?n?1練習：求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業：基本練習

2221、等比數列{an}的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項公式an?，前n項和Sn? 綜合練習1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數列{an}中，an?1，.則前n項和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數列{dn}的通項公式；

n(n?1)

考點5錯位相減

類似于等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到，即數列是一個“差·比”數列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數列，?cn?是公比為q等比數列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{xn?1}的通項之積

設xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設制錯位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數列{bn}的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和公式求和.2462n練習：

1、求數列,2,3,???,n,???前n項的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{n}的通項之積

222462n設Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設制錯22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項和為_________ 222264、數列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項和S2n=；

55、已知數列an?n?n!，則前n項和Sn=；

小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列?cn?的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.

第四篇：高一數學 數列求和教案

湖南師范大學附屬中學高一數學教案：數列求和

教材：數列求和

目的：小結數列求和的常用方法，尤其是要求學生初步掌握用拆項法、裂項法和錯位法求一些特殊的數列。

過程：

一、提出課題：數列求和——特殊數列求和

常用數列的前n項和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項法：

例

一、（《教學與測試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項和。aaaa1 解：設數列的通項為an，前n項和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當a?1時，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當a?1時，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項法：

例

二、求數列6666，,??，??前n項和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設數列的通項為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數列111，??，??前n項和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯位法：

1}前n項和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數列{n?例

五、設等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sn?(求數列{an}的前n項和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業：《教學與測試》P91—92 第44課 練習3，4，5，6，7 補充：1.求數列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項和

n??3n?1n為奇數?2(Sn??)

3n?n為偶數?22n?32n?1 2.求數列{n?3}前n項和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項和

a?0時，Sn?n a?1時，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時，Sn?(1?a)2

第五篇：數列求和優秀教案

題組教學：“探索—研究—綜合運用”模式

——“數列的裂差消項求和法解題課”教學設計

【課例解析】 教材的地位和作用

本節課是人教A版《數學（必修5）》第2章 數列學完基礎知識后的一節針對數列求和方法的解題課。通過本節課的教學讓學生感受裂差消項求和法在數列求和中的魅力，體會裂項相消的作用，達到提高學生運用裂項相消求和的能力，并把培養學生的建構意識和合作，探索意識作為教學目標。

學情分析

在此之前，學生學習了數列的一般概念，又對等差、等比數列從定義、通項、性質、求和等方面進行了深入的研究。在研究過程中，數列求和問題重點學習了通過轉化為等差、等比數列求和的方法，在推導等差、等比數列求和公式時用到了錯位相減法、倒序相加法和裂差消項求和法，本節課在此基礎上進一步對裂差消項求和法做深入的研究。本節課的內容和方法正處于學生的認知水平和知識結構的最近發展區，學生能較好的完成本節課的教學任務。

【方法闡釋】

本節課的教學采用心智數學教育方式之“題組教學”模式，分為“創設情景、導入新課，題組探索、自主探究，題組研究、匯報交流，題組綜合、鞏固提高，歸納總結、提升拓展”五個教學環節．

本節課從學生在等比數列求和公式推導過程中用到的裂差消項求和法引入，從課本習題的探究入手展開教學，學生能自主發現裂差消項求和法，并很快進入深層次思維狀態。接下來的研究性題組和綜合性題組又從更深更廣的層面加強裂差消項求和法的應用。

【目標定位】 知識與技能目標

掌握裂項相消法解決數列求和問題的基本思路、方法和適用范圍。進一步熟悉數列求和的不同呈現形式及解決策略。2 過程與方法目標

經歷數列裂差消項求和法的探究過程、深化過程和推廣過程。培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力。體會知識的發生、發展過程，培養學生的學習能力。3 情感與價值觀目標

通過數列裂差消項求和法的推廣應用，使學生認識到在學習過程中的一切發現、發明，一切好的想法和念頭都可以發揚光大。激發學生的學習熱情和創新意識，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學態度。感悟數學的簡潔美﹑對稱美。4教學的重點和難點

本節課的教學重點為裂項相消求和的方法和形式。能將一些特殊數列的求和問題轉化為裂項相消求和問題。

本節課的教學難點為用裂項相消的思維過程，不同的數列采用不同的方法，運用轉化與化歸思想分析問題和解決問題。

【課堂設計】

一、創設情景、導入新課

教師：請同學們回憶一下，我們在推導數列求和公式時，先后發現了哪幾種數列求和的方法？

學生1：在等差數列求和公式的推導時我們用到了倒序相加法。在等比數列求和公式的推導中我們發現了錯位相減法、裂差消項求和法。

學生2：在學習求和過程中，我們還發現了分組求和法和通項轉換法。

我的思考：在推導等比數列求和公式時，有的小組根據等比數列求和公式的形式，想到用裂差消項求和法。這節課就是從學生的這種想法開始，使學生體會到自己的一個想法，再繼續下去就能解決一類問題。

等比數列求和公式用裂差消項求和法證明如下：

?q?1.a1a1qa1qa1q2a1q2a1q3a1qn?1a1qn?Sn?(?)?(?)?(?)???(?)

