第一篇：2014最新小學奧數抽屜原理

五年級（繁體）下冊《抽屜》

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抽屜原理

這一講我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個例子：如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個例子所體現的數學思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個抽屜中可放物品的總數就不會超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當m＝1時，抽屜原理2就轉化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。例1某幼兒班有40名小朋友，現有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應用抽屜原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。例2一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？ 分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

例3六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。例4籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。

81÷10=8……1（個）。

根據抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。

例5學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名同學參加學習班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同情況。不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數學、語文和美術、數學和美術3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據抽屜原理2，要保證不少于5名同學參加學習班的情況相同，要有學生

7×（5-1）＋1＝29（名）。

練習

1.禮堂里有253人開會，這253人中至少有多少人的屬相相同？

2.一興趣小組有10名學生，他們都訂閱甲、乙兩種雜志中的一種或兩種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？

3.把130件玩具分給幼兒園小朋友，如果不管怎樣分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么這個幼兒園最多有多少個小朋友？

4.體育組有足球、籃球和排球，上體育課前，老師讓一班的41名同學往操場拿球，每人最多拿兩個。問：至少有幾名同學拿球的情況完全一樣？

5.口袋里放有足夠多的紅、白兩種顏色的球，有若干人輪流從袋中取球，每人取三個球。要保證有4人取出的球的顏色完全相同，至少應有多少人取球？

6.10個足球隊之間共賽了11場，賽得最多的球隊至少賽了幾場？

答案與提示練習

1.22人。2.4人。

3.43人。提示：130÷（4-1）=43……1。

4.5名。提示：一個球不拿、拿一個球、拿兩個球共有10種不同情況。

5.13人。

提示：三個球中根據紅球的個數可分為4種不同情況。

6.3場。提示：11場球有22隊次參賽。

第二篇：小學奧數-簡單抽屜原理

1．把10個蘋果發給3個同學，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人剛好分到3個蘋果．B.一定有一個人剛好分到4個蘋果．C.一定有一個人至少分到4個蘋果． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：C 2．把30個金幣發給7個人，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人至少分到5個金幣．B.一定有一個人至少分到6個金幣．C.一定有一個人剛好分到6個金幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 3．把20塊巧克力發給3個人，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人剛好分到6塊巧克力．B.一定有一個人至少分到7塊巧克力．C.一定有一個人至少分到8塊巧克力． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：B 4．把6個蘋果放進5個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.2B.3C.4D.5 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 5．把9個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.4B.5C.6D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 6．把13個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.4B.5C.6D.7 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 7．把20個蘋果放進6個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.5B.4C.6D.7 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：B 8．把30個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.8B.9C.10D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 9．把27個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.8B.9C.10D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 10．任意25個人中，至少有__________個人屬于同一個生肖． A.3B.4C.5D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 首頁上一頁1234下一頁尾頁 11．任意30個人中，至少有__________個人的生日在同一個月份里． A.9B.8C.3D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：選擇題 答案：C 12．一個星期吃掉30個雞蛋，至少有__________個雞蛋是在同一天吃掉的． A.8B.7C.6D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 13．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有黃色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：18 14．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有藍色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：17 15．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有綠色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：15 16．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到2個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：4 17．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到3個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：7 18．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到4個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：10 19．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_________枚，才能保證其中一定有3枚相同類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：9 20．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_______枚，才能保證其中一定有2枚是同一種類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：5 首頁上一頁1234下一頁尾頁

21．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_______枚，才能保證其中一定有5枚是同一種類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：17 22．一個袋子里有1只紅襪子、3只黑襪子、5只白襪子和8只綠襪子．那么一次至少摸出_______只襪子，才能保證一定有顏色一樣的3只襪子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：8 23．一個袋子里有2只紅襪子、4只黑襪子、7只白襪子和9只綠襪子．那么一次至少摸出_______只襪子，才能保證一定有顏色一樣的4只襪子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：12 24．一個袋子里有4顆巧克力糖、5顆奶糖、10顆水果糖和20顆棉花糖．那么一次至少拿出_______顆糖，才能保證一定有6顆糖口味相同． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：20 25．袋子里有紅色的球6個，黑色的球7個，黃色的球10個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有兩種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：11 26．袋子里有紅色的球6個，黑色的球7個，黃色的球10個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有三種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：19 27．袋子里有紅色的球12個，黑色的球8個，黃色的球7個，綠色的球5個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有兩種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：13 28．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各10根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：31 29．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各8根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：25 30．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各20根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：61 首頁上一頁1234下一頁尾頁

31．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到牛肉餡和白菜餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：29 32．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到雞肉餡和魚肉餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：34 33．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到魚肉餡和牛肉餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：31 34．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有2張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：31 35．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含2種花色，并且這2種花色的牌至少都有3張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：22 36．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有4張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：35 首頁上一頁1234下一頁尾頁

第三篇：小學奧數抽屜原理簡介__（定稿）

小學奧數之-----抽屜原理

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發現至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的抽屜原理。

抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n＋1或多于n＋1個元素放到n個集合中去，其中必定至少有一個集合里至少有兩個元素?！?/p>

抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理（“如果有五個鴿子籠，養鴿人養了6只鴿子，那么當鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”）

。它是德國數學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數學中一個重要的原理。

一． 抽屜原理最常見的形式

原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。

[證明]（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是n，而不是題設的n+k(k≥1)，這不可能.原理2 把多于mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+1 個的物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能.原理1 2都是第一抽屜原理的表述

第二抽屜原理：

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設矛盾，故不可能

二．應用抽屜原理解題

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

例１：400人中至少有兩個人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得知：至少有兩人的生日相同.又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！?/p>

“從數1，2，...，10中任取6個數，其中至少有2個數為奇偶性不同?！?/p>

例2： 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理.解 ：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）。把每種搭配方式看作一個抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據原理1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.上面數例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯，這正是抽屜原則的主要作用.（需要說明的是，運用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少.）

抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當的難度。下面我們來研究有關的一些問題。

（一）整除問題

把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個類含有無窮多個數，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究與整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜.根據抽屜原理，可以證明：任意n+1個自然數中，總有兩個自然數的差是n的倍數。

例1 證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數。

分析與解答 在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數a、b，它們除以自然數m的余數相同，那么它們的差a-b是m的倍數.根據這個性質，本題只需證明這8個自然數中有2個自然數，它們除以7的余數相同.我們可以把所有自然數按被7除所得的7種不同的余數0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個抽屜.任取8個自然數，根據抽屜原理，必有兩個數在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數相同，因此這兩個數的差一定是7的倍數。

例2：對于任意的五個自然數，證明其中必有3個數的和能被3整除.證明∵任何數除以3所得余數只能是0，1，2，不妨分別構造為3個抽屜：

[0]，[1]，[2]

①若這五個自然數除以3后所得余數分別分布在這3個抽屜中，我們從這三個抽屜中各取1個，其和必能被3整除.②若這5個余數分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3個余數（抽屜原理），而這三個余數之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3個自然數之和是3的倍數.③若這5個余數分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3個自然數之和能被3整除.例2′：對于任意的11個整數，證明其中一定有6個數，它們的和能被6整除.證明：設這11個整數為：a1，a2，a3……a11 又6=2×3

①先考慮被3整除的情形

由例2知，在11個任意整數中，必存在：

3|a1+a2+a3，不妨設a1+a2+a3=b1；

同理，剩下的8個任意整數中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.設a4+a5+a6=b2；

同理，其余的5個任意整數中，有：3|a7+a8+a9，設：a7+a8+a9=b3

②再考慮b1、b2、b3被2整除.依據抽屜原理，b1、b2、b3這三個整數中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇（或同偶）的整數之和必為偶數.不妨設2|b1+b2

則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6

∴任意11個整數，其中必有6個數的和是6的倍數.例3： 任意給定7個不同的自然數，求證其中必有兩個整數，其和或差是10的倍數.分析：注意到這些數隊以10的余數即個位數字，以0，1，…，9為標準制造10個抽屜，標以[0]，[1]，…，[9].若有兩數落入同一抽屜，其差是10的倍數，只是僅有7個自然數，似不便運用抽屜原則，再作調整：[6]，[7]，[8]，[9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數，它們的和或差是10的倍數.（二）面積問題

例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經過同一點.證明：如圖，設直線EF將正方形分成兩個梯形，作中位線MN。由于這兩個梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH|。于是點H有確定的位置（它在正方形一對對邊中點的連線上，且|MH|:|NH|＝２:３）.由幾何上的對稱性，這種點共有四個（即圖中的H、J、I、K）.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經過H、J、I、K這四點中的一點.把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當成９個物體，即可得出必定有３條分割線經過同一點.（三）染色問題

例1正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同.證明：把兩種顏色當作兩個抽屜，把正方體六個面當作物體，那么6=2×2+2，根據原理二，至少有三個面涂上相同的顏色.例2 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.根據抽屜原理，至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

例3：假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？

解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。

例3′（六人集會問題）證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識?！?/p>

例3”：17個科學家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學家之間通信討論的是同一個問題。證明：至少有三個科學家通信時討論的是同一個問題。

解：不妨設A是某科學家，他與其余16位討論僅三個問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設這6位科學家為B，C，D，E，F，G，討論的是甲問題。

若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。

若C，D，E中有兩人也討論乙問題，則結論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這樣結論也成立。

三．制造抽屜是運用原則的一大關鍵

例1 從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。

分析與解答 我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：

凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34?，F從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。

例2：從1、2、3、4、…、19、20這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括兩個數，它們的差是12。

分析與解答在這20個自然數中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外還有4個不能配對的數｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到（取12個數：從12個抽屜中各取一個數（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12）。

