第一篇：抽屜原理

抽屜原理專項練習

1.把紅、黃、藍三種顏色的球各5個放到一個袋子里，至少取多少個球可以保證取到兩個顏色相同的球？請簡要說明理由．

2．某校有201人參加數學競賽，按百分制計分且得分均為整數，若總分為9999分，則至少有人的分數相同．

3．有99個單人間，有100個旅客入住，這100名旅客每次有99個人同時入住，管理員給每人配了一些鑰匙，他想讓每人都能入住，且不用找別人借鑰匙，問他至少一共需要配多少把鑰匙？

4．有13個箱子，現在往里面裝蘋果，要求每個箱子里裝的蘋果都是奇數個，無論這些蘋果怎么放，總能找到4個箱子的蘋果個數是一樣的，問：最多有多少個蘋果？

5．有紅、黃、白三種顏色的小球各10個，每個人從中任意選擇兩個，那么至少需要幾個人選擇小球，才能保證必有兩人或兩人以上選擇的小球的顏色完全相同？

6．五

（一）班有56個學生，能否有2個人在同一周過生日？（請說明理由）

7．有紅、黃、藍、綠、白五種顏色的球各5個，至少取多少個球，可以保證有兩個顏色相同的球？

8．在一只魚缸里，放有很多條魚，其中有紅帽魚，珍珠魚，紫龍井魚，絨球等四個品種；問至少撈出多少魚才能保證有10條相同的？

9．有紅、黃、綠、黑5種顏色的小球各若干個，一些同學從中取球，每個人可以任選2個，至少有多少人才能保證有2人選的小球完全相同？

10．一副撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能使其中至少有2張牌有相同的點數？

11．從1、2…100中最多可以取出多少個不同的數，使得每個數都不是另一個數的倍數？

12．在一個口袋中有10個黑球、6個白球、4個紅球，至少從中

取出多少個球才能保證其中有白球？

爸爸、哥哥、妹妹現在的年齡和是64歲．當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲；當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲．現在爸爸的年齡是多少歲？

13．32只鴿子飛回7個鴿舍，至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍？

14．李明要把13本連環畫放進2個抽屜至少要放進7本，為什么？

15．聰聰：袋里有紅、白、藍、黑四種顏色的單色球，從袋中任意取出若干個球．明明問：至少要取出多少個球，才能保證有三個球是同一顏色的？

16．布袋里有4支紅鉛筆和3支藍鉛筆，如果閉上眼睛摸，一次必須摸出支藍鉛筆．

17．叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是42環．張叔叔至少有一鏢不低于9環．為什么？

18．五年級有49名學生參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分．已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在75～95分之間，問至少有多少名學生的成績相同．

19．在如圖所示的8行8列的方格表中，每個空格分別填上1，2，3這三個數字中的任一個，使得每行、每列及兩條對角線上的各個數字的和互不相等，能不能做到？

20．紙箱中有同樣的紅、黃色圓錐體各5個，至少拿出幾個，才能保證一定有2個圓錐體都是紅色？

21．跳繩練習中，一分鐘至少跳多少次才能保證某一秒鐘內至少跳了兩次？

22．有黑色、白色、黃色的小棒各8根，混放在一起，從這些小棒之中至少要取出才能保證有4根顏色相同的小棒子？

23．2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34．

24．紅、黃、藍三種顏色的球各6個，混合后放在一個布袋里，一次至少摸出幾只，才能保證有兩只是同色的？

25．冀英學校五、六年級共有學生370人，在這些學生中，至少兩個人在同一天過生日，為什么？

26．有紅、黃、藍、白四種顏色的小球各10個，混合后放到一個布袋里．問一次至少摸出多少個，才能保證有兩個球是同色球？

27．一副撲克牌共54張，至少從中摸出多少張牌，才能保證有4張牌的花色情況是相同的？（大王、小王不算花色）

28．把280個桃子分給若干只猴子，每只猴子不超過10個，無論怎樣分，至少有幾只猴子得到的桃子一樣多？

29．從1、2、3、…、1998、1999這些自然數中，最多可以取多

少個數，才能使其中每兩個數的差不等于4？

30．學校開設了書法、舞蹈、棋類、樂器四個課外學習班，每個學

生最多可以參加兩個（可以不參加）學習班．某班有52名同學，至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同？

