第一篇：小學(xué)奧數(shù)統(tǒng)籌規(guī)劃題庫(kù)教師版.

8-4統(tǒng)籌規(guī)劃

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明：

統(tǒng)籌學(xué)是一門數(shù)學(xué)學(xué)科，但它在許多的領(lǐng)域都在使用，在生活中有很多事情要去做時(shí)，科學(xué)的安排好先后順序，能夠提高我們的工作效率．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授生前十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，并親自帶領(lǐng)小分隊(duì)推廣優(yōu)選法、統(tǒng)籌法，使數(shù)學(xué)直接為國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展服務(wù)，他在中學(xué)語(yǔ)文課本中，曾有一篇名為《統(tǒng)籌原理》的文章詳，細(xì)介紹了統(tǒng)籌方法和指導(dǎo)意義．運(yùn)籌學(xué)是利用數(shù)學(xué)來(lái)研究人力、物力的運(yùn)用和籌劃，使它們能發(fā)揮最大效率的科學(xué)。它包含的內(nèi)容非常廣泛，例如物資調(diào)運(yùn)、場(chǎng)地設(shè)置、工作分配、排隊(duì)、對(duì)策、實(shí)驗(yàn)最優(yōu)等等，每類問(wèn)題都有特定的解法。運(yùn)籌學(xué)作為一門科學(xué)，要運(yùn)用各種初等的和高等的數(shù)學(xué)知識(shí)及方法，但是其中分析問(wèn)題的某些樸素的思想方法，如高效率優(yōu)先的原則、調(diào)整比較的思想、嘗試探索的方法等，都是我們小學(xué)生能夠掌握的。這些來(lái)源于生活實(shí)際的問(wèn)題，正是啟發(fā)同學(xué)們學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)最好的思維鍛煉題目。

本講主要講統(tǒng)籌安排問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、最短路線問(wèn)題、場(chǎng)地設(shè)置問(wèn)題等。這些都是人們?nèi)粘Ｉ睢⒐ぷ髦薪?jīng)常碰到的問(wèn)題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是這講涉及的問(wèn)題。“節(jié)省跑空車的距離”是物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題的一個(gè)原則。“發(fā)生對(duì)流的調(diào)運(yùn)方案”不可能是最優(yōu)方案。

“小往大靠，支往干靠”。

板塊

一、合理安排時(shí)間

【例 1】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘(正面、反面各1分鐘)．問(wèn)：煎3張餅需幾分鐘？怎樣煎？

【解析】 因?yàn)檫@只平底鍋上可煎兩只餅，如果只煎1個(gè)餅，顯然需要2分鐘；如果煎2個(gè)餅，仍然需要2分鐘；如果煎3個(gè)餅，所以容易想到：先把兩餅一起煎，需2分鐘；再煎第3只，仍需2分鐘，共需4分鐘，但這不是最省時(shí)間的辦法．最優(yōu)方法應(yīng)該是：首先煎第1號(hào)、第2號(hào)餅的正面用1分鐘；其次煎第1號(hào)餅的反面及第3號(hào)餅的正面又用1分鐘；最后煎第2號(hào)、第3號(hào)餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘就煎好了3個(gè)餅．(因?yàn)槊恐伙灦加姓磧擅妫?只餅共6面，1分鐘可煎2面，煎6面只需3鐘．)

【鞏固】(2000年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)烙餅需要烙它的正、反面，如果烙熟一塊餅的正、反面，各用去3分鐘，那么用一次可容下2塊餅的鍋來(lái)烙21塊餅，至少需要多少分鐘？

【解析】 先將兩塊餅同時(shí)放人鍋內(nèi)一起烙，3分鐘后兩塊餅都熟了一面，這時(shí)取出一塊，第二塊翻個(gè)身，再放人第三塊，又烙了3分鐘，第二塊已烙熟取出，第三塊翻個(gè)身，再將第一塊放入烙另一面，再烙3分鐘，鍋內(nèi)的兩塊餅均已烙熟．這樣烙3塊餅，用去9分鐘，所以烙21塊餅，至少用21?3?9?63(分鐘)．

【鞏固】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘(正面、反面各1分鐘)．問(wèn)：煎2009張餅需幾分鐘？

【解析】 我們歸納出煎1、2、3個(gè)餅分別需要2、2、3分鐘，我們可以繼續(xù)往下分析，煎4個(gè)餅最少需要4分鐘，煎5個(gè)餅需要3?2?5分鐘，煎6個(gè)餅需要6?2?2?6分鐘，煎7個(gè)餅需要3?4?2?2?7分鐘，那么煎2009個(gè)餅至少需要2009分鐘．

【例 2】 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要15分鐘，洗臟衣服的領(lǐng)子、袖口要10分鐘，打開全自動(dòng)洗衣機(jī)洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這些事情最少

用多長(zhǎng)時(shí)間？

【解析】 如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要95分鐘。要想節(jié)約時(shí)間，就要想想在哪段時(shí)間里閑著，能否利用閑著的時(shí)間做其它事。最合理的安排是：先洗臟衣服的領(lǐng)子和袖口，接著打開全自動(dòng)洗衣機(jī)洗衣服，在洗衣服的40分鐘內(nèi)擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需60分鐘（見(jiàn)下圖）。

【鞏固】 小明在家的一面墻上貼獎(jiǎng)狀，一共有32張，給一張獎(jiǎng)狀涂滿膠水需要2分鐘，涂完膠水后要過(guò)2分鐘才能往墻上貼，貼的過(guò)程需要1分鐘，但是如果等待超過(guò)6分鐘的話膠水就會(huì)干掉不能再貼，問(wèn)：小明最快用多長(zhǎng)時(shí)間能貼完所有的獎(jiǎng)狀？

【解析】 用最短時(shí)間貼完所有的獎(jiǎng)狀就相當(dāng)于問(wèn)如何最節(jié)省時(shí)間，這道題目應(yīng)該從反面來(lái)考慮：時(shí)間如果浪費(fèi)了，會(huì)浪費(fèi)在等待上，也就是說(shuō)如果不想浪費(fèi)時(shí)間，我們最需要做的就是不能等待．那么可以試驗(yàn)一下，當(dāng)?shù)谝粡埅?jiǎng)狀涂完的時(shí)候，這時(shí)候不能貼也不能等那么就只能繼續(xù)涂下一張，等第二張涂完了就可以繼續(xù)貼，但是這樣下去到了最后一張的時(shí)候還是需要等待膠水可以粘貼的一段時(shí)間．

那么繼續(xù)試驗(yàn)先涂第一張A然后涂B，然后涂C，這時(shí)候A等待了4分鐘馬上貼上，再涂一張D馬上貼上已經(jīng)等待了5分鐘的B，再涂一張E貼上已經(jīng)等待6分鐘的C(題目中說(shuō)等待超過(guò)6分鐘就不可以，那么等于六分鐘應(yīng)是可以的)這樣一直下去，會(huì)使每一張獎(jiǎng)狀花費(fèi)的時(shí)間就只有涂的2分鐘和貼的1分鐘，那么總時(shí)間是96分鐘．

【例 3】 小明騎在牛背上趕牛過(guò)河．共有甲、乙、丙、丁4頭牛．甲牛過(guò)河需要1分鐘，乙牛過(guò)河需要2分鐘，丙牛過(guò)河需要5分鐘，丁牛過(guò)河需要6分鐘．每次只能趕兩頭牛過(guò)河，那么小明要把這4頭牛都趕到對(duì)岸，最小要用多少分鐘？

【解析】 要想用最少的時(shí)間，4頭牛都能過(guò)河，保證時(shí)間最短：

第一步：甲與乙一起過(guò)河，并由小明騎甲牛返回，共用：2?1?3(分鐘)；

第二步：返回原地的小明再騎丙與丁過(guò)河后再騎乙牛返回，共用了6?2?8(分鐘)； 第三步：最后小明騎甲與乙一起過(guò)河用了2分鐘；

所以，小明要把這4頭牛都趕到對(duì)岸，最小要用3?8?2?13(分鐘)．

【例 4】 有四個(gè)人在晚上準(zhǔn)備通過(guò)一座搖搖欲墜的小橋．此橋每次只能讓2個(gè)人同時(shí)通過(guò)，否則橋會(huì)倒塌．過(guò)橋的人必須要用到手電筒，不然會(huì)一腳踏空．只有一個(gè)手電筒．4個(gè)人的行走速度不同：小強(qiáng)用1分種就可以過(guò)橋，中強(qiáng)要2分中，大強(qiáng)要5分中，最慢的太強(qiáng)需要10分中．17分鐘后橋就要倒塌了．請(qǐng)問(wèn)：4個(gè)人要用什么方法才能全部安全過(guò)橋？

【解析】 小強(qiáng)和中強(qiáng)先過(guò)橋，用2分鐘；再用小強(qiáng)把電筒送過(guò)去，用1分鐘，現(xiàn)在由大強(qiáng)跟太強(qiáng)一起過(guò)橋，用10分鐘，過(guò)去以后叫中強(qiáng)把電筒送給小強(qiáng)用2分鐘，最后小強(qiáng)與中強(qiáng)一起過(guò)河再用2分鐘，他們一起用時(shí)間：2?1?10?2?2?17(分鐘)，正好在橋倒塌的時(shí)候全部過(guò)河．(時(shí)間最短過(guò)河的原則是：時(shí)間長(zhǎng)的一起過(guò)，時(shí)間短的來(lái)回過(guò)．這樣保證總的時(shí)間是最短的)．

【例 5】 有一家五口人要在夜晚過(guò)一座獨(dú)木橋．他們家里的老爺爺行動(dòng)非常不便，過(guò)橋需要12分鐘；孩子們的父親貪吃且不愛(ài)運(yùn)動(dòng)，體重嚴(yán)重超標(biāo)，過(guò)河需要時(shí)間也較長(zhǎng)，8分鐘；母親則一直堅(jiān)持勞作，動(dòng)作還算敏捷，過(guò)橋要6分鐘；兩個(gè)孩子中姐姐需要3分鐘，弟弟只要1分鐘．當(dāng)時(shí)正是初一夜晚又是陰天，不要說(shuō)月亮，連一點(diǎn)星光都沒(méi)有，真所謂伸手不見(jiàn)五指．所幸的是他們有一盞油燈，同時(shí)可以有兩個(gè)人借助燈光過(guò)橋．但要命的燈油將盡，這盞燈只能再維持30分鐘了！他們焦急萬(wàn)分，該怎樣過(guò)橋呢？

【解析】 首先姐姐跟弟弟一起過(guò)，用時(shí)3分鐘，姐姐再回去送油燈，用時(shí)3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過(guò)河，用時(shí)12分鐘，弟弟將燈送回去，用時(shí)1分鐘，弟弟和母親一起過(guò)，用時(shí)6分鐘，弟弟送燈過(guò)河，用時(shí)1分鐘，最后與姐姐一起過(guò)河，用時(shí)3分鐘．一共用時(shí)：3?3?12?1?6?1?3?29(分鐘)．最后能夠安全全部過(guò)河．

【鞏固】(迎春杯試題)小強(qiáng)、小明、小紅和小蓉4個(gè)小朋友效游回家時(shí)天色已晚，他們來(lái)到一條河的東岸，要通過(guò)一座小木橋到西岸，但是他們4個(gè)人只有一個(gè)手電筒，由于橋的承重量小，每次只能過(guò)2人，因此必須先由2個(gè)人拿著手電筒過(guò)橋，并由1個(gè)人再將手電筒送回，再由2個(gè)人拿著手電筒過(guò)橋……直到4人都通過(guò)小木橋．已知，小強(qiáng)單獨(dú)過(guò)橋要1分鐘；小明單獨(dú)過(guò)橋要1.5分鐘；小紅單獨(dú)過(guò)橋要2分鐘；小蓉單獨(dú)過(guò)橋要2.5分鐘．那么，4個(gè)人都通過(guò)小木橋，最少要多少分鐘？

【解析】 方法一：要想用最少的時(shí)間，4人都通過(guò)小木橋，可采用讓過(guò)橋最快的小強(qiáng)往返走，將手電筒送

回，這樣就能保證時(shí)間最短了．

第一步：小強(qiáng)與小明一起過(guò)橋，并由小強(qiáng)帶手電筒返回，共用：1.5?1?2.5(分鐘)； 第二步：返回原地的小強(qiáng)與小紅過(guò)橋后再返回，共用了2?1?3(分鐘)； 第三步：最后小強(qiáng)與小蓉一起過(guò)橋用了2.5分鐘；

所以，4個(gè)人都通過(guò)小木橋，最少用2.5?3?2.5?8(分鐘)．

方法二：要想用最少的時(shí)間，4人都能過(guò)橋，保證時(shí)間最短還可以：

第一步：小強(qiáng)與小明一起過(guò)橋，并由小強(qiáng)帶手電筒返回，共用：1.5?1?2.5(分鐘)； 第二步：返回原地的小紅與小蓉過(guò)橋后再由小明帶手電返回，共用了2.5?1.5?4(分鐘)； 第三步：最后小強(qiáng)與小小明一起過(guò)橋用了1.5分鐘；

所以，4個(gè)人都通過(guò)小木橋，最少用2.5?4?1.5?8(分鐘)．

【例 6】 有甲、乙兩個(gè)水龍頭，6個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個(gè)人的水桶所需時(shí)間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎么安排這6個(gè)人打水，才能使他們等候的總時(shí)間最短，最短的時(shí)間是多少？

【解析】 一人打水時(shí)，其他人需等待，為使總的等待時(shí)間盡量短，應(yīng)讓打水所需時(shí)間少的人先打．安排需3分鐘的，然后5分鐘的，最后7分鐘的在甲水龍頭打；安排需4分鐘的，然后6分鐘的，最后10分鐘的在乙水龍頭打；在甲水龍頭3分鐘的人打時(shí)，有2人等待，占用三人的時(shí)間和為(3?3)分；然后，需 5分鐘的人打水，有1人等待，占用兩人的時(shí)間和為(5?2)分；最后，需7分鐘的人打水，無(wú)人等待．甲水龍頭打水的三個(gè)人，共用(3?3?5?2?7)分，乙水龍頭的三人，共用(4?3?6?2?10)分．總的占用時(shí)間為(分)．

【鞏固】 6個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個(gè)人的水桶所需時(shí)間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．現(xiàn)在只有這一個(gè)水龍頭可用，問(wèn)怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時(shí)間最短？這個(gè)最短時(shí)間是多少？

【解析】 第一個(gè)人接水時(shí)，包括他本人在內(nèi)，共有6個(gè)人等候，第二個(gè)人接水時(shí)，有5個(gè)人等候；??第6個(gè)人接水時(shí)，只有他1個(gè)人等候．可見(jiàn)，等候的人越多(一開始時(shí))，接水時(shí)間應(yīng)當(dāng)越短，這樣總的等候時(shí)間才會(huì)最少，因此，應(yīng)當(dāng)把接水時(shí)間按從少到多順序排列等候接水，這個(gè)最短時(shí)間是3?6?4?5?5?4?6?3?7?2?10?100(分)．