例3： 從1到20這20個數中，任取11個數，必有兩個數，其中一個數是另一個數的倍數。

分析與解答 根據題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，任意兩數都具有倍數關系的原則制造抽屜.把這20個數按奇數及其倍數分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質）：

｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

從這10個數組的20個數中任取11個數，根據抽屜原理，至少有兩個數取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數都具有倍數關系，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。

例4：某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。

分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數是n-1次，那么握手次數最少的不能少于1次.不管是前一種狀態0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態1、2、3、…、n-1，握手次數都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經驗。

抽屜原理

把八個蘋果任意地放進七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數學中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現形式。

形式一：證明：設把n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai＜2，則因為ai是整數，應有ai≤1，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1這與題設矛盾。所以，至少有一個ai≥2，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。

形式二：設把n?m＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個ai大于或等于m＋1。用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai＜m＋1，則因為ai是整數，應有ai≤m，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n?m＜n?m＋1

n個m 這與題設相矛盾。所以，至少有存在一個ai≥m＋1

高斯函數：對任意的實數x,[x]表示“不大于x的最大整數”.例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我們有：[x]≤x＜[x]＋1

形式三：證明：設把n個元素分為k個集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示這k個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個ai大于或等于[n/k]。（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai＜[n/k]，于是有：

a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝n

k個[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設相矛盾。所以，必有一個集合中元素個數大于或等于[n/k]

形式四：證明：設把q1＋q2＋…＋qn－n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi。（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai＜qi，因為ai為整數，應有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設矛盾。

所以，假設不成立，故必有一個i,在第i個集合中元素個數ai≥qi

形式五：證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設這有限個集合中的元素的個數都是有限個，則有限個有限數相加，所得的數必是有限數，這就與題設產生矛盾，所以，假設不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素。

例題１：400人中至少有兩個人的生日相同.分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽屜原理的表現形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.例題2：任取5個整數，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除.證明：任意給一個整數，它被3除，余數可能為0，1，2，我們把被3除余數為0，1，2的整數各歸入類r０，r1，r2.至少有一類包含所給５個數中的至少兩個.因此可能出現兩種情況：１°.某一類至少包含三個數；２°.某兩類各含兩個數，第三類包含一個數.若是第一種情況，就在至少包含三個數的那一類中任取三數，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數，其和也能被3整除..綜上所述，原命題正確.例題3：某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數相同.證明：按植樹的多少，從50到100株可以構造51個抽屜，則個問題就轉化為至少有5人植樹的株數在同一個抽屜里.(用反證法)假設無５人或５人以上植樹的株數在同一個抽屜里，那只有５人以下植樹的株數在同一個抽屜里，而參加植樹的人數為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數最多有：

4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５人植樹的株數相同.練習：1．邊長為1的等邊三角形內有5個點，那么這5個點中一定有距離小于0.5的兩點.2．邊長為1的等邊三角形內，若有n2＋1個點，則至少存在2點距離小于.3．求證：任意四個整數中，至少有兩個整數的差能夠被3整除.4．某校高一某班有50名新生，試說明其中一定有二人的熟人一樣多.5．某個年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數，總得分為10101分，則至少有3人得分相同.“任意367個人中，必有生日相同的人。”

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”

“從數1，2，...，10中任取6個數，其中至少有2個數為奇偶性不同。”

......大家都會認為上面所述結論是正確的。這些結論是依據什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。它的內容可以用形象的語言表述為：

“把m個東西任意分放進n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個東西?！?/p>

在上面的第一個結論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當于把367個東西放入 366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。

抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西?！?/p>

利用上述原理容易證明：“任意7個整數中，至少有3個數的兩兩之差是3的倍數。”因為任一整數除以3時余數只有0、1、2三種可能，所以7個整數中至少有3個數除以3所得余數相同，即它們兩兩之差是3的倍數。

如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。”

抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。

1958年6/7月號的《美國數學月刊》上有這樣一道題目：

“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識?！?/p>

這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：

在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍線?？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。根據抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD，CD 3條連線中有一條（不妨設為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍色，那么三角形BCD即一個藍色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發生，都符合問題的結論。

六人集會問題是組合數學中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結論。這些結論構成了組合數學中的重要內容-----拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應用。

解讀“抽屜原理”

當“抽屜原理”從少數精英學生學習的奧林匹克競賽課堂走向全體學生學習的大眾課堂的時候，無疑對教師和學生都構成了前所未有的挑戰。為此，頗有必有對此展開學習和研討。

一、抽屜原理簡介

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。

原理1：多于n個的元素，按任一確定方式分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少二個元素。

原理2：np＋1(n、p∈N*)分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p＋1個元素。

原理3：無窮多個元素分成n個集合，則至少有一個集合中含有無窮多個元素。

現行的小學課本中只編排了抽屜原理1、2的教學。

二、運用抽屜原理解題的步驟

第一步：分析題意。分清什么是“東西”，什么是“抽屜”，也就是什么作“東西”，什么可作“抽屜”。

第二步：制造抽屜。這個是關鍵的一步，這一步就是如何設計抽屜。根據題目條件和結論，結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜鋪平道路。