1?q1?q1?q1?q1?q1?q1?q1?qa1a1qna1(1?qn)?? = 1?q1?q1?q

二、題組探索、自主探究

教師：請同學們思考下列探索性題組中問題解法： 出示探索性題組(多媒體投影)求和: 1．sn?(1?)?(?)?(?)???（2．sn?121213131411?)nn?111111 ??????1?22?33?44?5n??n?1?11111 ??????1?33?55?77?9(2n?1)??2n?1?1111 ?????2?55?88?11(3n?1)??3n?2?3．sn?4．sn?

學生獨立思考后，各小組討論交流各自的想法，各小組選派代表在全班交流。

學生3；第一題去掉括號后，除第一項和最后一項外，其余各項都能消去。sn?1?1n ?n?1n?1111??，n??n?1?nn?11??11??11?1?1n?1? ????????????????1?2??23??34?nn?1n?1n?1??學生4：第2題的每一項與第一題相同，每一項都可裂成兩項，數列通項an?所以，sn??1???教師：用an?111??對嗎？為什么？

n??n?2?nn?2學生5：不行了，很明顯，左右是不相等的關系。教師：怎樣改變呢？

學生5：待定系數法，配平系數，達到平衡。應該乘以

1！2和第2題相似，每一項也可裂成兩項實現裂差消項求和。數列的項1111?(?)，m??m?2?2mm?21?1?1?11?1?11?1?11?1????????????????? 2?2?2?23?2?34?2?2n?12n?1?所以，sn?=11n(1?)?, 22n?12n?1學生6：第4題的變形與第3題類似

an?11?11????? ?3n?1??3n?2?3?3n?13n?2?1?11?1?11?1?11?1?11?sn??????????????????3?25?3?58?3?811?3?3n?13n?2?1?11?n ?????3?23n?2?2(3n?2)

變式問題：求和sn?1111 ?????1?(1?k)(1?k)(1?2k)(1?2k)(1?3k)(1?(n?1)k)(1?nk)學生7：每一項同樣可裂成兩項，通過裂差消項求和法求和：

sn?1?1?1?11?1?11???1????????????k?1?k?k?1?k1?2k?k?1?(n?1)k1?nk???1??1??11?11?????1???????????1?(n?1)k?1?nk???k??1?k??1?k1?2k?????11n(1?)?k1?nk1?nk教師：通過以上探索性題組我們發現什么結論呢？（學生表述，教師點評，補充。）結論：一般地，{an}是公差為d的等差數列，則：Sn?111???? a1a2a2a3anan?1?1?11?1?11?1?11?????????????? ??????d?a1a2?d?a2a3?d?anan?1?1?11?n?????aa d?aan?1?1n?1?1?教師小結：分母為等差數列的某相鄰兩項之積，而分子為常量的分式型數列的求和，將它的每一項分解為兩項差的形式，前一項的減數恰與后一項的被減數相同，求和時中間項互相抵消，這種數列求和的方法就是裂差消項求和法。

三、題組研究、匯報交流 出示研究性題組 1． 求數列??1??的前n項和。

n(n?2)??2．求數列1111，,?，?的前n項和？ 1?53?75?9(2n?1)(2n?3)2242(2n)2????3．求和：Sn? 1?33?5(2n?1)(2n?1)（學生分組討論解題思路，教師巡回，對個別學生問題進行指導，師生共同討論。）

教師：觀察研究性題1和探索性問題的解法有何不同呢？

學生8：有所不同，消去的項不一樣了。前面和后面各有兩項沒有消去，前面是兩正項，后面是兩負項。

解：數列的通項公式可變形為：an?11?11?????

n??n?2?2?nn?2?所以：sn???1?1?1?11?1?11?1?11?1?????????????????2?3?2?24?2?35?2?nn?2?1??1??11??11?1???11??????????????????2?32435nn?2??????????1?111?1?32n?3?????1??????2?2n?1n?2?2?2?n?1??n?2???n(3n?5)?4(n?1)(n?2)學生9：方法與第1題類似 解：通項an?

1111?(?)