31．學校開設了書法、舞蹈、棋類、樂器四個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）學習班．某班有52名同學，至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同？

32．某小學六年級師生去游玩，74人共租了4輛車，不管怎么坐，總有一輛車至少要坐多少人？

33．一個盒子里有9個藍球、5個黑球、6個白球和3個紅球，如果閉上眼睛，從盒子中摸球，每次只許摸一個球，至少要摸出多少個才能保證摸出的這幾個球中至少有兩個顏色相同？

34．箱子里放有紅、黃、藍三種顏色的小球各10只，要求閉著眼睛保證一次摸出不少于四只同色的小球，那么需要摸出的只數至少是多少只？

第二篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個蘋果放到4個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2個蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有（m＋1）個物體。

使用抽屜原理解題，關鍵是構造抽屜。一般說來，數的奇偶性、剩余類、數的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構造抽屜的依據。

例1 從1，2，3，…，100這100個數中任意挑出51個數來，證明在這51個數中，一定：

（1）有2個數互質；

（2）有2個數的差為50；

（3）有8個數，它們的最大公約數大于1。

證明：（1）將100個數分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個數中，必有2個數屬于同一組，這一組中的2個數是兩個相鄰的整數，它們一定是互質的。

（2）將100個數分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個數中，必有2個數屬于同一組，這一組的2個數的差為50。

（3）將100個數分成5組（一個數可以在不同的組內）：

第一組：2的倍數，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質數即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個數，故選出的51個數至少有29個數在第一組到第四組中，根據抽屜原理，總有8個數在第一組到第四組的某一組中，這8個數的最大公約數大于1。

例2 求證：可以找到一個各位數字都是4的自然數，它是1996的倍數。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個各位數字都是1的自然數，它是499的倍數就可以了。

得到500個余數r1，r2，…，r500。由于余數只能取0，1，2，…，499這499個值，所以根據抽屜原理，必有2個余數是相同的，這2個數的差就是499的倍數，這個差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質的，故它的前若干位由1組成的自然數是499的倍數，將它乘以4，就得到一個各位數字都是4的自然數，它是1996的倍數。

例3 在一個禮堂中有99名學生，如果他們中的每個人都與其中的66人相識，那么可能出現這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識（假定相識是互相的）。

分析：注意到題中的說法“可能出現……”，說明題的結論并非是條件的必然結果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設法構造出一種情況使之出現題目中所說的結論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學生作為3個抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學生所認識的66人只在B，C中，同時，B，C中的學生所認識的66人也只在A，C和A，B中。如果出現這種局面，那么題目中所說情況

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就可能出現。

因為禮堂中任意4人可看做4個蘋果，放入A，B，C三個抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來自同一組，那么他們認識的人只在另2組中，因此他們兩人不相識。

例4 如右圖，分別標有數字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內外兩個圓環上，開始時相對的滾珠所標數字都不相同。當兩個圓環按不同方向轉動時，必有某一時刻，內外兩環中至少有兩對數字相同的滾珠相對。

分析：此題中沒有直接提供我們用以構造抽屜和蘋果的數量關系，需要轉換一下看問題的角度。

解：內外兩環對轉可看成一環靜止，只有一個環轉動。一個環轉動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數字的滾珠相對的局面出現，那么這種局面共要出現8次。將這8次局面看做蘋果，再需構造出少于8個抽屜。

注意到一環每轉動45°角就有一次滾珠相對的局面出現，轉動一周共有8次滾珠相對的局面，而最初的8對滾珠所標數字都不相同，所以數字相同的滾珠相對的情況只出現在以后的7次轉動中，將7次轉動看做7個抽屜，8次相同數字滾珠相對的局面看做8個蘋果，則至少有2次數字相對的局面出現在同一次轉動中，即必有某一時刻，內外兩環中至少有兩對數字相同的滾珠相對。

例5 有一個生產天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間。現在需要重量相差不超過0.005克的兩只鐵盤來裝配一架天平，問：最少要生產多少個盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個盤子，就一定可以從中找到兩個盤子屬于同一組，這2個盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個籌碼，其中有41個紅的和59個藍的。那么總可以找到兩個紅籌碼，在它們之間剛好放有19個籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構造抽屜時，使每個抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個籌碼。