【鞏固】 理發(fā)室里有甲、乙兩位理發(fā)師，同時(shí)來(lái)了五位顧客，根據(jù)他們所要理的發(fā)型，分別需要10、12、15、20和24分鐘，怎樣安排他們理發(fā)的順序，才能使這五人理發(fā)和等候所用時(shí)間的總和最少？最少時(shí)間為多少？

【解析】 一人理發(fā)時(shí)，其他人需等待，為使總的等待時(shí)間盡量短，應(yīng)讓理發(fā)所需時(shí)間少的人先理．甲先給需10分鐘的人理發(fā)，然后15分鐘的，最后24分鐘的；乙先給需12分鐘的人理發(fā)，然后20分鐘的，甲給需10分鐘的人理發(fā)時(shí)，有2人等待，占用三人的時(shí)間和為(10?3)分；然后，甲給需 15分鐘的人理發(fā)，有1人等待，占用兩人的時(shí)間和為(15?2)分；最后，甲給需 24分鐘的人理發(fā)，無(wú)人等待．甲理發(fā)的三個(gè)人，共用(10?3?15?2?24)分，乙理發(fā)的兩個(gè)人，共用(12?2?20)

分．總的占用時(shí)間為（10?3?15?2?24）?（12?2?20）?128(分)．

【例 7】(101培訓(xùn)試題)車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障，已知第一臺(tái)到第五臺(tái)修復(fù)時(shí)間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元．現(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工，⑴ 怎樣安排才能使得經(jīng)濟(jì)損失最少？⑵ 怎樣安排才能使從開始維修到維修結(jié)束歷時(shí)最短？

【解析】 ⑴ 一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的經(jīng)濟(jì)損失為：5?（17?3?20?2?30?18?2?25）?910(元)． ⑵ 因?yàn)椋?8?30?17?25?20）?2?55(分)，經(jīng)過(guò)組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺(tái)，另一人修需30和25分鐘的兩臺(tái)，修復(fù)時(shí)間最短，為55分鐘．

【例 8】(三帆中學(xué)入學(xué)考試試題)設(shè)有十個(gè)人各拿著一只提桶同時(shí)到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第一個(gè)人的桶需要1分鐘，注滿第二個(gè)人的桶需要2分鐘，……．如此下去，當(dāng)只有兩個(gè)水龍頭時(shí)，如何巧妙安排這十個(gè)人打水，使他們總的費(fèi)時(shí)時(shí)間最少？最少的時(shí)間是多少？

【解析】 要想總的時(shí)間最少，應(yīng)該安排打水時(shí)間少的人先來(lái)打水，下面給出排隊(duì)方式：

顯然計(jì)算總時(shí)間時(shí)，1、2計(jì)算了5次，3、4計(jì)算了4次，5、6計(jì)算了3次，7、8計(jì)算了2次，9、10計(jì)算了1次．所以有最短時(shí)間為（1?2）?5?（3?4）?4?（5?6）?3?（7?8）?2?（9?10）?1?125分鐘．

【例 9】(小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)試題)右圖是一張道路示意圖，每段路上的數(shù)字表示小明走這段路所需要的時(shí)間(單位：分)．小明從A到B最快要幾分鐘？

G65E4503F3H7646BDCA14

【解析】 我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡(jiǎn)化．從A到O有兩條路，A→C→O用6分鐘，A→F→O用7分鐘，排除后者，可將FO抹去，但AF不能抹去，因?yàn)閺腁到B還有其它路線經(jīng)過(guò)AF，簡(jiǎn)化為圖⑴．從A到E還剩兩條路，A→C→G→E用12分鐘，A→C→O→E用10分鐘，排除前者，可將CG，GE抹去，簡(jiǎn)化為圖⑵．從A到D還剩兩條路，A→C→O→D用12分鐘，A→H→D用13分鐘，排除后者，可將AH，HD抹去，簡(jiǎn)化為圖⑶．從A到B還剩兩條路，A→C→O→E→B用17分鐘，A→C→O→D→B用16分鐘，排除前者，可將OE，EB抹去，簡(jiǎn)化為圖⑷． 小明按A→C→O→D→B走最快，用16分鐘．

5E6CA1574O67F（1）46HBDCA1E74O67F46H（2）BDCA15E746O4GBDCA15O64BD（3）

⑴

⑵

⑶

⑷

【鞏固】(十一學(xué)校考題)下圖為某三岔路交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A，（4）

B，C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB，BC，CA的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等)，問(wèn)：x1，x2，x3的大小關(guān)系．

5055X3X12030X23035

【解析】 x1?x3?55?50?x3?5，x2?x1?20?30?x1?10，x3?x2?35?30?x2?5，所以x2?x3?x1

【例 10】 某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自行車速度快，但乘公共汽車有一個(gè)等候時(shí)間(候車時(shí)間可以看成是固定不變的)，在任何情況下，他總是采用時(shí)間最少的最佳方案.下表表示他到達(dá)A、B、C三地采用最佳方案所需要的時(shí)間.為了到達(dá)離住地8千米的地方，他需要花多少時(shí)間？并簡(jiǎn)述理由.【解析】 顯然A、B兩地所需時(shí)間與路程不成比例，所以不可能為A、B兩地均為騎自行車．

①．如果A、B兩地均采用公共汽車，那么到達(dá)B地比A地多1千米，多用15.5－12＝3.5分鐘，即公共汽車行1千米需3.5分鐘，則等候時(shí)間為12－2×3.5＝5分鐘．

當(dāng)達(dá)到A、B兩個(gè)較短的路程都采用公共汽車，那么到達(dá)C地采用的方式一定也是公共汽車，于是所需時(shí)間為4×3.5+5＝19分鐘，與題中條件不符，所以開始假設(shè)不成立；

②．所以只能是到達(dá)A采用自行車，到達(dá)B采用公共汽車，則C地采用的也是公共汽車．

由C地比B地多1千米，多18－15.5＝2.5分鐘，那么行3千米所需時(shí)間為3×2.5＝7.5分鐘，等候時(shí)間為15.5－7.5＝8分鐘．那么行至8千米的路程及等候時(shí)間為8×2.5+8＝28分鐘．

板塊

二、合理安排地點(diǎn)

【例 11】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E、F六棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)公交站，要想使居民到達(dá)車站的距離之和最短，車站應(yīng)該設(shè)在何處？

ABCDEF

【解析】 找最中間的那棟樓，可這時(shí)最中間的樓有兩個(gè)，這該怎么辦呢？其實(shí)經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，建在這兩個(gè)樓都一樣，路程和最短，所以可以建在C或D ．如果我們只要求建在這條道路上的一點(diǎn)即可，那么CD之間及點(diǎn)C、D均可．

【鞏固】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓，為使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車站應(yīng)立于何處？

ABCDE

【解析】 條件中只有五個(gè)樓的名字和排列順序，樓與樓的距離也不確定．那么我們先來(lái)分析一下A、E兩個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)車站放在AE之間的那一點(diǎn)，A到車站的距離加上E到車站的距離就是AE的長(zhǎng)

度，也就是說(shuō)車站放在哪兒不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到車站的距離之和；那么我們就使其他的3個(gè)點(diǎn)到車站的距離之和最短，再看為了使B、D兩個(gè)到車站的距離之和小，應(yīng)把車站放在BD之間．同理，只要是在BD之間，B、D到車站的距離之和也是不變的，等于BD．最后，只需要考慮C點(diǎn)到車站的距離最近就行了．那么當(dāng)然也就是把車站放在C點(diǎn)了．這里就體現(xiàn)了一個(gè)“向中心靠攏的思想”．

【鞏固】 有1993名少先隊(duì)員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問(wèn)完成任務(wù)后應(yīng)該在公路的什么地點(diǎn)集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點(diǎn)的路程總和最小？

【解析】 由于1993數(shù)目較大，不易解決．我們先從人數(shù)較小的情況入手．

當(dāng)只有2個(gè)人時(shí)，設(shè)2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點(diǎn)選在A1點(diǎn)或A2點(diǎn)或者A1A2之間的任何一個(gè)地點(diǎn)都可以．因?yàn)橛葾1、A2出發(fā)的人走過(guò)的路程總和都等于A1A2．

當(dāng)有3個(gè)人時(shí)，則集合地點(diǎn)應(yīng)該選在A2點(diǎn)（如上圖）．因?yàn)槿艏系攸c(diǎn)選在A1A2之間的B點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；

若集合地點(diǎn)選在A2A3之間的C點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地點(diǎn)選在A2點(diǎn)時(shí)，3個(gè)人所走路程總和僅是A1A3．當(dāng)然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都小．

當(dāng)有4個(gè)人時(shí)，由于集合地點(diǎn)無(wú)論選在A1A4之間的任何位置，對(duì)A1、A4崗位上的人來(lái)說(shuō)，這2人走的路程和都是A1A4（如上圖）．因此，集合地點(diǎn)的選取只影響A2、A3崗位上的人所走的路程，這就是說(shuō)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“2個(gè)人站在A2和A3崗位的情形”．根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A2或A3或者A2A3之間任何地點(diǎn)．

當(dāng)有5個(gè)人時(shí)，類似地可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“ 3個(gè)人站在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖）根據(jù)已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A3點(diǎn)．

依此遞推下去，我們就得到一個(gè)規(guī)律： 當(dāng)有偶數(shù)（2n）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點(diǎn)（包括An和An+1點(diǎn)）； 當(dāng)有奇數(shù)（2n+1）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在正中間崗位An+1點(diǎn)．

本題有1993=2×996+1（奇數(shù)）個(gè)人，因此集合地點(diǎn)應(yīng)選在從某一端數(shù)起第997個(gè)崗位處．

【例 12】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓，每棟樓里每天都有20個(gè)人要坐車，現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)公交站，要想使居民到達(dá)車站的距離之和最短，應(yīng)該設(shè)在何處？

【解析】 如果不考慮樓里坐車的人數(shù)，應(yīng)該把車站放在C點(diǎn)．因?yàn)槊織潣堑娜藬?shù)相同所以數(shù)量不影響選

擇，所以答案不影響，應(yīng)該把車站放在C點(diǎn)．

【例 13】 在一條公路上每隔100千米，有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)(如圖)共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù)，一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有10噸貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有20噸貨物，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有40噸貨物，其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的．現(xiàn)在想把所以的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1公里需要0.5元運(yùn)輸費(fèi)，那么最少要多少運(yùn)費(fèi)才行？ ABCDE

一二三四五10噸40噸20噸

【解析】 做此類問(wèn)題時(shí)我們都可以根據(jù)“小往大處靠”的原則進(jìn)行判斷，觀察可知五號(hào)倉(cāng)的最大，所以先把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的10噸貨物往五號(hào)方向靠攏，先集中到二號(hào)倉(cāng)庫(kù)，那么現(xiàn)在二號(hào)倉(cāng)庫(kù)中就有30噸貨物了．再根據(jù)“小往大處靠”的原則，那么這30噸貨物應(yīng)該集中到五號(hào)倉(cāng)庫(kù)中． 所以所需的費(fèi)用是：共需要：10?0.5?100?500(元)，30?0.5?300?4500(元)，500?4500?5000(元)．

【鞏固】(人大附中分班考試題)在一條公路上，每隔10千米有一座倉(cāng)庫(kù)(如圖)，共有五座，圖中數(shù)字表示各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存貨物的重量．現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1千米需要運(yùn)費(fèi)0.9元，那么集中到哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)費(fèi)最少？

10噸A30噸B20噸C10噸D60噸E

【解析】 這道題可以用“小往大處靠”的原則來(lái)解決．E點(diǎn)60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢(shì)力，A往E那個(gè)方向集中，集中到B，B變成40噸，判斷仍是E的勢(shì)力最大，所以繼續(xù)向E方向集中，B點(diǎn)集中到C點(diǎn)，C點(diǎn)變成60噸．此時(shí)C點(diǎn)和E點(diǎn)都是60噸，那么C、E誰(shuí)看成大勢(shì)力都可以．例如把E點(diǎn)集中到D點(diǎn)，D點(diǎn)是70噸．所以C點(diǎn)也要集中到D點(diǎn)．確定了集中地點(diǎn)，運(yùn)輸費(fèi)用也就容易求了．運(yùn)費(fèi)最少為：（10?30?30?20?20?10?60?10）?0.9?1530(元)．

【例 14】 在一條公路上，每隔100千米有一座倉(cāng)庫(kù)，共有8座，圖中數(shù)字表示各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存貨物的重量(單位：噸)，其中C、G為空倉(cāng)庫(kù)．現(xiàn)在要把所有的貨物集中存入一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1千米需要0.5元，那么集中到那個(gè)倉(cāng)庫(kù)中運(yùn)費(fèi)最少，需要多少元運(yùn)費(fèi)？

A10B30CD20E5F10GH60

【解析】 根據(jù)這道題可以用“小往大處靠”的原則來(lái)解決．H點(diǎn)60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢(shì)力，A往H那個(gè)方向集中，集中到B，B變成40噸，判斷仍是H的勢(shì)力最大，所以繼續(xù)向H方向集中，B點(diǎn)集中到D點(diǎn)，D點(diǎn)變成60噸．此時(shí)D點(diǎn)和H點(diǎn)都是60噸，那么D、H誰(shuí)看成大勢(shì)力都可以．例如把H點(diǎn)集中到F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是70噸．把D點(diǎn)集中到E點(diǎn)，E點(diǎn)是65噸所以E點(diǎn)也要集中到F點(diǎn)．確定了集中地點(diǎn)為F點(diǎn)，運(yùn)輸費(fèi)用也就容易求了．運(yùn)費(fèi)最少為：（10?500?30?400?20?200?5?100?60?200）?0.5?16750(元)．

【鞏固】(04年我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)一條直街上有5棟樓，從左到右編號(hào)為1，2，3，4，5，相鄰兩樓的距離都是50米．第1號(hào)樓有1名職工在A廠上班，第2號(hào)樓有2名職工在A廠上班……，第5號(hào)樓有5名職工在A廠上班．A廠計(jì)劃在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班，為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓多少米處？

【解析】 如圖所示，“小往大處靠”的原則來(lái)解決，故應(yīng)建在4號(hào)樓的位置，距1號(hào)樓150米處．

12345

［小結(jié)］對(duì)于集中貨物的問(wèn)題，涉及到了重量，而集中到何處起決定作用的是貨物的重量，而至于距離，僅僅只是為了計(jì)算所以對(duì)于這類問(wèn)題老師要強(qiáng)調(diào)“小往大處靠”的原則．

【例 15】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫(kù))右圖是A，B，C，D，E五個(gè)村之間的道路示意圖，○中數(shù)字是各村要上學(xué)的學(xué)生人數(shù)，道路上的數(shù)表示兩村之間的距離(單位：千米)．現(xiàn)在要在五村之中選一個(gè)村建立一所小學(xué)．為使所有學(xué)生到學(xué)校的總距離最短，試確定最合理的方案．