第三步：運用原理。觀察題設條件，結合第二步，恰當應用各個原則或綜合運用幾個原則，以求問題之解決。

三、理解抽屜原理要注意幾點

（1）抽屜原理是討論物品與抽屜的關系，要求物品數比抽屜數或抽屜數的倍數多，至于多多少，這倒無妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規定每個抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數。

（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。

（4）將a件物品放入n個抽屜中，如果a÷n= m……b，其中b是自然數，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個抽屜中的物品數不少于（m+1）件。

四、抽屜原理的教材分析

“數學廣角”是人教版六年級下冊第五單元的內容。在數學問題中，有一類與“存在性”有關的問題，如任意367名學生中，一定存在兩名學生，他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”。本節課教材借助把4枝鉛筆放進3個文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡單的“抽屜原理”，即把m個物體任意分放進n個空抽屜里（m>n，n是非0自然數），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。關于這類問題，學生在現實生活中已積累了一定的感性經驗。教學時可以充分利用學生的生活經驗，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽象思維能力。

五、抽屜原理的教學目標

1.了解原理。通過操作、觀察、比較、推理等活動，讓學生經歷“抽屜原理”的探究過程，并逐步理解和掌握“抽屜原理”。

2、簡單運用。會用“抽屜原理”解決生活中簡單的實際問題，培養學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。

3.學會建模。使學生經歷將具體問題“數學化”的過程，培養學生的“模型”思想。

4、感受魅力。通過“抽屜原理”的靈活應用讓學生感受到數學的魅力，并培養學生對數學的學習興趣。

六、抽屜原理的教材解讀

（一）例1和做一做

例

1、把4枝鉛筆放在3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。

1、體驗方法多樣

（1）枚舉法：（4、0、0），（3、1、0），（2、2、0），（2、1、1），（2）假設法（用極端法做最壞的打算）

假設每個文具盒只放1枝鉛筆，最多放3只。剩下的1枝還要放進1個文具盒。所以至少有2枝鉛筆放進同一個文具盒。

（3）反證法

假設每個文具盒放進的鉛筆枝數都少于2枝，那么最多只能放3枝鉛筆，而把4枝鉛筆放在3個文具盒里，所以假設不成立。因此，至少有2枝鉛筆放進同一個文具盒。

2、體驗結果存在不管是哪個物體存在，因何種方式存在，只要存在即可。

3、體驗數量積累

從量變到質變。

把4枝鉛筆放在3個文具盒里

把5枝鉛筆放在4個文具盒里

把6枝鉛筆放在5個文具盒里

把10枝鉛筆放在9個文具盒里

把100枝鉛筆放在99個文具盒里

把8枝鉛筆放在3個文具盒里

……

4、體驗方法優劣

枚舉法受到數量多少的局限

假設法能夠解決一般的問題

反證法不利于小學生的接受

做一做：6只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

解答：假設每個鴿舍只飛進1只鴿子，最飛進5只鴿子。剩下的1只鴿子還要飛進同一個鴿舍里。所以至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。

5、體驗語言嚴謹

要讓學生逐步學會用簡練、嚴謹的數學語言表達數學思維的過程和結果。

（二）例2和做一做

例

2、把5本書放進2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。7本呢？9本呢？

1、關注學習過程：操作、觀察、比較、合情推理、歸納。

2、注重方法多樣：

枚舉法：（5，0），（4，1），（3，2）三種情況，可知在任何一種結果中，總有一個數不小于3，故總有一個抽屜里至少有3本書；

假設法：先把每個抽屜各放1本，還剩下3本，再把每個抽屜各放1本，還剩1本，這樣不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書；也可能有學生說把5本書放進2個抽屜里，如果每個抽屜里先放2本，還剩1本，這本書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里至少有3本書。

3、借助算式思考。（注意用“商+1”就可以了，不是“商+余數”）

4、學會歸納總結。

5、溝通例1例2。

做一做：8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

解答：假設每個鴿舍只飛進2只鴿子，最飛進6只鴿子。剩下的2只鴿子還要飛進鴿舍里。所以至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。