解：依順時針方向將籌碼依次編上號碼：1，2，…，100。然后依照以下規律將100個籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個紅籌碼看做蘋果，放入以上20個抽屜中，因為41=2×20＋1，所以至少有一個抽屜中有2+1=3（個）蘋果，也就是說必有一組5個籌碼中有3個紅色籌碼，而每組的5個籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個相鄰籌碼之間都有19個籌碼，那么3個紅色籌碼中必有2個相鄰（這將在下一個內容——第二抽屜原理中說明），即有2個紅色籌碼之間有19個籌碼。

下面我們來考慮另外一種情況：若把5個蘋果放到6個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

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第二抽屜原理：把（mn-1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有（m-1）個物體。

例7 在例6中留有一個疑問，現改述如下：在圓周上放有5個籌碼，其中有3個是同色的，那么這3個同色的籌碼必有2個相鄰。

分析：將這個問題加以轉化：

如右圖，將同色的3個籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個籌碼將其隔開。

解：如圖，將同色的3個籌碼放置在圓周上，將每2個籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個籌碼看做蘋果，將2個蘋果放入3個抽屜中，則必有1個抽屜中沒有蘋果，即有2個同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個變形——平均值原理。

我們知道n個數a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個數的平均值。平均值原理：如果n個數的平均值為a，那么其中至少有一個數不大于a，也至少有一個不小于a。

例9 圓周上有2000個點，在其上任意地標上0，1，2，…，1999（每一點只標一個數，不同的點標上不同的數）。求證：必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和不小于2999。

解：設圓周上各點的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個和都是整數，故有一組相鄰三數之和不小于2999，亦即存在一個點，與它緊相鄰的兩點和這點上所標的三數之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時回來，那么至少要準備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來時，每個客人都能用自己分到的鑰匙打開一個房門住進去，并且避免發生兩人同時住進一個房間？

解：如果鑰匙數小于990，那么90個房間中至少有一個房間的鑰匙數少房間就打不開，因此90個人就無法按題述的條件住下來。

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另一方面，990把鑰匙已經足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個房間一把），那么任何90名旅客返回時，都能按要求住進房間。

最后，我們要指出，解決某些較復雜的問題時，往往要多次反復地運用抽屜原理，請看下面兩道例題。

例11 設有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個四角同色的長方形。

證明：我們先考察第一行中28個小方格涂色情況，用三種顏色涂28個小方格，由抽屜原理知，至少有10個小方格是同色的，不妨設其為紅色，還可設這10個小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個小方格可能出現的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個小方格中，至少有2個小方格是涂有紅色的，那么這2個小方格和第一行中與其對應的2個小方格，便是一個長方形的四個角，這個長方形就是一個四角同是紅色的長方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個紅色的小方格，不妨設它們分別出現在前三列中，那么其余的3×7個小方格便只能涂上黃、藍兩種顏色了。

我們先考慮這個3×7的長方形的第一行。根據抽屜原理，至少有4個小方格是涂上同一顏色的，不妨設其為藍色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍色，那么這2個涂上藍色的小方格和第一行中與其對應的2個小方格便是一個長方形的四個角，這個長方形四角同是藍色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設這3個小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續考慮第三行前面3格的情況。用藍、黃兩色涂3個小方格，由抽屜原理知，至少有2個方格是同色的，無論是同為藍色或是同為黃色，都可以得到一個四角同色的長方形。

總之，對于各種可能的情況，都能找到一個四角同色的長方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案。一群學生參加考試，結果是對于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學生最多有多少人？

解：設每題的三個選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學生中，必有一組不超過3人。去掉這組學生，在余下的學生中，定有7人對第一題的答案只有兩種。對于這7人關于第二題應用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關于第二題的答案只有兩種可能。對于這5人關于第三題應用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關于第三題的答案只有兩種可能。最后，對于這4人關于第四題應用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關于第四題的答案也只有兩種。于是，對于這3人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求。可見，所求的最多人數不超過9人。

另一方面，若9個人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個問題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數為9人。練習13

1.六（1）班有49名學生。數學王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學至少有4人成績相同。”請問王老師說得對嗎？為什么？