A402B20320C435D550E

【解析】 “小往大處靠”的原則來(lái)解決，A點(diǎn)向C點(diǎn)集中，因?yàn)楦鶕?jù)“小往大處靠”的原則，雖然A點(diǎn)40人比C點(diǎn)20人多，但是人最多的點(diǎn)是E點(diǎn)，所以大方向是向E點(diǎn)的方向靠攏．那么B點(diǎn)當(dāng)然也要向C點(diǎn)靠攏．C點(diǎn)就有80人了．此時(shí)人數(shù)最多的點(diǎn)變成了C點(diǎn)了．D、E又變成小勢(shì)力了，因此還是“小往大處靠”的原則，看大方向，E點(diǎn)要向D點(diǎn)靠攏．此時(shí)D點(diǎn)變成85人了．那么D點(diǎn)比此時(shí)C點(diǎn)的80人多了．C點(diǎn)又變成小勢(shì)力了．所以最終要集中在D點(diǎn)．也就是學(xué)校要設(shè)在D點(diǎn)．

【鞏固】(三帆中學(xué)分班考試題)有七個(gè)村莊A1，A2，?，A7分布在公路兩側(cè)(見(jiàn)右圖)，由一些小路與公路相連，要在公路上設(shè)一個(gè)汽車站，要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應(yīng)設(shè)在哪里？

A1CBA2A3A4A5DEA7A6F公路

【解析】 本題可簡(jiǎn)化為“B，C，D，E，F(xiàn)處分別站著1，1，2，2，1個(gè)人(見(jiàn)右圖)，求一點(diǎn)，使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小”．顯然D、E最大，靠攏完的結(jié)果變成了D?4，E?3，所以車站設(shè)在D點(diǎn)．

【例 16】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫(kù))某鄉(xiāng)共有六塊麥地，每塊麥地的產(chǎn)量如右圖．試問(wèn)麥場(chǎng)設(shè)在何處最好？(運(yùn)輸總量的千克千米數(shù)越小越好．)

3000千克F2000千克EAG6000千克4000千克BD5000千克C1000千克

【解析】 依據(jù)“小往大靠”，“支往干靠”．我們不妨以F-E-C-D為干，顯然麥場(chǎng)設(shè)在C點(diǎn)．當(dāng)然你以其他路經(jīng)為干，都會(huì)的到同樣結(jié)果．譬如：若以F-E-C-A為干，那么依據(jù)“支往干靠”，D就靠到C，B移到G，當(dāng)作“干”上一成員．

板塊

三、合理布線和調(diào)運(yùn)

【例 17】 新建的自來(lái)水廠要給沿公路的十個(gè)村莊供應(yīng)自來(lái)水(如下圖，距離單位為千米)，要安裝水管有粗細(xì)兩種選擇，粗管足夠供應(yīng)所有村莊使用，細(xì)管只能供一個(gè)村用水，粗管每千米要用8000元，細(xì)管每千米要2000元，如果粗細(xì)管適當(dāng)搭配，互相連接，可以降低費(fèi)用，怎樣安排才能使這項(xiàng)工程費(fèi)用最低？費(fèi)用是多少元？

自來(lái)水廠30A5B2C4D2E3F2G2H2I5J

【解析】 由于細(xì)管相對(duì)于粗管來(lái)講，價(jià)錢要少一些，因此先假設(shè)都用細(xì)管．那么從自來(lái)水廠到J村要鋪設(shè)10根細(xì)管，自來(lái)水廠到I村要鋪設(shè)9根細(xì)管，依次下去，我們用圖表示鋪細(xì)管的情況．因?yàn)榇止?/p>

是細(xì)管價(jià)格的4倍，如果用細(xì)管代替粗管重疊數(shù)超過(guò)4條費(fèi)用更大，僅在3條或3條以下才會(huì)節(jié)約，而細(xì)管只能供應(yīng)一村用水，所以粗管從水廠一直接到G村為止，再用三條細(xì)管連接H、I、J三個(gè)村，這樣費(fèi)用最低，總費(fèi)用：8000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5）?414000(元)．

【例 18】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫(kù))有十個(gè)村莊，座落在從縣城出發(fā)的一條公路上，現(xiàn)要安裝水管，從縣城供各村自來(lái)水．可以用粗、細(xì)兩種水管，粗管每千米7000元，細(xì)管每千米2000元．粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供應(yīng)一個(gè)村用水，各村與縣城間距離如右圖所示(圖中單位是千米)，現(xiàn)要求按最節(jié)約的方法鋪設(shè)，總費(fèi)用是多少？

30縣城A1524232225A10

A2A3A4A5A6A7AA89【解析】 由于細(xì)管相對(duì)于粗管來(lái)講，價(jià)錢要少一些，因此先假設(shè)都用細(xì)管．那么從縣城到A1村要鋪設(shè)10根細(xì)管，A1村到A2村要鋪設(shè)9根細(xì)管，依次下去，我們用圖表示鋪細(xì)管的情況．

因?yàn)榇止苊壳?000元，細(xì)管每千米2000元，所以4根細(xì)管的價(jià)錢將大于1根粗管的價(jià)錢．這樣一來(lái)，凡是超過(guò)3根細(xì)管的路段，都應(yīng)改鋪粗管． 因此，從縣城到A7村鋪1根粗管，A7村到A8村鋪3根細(xì)管，A8村到A9村鋪2根細(xì)管，A9村到A10村鋪1根細(xì)管．總費(fèi)用為： 7000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5?1）?36600(元)．

【例 19】 北京、洛陽(yáng)分別有11臺(tái)和5臺(tái)完全相同的機(jī)器，準(zhǔn)備給杭州7臺(tái)、西安9臺(tái)，每臺(tái)機(jī)器的運(yùn)費(fèi)如右表，如何調(diào)運(yùn)能使總運(yùn)費(fèi)最省？

運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站北京洛陽(yáng)杭州800700西安1000600

【解析】 方法一：由表中看出，北京到杭州的運(yùn)費(fèi)比到西安便宜，而洛陽(yáng)正相反，到西安的運(yùn)費(fèi)比到杭州便宜．所以，北京的機(jī)器應(yīng)盡量運(yùn)往杭州，洛陽(yáng)的機(jī)器應(yīng)盡量運(yùn)往西安．最佳的調(diào)運(yùn)方案為：北京發(fā)往杭州7臺(tái)，發(fā)往西安4臺(tái)，洛陽(yáng)發(fā)往西安5臺(tái)．總運(yùn)費(fèi)為800?7?1000?4?600?5?12600(元)．

方法二：本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決，設(shè)北京調(diào)運(yùn)杭州x臺(tái)，調(diào)運(yùn)西安(11?x)臺(tái)，則洛陽(yáng)應(yīng)調(diào)運(yùn)杭州(7?x)臺(tái)，調(diào)運(yùn)西安9?（11?x）?x?2(臺(tái))，總運(yùn)費(fèi)W?800x?1000（11?x）?700（7?x）?600（x?2）?800x?11000?1000x?4900

因?yàn)橐箍傔\(yùn)費(fèi)14700?300x最小，需要300x最大． ?700x?600x?1200?14700?300x，由于x是北京調(diào)運(yùn)杭州的臺(tái)數(shù)，且x≤7，所以當(dāng)x?7時(shí)，總運(yùn)費(fèi)W?14700?300?7?12600(元)最小．由x?7可知，北京調(diào)運(yùn)杭州7臺(tái)，調(diào)運(yùn)西安4臺(tái)，洛陽(yáng)調(diào)運(yùn)杭州0臺(tái)，調(diào)運(yùn)西安5臺(tái)．

【鞏固】 北京、上海分別有10臺(tái)和6臺(tái)完全相同的機(jī)器，準(zhǔn)備給武漢11臺(tái)，西安5臺(tái)，每臺(tái)機(jī)器的運(yùn)費(fèi)如右表，如何調(diào)運(yùn)能使總運(yùn)費(fèi)最省？

運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站北京上海武漢500700西安6001000

【解析】 與例題不同的是，北京、上海到西安的運(yùn)費(fèi)都比到武漢的高，沒(méi)有出現(xiàn)一高一低的情況．此時(shí)，可以通過(guò)比較運(yùn)輸中的差價(jià)大小來(lái)決定最佳方案． ⑴ 上表中第一行的差價(jià)為600?500?100(元)，第二行的差價(jià)為1000?700?300(元)．說(shuō)明從北京給西安多發(fā)1臺(tái)機(jī)器要多付運(yùn)費(fèi)100元，而從上海給西安多發(fā)1臺(tái)機(jī)器要多付運(yùn)費(fèi)300元．所

以應(yīng)盡量把北京的產(chǎn)品運(yùn)往西安，而西安只要5臺(tái)，于是可知北京調(diào)往西安5臺(tái)，其余5臺(tái)調(diào)往武漢，上海6臺(tái)全部調(diào)往武漢，總運(yùn)費(fèi)為：600?5?500?5?700?6?9700(元)．

⑵ 如果改為看表中的列，那么由于第一列的差價(jià)為700?500?200(元)，第二列差價(jià)為(元)，所以武漢需要的機(jī)器應(yīng)盡量從上海調(diào)運(yùn)，而上海只有6臺(tái)，不足的部1000?600?400分由北京調(diào)運(yùn)．這個(gè)結(jié)論同前面得到的相同．

【例 20】 北京和上海同時(shí)制成了電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，除了供應(yīng)本地外，北京可以支援外地10臺(tái)，上海可以支持外地4臺(tái)．現(xiàn)決定給重慶8臺(tái)，漢口6臺(tái)，若每臺(tái)計(jì)算機(jī)的運(yùn)費(fèi)如右表，上海和北京制造的機(jī)器完全相同，應(yīng)該怎樣調(diào)運(yùn)，才能使總的運(yùn)費(fèi)最省？最省的運(yùn)費(fèi)是多少？

運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站北京上海漢口43重慶85

【解析】 方法一：本題中雖然上海到漢口的運(yùn)費(fèi)最少，只有3百元，但是上海到漢口比北京到漢口只節(jié)省

(4?3?)1百元，相比之下，上海到重慶比北京到重慶要節(jié)省(8?5?)3百元．所以重慶所需臺(tái)數(shù)應(yīng)由上海盡量滿足，即上海的4臺(tái)全部調(diào)運(yùn)重慶，北京再補(bǔ)給重慶4臺(tái)，漢口的6臺(tái)從北京調(diào)運(yùn)．總運(yùn)費(fèi)為：5?4?8?4?4?6?76(百元)

方法二：本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決，設(shè)北京調(diào)運(yùn)漢口x臺(tái)，調(diào)運(yùn)重慶(10?x)臺(tái)，則上海應(yīng)調(diào)運(yùn)漢口(6?x)臺(tái)，調(diào)運(yùn)重慶4?（6?x）?x?2(臺(tái))，總運(yùn)費(fèi)W?4x?（810?x）?（36?x）?（5x?2）?4x?80?8x?18?3x?5x?10?88?2x，因?yàn)橐箍傔\(yùn)費(fèi)88?2x最小，需要2x最大．由于x是北京調(diào)運(yùn)漢口的臺(tái)數(shù)，且x?6，所以當(dāng)x?6時(shí)，總運(yùn)費(fèi)W?88?2?6?76(百元)最小．由x?6可知，北京調(diào)運(yùn)漢口6臺(tái)，調(diào)運(yùn)重慶4臺(tái)，上海調(diào)運(yùn)漢口0臺(tái)，調(diào)運(yùn)重慶4臺(tái)．

【例 21】 北倉(cāng)庫(kù)有貨物35噸，南倉(cāng)庫(kù)有貨物25噸，需要運(yùn)到甲、乙、丙三個(gè)工廠中去．其中甲工廠需要28噸，乙工廠需要12噸，丙工廠需要20噸．兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)與各工廠之間的距離如圖所示(單位：公里)．已知運(yùn)輸每噸貨物1公里的費(fèi)用是1元，那么將貨物按要求運(yùn)入各工廠的最小費(fèi)用是多少元？

北倉(cāng)庫(kù)10甲86乙5南倉(cāng)庫(kù)1612丙

【解析】 通過(guò)分析將題目給的圖形先轉(zhuǎn)化為下圖⑴，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^(guò)差價(jià)的大小來(lái)決定最佳方案．觀察上表各列兩數(shù)之差，最大的是第三列16?12?4，因此北倉(cāng)庫(kù)的貨物盡可能的供應(yīng)丙工廠，即北倉(cāng)庫(kù)供應(yīng)丙20噸．在剩下的兩列中，第一列的差大于第二列的差，所以南倉(cāng)庫(kù)的貨物盡可能的供應(yīng)甲工廠，即南倉(cāng)庫(kù)供應(yīng)甲25噸．因?yàn)槟蟼}(cāng)庫(kù)貨物分配完，其余的甲需要的28?25?3(噸)由北倉(cāng)庫(kù)供應(yīng)，即北倉(cāng)庫(kù)供給丙后剩下的15噸貨物3噸給甲15?3?12(噸)給乙，相應(yīng)的運(yùn)費(fèi)為：3?10?12?6?20?12?25?8?542(元)．

運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站北倉(cāng)庫(kù)南倉(cāng)庫(kù)甲108乙65丙1216運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站北倉(cāng)庫(kù)35噸南倉(cāng)庫(kù)25噸甲325乙12丙20

⑴ ⑵

【例 22】 A、B兩個(gè)糧店分別有70噸和60噸大米，甲、乙、丙三個(gè)居民點(diǎn)分別需要30噸、40噸和50噸大米．從A，B兩糧店每運(yùn)1噸大米到三個(gè)居民點(diǎn)的運(yùn)費(fèi)如右圖所示：如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最少？

運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站AB甲030乙400丙3020運(yùn)費(fèi)/元到站發(fā)站AB甲23乙710丙35

【解析】 A，B糧店共有大米 70?60?130(噸)，甲、乙、丙三個(gè)居民點(diǎn)需要大米30?40?50?120(噸)，供應(yīng)量與需求量不相等，但是我們?nèi)钥梢酝ㄟ^(guò)差價(jià)的大小來(lái)決定最佳方案．觀察上表各列兩數(shù)之差，最大的是第二列10?7?3，因此A糧店的大米應(yīng)盡可能多地供應(yīng)乙，即A供應(yīng)乙40噸．在剩下的兩列中，第三列的差大于第一列的差，所以A糧店剩下的30噸應(yīng)全部供應(yīng)丙．因?yàn)锳糧店的的大米已分配完，其余的由B糧店供應(yīng)，即B供應(yīng)甲30噸，供應(yīng)丙20噸，調(diào)運(yùn)方案如右表，相應(yīng)的運(yùn)費(fèi)為：30?3?40?7?30?3?20?5?560(元)．

【例 23】 一支勘探隊(duì)在五個(gè)山頭A、B、C、D、E設(shè)立了基地，人數(shù)如右圖所示.為調(diào)整使各基地人數(shù)相同，如何調(diào)動(dòng)最方便？（調(diào)動(dòng)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近）

【解析】 在人員調(diào)運(yùn)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近的因素，就只需避免兩個(gè)基地之間相互調(diào)整，即“避免對(duì)流現(xiàn)象”。

五個(gè)基地人員總數(shù)為17+4+16+14+9=60（人）依題意，調(diào)整后每個(gè)基地應(yīng)各有60÷5=12（人）。

因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E調(diào)人.為了避免對(duì)流，經(jīng)試驗(yàn)容易得到調(diào)整方案如下：先從D調(diào)2人到E，這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E，則E達(dá)到要求.此時(shí)，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B，則B亦符合要求。調(diào)動(dòng)示意圖如右圖所示.這樣的圖形叫做物資流向圖.用流向 圖代替調(diào)運(yùn)方案，能直觀地看出調(diào)運(yùn)狀況及有無(wú)對(duì)流現(xiàn)象，又可避免列表和計(jì)算的麻煩，圖中箭頭表示流向，箭桿上的數(shù)字表示流量。