（三）例3和做一做

例

3、盒子里同樣大小的紅球和籃球各4個，要想摸出的球一定有同色的，最少要摸幾個球？

1、尋找與抽屜原理的本質聯系

怎樣把這一問題與抽屜原理掛鉤？即是要把多少個物體放進多少個抽屜里？

要摸出多少個球就是物體的個數，即要所求。

兩種顏色就是兩個抽屜。

結果是摸出的球數比顏色數多1，即3個球。

2、注意突出對“至少”的理解

（）÷2=（）……1

3、注重抽屜原理的變式訓練

做一做：

1、向東小學六年級共有370名學生，其中六（2）班有49名學生。六年級里一定有兩人的生日是同一天。六（2）班中至少有5人是一個月出生的。他們說得對嗎？為什么？

解答：（1）把370個物體放進366個抽屜

370÷366=1……4

（2）把49個物體放進12個抽屜

49÷12=4……1

2、把紅、黃、藍、白四種顏色的球各10個放到一個袋子里。至少取多少個球，可以保證取道兩個顏色相同的球？

解答：要摸出多少個球就是物體的個數，即要所求。

4種顏色就是4個抽屜。

結果是摸出的球數比顏色數多1，即5個球。

（四）練習十二習題解答

1、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張氏同花色的。試一試，并說明理由。

解答：要摸出多少個球就是物體的個數，即要所求。

4種顏色就是4個抽屜。

結果是摸出的同花色的牌數比顏色數多1，即5張牌。

2、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環。張叔叔至少有1鏢不低于9環。為什么？

解答：41÷5=8……1

3、任意3個不同的自然數，其中一定有2個數的和是2的倍數。能說明其中的道理嗎？

解答：物體數：3個（奇、奇），（奇、偶），（偶、偶），其和為2偶1奇。

抽屜數：2個（和的兩種情況：奇數和偶數）

4、給一個正方體的6個面分別涂上藍、黃兩種顏色。不論怎么涂至少有3個面涂的顏色相同。為什么？

解答：反證法說明。

5、把紅、黃、藍三種顏色的小棒各10根混在一起。如果讓你閉上眼睛，每次最少拿出幾根才能保證一定有兩根向同色的小棒？保證有2對同色的小棒呢？

解答：（同上面的做一做，答案略）

7、任意給出5個非零的自然數。能找到3個數，讓這3個數的和是3的倍數。說出其中的奧秘。

解答：所有的整數按照除以3的余數都可以分在三個集合里：{3k+1},{3k+2},{3k},其中k為整數。

對于任意取的5個整數，如果它們都分布在同一個集合里的話，那么顯然任取三個數的和都能被3整除。

如果它們沒有都分在一個集合里，而恰好只分在兩個集合里的話，那么5個元素分布到兩個集合中，至少有一個集合含有至少3個元素，那么可以發現這三個元素的和是可以被3整除的。

如果這5個整數分布在3個集合每個集合都有元素的話，那么顯然，從每個集合中取出一個元素，它們的和就可以被3整除。

8、思考題：把1-8這8個數任意圍成一個圓圈。在這個圈上，一定有3個相鄰數的和大于13。你知道其中的奧秘嗎？

解答：設a1，a2，a3，…，a7，a8分別代表不超過8的自然數，它們圍成一個圈，三個相鄰的數的組成共8組.現把它們看作8個抽屜，每個抽屜的物體數的和是：

3×(1+2+…+7+8)=108 108÷8=13……4

根據原則2,至少有三個相鄰的數的和不小于13。

抽屜原理練習題

1．木箱里裝有紅色球３個、黃色球５個、藍色球７個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？

解：把３種顏色看作３個抽屜，若要符合題意，則小球的數目必須大于３，故至少取出４個小球才能符合要求。

2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數？

解：點數為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒有兩張的點數相同。這樣，如果任意再取1張的話，它的點數必為1～13中的一個，于是有2張點數相同。

3．11名學生到老師家借書，老師是書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同。

證明：若學生只借一本書，則不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，若學生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型，把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學生看作11個“蘋果”。如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的類型相同。

4．有50名運動員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個運動員積分相同。

證明：設每勝一局得一分，由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能，以這49種可能得分的情況為49個抽屜，現有50名運動員得分，則一定有兩名運動員得分相同。

5．體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個人至少拿１個球，至多拿２個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

解題關鍵：利用抽屜原理２。

解：根據規定，多有同學拿球的配組方式共有以下９種：﹛足﹜﹛排﹜﹛藍﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍藍﹜﹛足排﹜﹛足藍﹜﹛排藍﹜。以這９種配組方式制造９個抽屜，將這50個同學看作蘋果50÷9 ＝5……5

由抽屜原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他們所拿的球類是完全一致的。

6．某校有55個同學參加數學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人生為__________人。

解：因為任意分成四組，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因為任意10人中必有男生，所以女生人數至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）

7、證明：從1，3，5，……，99中任選26個數，其中必有兩個數的和是100。

解析：將這50個奇數按照和為100，放進25個抽屜：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根據抽屜原理，從中選出26個數，則必定有兩個數來自同一個抽屜，那么這兩個數的和即為100。

8.某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有______人帶蘋果。

解析：由題意，不帶蘋果的乘客不多于一名，但又確實有不帶蘋果的乘客，所以不帶蘋果的乘客恰有一名，所以帶蘋果的就有46人。

9.一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發現無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數是偶數，那么小明至少把這些水果分成了_______堆。

解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個數一定是偶數，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。對于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根據抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。

10.有黑色、白色、藍色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的時候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。