2.現有64只乒乓球，18個乒乓球盒，每個盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個

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乒乓球盒子里的乒乓球數目相同？

3.某校初二年級學生身高的厘米數都為整數，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問：在至少多少個初二學生中一定能有4個人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個數中任意選出51個數，證明在這51個數中，一定：

（1）有兩個數的和為101；

（2）有一個數是另一個數的倍數；

（3）有一個數或若干個數的和是51的倍數。

5.在3×7的方格表中，有11個白格，證明

（1）若僅含一個白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個白格；

（2）只有一個白格的列只有3列。

6.某個委員會開了40次會議，每次會議有10人出席。已知任何兩個委員不會同時開兩次或更多的會議。問：這個委員會的人數能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個車間有一條生產流水線，由5臺機器組成，只有每臺機器都開動時，這條流水線才能工作。總共有8個工人在這條流水線上工作。在每一個工作日內，這些工人中只有5名到場。為了保證生產，要對這8名工人進行培訓，每人學一種機器的操作方法稱為一輪。問：最少要進行多少輪培訓，才能使任意5個工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數學家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。

練習13

1.對。解：因為49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說，把從100分至86分的15個分數當做抽屜，49-3=46（人）的成績當做物體，根據第二抽屜原理，至少有4人的分數在同一抽屜中，即成績相同。

2.4個。解：18個乒乓球盒，每個盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個數的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個盒子中放了1只乒乓球，3個盒中放了2只乒乓球……3個盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個抽屜里的任何一個盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數增加1只，這時與比該抽屜每盒乒乓數多1的抽屜中的3個盒子里的乒乓球數相等。例如剩下的1只乒乓球放進原來有2只乒乓球的一個盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個盒子，這樣就有4個盒子里裝有3個乒乓球。所以至少有4個乒乓球盒里的乒乓球數目相同。

3.34個。

解：把初二學生的身高厘米數作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個）。

根據抽屜原理，要保證有4個人身高相同，至少要有初二學生

3×11+1=34（個）。

4.證：（1）將100個數分成50組：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個數中，必有兩數屬于同一組，這一組的兩數之和為101。

（2）將100個數分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數｝。

其中第10組中有41個數。在選出的51個數中，第10組的41個數全部選中，還有10個數從前9組中選，必有兩數屬于同一組，這一組中的任意兩個數，一個是另一個的倍數。

（3）將選出的51個數排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個和中有一個是51的倍數，則結論顯然成立；若這51個和中沒有一個是51的倍數，則將它們除以51，余數只能是1，2，…，50中的一個，故必然有兩個的余數是相同的，這兩個和的差是51的倍數，而這個差顯然是這51個數（a1，a2，a3，…，a51）中的一個數或若干個數的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個白格，則剩下的5個白格要放入3列中，將3列表格看做3個抽屜，5個白格看做5個蘋果，根據第二抽屜原理，5（=2×3-1）個蘋果放入3個抽屜，則必有1個抽屜至多只有（2-1）個蘋果，即必有1列只含1個白格，也就是說除了原來3列只含一個白格外還有1列含1個白格，這與題設只有1個白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個白格，當然也不能再有1列只有1個白格。推知其余4列每列恰好有2個白格。

（2）假設只含1個白格的列有2列，那么剩下的9個白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個）白格，與假設只有2列每列只1個白格矛盾。所以只有1個白格的列至少有3列。

6.能。

解：開會的“人次”有 40×10=400（人次）。設委員人數為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個委員開了7次（或更多次）會。但由已知條件知沒有一個人與這位委員同開過兩次（或更多次）的會，故他所參加的每一次會的另外9個人是不相同的，從而至少有7×9=63（個）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應大于60。

7.20輪。

解：如果培訓的總輪數少于20，那么在每一臺機器上可進行工作的工人果這3個工人某一天都沒有到車間來，那么這臺機器就不能開動，整個流水線就不能工作。故培訓的總輪數不能少于20。

另一方面，只要進行20輪培訓就夠了。對3名工人進行全能性培訓，訓練他們會開每一臺機器；而對其余5名工人，每人只培訓一輪，讓他們每人能開動一臺機器。這個方案實施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個點A1，A2，…，A9表示9個數學家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點聯線，并涂上一種顏色（不同的語言涂上不同顏色）。此時有兩種情況：