【例 24】 下圖是一個(gè)交通示意圖，A、B、C是產(chǎn)地(用●表示，旁邊的數(shù)字表示產(chǎn)量，單位：噸)，D、E、F是銷地(用○表示，旁邊的數(shù)字表示銷量，單位：噸)，線段旁邊有括號(hào)的數(shù)字表示兩地每噸貨物的運(yùn)價(jià)，單位：百元(例如B與D兩地，由B到D或由由D到B每噸貨物運(yùn)價(jià)100元)．將產(chǎn)品由產(chǎn)地全部運(yùn)往銷地，怎樣調(diào)運(yùn)使運(yùn)價(jià)最小？最小運(yùn)價(jià)是多少？

E5(6)(4)C6(4)8(3)5FA(3)D(1)9B5第3題【解析】 為了運(yùn)價(jià)最小，圖中可以直接看出B地的5噸貨物，必然要運(yùn)往D，這個(gè)時(shí)候D還差9?5?4

(噸)．一定需要從A運(yùn)4噸．之后A剩下8?4?4噸．之后分兩種情況．如果A的4噸全部運(yùn)往F，之后把C中的1噸運(yùn)往F，5噸運(yùn)往E．總共需要運(yùn)費(fèi)為

5?1?4?3?4?3?1?4?5?6?63(百元)?6300(元)；如果A的4噸全部運(yùn)往E，之后C中的1噸運(yùn)往E，5噸運(yùn)往F，總共需要運(yùn)費(fèi)為5?1?4?3?4?4?1?6?5?4?59(百元)?5900(元)．

E4A4D5B1FC5圖1

板塊

四、其他最優(yōu)化問(wèn)題

【例 25】 用10尺長(zhǎng)的竹竿做原材料，來(lái)截取3尺、4尺長(zhǎng)的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎么截法最合算？

【解析】 分析 不難想到有三種截法省料：

截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無(wú)殘料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺； 截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。由于截法1最理想（無(wú)殘料），因此應(yīng)該充分應(yīng)用截法1.考慮用原材料50根，可以截成100根3尺長(zhǎng)的短竹竿，而4尺長(zhǎng)的僅有50根，還差50根.于是再應(yīng)用截法3，截原材料25根，可以得到4尺長(zhǎng)的短竹竿50根，留下殘料2×25＝50（尺）。

【例 26】 山區(qū)有一個(gè)工廠．它的十個(gè)車間分散在一條環(huán)行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈運(yùn)送貨物。貨車到了某一車間，就要有裝卸工人裝上或卸下貨物．各車間由于工作 量不同，所需裝卸工人數(shù)也不同，各車間所需裝卸工人數(shù)如圖所示。當(dāng)然，裝卸工可以固定在車間等車；也可以坐在貨車上跟車到各車間去干活；也可以一部分裝卸 工固定在車間，另一部分跟車．問(wèn)怎樣安排跟車人數(shù)和各車間固定人數(shù)，才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？

【解析】 如跟車人數(shù)為57，則各車間都不用安排人，但這樣在需要人數(shù)少的車間，浪費(fèi)人力,不行；為此找出各車間人數(shù)的平均數(shù)，后再調(diào)整。各車間人數(shù)的平均數(shù)為.43.9.若跟車人數(shù)為43，則需人數(shù)多于43的車間需增加的人數(shù)分別為14，7，5，3，9，此時(shí)共需人數(shù)43×4+14+7+5+3+9=210。若 跟車人數(shù)為46，由于需人數(shù)多于46的有四個(gè)車間，貨車上增多的人數(shù)與四個(gè)車間減少的人數(shù)一樣。故跟車人數(shù)為46人，需人數(shù)多于46的四個(gè)車間人數(shù)各增加 所差數(shù)即可 46×4+4+2+6+11=207（人）．

【例 27】 現(xiàn)有5段鐵鏈，每段上有4個(gè)封閉的鐵環(huán)．現(xiàn)在要打開一些鐵環(huán)，把這20個(gè)鐵環(huán)焊接成一個(gè)一環(huán)套一環(huán)的圓圈．如果每打開一個(gè)鐵環(huán)要2分鐘，焊接上一個(gè)鐵環(huán)要3分鐘．那么焊成這個(gè)圓圈，至少需要________分鐘．

第8題)，下面用每個(gè)鐵環(huán)把剩下的4 段鐵鏈之間的兩個(gè)【解析】 把第一段的每個(gè)都打開之后用了4?2?8(分鐘相連，只需要4?3?12(分鐘)．所以至少需要20分鐘．

【例 28】 國(guó)王準(zhǔn)備了1000桶酒作慶祝他的生日，可惜在距離生日前十日，國(guó)王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后則正好第10日發(fā)作．有人提議用死刑犯試毒，問(wèn)至少需要多少個(gè)死刑犯才能保證檢驗(yàn)出一桶有毒的酒桶？如何試毒？

【解析】 將酒桶編號(hào)1～1000全部改為二進(jìn)制 應(yīng)該是0000000001～1111101000，讓一號(hào)犯人喝末位數(shù)字是1的毒酒，二號(hào)犯人喝倒數(shù)第二位數(shù)字是1的毒酒．．．．．．十號(hào)犯人喝第一位編號(hào)是1的毒酒，這樣的話如果某一號(hào)犯人死亡就說(shuō)明相應(yīng)的某一位數(shù)字是1，如果沒(méi)有死亡那就說(shuō)明相應(yīng)位上的數(shù)字是零．比如一號(hào)犯人死亡，二號(hào)~九號(hào)犯人存活．．．．．．十號(hào)犯人死亡，那么毒酒的編號(hào)就是0111111110也就是第510桶有毒．

【鞏固】 歡歡、迎迎各有4張卡片，每張卡片上各寫有一個(gè)自然數(shù)．兩人各出一張卡片，計(jì)算兩張卡片上所寫數(shù)的和，結(jié)果發(fā)現(xiàn)一共能得到16個(gè)不同的和．那么，兩人的卡片上所寫的數(shù)中最大的數(shù)最小是 ．

【解析】 為了讓兩人的卡片上所寫的數(shù)中最大的數(shù)最小，首先應(yīng)該讓它們這16個(gè)不同的和最小，因?yàn)樗麄兌际亲匀粩?shù)，所以最小的十六個(gè)數(shù)應(yīng)該是0~15，這恰好是二進(jìn)制0000~1111，每人手里有四張牌，可以有四種不同的數(shù)字，那么可以這樣，讓每個(gè)人手中的牌控制二進(jìn)制當(dāng)中的兩位，比如歡歡手里的牌是0000、1000、0100、1100這樣的話他可以控制二進(jìn)制的前兩位，相應(yīng)的迎迎手里的卡片應(yīng)該是0000、0001、0010、0011，這樣的話它們就能組成0000~1111所有的數(shù)，但是這樣的話歡歡手里的牌控制的是最高的兩位，這樣的話他手里的牌就有點(diǎn)太大了，為了讓最大的數(shù)最小應(yīng)該讓控制最高位的人同時(shí)控制最低位，這樣的話，對(duì)歡歡手里的牌做調(diào)整，可以得到0000、1000、0001、1001，迎迎手里的牌是0000、0010、0100、0110，這樣的話同樣可以得到0000~1111，16各不同的數(shù)字，而且8張牌中最大的數(shù)字也只是1001也就是9．

【例 29】 一個(gè)物流港有6個(gè)貨站，用4輛同樣的載重汽車經(jīng)過(guò)這6個(gè)貨站組織循環(huán)運(yùn)輸．每個(gè)貨站所需要的裝卸工人數(shù)如下圖．為了節(jié)省人力，可安排流動(dòng)的裝卸工隨車到任何一個(gè)貨站裝卸．在最優(yōu)的安排下使物流港裝卸工總?cè)藬?shù)最少，則是 人．

【解析】 如果每輛車配4人，此時(shí)共有裝卸工4?4?2?0?4?1?0?0?23人，如果每輛車配5人，此時(shí)共有裝卸工4?5?1?0?3?0?0?0?24人，如果每輛車配6人，此時(shí)共有裝卸工4?6?0?0?2?0?0?0?26人，如上我們發(fā)現(xiàn)人數(shù)是越來(lái)越多的，23小于24小于26，故最少23人．

【鞏固】 一個(gè)工廠有7個(gè)車間，分散在一條環(huán)形鐵路上，三列火車循環(huán)運(yùn)輸產(chǎn)品．每個(gè)車間裝卸貨物所需工人數(shù)為25、18、27、10、20、15、30．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總?cè)藬?shù)最合理？

【解析】 一個(gè)工廠有7個(gè)車間，分散在一條環(huán)形鐵路上，三列火車循環(huán)運(yùn)輸產(chǎn)品．每個(gè)車間裝卸貨物所需工人數(shù)為25、18、27、10、20、15、30，．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總?cè)藬?shù)最合理．

如果車上不跟人，各車間所需人數(shù)和為：10?15?18?20?25?27?30?147(人)，如果每列車上跟1人，共多3人；每個(gè)車間可少1人，共少7人，多3少7，可減少4人．

每列車上跟10人，總?cè)藬?shù)可減少40人．

從11至15，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少3人． 從16至18，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少2人． 從19至20，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少1人． 21增3減3無(wú)意義．

總?cè)藬?shù)為 20?3?5?7?10?82(人)最少．

【例 30】 一次，齊王與大將賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次比賽馬的出場(chǎng)順序一次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑得最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等自己的四等．田忌有 種方法安排自己的馬出場(chǎng)順序，保證自己至少能贏得兩場(chǎng)比賽．

【解析】 第一場(chǎng)不管怎么樣田忌都必輸，田忌只可能在接下來(lái)的三場(chǎng)里贏得比賽，若三場(chǎng)全勝，則只有一種出場(chǎng)方法；

若勝兩場(chǎng)，則又分為三種情況：

二，三兩場(chǎng)勝，此時(shí)只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏齊王的三等馬，只有這一種情況；

二，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有三種情況； 三，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有七種情況； 所以一共有1?1?3?7?12種方法．

第二篇：四年級(jí)奧數(shù) 統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題(教師用)

雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)題：統(tǒng)籌規(guī)劃

（一）【試題】

1、燒水沏茶時(shí)，洗水壺要用1分鐘，燒開水要用10分鐘，洗茶壺要用2分鐘，洗茶杯用2分鐘，拿茶葉要用1分鐘，如何安排才能盡早喝上茶。

【分析】：先洗水壺 然后燒開水，在燒水的時(shí)候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉。共需要1+10=11分鐘。

【試題】

2、有137噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升和5公升，問(wèn)如何選派車輛才能使運(yùn)輸耗油量最少？這時(shí)共需耗油多少升？

【分析】：依題意，大卡車每噸耗油量為10÷5=2(公升)；小卡車每噸耗油量為5÷2=2.5(公升)。為了節(jié)省汽油應(yīng)盡量選派大卡車運(yùn)貨，又由于

137=5×27+2，因此，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案是：選派27車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運(yùn)完，且這時(shí)耗油量最少，只需用油

10×27+5×1=275(公升)

【試題】

3、用一只平底鍋烙餅，鍋上只能放兩個(gè)餅，烙熟餅的一面需要2分鐘，兩面共需4分鐘，現(xiàn)在需要烙熟三個(gè)餅，最少需要幾分鐘？

【分析】：一般的做法是先同時(shí)烙兩張餅，需要4分鐘，之后再烙第三張餅，還要用4分鐘，共需8分鐘，但我們注意到，在單獨(dú)烙第三張餅的時(shí)候，另外一個(gè)烙餅的位置是空的，這說(shuō)明可能浪費(fèi)了時(shí)間，怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？

我們可以先烙第一、二兩張餅的第一面，2分鐘后，拿下第一張餅，放上第三張餅，并給第二張餅翻面，再過(guò)兩分鐘，第二張餅烙好了，這時(shí)取下第二張餅，并將第三張餅翻過(guò)來(lái)，同時(shí)把第一張餅未烙的一面放上。兩分鐘后，第一張和第三張餅也烙好了，整個(gè)過(guò)程用了6分鐘。

統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題

（二）【試題】

4、甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一個(gè)小水龍頭處用水，甲洗拖布需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙用桶接水需要1分鐘，丁洗衣服需要10分鐘，怎樣安排四人的用水順序，才能使他們所花的總時(shí)間最少，并求出這個(gè)總時(shí)間。

【分析】：所花的總時(shí)間是指這四人各自所用時(shí)間與等待時(shí)間的總和，由于各自用水時(shí)間是固定的，所以只能想辦法減少等待的時(shí)間，即應(yīng)該安排用水時(shí)間少的人先用。雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

解：應(yīng)按丙，乙，甲，丁順序用水。

丙等待時(shí)間為0，用水時(shí)間1分鐘，總計(jì)1分鐘

乙等待時(shí)間為丙用水時(shí)間1分鐘，乙用水時(shí)間2分鐘，總計(jì)3分鐘

甲等待時(shí)間為丙和乙用水時(shí)間3分鐘，甲用水時(shí)間3分鐘，總計(jì)6分鐘

丁等待時(shí)間為丙、乙和甲用水時(shí)間共6分鐘，丁用水時(shí)間10分鐘，總計(jì)16分鐘，總時(shí)間為1＋3＋6＋16＝26分鐘。

統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題

（三）【試題】

5、甲、乙、丙、丁四個(gè)人過(guò)橋，分別需要1分鐘，2分鐘，5分鐘，10分鐘。因?yàn)樘旌冢仨毥柚谑蛛娡策^(guò)橋，可是他們總共只有一個(gè)手電筒，并且橋的載重能力有限，最多只能承受兩個(gè)人的重量，也就是說(shuō)，每次最多過(guò)兩個(gè)人。現(xiàn)在希望可以用最短的時(shí)間過(guò)橋，怎樣才能做到最短呢？你來(lái)幫他們安排一下吧。最短時(shí)間是多少分鐘呢？

【分析】：大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應(yīng)該比較節(jié)省時(shí)間。而他們只有一個(gè)手電筒，每次又只能過(guò)兩個(gè)人，所以每次過(guò)橋后，還得有一個(gè)人返回送手電筒。為了節(jié)省時(shí)間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔(dān)往返送手電筒的任務(wù)。那么就應(yīng)該讓甲和乙先過(guò)橋，用時(shí)2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過(guò)橋，用時(shí)10分鐘。接下來(lái)乙返回，送手電筒，用時(shí)2分鐘，再和甲一起過(guò)橋，又用時(shí)2分鐘。所以花費(fèi)的總時(shí)間為：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘。

解：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘

【試題】

6、小明騎在牛背上趕牛過(guò)河，共有甲乙丙丁四頭牛，甲牛過(guò)河需1分鐘，乙牛需2分鐘，丙牛需5分鐘，丁牛需6分鐘，每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過(guò)河。