解析：考慮最壞情況，假設拿了3只黑色、1只白色和1只藍色，則只有一雙同顏色的，但是再多拿一只，不論什么顏色，則一定會有兩雙同顏色的，所以至少要那6只。

11.從前25個自然數中任意取出7個數,證明:取出的數中一定有兩個數,這兩個數中大數不超過小數的1.5倍.證明:把前25個自然數分成下面6組:

1;①

2,3;②

4,5,6;③

7,8,9,10;④

11,12,13,14,15,16;⑤

17,18,19,20,21,22,23, ⑥

因為從前25個自然數中任意取出7個數,所以至少有兩個數取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,這兩個數中大數就不超過小數的1.5倍.12．一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？

解析：根據抽屜原理，當每次取出4張牌時，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當取出12張牌時，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當抽取第13張牌時，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。

13．從1、2、3、4……、12這12個自然數中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數，他們的差是7？

【解析】在這12個自然數中，差是7的自然樹有以下5對：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，還有2個不能配對的數是｛6｝｛7｝?？蓸嬙斐閷显?，共構造了7個抽屜。只要有兩個數是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，顯然從7個抽屜中取8個數，則一定可以使有兩個數字來源于同一個抽屜，也即作差為7，所以選擇D。

15．某幼兒班有40名小朋友，現有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應用抽屜原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。

16．一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

17．六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。

18．籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。

81÷10=8……1（個）。

根據抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。

19．學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學生，才能保證有不少于5名同學參加學習班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學習班有多少種不同情況。不參加學習班有1種情況，只參加一個學習班有3種情況，參加兩個學習班有語文和數學、語文和美術、數學和美術3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據抽屜原理2，要保證不少于5名同學參加學習班的情況相同，要有學生 7×（5-1）＋1＝29（名）。

20.在1，4，7，10，…，100中任選20個數，其中至少有不同的兩對數，其和等于104。

分析：解這道題，可以考慮先將4與100，7與97，49與55……，這些和等于104的兩個數組成一組，構成16個抽屜，剩下1和52再構成2個抽屜，這樣，即使20個數中取到了1和52，剩下的18個數還必須至少有兩個數取自前面16個抽屜中的兩個抽屜，從而有不同的兩組數，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的數組將多于兩組。

解：1，4，7，10，……，100中共有34個數，將其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18個抽屜，從這18個抽屜中任取20個數，若取到1和52，則剩下的18個數取自前16個抽屜，至少有4個數取自某兩個抽屜中，結論成立；若不全取1和52，則有多于18個數取自前16個抽屜，結論亦成立。

21.任意5個自然數中，必可找出3個數，使這三個數的和能被3整除。

分析：解這個問題，注意到一個數被3除的余數只有0，1，2三個，可以用余數來構造抽屜。

解：以一個數被3除的余數0、1、2構造抽屜，共有3個抽屜。任意五個數放入這三個抽屜中，若每個抽屜內均有數，則各抽屜取一個數，這三個數的和是3的倍數，結論成立；若至少有一個抽屜內沒有數，那么5個數中必有三個數在同一抽屜內，這三個數的和是3的倍數，結論亦成立。

22.在邊長為1的正方形內，任意放入9個點，證明在以這些點為頂點的三角形中，必有一個三角形的面積不超過1/8.解：分別連結正方形兩組對邊的中點，將正方形分為四個全等的小正方形，則各個小正方形的面積均為1/4。把這四個小正方形看作4個抽屜，將9個點隨意放入4個抽屜中，據抽屜原理，至少有一個小正方形中有3個點。顯然，以這三個點為頂點的三角形的面積不超過1/8。

反思：將邊長為1的正方形分成4個面積均為1/4 的小正方形，從而構造出4個抽屜，是解決本題的關鍵。我們知道。將正方形分成面積均為1/4 的圖形的方法不只一種，如可連結兩條對角線將正方形分成4個全等的直角三角形，這4個圖形的面積也都是1/4，但這樣構造抽屜不能證到結論。可見，如何構造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關鍵。

23． 班上有50名學生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學生看作50個抽屜，把書看成蘋果 ,根據原理1，書的數目要比學生的人數多,即書至少需要50+1=51本.24． 在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段,每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果 ,于是101個蘋果放入100個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個蘋果 ,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹.25． 有50名運動員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝.試證明：一定有兩個運動員積分相同

證明：設每勝一局得一分,由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能 ,以這49種可能得分的情況為49個抽屜 ,現有50名運動員得分 則一定有兩名運動員得分相同.26.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

解題關鍵：利用抽屜原理2。

解：根據規定，多有同學拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍｝｛足足｝｛排排｝｛藍藍｝｛足排｝｛足藍｝｛排藍｝