(2n?1)(2n?3)42n?12n?31111111111?Sn?[(1?)?(?)?(?)???(?)?(?)4537592n?32n?12n?12n?3

1111n(4n?5)?(1???)?432n?12n?33(2n?1)(2n?3)教師分析：研究性題3中數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項的乘積；從上面的經驗看：該數列求和使用“裂項相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數。注意到該數列的通項公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項；

考慮到(2n)?(2n)?1?1?(2n?1)(2n?1)?1

所以使用處理分式函數的常用手段，分離常數法即可把分子化為常數。變形如下： 22(2n)2(2n)2?1?11學生10：解：an? ??1?(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)111?1?(?)

22n?12n?1∴Sn?n?11111n=n?(1? ????)?n?1?33?5(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（學生說題，鍛煉學生的表述能力，思維能力）

教師：以上裂項求和類型大家掌握的比較好了，我們一起看下面的問題：

四、題組綜合、鞏固提高 1．求數列?lg(1???1?)?前n項的和。n?12．求數列????的前n項和

n?1?n??3．已知數列?an?，an?1求數列的前項和sn

n?n?1??n?2?（分組討論解題思路，教師做適當點撥和引導，學生展示解題過程。）

n?1?lg(n?1)?lgn n1111所以，Sn?lg(1?)?lg(1?)?lg(1?)???lg(1?)

123n234n??lg()?lg()?lg()???lg()

123n學生11：lg(1?)?lg1n?(lg2?lg1)?(lg3?lg2)?(lg4?lg3)???(lg(n?1)?lgn)??lg1?lg(n?1)?lg(n?1)

學生12：也可不裂項變為各項相乘約項。解：Sn?lg(1?)?lg(1?)?lg(1?)???lg(1?13234n?1?lg()?lg()?lg()???lg()

123n234n?1?lg(?????)?lg(n?1)

123n11121)n教師：很好，這又是一個好想法，課后同學們可探究一下有哪些數列求和適用這種方法。教師：對于第2題，很明顯，我們沒法進行合并，分母也不是兩個積的乘積形式，不太符合以上方法。我們搜尋一下，以前我們見過這種式子嗎？對它有什么變形方法？

學生13：以前我們處理過這種無理式，可以分母有理化。對(大部分學生也發現了這種方法)，有理化后就變成兩項之差的形式，同樣可用裂差消項求和法。

（學生板演解題過程）

解：分母有理化，∵

1n?1?n1?n?1?n

∴12?1?13?2???n?1?nn?1?n

??2?1???3?2??????n?1?1?，且sn?9，則n＝_____ 學生開始興奮起來，課堂上氣氛達到了空前高漲。小試牛刀：在數列?an?中，an?1n?n?1學生說明答案。

教師：對于第3題，我們又遇到新問題。分母變成三項積的形式，如何變形?（學生紛紛試驗各種裂項的方案。）學生：還是應該考慮裂項的方法。我最先試驗的是能否像探索性題組那樣分裂成11、、nn?111的和差形式。我發現an?不能直接化為它們的差，即使化為它們的差

n?n?1??n?2?n?2也解決不了相消的問題。

教師：你們希望什么樣的變形？

學生：我希望也像探索性問題一樣，每一項分裂成兩項的差，并且要能消項才行。教師：對，“兩項、能消項”，你們有想法就要設法按照自己的思路試一下。

學生14：我有了一個想法，按照“兩項、能消項”的要求，1就不能考慮

n?n?1??n?2?111、、的和差形式。兩項又必須相對對稱的，我們先考慮最簡單的兩項的nn?1n?211變形，中，第一項和第二項都有2出現，是否可考慮讓作差的兩個式子?1?2?32?3?4變成中都出現2哪？

（在教師、學生的啟發下，學生紛紛試驗著裂項方法）

111學生14：我試驗過了an?[?]，這也符合“對稱、和諧”的美

2n(n?1)(n?1)(n?2)學原理。

解：sn?1111 ?????1?2?32?3?43?4?5n?n?1??n?2???1?111111??????? ??2?1?22?32?33?4n?n?1??n?1??n?2???1?11?? ????2?2n?1n?2????n?n?3? 4?n?1??n?2?