【分析】：要使過(guò)河時(shí)間最少，應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(1)同時(shí)過(guò)河的兩頭牛過(guò)河時(shí)間差要盡可能小(2)過(guò)河后應(yīng)騎用時(shí)最少的牛回來(lái)。

解：小明騎在甲牛背上趕乙牛過(guò)河后，再騎甲牛返回，用時(shí)2＋1＝3分鐘

然后騎在丙牛背上趕丁牛過(guò)河后，再騎乙牛返回，用時(shí)6＋2＝8分鐘

最后騎在甲牛背上趕乙牛過(guò)河，不用返回，用時(shí)2分鐘。

總共用時(shí)(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分鐘。

第三篇：四年級(jí)奧數(shù)第十二講——簡(jiǎn)單統(tǒng)籌規(guī)劃(教師用)

遠(yuǎn)輝教育

遠(yuǎn)輝教育奧數(shù)班第十二講

——簡(jiǎn)單統(tǒng)籌規(guī)劃

主講人：楊老師

學(xué)生：四年級(jí)

電話：62379828

一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

最優(yōu)化概念反映了人類實(shí)踐活動(dòng)中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間的前提下，努力爭(zhēng)取獲得在允許范圍內(nèi)的最佳效益．因此，最優(yōu)化問(wèn)題成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究以及日常生活中都有廣泛的應(yīng)用．作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者，接觸一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解一些優(yōu)化的思想是十分有益的．

二、典例剖析：

例1 媽媽讓小明給客人燒水沏茶．洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘．洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘．小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘．為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？

分析 本題取自華羅庚教授1965年發(fā)表的《統(tǒng)籌方法平話》．燒水沏茶的情況是：開水要燒，開水壺要洗，茶壺茶杯要洗，茶葉要取．怎樣安排工作程序最省時(shí)間呢？

辦法甲：洗好開水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開的時(shí)候，洗茶杯，拿茶葉，等水開了，沏茶喝．

辦法乙：先做好一切準(zhǔn)備工作，洗開水壺，洗壺杯，拿茶葉，灌水燒水，坐等水開了沏茶喝．

辦法丙：洗開水壺，灌上涼水，放在火上坐待水開，開了之后急急忙忙找茶葉，洗壺杯，沏茶喝．

誰(shuí)都能一眼看出第一種辦法好，因?yàn)楹髢煞N辦法都“窩了工”．

開水壺不洗，不能燒開水，固為洗開水壺是燒開水的先決條件，沒(méi)開水、沒(méi)茶葉、不洗壺杯，我們不能沏茶，因而這些又是沏茶的先決條件．它們的相互關(guān)系可以用下圖的箭頭圖來(lái)顯示．

箭桿上的數(shù)字表示完成這一工作所需的時(shí)間，例如→表示從把水放在爐上到水開的時(shí)間是15分鐘．從圖上可以一眼看出，辦法甲總共要16分鐘，而辦法乙、丙需20分鐘．

洗壺杯、拿茶葉沒(méi)有什么先后關(guān)系，而且是由同一個(gè)人來(lái)做，因此可以將上圖合并成下圖．

解 先洗開水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，在等待水開的過(guò)程中，同時(shí)洗壺杯、拿茶葉，水開了就沏茶，總共用了16分鐘．又因?yàn)闊_水的15分鐘不能減少，燒水前必須用1分鐘洗開水壺，所以用16分鐘是最少的．

說(shuō)明：本題涉及到的統(tǒng)籌方法，是生產(chǎn)、建設(shè)、工程和企業(yè)管理中合理安排工作的一種科學(xué)方法，它對(duì)于進(jìn)行合理調(diào)度、加快工作進(jìn)展，提高工作效率，保證工作質(zhì)量是十分有效的．

例2 用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅．如果煎1個(gè)餅需要2分鐘（假定正、反面各需1分鐘），問(wèn)煎1993個(gè)餅至少需要幾分鐘？

分析 由于1993數(shù)目較大，直接入手不容易．我們不妨先從較小的數(shù)目來(lái)進(jìn)行探索規(guī)律．

如果只煎1個(gè)餅，顯然需要2分鐘；

如果煎2個(gè)餅，仍然需要2分鐘；

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如果煎3個(gè)餅，初學(xué)者看來(lái)認(rèn)為至少需要4分鐘：因?yàn)橄燃?個(gè)餅要2分鐘；再單獨(dú)煎第3個(gè)餅，又需要2分，所以一共需要4分鐘．但是，這不是最佳方案．最優(yōu)方法應(yīng)該是：

首先煎第1號(hào)、第2號(hào)餅的正面用1分鐘；

其次煎第1號(hào)餅的反面及第3號(hào)餅的正面又用1分鐘；

最后煎第2號(hào)、第3號(hào)餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘就煎好了3個(gè)餅． 解：如果煎1993個(gè)餅，最優(yōu)方案應(yīng)該是：

煎第1、2、3號(hào)餅用“分析”中的方法只需要3分鐘；煎后面1990個(gè)餅時(shí)，每?jī)蓚€(gè)餅需要2分鐘，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分鐘）；這樣總共需要3+1990=1993（分鐘）．

說(shuō)明：通過(guò)本例可以看出，掌握優(yōu)化的思想，合理統(tǒng)籌安排操作程序，就能夠節(jié)省時(shí)間，提高效率． 例3 5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來(lái)水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘．如果只有一個(gè)水龍頭，試問(wèn)怎樣適當(dāng)安排他們的打水順序，才能使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小？并求出最小值．

分析 5個(gè)人排隊(duì)一共有5×4×3×2×1=120種順序，把所有情形的時(shí)間總和都計(jì)算出來(lái)，就太繁瑣了．憑直覺(jué)，應(yīng)該把打水時(shí)間少的人排在前面所費(fèi)的總時(shí)間會(huì)省些．考慮用“逐步調(diào)整”法來(lái)嚴(yán)格求解． 解：首先證明要使所費(fèi)總時(shí)間最省，應(yīng)該把打水時(shí)間需1分鐘的人排在第一位置．

假如第一位置的人打水時(shí)間要a分鐘（其中2≤a≤5），而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我們將這兩個(gè)人位置交換，其他三人位置不變動(dòng)．這樣調(diào)整以后第b位后面的人每人排隊(duì)打水所費(fèi)的時(shí)間與調(diào)整前相同，并且前b個(gè)人每人打水所費(fèi)時(shí)間也未受影響，但是第二位至第b位的人排隊(duì)等候的時(shí)間都減少了（a-1）分鐘，這說(shuō)明調(diào)整后五個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和減少了．換言之，把打水需1分鐘的人排在第一位置所費(fèi)總時(shí)間最省．

其次，根據(jù)同樣道理，再將打水需2分鐘的人調(diào)整到第二位置；將打水需3、4、5分鐘的人逐次調(diào)整到第三、四、五位．所以將五人按照打水所需時(shí)間由少到多的順序排隊(duì)，所費(fèi)時(shí)間最省．這樣得出5人排隊(duì)和打水時(shí)間總和的最小值是

1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分鐘）．

說(shuō)明：本題涉及到排序不等式，有興趣的讀者可參閱高年級(jí)的數(shù)學(xué)奧林匹克教材．排隊(duì)提水的問(wèn)題，在其他一些場(chǎng)合也是會(huì)遇到的．例如，有一臺(tái)機(jī)床要加工n個(gè)工件，每個(gè)工件需要的加工時(shí)間不一樣，問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，才能使總的等待時(shí)間最短．

例4 有157噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升與5公升．問(wèn)如何選派車輛才能使運(yùn)輸耗油量最少？這時(shí)共需用油多少公升？

解：依題意，大卡車每噸耗油量為10÷5=2（公升）；小卡車每噸耗油量為5÷2=2.5（公升）．為了節(jié)省汽油應(yīng)盡量選派大卡車運(yùn)貨，又由于

157=5×31+2，因此，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案是：選派31車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運(yùn)完，且這時(shí)耗油量最少，只需用油

10×31+5×1=315（公升）

說(shuō)明：本題是1960年上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題．上述解法是最樸素的優(yōu)化思想——選派每噸耗油量較少的卡車．下面用代數(shù)的知識(shí)來(lái)解題：

設(shè)選派大卡車a車次，小卡車b車次，依題意： 5a+2b=157，即10a=314-4b． 于是總耗油量為：

W=10a+5b=314=4b+5b=314+b．

顯然，當(dāng)b越小時(shí)，W也越小．

又由5a+2b=157易知，b最小值是1，故W的最小值是314+1=315（公升）．若取b=0，則需派32車次大卡車，耗油量則需320公升．

例5 有十個(gè)村，坐落在從縣城出發(fā)的一條公路上（如下頁(yè)圖，距離單位是公里），要安裝水管，從縣城送自來(lái)水供給各村，可以用粗細(xì)兩種水管．粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供一個(gè)村用水．粗管每公

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里要用8000元，細(xì)管每公里要用2000元．把粗管和細(xì)管適當(dāng)搭配、互相連接，可以降低工程的總費(fèi)用．按你認(rèn)為最節(jié)約的辦法，費(fèi)用應(yīng)是多少？

分析 由題意可知，粗管每公里的費(fèi)用恰好是細(xì)管每公里費(fèi)用的4倍．因此，如果在同一段路上要安裝4根以上的細(xì)管，就應(yīng)該用一根粗管來(lái)代替，便可降低工程的總費(fèi)用．

解：假設(shè)從縣城到每個(gè)村子都各接一根細(xì)管（如上圖），那么在BA1、BA2、BA3、BA4、BA5、BA6之間各有10、9、8、7、6、5根細(xì)管，應(yīng)該把B與A6之間都換裝粗管，工程的總費(fèi)用將最低，這時(shí)的總費(fèi)用是：

a=8000×（30+5+2+4+2+3）+2000×（2×4+2×3+2×2+5）

=414000（元）．

說(shuō)明：容易驗(yàn)證，從縣城B起鋪設(shè)粗管到A6或A7或者A6A7之間任何一個(gè)地點(diǎn)都是最節(jié)約的辦法，總費(fèi)用仍是414000元．下面詳細(xì)論證其他安裝方案的總費(fèi)用都大于a．

當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A7向A8移動(dòng)一段路程d（0＜d≤2）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加8000d（元），而細(xì)管費(fèi)用僅減少

2000d×3=6000d（元）．

這時(shí)總費(fèi)用比 a多2000d（元）．

當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A8向A9移動(dòng)一段路程d（0＜d≤2）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加

8000×（2+d）=16000+8000d（元），而細(xì)管增費(fèi)用僅減少

2000×（2×3＋2d）=12000＋4000d（元）．

這時(shí)總費(fèi)用比a多4000+4000d（元）．

當(dāng)粗管從縣城B鋪設(shè)到超過(guò)A9向A10移動(dòng)一段路程d（0＜d≤5）公里時(shí)，粗管費(fèi)用增加

8000×（2+2+d）=32000+8000d（元）．

而細(xì)管費(fèi)用僅減少

2000×（2×3+2×2+d）=20000+2000d（元）．

這時(shí)總費(fèi)用比a多12000＋6000d（元）．

綜上所述，從縣城B鋪設(shè)粗管到超過(guò)A7點(diǎn)以東的任何地點(diǎn)的安裝總費(fèi)用都大于a．

類似地，可以驗(yàn)證從縣城鋪設(shè)粗管到A6點(diǎn)以西的任何地點(diǎn)的總費(fèi)用也都大于a． 例6 有1993名少先隊(duì)員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問(wèn)完成任務(wù)后應(yīng)該在公路的什么地點(diǎn)集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點(diǎn)的路程總和最小？ 分析 由于1993數(shù)目較大，不易解決．我們先從人數(shù)較小的情況入手．

當(dāng)只有2個(gè)人時(shí)，設(shè)2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點(diǎn)選在A1點(diǎn)或A2點(diǎn)或者A1A2之間的任何一個(gè)地點(diǎn)都可以．因?yàn)橛葾1、A2出發(fā)的人走過(guò)的路程總和都等于A1A2．

當(dāng)有3個(gè)人時(shí)，則集合地點(diǎn)應(yīng)該選在A2點(diǎn)（如右圖）．因?yàn)槿艏系攸c(diǎn)選在A1A2之間的B點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是

A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；

若集合地點(diǎn)選在A2A3之間的C點(diǎn)，那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是：

A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；

而集合地點(diǎn)選在A2點(diǎn)時(shí)，3個(gè)人所走路程總和僅是A1A3．當(dāng)然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都小．

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當(dāng)有4個(gè)人時(shí)，由于集合地點(diǎn)無(wú)論選在A1A4之間的任何位置，對(duì)A1、A4崗位上的人來(lái)說(shuō)，這2人走的路程和都是A1A4（如下圖）．因此，集合地點(diǎn)的選取只影響A2、A3崗位上的人所走的路程，這就是說(shuō)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“2個(gè)人站在A2和A3崗位的情形”．根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A2或A3或者A2A3之間任何地點(diǎn)．

當(dāng)有5個(gè)人時(shí)，類似地可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“ 3個(gè)人站在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖）根據(jù)已討論的結(jié)論可知，集合地點(diǎn)應(yīng)選在A3點(diǎn)．

依此遞推下去，我們就得到一個(gè)規(guī)律：

當(dāng)有偶數(shù)（2n）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點(diǎn)（包括An和An+1點(diǎn)）；

當(dāng)有奇數(shù)（2n+1）個(gè)人時(shí)，集合地點(diǎn)應(yīng)選在正中間崗位An+1點(diǎn)．

本題有1993=2×996+1（奇數(shù)）個(gè)人，因此集合地點(diǎn)應(yīng)選在從某一端數(shù)起第997個(gè)崗位處．

說(shuō)明：本題的解題思路值得掌握，那就是先從簡(jiǎn)單的較少的人數(shù)入手，通過(guò)逐步遞推，探索一般規(guī)律，從而解決某些數(shù)字較大的問(wèn)題．

模擬測(cè)試

1．媽媽殺好魚后，讓小明幫助燒魚．他洗魚、切魚、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)順序，使花費(fèi)的時(shí)間最少．

2．用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅．如果煎一個(gè)餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘），問(wèn)煎m個(gè)餅至少需要幾分鐘？

3．小明、小華、小強(qiáng)同時(shí)去衛(wèi)生室找張大夫治病．小明打針要5分鐘．小華換紗布要3分鐘，小強(qiáng)點(diǎn)眼藥水要1分鐘．問(wèn)張大夫如何安排治病次序，才能使他們耽誤上課的時(shí)間總和最少？并求出這個(gè)時(shí)間．

4．趙師傅要加工某項(xiàng)工程急需的5個(gè)零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需時(shí)間分別是5分鐘、3分鐘、4分鐘、7分鐘、6分鐘．問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，使工程各部件組裝所耽誤的時(shí)間總和最少？這個(gè)時(shí)間是多少？

5．某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿．若要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩管合放最少需要多少小時(shí)？

6．山區(qū)有一個(gè)工廠．它的十個(gè)車間分散在一條環(huán)行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈，貨車到了某一車間，就要有裝卸工裝上或卸下貨物．當(dāng)然，裝卸工可以固定在車間等車（各車間所需裝卸工人數(shù)如圖所示）；也可以坐在貨車到各車間去；也可以一部分裝卸工固定在車間，另一部分坐車．問(wèn)怎樣安排才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？