（1）9點中有任意2點都有聯線，并涂了相應的顏色。于是從某一點A1出發，分別與

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A2，A3，…，A9聯線，又據題意，每人至多能講3種語言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點表示的3名數學家可用同一種語言通話。

（2）9點中至少有2點不聯線，不妨設是A1與A2不聯線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發至少有7條聯線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯線從A1或A2 出發。不妨設從A1出發，又因A1至多能講3種語言，所以這4條聯線中，至少有2條聯線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點表示的3名數學家可用同一種語言通話。

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第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計

教材分析：現行小學教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實際有關“存在”問題；通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，讓孩子建立數學模型，發現規律；使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。

學情分析：使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。教學目標：

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2、通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

教學過程

一、游戲引入

3個人坐兩個座位，3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2個人。

這其中蘊含了有趣的數學原理，這節課我們一起學習研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進（）枝鉛筆先猜一猜，再動手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發現？

不管怎么放總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。總有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數是多少呢？

1、3人坐2個位子，總有一個座位上至少坐了2個人2、4枝鉛筆放進3個文具盒中，總有一個文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進4個文具盒中，6枝鉛筆放進5個文具盒中。99支鉛筆放進98個文具盒中。是否都有一個文具盒中

至少放進2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個文具盒里，總有一個文具盒至少放進幾枝鉛筆？把7枝筆放進2個文具盒里呢? 8枝筆放進2個文具盒呢? 9枝筆放進3個文具盒呢？至少數=上+余數嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數學小知識

數學小知識：抽屜原理的由來最先發現這些規律的人是誰呢？最先是由19世紀的德國數學家狄里克雷運用于解決數學問題的，后人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關在5個籠子里，至少有多少只兔子要關在同一個籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？

4、六年級四個班的學生去春游，自由活時有6個同學在一起，可以肯定。為什么？

六、小結

這節課你有什么收獲？

七、作業：課后練習

第四篇：抽屜原理

抽屜原理

【知識要點】

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。

把3個蘋果放進2個抽屜里，一定有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果。這個人人皆知的常識就是抽屜原理在日常生活中的體現。用它可以解決一些相當復雜甚至無從下手的問題。

原理1：把n+1個元素分成n類，不管怎么分，則一定有一類中有2個或2個以上的元素。

原理2：把m個元素任意放入n（n＜m）個集合，則一定有一個集合呈至少要有k個元素。

其中 k＝ 商（當n能整除m時）

商＋1（當n不能整除m時）

原理3：把無窮多個元素放入有限個集合里，則一定有一個集合里含有無窮多個元素。【解題步驟】

第一步：分析題意。分清什么是“東西”，什么是“抽屜”，也就是什么作“東西”，什么可作“抽屜”。

第二步：制造抽屜。這個是關鍵的一步，這一步就是如何設計抽屜。根據題目條件和結論，結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜鋪平道路。

第三步：運用抽屜原理。觀察題設條件，結合第二步，恰當應用各個原則或綜合運用幾個原則，以求問題之解決。【例題講解】

例

1、教室里有5名學生正在做作業，今天只有數學、英語、語文、地理四科作業

求證：這5名學生中，至少有兩個人在做同一科作業。證明：將5名學生看作5個蘋果 將數學、英語、語文、地理作業各看成一個抽屜，共4個抽屜 由抽屜原理1，一定存在一個抽屜，在這個抽屜里至少有2個蘋果。即至少有兩名學生在做同一科的作業。

例

2、木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？ 解：把3種顏色看作3個抽屜

若要符合題意，則小球的數目必須大于3 大于3的最小數字是4 故至少取出4個小球才能符合要求 答：最少要取出4個球。

例

3、班上有50名學生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學生看作50個抽屜，把書看成蘋果 根據原理1，書的數目要比學生的人數多 即書至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。

例

4、在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段

每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果 于是101個蘋果放入100個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個蘋果 即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹

例5、11名學生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本 試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同

證明：若學生只借一本書，則不同的類型有A、B、C、D四種

若學生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種 共有10種類型

把這10種類型看作10個“抽屜” 把11個學生看作11個“蘋果”

如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜

由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的類型相同

例

6、有50名運動員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝 試證明：一定有兩個運動員積分相同 證明：設每勝一局得一分