五、歸納總結、提升拓展

教師：應該注意什么問題？

學生：裂差消項求和法多用于分母為等差數列的某相鄰k項之積，而分子為常量的分式型數列的求和，對裂項相消法求和，其裂項可采用待定系數法確定，并注意能否正負抵消。

師生共同小結：(學生敘述,教師進行補充和整理)教師板演要點：

1裂項抵消法多用于分母為等差數列的某相鄰項之積，而分子為常數的分式型數列的求和。

2裂項有困難時，可采用待定系數法來確定。

3在消項時一定注意消去了哪些項,還剩下哪些項，有困難時可多寫幾項,然后仔細觀察消項規律，一般地剩下的正項與負項一樣多。

4對于分母是兩個二次根式的和，且被開方數是等差數列，利用分母有理化，使分母上的和變成了分子上的差，從而因中間項相消而可求Sn。

5裂項相消法適用于 ??c??其中?an?是各項不為0的等差數列，c為常數；部分

aa?nn?1?無理數列、含階乘的數列等。

教師：若求數列1?4,2?5,3?6,?,n??n?3?,?前n項和sn呢?還能用裂項相消法嗎？為什么？請同學們課下探究以下。（為后面數列的分組求和的教學做鋪墊）

教師：今天這節課我們主要研究了一些非等差(比)的特殊數列求和方法。同學們回憶一下這些數列求和的指導思想是什么? 學生：將部分數列求和通過變形轉化為裂項求和。

教師：對，解決這些數列求和問題的思路是將它們轉化基本的裂差消項求和，從而解決問題。這種思想也是我們數學解題中經常用到的一種思想——化歸思想。

(給學生時間回顧以上內容及方法。)教師：能否總結一下裂項相消法所應用的具體公式？ 學生：我們所用的裂項公式有：（1）11111?11?，??????

n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?11????? ?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??11?11??? ?n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2??（2）

（3）

（4）1n?1?n?n?1?n

（5）n11 ???n?1?!n!?n?1?!教師課堂總結：裂差消項求和法：若一個數列的每一項都可以化為兩項之差，并且前一項的減數恰與后一項的被減數相同，求和時中間項互相抵消。以上題目雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意：余下的項前后的位置前后是對稱的，余下的項前后的正負性是相反的。

教師：最后，留幾個問題供大家課后繼續研究，希望大家能給出解答。大家仔細觀察，和習題中的題目具有哪些相似之處，聯系在哪里？又有哪些不同，可以類比的方法是哪些？

1．求和：1?111 ????1?21?2?31?2?3???n8n2．求數列an??2n?1??2n?1?22的前n項和？

（an22?2n?1???2n?1???22?2n?1??2n?1??2n?1?2?2n?1?28n?1?2n?1?2?1?2n?1?2）

3．求和：sn?1111?????

1?2?3?42?3?4?53?4?5?6n?n?1??n?2?(n?3)【教有所思】

本節課心智教育方式之題組教學法。充分體現學生是主體，問題是中心，探索是主線。課堂是師生共同參與課堂活動的舞臺?！皢栴}”是解決人類思維的一種普遍的表現形式，也是心理學家們熱衷的重要研究課題之一。在數學教學中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應用和學生思維方法的訓練與提高，以及實際應用能力和創新能力的增強。無不從“問題”開始，在研究問題﹑解決問題的過程中努力實現。因此，課堂教學實質上就是依據教材內容和學生實際，師生重組舊知識，不斷發現問題﹑研究問題﹑解決問題的活動。老師的作用是如何將學生的思路所隱藏的數學思想和方法挖掘出來，深化并完善它。小組討論的方式有利于培養學生的合作精神，互相啟迪，互相促進。從而在活動的過程中不斷培養學生的科學素養和創新思維習慣。

本節課通過逐步引導，層層設疑，讓學生經歷裂差消項求和的過程，使教材更生動，更具親和力。在裂差消項求和法的教學設計中，設置了恰當的教學情境，引導學生合作與交流，強化學生的合作意識、協作精神，收到了很好的效果，學生學會了如何轉化。

新課程的編排特點和學習方式的變化，使課堂教學方法發生了重大變化。新課程提倡教學目標綜合化、多元化和均衡性，知識生活化，使學生獲得對數學知識理解的同時，在思維能力、觀察能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。

本節內容設計突出了某些重要的數學思想方法，如：類比思想，歸納思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了學生的觀察，猜想，發現，歸納，總結等學習過程的體驗，強化了歸納思想的具體應用。突出體現了特殊到一般的思想，突出了通過對特殊數列的各項關系，運算，性質的研究推廣到一般數列相應問題研究的思想。借助函數的背景和研究方法研究有關數列的問題，體現了數學知識的內在關聯，培養學生用已知去研究未知的能力。

最后的小結要進一步使學生明白：裂差消項求和法，如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰相鄰項分裂后相關聯，常選用裂項相消法求和，體現了知識的連貫性，有助于學生構建知識網絡。