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答案：

1．12分鐘．

2．若m＝1時(shí)，至少需要4分；

若m≥2時(shí)，至少需要2m分鐘．

3．按小強(qiáng)、小華、小明的順序安排，耽誤上課的時(shí)間總和為：

1×3+3×2+5=14（分鐘）．

4．按B、C、A、E、D的順序加工，耽誤時(shí)間總和最少為：

3×5+4×4+5×3+6×2+7=65（分鐘）．

6．46×4+4+2+6+11=207（人）．

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附加：速算與巧算

（1）678?(354?322)

（4）2904?1327?173

（7）235?99

（10）222222?999999

（11）399999?39999?3999?399?39?3

（12）20?19?18?17???4?3?2?1

（13）8888?125

(14)345345?15015

（2）283?147?17?1653

（3）384?(37?184)

（5）653?197

（6）125?17?125

（8）(1300?520)?13

（9）67?21?18?21?85?79

第四篇：小學(xué)奧數(shù)盈虧問(wèn)題題庫(kù)教師版

盈虧問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明：

盈虧問(wèn)題的特點(diǎn)是問(wèn)題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時(shí)，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實(shí)際問(wèn)題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時(shí)，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問(wèn)題”．

可以得出盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)(盈?盈)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)(虧?虧)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)

物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問(wèn)題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種 情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問(wèn)題”.注意1.條件轉(zhuǎn)換 2.關(guān)系互換

板塊

一、直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題

【例 1】 三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：7?2?9（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【鞏固】 明明過(guò)生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個(gè)同學(xué)去買蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢是多少？

【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？

【鞏固】 有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個(gè)班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？

【例 2】（2007年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)，猴王可留10個(gè)．若大、小猴都分4個(gè)，猴王能留下20個(gè)．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．

【詳解】 當(dāng)大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)時(shí)，猴王可留10個(gè)．若大、小猴都分4個(gè)，猴王能留下20個(gè)．也就是說(shuō)在大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)后，每只大猴都拿出1個(gè)，分給每只小猴1個(gè)后，還剩下20?10?10個(gè)，所以大猴比小猴多10只．

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校新買來(lái)一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請(qǐng)問(wèn)有多少老師？多少本書？

【鞏固】 幼兒園給獲獎(jiǎng)的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？

【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問(wèn)兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

【鞏固】 工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？

【例 3】 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問(wèn)宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個(gè)床位

每間7人 多4個(gè)床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個(gè)床位，根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)，然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【鞏固】 學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？

【鞏固】 智康學(xué)校三年級(jí)精英班的一部分同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？

【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘿卜；如果每天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？

板塊

二、條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問(wèn)題

【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是11?10?1（條），由盈虧問(wèn)題公式得，有小貓：8?1?8（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚．

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校三年級(jí)基礎(chǔ)班的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個(gè)就少9個(gè)，如果每人分3個(gè)正好分完，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少個(gè)小玩具？

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來(lái)一批小足球分給各班：如果每班分4個(gè)，就差66個(gè)，如果每班分2個(gè)，則正好分完，學(xué)而思小學(xué)一共有多少個(gè)班？買來(lái)多少個(gè)足球？

【鞏固】 一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問(wèn)：有多少位學(xué)生？共多少粒糖果？

【鞏固】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問(wèn)一共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？

【例 5】 甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個(gè)信封，則他們每人各買了多少?gòu)埿偶垼?/p>

【例 6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個(gè)，則余下10個(gè)。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個(gè)，則缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，問(wèn)：這筐蘋果共有多少個(gè)？

【鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個(gè)小朋友，這袋糖果共有多少粒？

【例 7】 有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】 第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認(rèn)為原有的人每人拿出5?4?1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來(lái)的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4?2?2塊，一共差了10?2?12塊，所以新增加了12?2?6人，原有6?2?12人．糖果數(shù)為：12?5?10?70(塊)．

【鞏固】 臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個(gè)還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問(wèn)有大熊貓多少只，竹子多少棵？

【鞏固】 體育隊(duì)將一些羽毛球分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)羽毛球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個(gè)羽毛球還缺少8個(gè)，問(wèn)有羽毛球多少個(gè)？

【例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個(gè)，多4個(gè)；蘋果每人分7個(gè)，少5個(gè).問(wèn)有多少個(gè)小朋友？多少個(gè)蘋果和桔子？

【解析】 因?yàn)榻圩用咳朔?個(gè)多4個(gè)，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個(gè)就多8個(gè).又已知蘋果每人分7個(gè)少5個(gè)，所以應(yīng)有（8+5）÷（6-5）=13（人）.蘋果個(gè)數(shù)為13×7-5=86（個(gè)）.桔子數(shù)為 13×3+4=43（個(gè)）.答：有13個(gè)小朋友，86個(gè)蘋果和43個(gè)桔子.【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來(lái)一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問(wèn)：學(xué)而思學(xué)校買來(lái)羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？

【例 9】 用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度，如果繩子兩折時(shí)，多5米；如果繩子3折時(shí)，差4米.求繩子長(zhǎng)度和井深.【例 10】 樂(lè)樂(lè)有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣．樂(lè)樂(lè)共存了多少錢？

【例 11】 陽(yáng)光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游．如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問(wèn)一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？

【鞏固】 幸福小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出7人，若每條長(zhǎng)椅上多坐4人則多出3條長(zhǎng)椅．問(wèn)：到會(huì)議室開會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？

【鞏固】 智康小合唱隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出9人，若每條長(zhǎng)椅上坐4人則多出3人.問(wèn)：合唱隊(duì)有多少人？

【鞏固】 少先隊(duì)員去植樹，如果每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)樹坑沒(méi)人挖；如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請(qǐng)問(wèn)，共有多少名少先隊(duì)員？共挖了多少樹坑？

【鞏固】 六年級(jí)學(xué)生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐6人，那么還剩下22人沒(méi)船坐。安排時(shí)發(fā)現(xiàn)有3條船壞了，于是改為每船坐8人，結(jié)果還剩下6人沒(méi)地方坐，請(qǐng)問(wèn)：一共有多少學(xué)生？

【例 12】 學(xué)校為新生分配宿舍．每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，則空出3個(gè)房間．問(wèn)宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個(gè)房間住3人，則多出23人，每個(gè)房間住5人，就空出3個(gè)房間，這3個(gè)房間如果住滿人應(yīng)5(人)，由此可見(jiàn)，每一個(gè)房間增加5?3?2(人)．兩次安排人數(shù)總共相差該是5?3?123?15?38?80(人)，或者(人)，因此，房間總數(shù)是：38÷2＝19(間)，學(xué)生總數(shù)是：3?19?235?19?5?3?80(人)．

【鞏固】 學(xué)校為新生分配宿舍．每個(gè)房間住3人，則多出22人；每個(gè)房間多住5人，則空1個(gè)房間．問(wèn)宿舍有多少間？新生有多少人？

【鞏固】 軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？

【鞏固】 豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐4只小豬就有6只小豬沒(méi)地方坐，如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會(huì)余出4個(gè)空位子，問(wèn)：一共有多少只小豬，豬媽媽一共帶了多少?gòu)埐筒迹?/p>

【例 13】 國(guó)慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊(duì)員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒(méi)人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問(wèn)有多少少先隊(duì)員參加擺花盆活動(dòng)，一共擺多少花盆？

【鞏固】 媽媽買來(lái)一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個(gè)，其余人每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6個(gè)，其余人每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)，媽媽買來(lái)橘子多少個(gè)?全家共有多少人?

【例 14】 四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會(huì)，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了 元錢．

【解析】 這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會(huì)多出13?2?26元，所以這筆錢買13千克奶糖會(huì)多出26?4?22元．而這筆錢買15千克奶糖會(huì)多出2元，所以每千克奶糖的價(jià)格為：(22?2)?(15?13)?10（元）．輔導(dǎo)老師共帶了10?15?2?152元．

【鞏固】 小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問(wèn)：小明媽媽帶了多少錢？

【鞏固】 食堂采購(gòu)員小李到集貿(mào)市場(chǎng)去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價(jià)8角.問(wèn)牛肉、豬肉各多少錢一千克？

【鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價(jià)分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒(méi)有剩余的錢．問(wèn)：李媽媽帶了多少錢？

【例 15】 小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：50?3?150（米），提前2分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：60?2?120（米），距離上課時(shí)間為：(150?120)?(60?50)?27（分鐘），家到學(xué)校的路程為：50?(27?3)?1500（米）．

【鞏固】 東東從家去學(xué)校，如果每分走80米，結(jié)果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學(xué)校的路程是______米．

【鞏固】 王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？

【鞏固】 學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？

【例 16】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？

【解析】 花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．即花球原價(jià)10元錢20個(gè)，白球原價(jià)10元錢30個(gè)．那

?5（元）25么，同樣買花球和白球各30個(gè)，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3???2?24（元）（元）．現(xiàn)在兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，花球和白球各買30個(gè)需要(30?5)2，說(shuō)明花球和白球各買30個(gè)能省下25?24?1（元）．現(xiàn)在共省了4元，說(shuō)明花球和白球各有30?4?120（個(gè)）?240（個(gè)），共買了120?2．

【例 17】（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級(jí)組復(fù)試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發(fā)給每個(gè)小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發(fā)完后清點(diǎn)一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個(gè)小朋友．

【解析】 畫線段圖分析，由題意知：

從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：

那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當(dāng)于19份量，水果糖中原有的8份就是現(xiàn)在的16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是：16?5?80（塊），小朋友的人數(shù)是：80?8?10（人）．

方法二：由上圖知，設(shè)發(fā)完后奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差5塊，對(duì)應(yīng)剩下的糖相差2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對(duì)應(yīng)剩下的糖應(yīng)相差2?5?0.4份，所以水果糖最后應(yīng)剩下1?0.4?0.6份，恰是15塊，所以1份對(duì)應(yīng)的是15?0.6?25，所以應(yīng)用盈虧問(wèn)題共有(25?15)?(8?7)?10（人）．

【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時(shí)每袋咖啡都放3塊方糖，結(jié)果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時(shí)每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？

【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當(dāng)于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．

同時(shí)，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有(24?24)?(2?1)?48（塊）．

于是喝前兩盒咖啡用掉方糖48?24?72（塊），每盒咖啡的袋數(shù)為：72?3?2?12（袋）．

【鞏固】 巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發(fā)給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來(lái)了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多，現(xiàn)在又來(lái)了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個(gè)小朋友？

【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問(wèn)：共有多少個(gè)小朋友？

【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩余，每人分8張則少5張，證明總?cè)藬?shù)多于5個(gè)．

如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8?7?56（張）卡片，還缺35張，卡片張數(shù)比題中所述要少．

如果一共有9盒卡片，則只要再添上5?9?45（張）卡片，就能使所有人每人分到8?9?72（張），1?5，不滿足總?cè)藬?shù)多于5個(gè)的要求． 12類似地，當(dāng)卡片總盒數(shù)多于9時(shí)，都不滿足總?cè)藬?shù)多于5個(gè)的要求．

因此卡片一共有8盒，添上5?8?40（張）卡片，就能使所有人每人分到8?8?64（張），所以總?cè)藬?shù)為：(40?4)?(64?60)?11（人）． 人數(shù)為(45?4)?(72?60)?4(二解)60?7?8?4，60?8?7?4，說(shuō)明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們?cè)诿亢兄屑?張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現(xiàn)在實(shí)際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來(lái)的，還有40張是我們一開始借來(lái)的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說(shuō)明有11人．

【例 20】 有若干個(gè)蘋果和若干個(gè)梨.如果按每1個(gè)蘋果配2個(gè)梨分堆，那么梨分完時(shí)還剩2個(gè)蘋果；如果按每3個(gè)蘋果配5個(gè)梨分堆，那么蘋果分完時(shí)還剩1個(gè)梨.蘋果和梨各有多少個(gè)? 【解析】 容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到.原因在于第一種方案是1個(gè)蘋果“搭配”2個(gè)梨，第二種方案是3個(gè)蘋果“搭配”5個(gè)梨.如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個(gè)蘋果“搭配”若干個(gè)梨，那么問(wèn)題就好解決了.將原題條件變?yōu)椤?個(gè)蘋果搭配2個(gè)梨，缺4個(gè)梨；1個(gè)蘋果搭配5/3個(gè)梨，多1個(gè)梨”，此時(shí)盈虧總額為4?1?5(個(gè))梨，兩次分配數(shù)之差為2?5/3?1/3(個(gè))梨.所以有蘋果(4?1)?(2?5/3)?15(個(gè))，有梨15?2?4?26(個(gè)).【鞏固】 有若干個(gè)蘋果和梨，如果按1個(gè)蘋果配3個(gè)梨分一堆，那么蘋果分完時(shí)，還剩2個(gè)梨；如果按半個(gè)蘋果配2個(gè)梨分一堆，那么梨分完時(shí)，還剩半個(gè)蘋果.問(wèn)梨有多少個(gè)？

【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？

【分析】 最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據(jù)盈虧計(jì)算公式，（1?10）（?9?8）?11（人）人數(shù)有，糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少

（8?10）（?9?8）?18（人）可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有，糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．

【例 22】 幼兒園有三個(gè)班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，結(jié)果甲班比乙班共多分3個(gè)棗，乙班比丙班總共多分5個(gè)棗．問(wèn)：三個(gè)班總共分了多少個(gè)棗？

（x?4）（x?8）【解析】 設(shè)丙班有x個(gè)小孩，那么乙班就有個(gè)小孩，甲班有個(gè)小孩．

乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，那么x個(gè)小孩就少分5x個(gè)棗，而乙班比丙班總共多分5個(gè)棗，所以多出來(lái)的那4個(gè)小孩分了（5x?5）個(gè)棗．

（x?4）（3x?12）同樣的道理，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，那么個(gè)小孩就少分個(gè)棗，而甲班比乙班總共多分3個(gè)棗，所以多出來(lái)的那4個(gè)小孩分了3x?12?3?3x?15個(gè)棗．

甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，4個(gè)小孩就少3?4?12個(gè)棗，因此我們得到：5x?5?3x?15?12，解得x?11．

所以，丙班有11個(gè)小朋友，乙班有15個(gè)小朋友，甲班有19個(gè)小朋友；甲班每人分12個(gè)棗，乙班每人分15個(gè)棗，丙班每人分20個(gè)棗．—共分了12?19?15?15?20?11?673（個(gè)）棗．

【鞏固】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問(wèn)第二組有多少人？

【例 23】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？

【解析】 花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．即花球原價(jià)10元錢20個(gè)，白球原價(jià)10元錢30個(gè)．那

?5（元）25么，同樣買花球和白球各30個(gè)，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3???2?24（元）（元）．現(xiàn)在兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，花球和白球各買30個(gè)需要(30?5)2，說(shuō)明花球和白球各買30個(gè)能省下25?24?1（元）．現(xiàn)在共省了4元，說(shuō)明花球和白球各有30?4?120（個(gè)）?240（個(gè)），共買了120?2．