由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能 以這49種可能得分的情況為49個抽屜 現有50名運動員得分 則一定有兩名運動員得分相同

例

7、體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

解：根據規定，同學拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍｝｛足足｝｛排排｝｛藍藍｝｛足排｝｛足藍｝｛排藍｝ 以這9種配組方式制造9個抽屜 將這50個同學看作蘋果

50÷9＝5.……5

由抽屜原理2：k＝商＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的

第五篇：抽屜原理

抽屜原理

一、起源

抽屜原理最先是由19 世紀的德國數學家迪里赫萊(Dirichlet)運用于解決數學問題的,所以又稱“迪里赫萊原理”,也有稱“鴿巢原理”的.這個原理可以簡單地敘述為“把10個蘋果,任意分放在9 個抽屜里,則至少有一個抽屜里含有兩個或兩個以上的蘋果”.這個道理是非常明顯的,但應用它卻可以解決許多有趣的問題,并且常常得到一些令人驚異的結果.抽屜原理是國際國內各級各類數學競賽中的重要內容,本講就來學習它的有關知識及其應用.二、抽屜原理的基本形式

定理1,如果把n+1 個元素分成n 個集合,那么不管怎么分,都存在一個集合,其中至少有兩個元素.證明:(用反證法)若不存在至少有兩個元素的集合,則每個集合至多1 個元素,從而n 個集合至多有n 個元素,此與共有n+1 個元素矛盾,故命題成立.在定理1 的敘述中,可以把“元素”改為“物件”,把“集合”改成“抽屜”,抽屜原理正是由此得名.同樣,可以把“元素”改成“鴿子”,把“分成n 個集合”改成“飛進n 個鴿籠中”.“鴿籠原理”由此得名.解答抽屜原理的關鍵：

假設有3 個蘋果放入2 個抽屜中，則必然有一個抽屜中有2 個蘋果，她的一般模型可以表述為：

第一抽屜原理：把（mn+1）個物體放入n 個抽屜中，其中必有一個抽屜中至少有（m+1）個物體。

若把3 個蘋果放入4 個抽屜中，則必然有一個抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n 個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。

抽屜原理一

把4 只蘋果放到3 個抽屜里去，共有4 種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

同樣，把5 只蘋果放到4 個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

更進一步，我們能夠得出這樣的結論：把n＋1 只蘋果放到n 個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現象或結論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關鍵是要應用所 學的數學知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個例子：如果將13 只鴿子放進6 只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3 只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2 只鴿子，6 只鴿籠共放12 只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪 只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3 只鴿子。這個例子所體現的數學思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n 件的物品任意放到n 個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n 個抽屜中，每一個抽屜內的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m 件，這樣，n 個抽屜中可放物品的總數就不會超過m×n 件。這與多于m×n 件物品的假設相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數不少于m＋1。從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n 個抽屜中每 個都放入m 件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1 件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m ＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當m＝1 時，抽屜原理2 就轉化為抽屜原理1。即抽屜原理2 是抽屜原理1 的推廣。我們很容易理解這樣一個事實：把3 只蘋果放到兩個抽屜中，肯定有一個抽屜中有2 只或2 只以上的蘋果。用數學語言表達這一事實，就是：將n+1 個元素放入n 個集合內，則一定有一個集合內有兩個或兩個以上的元素（n 為正整數）。

這就是抽屜原理，也稱為“鴿籠（巢）”原理。這一原理最先是由德國數學家狄里克雷明確提出來的，因此，稱之為狄 里克雷原理。

抽屜原理還有另外的常用形式：

抽屜原理2：把m 個元素任意放入n(n < m)個集合里，則一定有一個集合里至少有k 個元素，其中：

抽屜原理3：把無窮多個元素放入有限個集合里，則一定有一個集合里含有無窮多個元素。

抽屜原理又叫重疊原則，抽屜原則有如下幾種情形。

抽屜原則①：把n+1 件東西任意放入n 只抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩件東西。

抽屜原則②：把m 件東西放入n 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里至少有[m/n]件東西。

抽屜原則③：如果有無窮件東西，把它們放在有限多個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含無窮件東西。利用抽屜原則解題時，其關鍵是如何利用題中已知條件構造出與題設密切相關的“抽屜”。