以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學看作蘋果＝5.5……5

由抽屜原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的。

【歡迎你來解】

1.某班37名同學，至少有幾個同學在同一個月過生日？

2.42只鴿子飛進5個籠子里，可以保證至少有一個籠子中可以有幾只鴿子？

3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個球，才能保證有4個顏色相同的球？

4.飼養員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個蘋果，飼養員至少要拿來多少個蘋果？

5.從13個自然數中，一定可以找到兩個數，它們的差是12的倍數。

6.一個班有40名同學，現在有課外書125本。把這些書分給同學，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？

本文來源于楓葉教育網(www.fyeedu.net)

原文鏈接：http://www.fyeedu.net/info/109739-1.htm

第四篇：小學奧數三年級 抽屜原理

2012小學奧數三年級參考資料

抽屜原理

【知識與方法】

把4個蘋果放到3個抽屜中去，那么，至少有一個抽屜中放有兩個蘋果。我們要重點理解什么叫至少？就是其中必有一個抽屜必須滿足的最低條件。把它進一步推廣，就可以得到數學里重要的抽屜原理。

用抽屜原理解決問題，小朋友一定要注意哪些是“抽屜”，哪些是“蘋果”，并且要應用所學的數學知識制造抽屜，巧妙地加以應用，這樣看上去十分復雜，甚至無從下手的題目才能順利地解答。

例題1:把5個蘋果任意放在4個抽屜里，其中一個抽屜至少放多少個蘋果?

思維點撥： 把5個蘋果放在4個抽屜里有6種不同的方法。

注：放的抽屜不同但個數相同時只算一種放法，一共有6種放法，分別是(0、0、0、5)；(0、0、1、4)；(0、1、1、3)；(0、0、2、3)；(0、l、2、2)；（1、l、1、2)結論：發現總能找到一個抽屜里放了至少2個蘋果。

模仿練習

1、（1）三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或都是女孩，這是對的嗎?為什么?

（2）學前班有40名小朋友，老師最少拿多少本書隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書?

例題2：任意的25個人中，至少有幾個人的屬相相同?

思維點撥： 根據已知，生肖共12種，把12個月看成12個抽屜。有25個蘋果，放進12個抽屜：25÷12-=2（人）??1（人），所以至少有2+1=3(名)學生是同年同月出生的。

模仿練習2

（1）有27個五年級學生，他們都是1 1歲，至少有多少個學生在同一個月里過生日?

（2）四(3)班有50名學生，其中年齡最大的11歲，最小的l0歲，那么這個班至少有幾名學生是同年同月出生的?

例題3：有40輛客車，各種客車座位數不同，最少的有26座，最多的有44座，這些客車中至少有多少輛車的座位是相同的?

思維點撥：已知汽車的座位最少的有26座，最多的有44座，共有44—26+l=19(種)不同座位數的汽車。把這l9種不同座位數的汽車看作l9個抽屜，40輛汽車看作40個蘋果，每只抽屜中放2個蘋果，l9個抽屜中共放38個蘋果，還有40一38=2(個)蘋果放入相應的抽屜中，至少有一個抽屜中有3個蘋果，也就是說，至少有3輛客車的座位是相同的。

模仿練習

3、（1）有40名學生，在一次考試中，最少的考76分，最多的考95分，76分到95分之間每個分段都有人考，這些學生中至少有多少人的分是相同的?

（2）紅、白、黑三色襪子各5雙，散放在桌面上，閉上眼睛一次至少要拿多少只，才能保證得到同樣顏色的一雙襪子?

例題4： 黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜放在一起．黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根才能保證達到要求。

思維點撥：最壞的情況是連續取8根，都同色，還剩兩種顏色，再取2根，最壞的情況是又不同色，只要再取1根，就可以保證取出的筷子中有兩雙不同色。

模仿練習4（1）一個布袋里裝有紅、黃、藍襪子各5只，問一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？

（2）一布袋中有紅、黃、黑、白四種顏色的小玻璃球各1 0個，每個小球的形狀、大小完全相同，問一次至少取出多少個，才能保證其中至少有四個顏色相同的小球?

例題

5、盒子里混裝著5個白色球和4個紅色球，要想保證一次能拿出兩個同顏色的球，至少要拿出多少個球？

思路點撥：如果每次拿2個球會有三種情況：（1）一個白球，一個紅球；（2）兩個白球；（3）兩個紅球。不能保證一次能拿出兩個同顏色的球。

如果每次拿3個球會有四種情況：（1）一個白球，兩個紅球；（2）一個紅球，兩個白球；（3）三個白球；（4）三個紅球。這樣每次都能保證拿出兩個同顏色的球，所以至少要拿出3個球。

模仿練習5：

1，箱子里裝著6個蘋果和8個梨，要保證一次能拿出兩個同樣的水果，至少要拿出多少個水果？

2，書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次能拿出兩本同樣的

書，至少要拿出多少本書？

【鞏固與提高】

A級

1、有人說：“把7個蘋果，隨意放在3個抽屜里，一定能找到一個抽屜里有3個或3個以上的蘋果?！边@句話對嗎?