【鞏固】 有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2，黃色卡片的兩面上分別寫著1和3，綠色卡片的兩面上分別寫著2和3．現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計(jì)算，各卡片上所顯示的數(shù)字之和為234．若把所有卡片正反面翻轉(zhuǎn)一下，各卡片所顯示的數(shù)字之和則變成123．問(wèn)黃色卡片有多少?gòu)垼?/p>

【例 24】 四(2)班在這次的班級(jí)評(píng)比中，獲得了“全優(yōu)班”的稱號(hào)．為了獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時(shí)橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時(shí)還剩5支鉛筆．那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 【解析】 如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數(shù)為：15×3=45(塊)，鉛筆數(shù)為：15×6—10=80(支)．

【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？

第五篇：小學(xué)奧數(shù)盈虧問(wèn)題題庫(kù)教師版

盈虧問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明：

盈虧問(wèn)題的特點(diǎn)是問(wèn)題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時(shí)，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實(shí)際問(wèn)題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時(shí)，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問(wèn)題”．

可以得出盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)(盈?盈)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)(虧?虧)?兩次分得之差?人數(shù)或單位數(shù)

物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問(wèn)題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種 情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問(wèn)題”.注意1.條件轉(zhuǎn)換 2.關(guān)系互換

板塊

一、直接計(jì)算型盈虧問(wèn)題

【例 1】 三年級(jí)一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動(dòng)．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：7?2?9（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊(duì)員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【鞏固】 明明過(guò)生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個(gè)同學(xué)去買蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢是多少？

【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差8?4?4（元），每個(gè)人要多出8?7?1（元），因此就知道，共有4?1?4（人），蛋糕價(jià)錢是8?4?8?24（元）．

【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？

【解析】 老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧總和是9?2?7（個(gè)），兩次分配之差是11?10?1（個(gè)），由盈虧問(wèn)題公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（個(gè)）桃子.【鞏固】 有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個(gè)班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？

【解析】 由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本；兩種方案分配結(jié)果相差：70?10?60（本），這是因?yàn)閮纱畏峙渲忻咳怂l(fā)的本數(shù)相差：7?5?2（本），相差60本的學(xué)生有：60?2?30（人）．練習(xí)本有：30?5?70?220（本）（或30?7?10?220）．

【例 2】（2007年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)，猴王可留10個(gè)．若大、小猴都分4個(gè)，猴王能留下20個(gè)．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．

【詳解】 當(dāng)大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)時(shí)，猴王可留10個(gè)．若大、小猴都分4個(gè)，猴王能留下20個(gè)．也就是

說(shuō)在大猴分5個(gè)，小猴分3個(gè)后，每只大猴都拿出1個(gè)，分給每只小猴1個(gè)后，還剩下20?10?10個(gè)，所以大猴比小猴多10只．

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校新買來(lái)一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請(qǐng)問(wèn)有多少老師？多少本書？

【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差9?2?7（本），每個(gè)人要多發(fā)10?9?1（本），因此就知道，共有老師7?1?7（人），書有7?10?9?61（本）．

【鞏固】 幼兒園給獲獎(jiǎng)的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？

【解析】 由題意知：兩次的分配結(jié)果相差：24?12?12（塊），這是因?yàn)榈谝淮闻c第二次分配中每人相差：，多少人相差12塊呢？12?3?4（人），糖果數(shù)是：6?4?12?12（塊）（或9?6?3（塊）． 9?4?24?12）

【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問(wèn)兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

【解析】 本題購(gòu)物的兩個(gè)方案，第一個(gè)方案：買7把差110元，第二個(gè)方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了7?5?2（把），而錢的差額為：110?30?140（元），即140元可以買2把小提琴，可見(jiàn)小提琴的單價(jià)是每把70元，王老師一共帶了70?7?110?380（元）.【鞏固】 工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？

【解析】 本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差100?20?120（元），即損1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要付出120元．本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)20?250?5000（元）．這樣比實(shí)際多得5000?4400?600（元）．

就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子，損壞1個(gè)花瓶相差120元．現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個(gè)花瓶．根據(jù)以上分析，可得損壞了．（20?250?4400）（?100?20）?5（個(gè)）

【例 3】 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問(wèn)宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個(gè)床位

每間7人 多4個(gè)床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個(gè)床位，根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)，然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【鞏固】 學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？

【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能住4?30?120（人），而實(shí)際上住了168人．大宿舍比小宿舍每間多住6?4?2（人），所以大宿舍有．（這是一個(gè)雞兔同籠，放在這里（168?120）?2?24（間）做對(duì)比）

【鞏固】 智康學(xué)校三年級(jí)精英班的一部分同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？

【解析】 由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種每人分4粒就多9

粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以參與分糖果的同學(xué)的人數(shù)是15÷1=15（位），糖果的粒數(shù)為：4×15+9=69（粒）.【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘿卜；如果每天吃6個(gè)，則又少8個(gè)蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？

【解析】 題中告訴我們每天吃4個(gè)，多出48個(gè)蘿卜；每天吃6個(gè)，少8個(gè)蘿卜．觀察每天吃的個(gè)數(shù)與蘿卜剩余個(gè)數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個(gè)變?yōu)槊刻斐?個(gè)，也就是每天多吃2個(gè)時(shí)，蘿卜從多出48個(gè)到少8個(gè)，也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差48＋8＝56（個(gè)）．從這個(gè)對(duì)應(yīng)的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個(gè)2，就是所求的計(jì)劃吃的天數(shù)；有了計(jì)劃吃的天數(shù)，就不難求出共有多少個(gè)蘿卜了．吃的天數(shù)：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），蘿卜數(shù)：6×28－8＝160（個(gè)）或 4×28＋48＝160（個(gè)）．

板塊

二、條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問(wèn)題

【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是，由盈虧問(wèn)題公式得，有小貓：8?1?8（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚． 11?10?1（條）

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校三年級(jí)基礎(chǔ)班的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個(gè)就少9個(gè)，如果每人分3個(gè)正好分完，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少個(gè)小玩具？

【解析】 第一種分配方案虧9個(gè)小玩具，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9個(gè)，兩次分配之差是：（個(gè)），由盈虧問(wèn)題公式得，參與分玩具的同學(xué)有：9?1?9（人），有小玩具9?3?27（個(gè)）． 4?3?1

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來(lái)一批小足球分給各班：如果每班分4個(gè)，就差66個(gè)，如果每班分2個(gè)，則正好分完，學(xué)而思小學(xué)一共有多少個(gè)班？買來(lái)多少個(gè)足球？

【解析】 第一種分配方案虧66個(gè)球，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是66個(gè)，兩次分配之差是4?2?2（個(gè)），由盈虧問(wèn)題公式得，朝陽(yáng)小學(xué)有：66?2?33（個(gè)）班，買來(lái)足球33?2?66（個(gè)）.【鞏固】 一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問(wèn)：有多少位學(xué)生？共多少粒糖果？

【解析】 第一種分配方案盈9粒糖，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9粒，兩次分配之差是5?4?1（粒），由盈虧問(wèn)題公式得，參與分糖的同學(xué)有：9?1?9（人），有糖果9?5?45（粒）．

【鞏固】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問(wèn)一共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？

【解析】 沒(méi)輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65人.因此車輛數(shù)目為：（65+15）÷5=80÷5=16（輛）.學(xué)生人數(shù)為：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【例 5】 甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個(gè)信封，則他們每人各買了多少?gòu)埿偶垼?/p>

【解析】 由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙．這是盈虧問(wèn)題，盈虧總額為(20＋30)張信紙，兩次分配的差為(3－2)張信紙，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(個(gè))，有信紙2×50＋20

＝120(張)．

【例 6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個(gè)，則余下10個(gè)。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個(gè)，則缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，問(wèn)：這筐蘋果共有多少個(gè)？

【解析】 先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3?5?15個(gè)蘋果，人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問(wèn)題公式，小班人數(shù)為：(15?10?2)?(8?5)?9人，蘋果總數(shù)是8?9?2?70個(gè)。

【鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個(gè)小朋友，這袋糖果共有多少粒？

【解析】 如果大班增加2 個(gè)小朋友，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳? 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒” 的盈虧問(wèn)題．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．這袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．

【例 7】 有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】 第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認(rèn)為原有的人每人拿出5?4?1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來(lái)的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4?2?2塊，一共差了10?2?12塊，所以新增加了12?2?6人，原有6?2?12人．糖果數(shù)為：12?5?10?70(塊)．

【鞏固】 臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個(gè)還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問(wèn)有大熊貓多少只，竹子多少棵？

【解析】 使同學(xué)們感到困難的是條件“3倍還少5只大熊貓”．先要轉(zhuǎn)化這一條件，假設(shè)還有 10棵竹子，10?2?5，就可以多有 5個(gè)大熊貓，把“少5只大熊貓”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍大熊貓數(shù)，也相當(dāng)于按原大熊貓數(shù)每只大熊貓給2?3?6(棵)竹子，每只大熊貓給5棵與給6棵，總數(shù)相差10?10?8?28(只)，竹子總數(shù)是?28(棵)，所以原有大熊貓數(shù)28?(6?5)(棵)． 5?28?10150?【鞏固】 體育隊(duì)將一些羽毛球分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)羽毛球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個(gè)羽毛球還缺少8個(gè)，問(wèn)有羽毛球多少個(gè)？

【解析】 考慮人數(shù)增加3倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3＝6（個(gè)），每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差10＋8＝18(個(gè)），所以原有人數(shù) 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球總數(shù)是 5×18＋10＝100（個(gè)）．

【例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個(gè)，多4個(gè)；蘋果每人分7個(gè)，少5個(gè).問(wèn)有多少個(gè)小朋友？多少個(gè)蘋果和桔子？

【解析】 因?yàn)榻圩用咳朔?個(gè)多4個(gè)，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個(gè)就多8個(gè).又已知蘋果每人分7個(gè)少5個(gè)，所以應(yīng)有（8+5）÷（6-5）=13（人）.蘋果個(gè)數(shù)為13×7-5=86（個(gè)）.桔子數(shù)為 13×3+4=43（個(gè)）.答：有13個(gè)小朋友，86個(gè)蘋果和43個(gè)桔子.【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來(lái)一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問(wèn)：學(xué)而思學(xué)校買來(lái)羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？

【解析】 因?yàn)橛鹈蚺氖瞧古仪蚺牡?倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后應(yīng)余下15×2=30（副），因?yàn)?4-5×2=4（副），分到最后還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.【例 9】 用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度，如果繩子兩折時(shí)，多5米；如果繩子3折時(shí)，差4米.求繩子長(zhǎng)度和井深.【解析】 井的深度為：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.繩子長(zhǎng)度為：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.【例 10】 樂(lè)樂(lè)有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣．樂(lè)樂(lè)共存了多少錢？

【解析】 假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)2分幣多3分，所以5分幣有： 84?；2分幣有：28?22?50（個(gè)）．（5?2）?28（個(gè)）所以樂(lè)樂(lè)共存錢：5?28?2?50?1?36?140?100?36?276（分）．

【例 11】 陽(yáng)光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游．如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問(wèn)一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？

【解析】 每車多坐5人，實(shí)際是每車可坐5?65?70(人)，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人．因而原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如果每車坐65人，則多出5人無(wú)車乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（5?5?65）?5?15(輛)，人數(shù)是65?15?5?980(人)或（5?65）（?15?1）?980(人)．

【鞏固】 幸福小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出7人，若每條長(zhǎng)椅上多坐4人則多出3條長(zhǎng)椅．問(wèn)：到會(huì)議室開會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？

【解析】 第二個(gè)條件可轉(zhuǎn)化為：“每條長(zhǎng)椅上坐7個(gè)人，則少21個(gè)人”，“多7人”與“少21人”兩者相差7?21?28(人)，每條長(zhǎng)椅要多坐7?3?4(人)，因此就知道，共有28?4?7(條)長(zhǎng)椅，人數(shù)是7?3?7?28(人)．

【鞏固】 智康小合唱隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出9人，若每條長(zhǎng)椅上坐4人則多出3人.問(wèn)：合唱隊(duì)有多少人？

【解析】 “多9人”與“多3人”兩者相差9－3＝6（人），每條長(zhǎng)椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（條）長(zhǎng)椅，人數(shù)是6×3+9＝27（人）．

【鞏固】 少先隊(duì)員去植樹，如果每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)樹坑沒(méi)人挖；如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請(qǐng)問(wèn)，共有多少名少先隊(duì)員？共挖了多少樹坑？

【解析】 這是一個(gè)典型的盈虧問(wèn)題，關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即：應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖6個(gè)樹坑，形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。那么它就相當(dāng)于每人挖6個(gè)樹坑，就要差（6-4）*2=4個(gè)樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就是3+4=7，所以，有少先隊(duì)員7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個(gè)坑。盈虧總數(shù)等于3+（6-4）*2=7，少先隊(duì)員有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個(gè)樹坑。

【鞏固】 六年級(jí)學(xué)生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐6人，那么還剩下22人沒(méi)船坐。安排時(shí)發(fā)現(xiàn)有3條船壞了，于是改為每船坐8人，結(jié)果還剩下6人沒(méi)地方坐，請(qǐng)問(wèn)：一共有多少學(xué)生？ 【解析】 如果3條船沒(méi)有壞，每船坐8人，那么多余了8?3?6?18個(gè)座位。根據(jù)盈虧問(wèn)題公式，有船(18?22)?(8?6)?20條，學(xué)生人數(shù)為20?6?22?142人。

【例 12】 學(xué)校為新生分配宿舍．每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，則空出3個(gè)房間．問(wèn)宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個(gè)房間住3人，則多出23人，每個(gè)房間住5人，就空出3個(gè)房間，這3個(gè)房間如果住滿人應(yīng)

該是5?3?15(人)，由此可見(jiàn)，每一個(gè)房間增加5?3?2(人)．兩次安排人數(shù)總共相差(人)，因此，房間總數(shù)是：38÷2＝19(間)，學(xué)生總數(shù)是：3?19?2323?15?38?80(人)，或者5?19?5?3?80(人)．

【鞏固】 學(xué)校為新生分配宿舍．每個(gè)房間住3人，則多出22人；每個(gè)房間多住5人，則空1個(gè)房間．問(wèn)宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個(gè)房間住3人，則多出22人，每個(gè)房間多住5人，意味著就是每個(gè)房間住8個(gè)人,則空出1個(gè)房間，這1個(gè)房間如果住滿人應(yīng)該是1?8?8(人)，由此可見(jiàn)，每一個(gè)房間增加8?3?5(人)．兩次安排人數(shù)總共相差22?8?30(人)，因此，房間總數(shù)是：30?5?6(間)，學(xué)生總數(shù)是：3?6?22?40(人)．

【鞏固】 軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？

【解析】 每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，說(shuō)明多出兩個(gè)房間，同時(shí)多出兩個(gè)人，即兩次分配方案人數(shù)相差20?6?2?2?30(人)，每間房間相差：6?3?3(人)，所以共有房間：30?3?10(間)，一共有：3?10?20?50(人)，即可以空出10?50?10?5(間)房間．

【鞏固】 豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐4只小豬就有6只小豬沒(méi)地方坐，如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會(huì)余出4個(gè)空位子，問(wèn)：一共有多少只小豬，豬媽媽一共帶了多少?gòu)埐筒迹?/p>

【解析】 每張餐布周圍多坐一只小豬就是坐5只小豬，余出4個(gè)空位子就是少4只小豬，所以原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：如果每張餐布周圍坐4只小豬，則多出6只沒(méi)處坐；如果每張餐布周圍坐5只，還少4只，求有多少只小豬多少?gòu)埐筒迹克圆筒紨?shù)是：（6+4）÷1=10（張），有小豬：10×4+6=46（只）.【例 13】 國(guó)慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊(duì)員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒(méi)人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問(wèn)有多少少先隊(duì)員參加擺花盆活動(dòng)，一共擺多少花盆？

【解析】 這是一道有難度的盈虧問(wèn)題，主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的理解上：如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情況——2人各擺4盆，其余的人各擺6盆．如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都擺6盆，那么，就可以多擺（6?4）?2?4(盆)．因此，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各擺5盆花，還有3盆沒(méi)人擺；如果每人擺6盆花，還缺4盆．問(wèn)有多少少先隊(duì)員，一共擺多少花盆？ 人數(shù)： [3?（6?4）2]??（6?5）?7(人)，盆數(shù)：5?7?3?38(盆)或6?7?4?38(盆)．

【鞏固】 媽媽買來(lái)一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個(gè)，其余人每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6個(gè)，其余人每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)，媽媽買來(lái)橘子多少個(gè)?全家共有多少人? 【解析】 由“其中兩人分4個(gè)，其余每人分2個(gè)，則多出4個(gè)”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個(gè)，這分4個(gè)的兩人每人都拿出2個(gè)，共拿出4個(gè)，結(jié)果就多了4?4?8個(gè)；由“一人分6個(gè)，其余每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4個(gè)，分6個(gè)的人拿出2個(gè)，結(jié)果就少了12?2?10個(gè)，轉(zhuǎn)變成了盈虧問(wèn)題的一般類型，則：

全家的人數(shù)：[4?2?2?(12?2)]?(4?2)?18?2?9(人)

橘子的個(gè)數(shù)：2?9?8?26(個(gè))

【例 14】 四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會(huì)，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了 元錢．

【解析】 這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會(huì)多出13?2?26元，所以這筆錢

買13千克奶糖會(huì)多出26?4?22元．而這筆錢買15千克奶糖會(huì)多出2元，所以每千克奶糖的價(jià)格為：(22?2)?(15?13)?10（元）．輔導(dǎo)老師共帶了10?15?2?152元．

【鞏固】 小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問(wèn)：小明媽媽帶了多少錢？

【解析】 因?yàn)椤懊壳Э伺Ｈ獗蓉i肉貴3元”，所以同樣買10千克豬肉的話，就剩了3×10－6＝24（元），這樣化成普通的盈虧問(wèn)題，豬肉的價(jià)錢是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明媽媽帶的錢數(shù)是：12×10＋4＝124（元）．

【鞏固】 食堂采購(gòu)員小李到集貿(mào)市場(chǎng)去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價(jià)8角.問(wèn)牛肉、豬肉各多少錢一千克？

【解析】 這里有兩種肉，思考起來(lái)比較困難，能否化為一種肉的問(wèn)題呢？仔細(xì)分析一下已知條件，買牛肉18千克差4元，而買豬肉20千克還多2元，說(shuō)明牛肉貴一些.每千克貴8角，如果18千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角.這樣就會(huì)多出 14元4角-4元=10元4角.因此問(wèn)題就可變?yōu)椋骸靶±钯I豬肉18千克多余10元4角，買20千克多余2元，求豬肉單價(jià)和錢數(shù).”雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問(wèn)題，不過(guò)豬肉單價(jià)=兩次錢的差÷兩次千克量差.解 由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴 8×18=144（角）=14元4角.因此小李若買18千克豬肉就會(huì)多余14元4角-4元=10元4角.由已知小李買20干克豬肉多余2元，所以豬肉每千克價(jià)格為（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.所以牛肉每千克價(jià)格為：4元2角+8角=5元.小李帶的錢為：4.2×20+2=86（元）.【鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價(jià)分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒(méi)有剩余的錢．問(wèn)：李媽媽帶了多少錢？

【解析】（法1）“李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋”，這三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因?yàn)榛ǖ腻X總數(shù)一樣多，所以在買碧浪洗衣粉的時(shí)候要把這些錢補(bǔ)上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數(shù)24÷2＝12（件）．這樣李媽媽帶的錢數(shù)是10×12＝120（元）．（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數(shù)量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3×8＝24（元），根據(jù)普通的盈虧問(wèn)題解法，買碧浪洗衣粉的數(shù)量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李媽媽帶的錢數(shù)是：12×10＝120（元）．

【例 15】 小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：50?3?150（米），提前2分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：60?2?120（米），距離上課時(shí)間為：(150?120)?(60?50)?27（分鐘），家到學(xué)校的路程為：50?(27?3)?1500（米）．

【鞏固】 東東從家去學(xué)校，如果每分走80米，結(jié)果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學(xué)校的路程是______米．

【解析】 這道題看似行程問(wèn)題，實(shí)質(zhì)卻可以用盈虧問(wèn)題來(lái)解.先求出東東從家到學(xué)校路上要用多長(zhǎng)時(shí)間，根據(jù)已知，(80?6?50?3)?(80?50)(分鐘)，然后可求東東家離校的路程為：?630?30?21(米)． 80?(21?6)?1200

【鞏固】 王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：500×3=1500（米），提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：600×2＝1200（米）王老師家到學(xué)校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分鐘），王老師家到學(xué)校的路程：500×

（270+3）＝136500（米）

【鞏固】 學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？

【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60×10＝600（米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50×8＝400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），從而可以求出小明由家到校所需時(shí)間．

（1）10分種走多少米？60×10＝600（米），（2）8分種走多少米？50×8＝400（米），（3）需要時(shí)間：（600－400）÷（60－50）＝20（分鐘），所以小明7時(shí)40分離家剛好8時(shí)到校.（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．

【例 16】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？

【解析】 花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．即花球原價(jià)10元錢20個(gè)，白球原價(jià)10元錢30個(gè)．那么，同樣買花球和白球各30個(gè)，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3??5（元）25（元）．現(xiàn)在兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，花球和白球各買30個(gè)需要(30?5)2，??2?24（元）說(shuō)明花球和白球各買30個(gè)能省下25?24?1（元）．現(xiàn)在共省了4元，說(shuō)明花球和白球各有，共買了120?2． 30?4?120（個(gè)）?240（個(gè)）

【例 17】（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級(jí)組復(fù)試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發(fā)給每個(gè)小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發(fā)完后清點(diǎn)一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個(gè)小朋友．

【解析】 畫線段圖分析，由題意知：

從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：

那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當(dāng)于19份量，水果糖中原有的8份就是現(xiàn)在的16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是：，小朋友的人數(shù)是：80?8?10（人）． 16?5?80（塊）方法二：由上圖知，設(shè)發(fā)完后奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差5塊，對(duì)應(yīng)剩下的糖相差2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對(duì)應(yīng)剩下的糖應(yīng)相差2?5?0.4份，所以水果糖最后應(yīng)剩下1?0.4?0.6份，恰是15塊，所以1份對(duì)應(yīng)的是15?0.6?25，所以應(yīng)用盈虧問(wèn)題共有(25?15)?(8?7)?10（人）．

【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時(shí)每袋咖啡都放3塊方糖，結(jié)果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時(shí)每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？

【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當(dāng)于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．

同時(shí)，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有(24?24)?(2?1)?48（塊）．

于是喝前兩盒咖啡用掉方糖48?24?72（塊），每盒咖啡的袋數(shù)為：72?3?2?12（袋）．

【鞏固】 巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發(fā)給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來(lái)了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多，現(xiàn)在又來(lái)了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個(gè)小朋友？

【解析】 新來(lái)了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說(shuō)明在此之前，軟糖應(yīng)該是剛好分完幾整盒，所以原來(lái)的小朋友人數(shù)是11的倍數(shù)．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再來(lái)一盒了，說(shuō)明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊，也就是說(shuō)，原有的小朋友人數(shù)是9的倍數(shù)減1．符合這兩個(gè)條件的最小的數(shù)是44，而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有44個(gè)小朋友，最后有46個(gè)小朋友．

【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問(wèn)：共有多少個(gè)小朋友？

【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩余，每人分8張則少5張，證明總?cè)藬?shù)多于5個(gè)．

如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8?7?56（張）卡片，還缺35張，卡片張數(shù)比題中所述要少．

如果一共有9盒卡片，則只要再添上5?9?45（張）卡片，就能使所有人每人分到8?9?72（張），人數(shù)為(45?4)?(72?60)?41?5，不滿足總?cè)藬?shù)多于5個(gè)的要求． 12類似地，當(dāng)卡片總盒數(shù)多于9時(shí)，都不滿足總?cè)藬?shù)多于5個(gè)的要求．

因此卡片一共有8盒，添上5?8?40（張）卡片，就能使所有人每人分到8?8?64（張），所以總?cè)藬?shù)為：(40?4)?(64?60)?11（人）．(二解)60?7?8?4，60?8?7?4，說(shuō)明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們?cè)诿亢兄屑?張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現(xiàn)在實(shí)際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來(lái)的，還有40張是我們一開始借來(lái)的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說(shuō)明有11人．

【例 20】 有若干個(gè)蘋果和若干個(gè)梨.如果按每1個(gè)蘋果配2個(gè)梨分堆，那么梨分完時(shí)還剩2個(gè)蘋果；如果按每3個(gè)蘋果配5個(gè)梨分堆，那么蘋果分完時(shí)還剩1個(gè)梨.蘋果和梨各有多少個(gè)? 【解析】 容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到.原因在于第一種方案是1個(gè)蘋果“搭配”2個(gè)梨，第二種方案是3個(gè)蘋果“搭配”5個(gè)梨.如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個(gè)蘋果“搭配”若干個(gè)梨，那么問(wèn)題就好解決了.將原題條件變?yōu)椤?個(gè)蘋果搭配2個(gè)梨，缺4個(gè)梨；1個(gè)蘋果搭配5/3個(gè)梨，多1個(gè)梨”，此時(shí)盈虧總額為4?1?5(個(gè))梨，兩次分配數(shù)之差為2?5/3?1/3(個(gè))梨.所以有蘋果(4?1)?(2?5/3)?15(個(gè))，有梨15?2?4?26(個(gè)).【鞏固】 有若干個(gè)蘋果和梨，如果按1個(gè)蘋果配3個(gè)梨分一堆，那么蘋果分完時(shí)，還剩2個(gè)梨；如果按半個(gè)蘋果配2個(gè)梨分一堆，那么梨分完時(shí)，還剩半個(gè)蘋果.問(wèn)梨有多少個(gè)？

【解析】 1個(gè)蘋果配3個(gè)梨，多2個(gè)梨；半個(gè)蘋果配2個(gè)梨，即1個(gè)蘋果配4個(gè)梨，剩半個(gè)蘋果，即少2個(gè)梨.蘋果有（2+2）÷（4-3）=4（個(gè)），梨有 3×4+2=14（個(gè)）.【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？

【分析】 最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有，糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少（1?10）（?9?8）?11（人）可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有，（8?10）（?9?8）?18（人）糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．

【例 22】 幼兒園有三個(gè)班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，結(jié)果甲班比乙班共多分3個(gè)棗，乙班比丙班總共多分5個(gè)棗．問(wèn)：三個(gè)班總共分了多少個(gè)棗？

【解析】 設(shè)丙班有x個(gè)小孩，那么乙班就有個(gè)小孩，甲班有個(gè)小孩．（x?4）（x?8）乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，那么x個(gè)小孩就少分5x個(gè)棗，而乙班比丙班總共多分

個(gè)棗． 5個(gè)棗，所以多出來(lái)的那4個(gè)小孩分了（5x?5）同樣的道理，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，那么個(gè)小孩就少分個(gè)棗，（x?4）（3x?12）而甲班比乙班總共多分3個(gè)棗，所以多出來(lái)的那4個(gè)小孩分了3x?12?3?3x?15個(gè)棗．

甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，4個(gè)小孩就少3?4?12個(gè)棗，因此我們得到：5x?5?3x?15?12，解得x?11．

所以，丙班有11個(gè)小朋友，乙班有15個(gè)小朋友，甲班有19個(gè)小朋友；甲班每人分12個(gè)棗，乙班每人分15個(gè)棗，丙班每人分20個(gè)棗．—共分了12?19?15?15?20?11?673（個(gè)）棗．

【鞏固】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問(wèn)第二組有多少人？

【解析】 如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．說(shuō)明第一組人數(shù)少于，多于48?5?9?3，即9人；如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；48?4?12（人）每人4本，書不夠．說(shuō)明第二組人數(shù)少于48?3?16（人），多于48?4?12（人）；因?yàn)橐阎诙M比第一組多5人，所以，第一組只能是10人，第二組15人．

【例 23】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等．花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？

【解析】 花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)．即花球原價(jià)10元錢20個(gè)，白球原價(jià)10元錢30個(gè)．那么，同樣買花球和白球各30個(gè)，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3??5（元）25（元）．現(xiàn)在兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，花球和白球各買30個(gè)需要(30?5)2，??2?24（元）說(shuō)明花球和白球各買30個(gè)能省下25?24?1（元）．現(xiàn)在共省了4元，說(shuō)明花球和白球各有，共買了120?2． 30?4?120（個(gè)）?240（個(gè)）

【鞏固】 有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2，黃色卡片的兩面上分別寫著1和3，綠色卡片的兩面上分別寫著2和3．現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計(jì)算，各卡片上所顯示的數(shù)字之和為234．若把所有卡片正反面翻轉(zhuǎn)一下，各卡片所顯示的數(shù)字之和則變成123．問(wèn)黃色卡片有多少?gòu)垼?/p>

【解析】 開始的時(shí)候，黃色和綠色的卡片上都是3，紅色卡片上是2．如果全部是紅色卡片，那么數(shù)字之和為：2?100?200，比實(shí)際的少：234?200?34．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數(shù)字就會(huì)增加：3?2?1．那么，黃色和綠色卡片之和：34?1?34（張），紅色卡片有：100?34?66（張）． 翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)后，紅色和黃色卡片上都是1，綠色卡片上是2．紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數(shù)字之和為：123?1?66?57．如果34張卡片都是黃色的，那么這34張卡片上的數(shù)字之和為：比實(shí)際的少：每增加一張綠色卡片，數(shù)字之和就會(huì)增加：1?34?34，57?34?23．2?1?1，所以，綠色卡片有：23?1?23（張），黃色卡片有：34?23?11（張）．

【例 24】 四(2)班在這次的班級(jí)評(píng)比中，獲得了“全優(yōu)班”的稱號(hào)．為了獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時(shí)橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時(shí)還剩5支鉛筆．那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 【解析】 如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數(shù)為：15×3=45(塊)，鉛筆數(shù)為：15×6—10=80(支)．

【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？

【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔裝一個(gè)籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說(shuō)明小白兔少了12÷3×7＝28（只），這樣原來(lái)籠子數(shù)有：（28＋4）÷（7－5）＝16（個(gè)），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起來(lái)有84＋48＝132（只）．