2、一只口袋里有“大白兔”和“金絲猴”兩種糖若干粒，你至少要抓出多少粒，才會保證有一種糖不少于2粒?

3、五(3)班共有學生53人，他們年齡相同，請你證明，至少有兩個小朋友出生在同一周內。

4，書箱里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本故事書，至少要拿出多少本書？

5，抽屜里放著紅、綠、黃三種顏色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保證每種顏色至少有一只？

B級

6、某小學學生的年齡最大為l 3歲，最小為6歲，至少需從中挑選多少位同學，就一定能使挑出的同學中有兩位同學歲數相同?

7，書箱里放著4本故事書，3本連環畫，2本文藝書。一次至少取出多少本書，才能保證每種書至少有一本？

8、參加數學競賽的210名同齡同學中，一定有多少名同學是同一個月出生的?

C級

9、在一個布袋里裝有塑料玩具若干個，其中小豬20件、小狗20件、小貓20件、小熊20件，一次要取出多少件玩具，才能保證其中至少有8件玩具相同?

第五篇：小學奧數：抽屜原理(含答案)

教案

抽屜原理

1、概念解析

把3個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或3個蘋果放在某一個抽屜里.盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個共同的規律：至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.如果把5個蘋果任意放到4個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結果.由此我們可以想到，只要蘋果的個數多于抽屜的個數，就一定能保證至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果.道理很簡單：如果每個抽屜里的蘋果都不到兩個（也就是至多有1個），那么所有抽屜里的蘋果數的和就比總數少了.由此得到：

抽屜原理：把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結論，所以有時也把抽屜原理叫做鴿籠原理.不要小看這個“原理”，利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數學問題。

比如，我們從街上隨便找來13人，就可以斷定他們中至少有兩個人屬相（指鼠、牛、虎、兔、?等十二種生肖）相同.怎樣證明這個結論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚.事實上，由于人數（13）比屬相數（12）多，因此至少有兩個人屬相相同（在這里，把13人看成13個“蘋果”，把12種屬相看成12個“抽屜”）。

應用抽屜原理要注意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數目一定要大于抽屜的個數。

2、例題講解

例1 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

例2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

例3 從2、4、6、?、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。

例4 從1、2、3、4、?、19、20這20個自然數中，至少任選幾個數，就可以保證其中一定包括兩個數，它們的差是12。分析與解答在這20個自然數中，差是12的有以下8對：

｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外還有4個不能配對的數｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據抽屜原理至少任選13個數，即可辦到（取12個數：從12個抽屜中各取一個數（例如取1，2，3，?，12），那么這12個數中任意兩個數的差必不等于12）。

例5 從1到20這20個數中，任取11個數，必有兩個數，其中一個數是另一個數的倍數。

例6 證明：在任取的5個自然數中，必有3個數，它們的和是3的倍數。

例7 某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。

五 課堂練習

1.從10至20這11個自然數中，任取7個數，證明其中一定有兩個數之和是29。

2.從1、2、3、?、20這20個數中，任選12個數，證明其中一定包括兩個數，它們的差是11。

3.20名小圍棋手進行單循環比賽（即每個人都要和其他任何人比賽一次），證明：在比賽中的任何時候統計每人已經賽過的場次都至少有兩位小棋手比賽過相同的場次。

4.從整數1、2、3、?、199、200中任選101個數，求證在選出的這些自然數中至少有兩個數，其中的一個是另一個的倍數.5.將這11個自然數分成下列6組：

｛10，19｝，｛11，18｝，｛12，17｝，｛13，16｝，｛14，15｝，｛20｝，從中任取7個數，根據抽屜原理，一定有兩個數取自同一數組，則這兩個數的和是29。

分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計10種情況.把這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數比抽屜的個數多1個就可以有題目所要的結果.所以至少有11個人。

分析與解答 我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：

凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。

現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。

分析與解答 根據題目所要求證的問題，應考慮按照同一抽屜中，任意兩數都具有倍數關系的原則制造抽屜.把這20個數按奇數及其倍數分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質）：

｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

從這10個數組的20個數中任取11個數，根據抽屜原理，至少有兩個數取自同一個抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個數都具有倍數關系，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。

分析與解答 按照被3除所得的余數，把全體自然數分成3個剩余類，即構成3個抽屜.如果任選的5個自然數中，至少有3個數在同一個抽屜，那么這3個數除以3得到相同的余數r，所以它們的和一定是3的倍數（3r被3整除）。

如果每個抽屜至多有2個選定的數，那么5個數在3個抽屜中的分配必為1個，2個，2個，即3個抽屜中都有選定的數.在每個抽屜中各取1個數，那么這3個數除以3得到的余數分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。

分析與解答 共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.校友人數與握手次數的不同情況（0，1，2，?，n-1）數都是n，還無法用抽屜原理。

然而，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數是n-1次，那么握手次數最少的不能少于1次.不管是前一種狀態0、1、2、?、n-2，還是后一種狀態1、2、3、?、n-1，握手次數都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。