第一篇：小學奧數(shù)最大與最小教師版

第七講：最大與最小

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一、數(shù)論中的極端思想

【例 1】 1～8這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？

【解析】 8531和7642。高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8，7，百位分別是6，5。兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個數(shù)的前兩位是85，另一個數(shù)的前兩位是76。同理可確定十位和個位數(shù).【鞏固】 兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？ 【解析】 將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：

15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。

結論：如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大.【鞏固】 兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最小？ 【解析】 48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。

結論：兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。

【例 2】 有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257，1459等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？

【解析】 要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應盡量小，故10112358滿足條件．如果最前面的兩個數(shù)字越大，則按規(guī)則構造的數(shù)的位數(shù)較少，所以最前面兩個數(shù)字盡可能地小，取1與0．

【例 3】 有一類自然數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為2003，那么這類自然數(shù)中最小的是幾？ 【解析】 一個自然數(shù)的值要最小，首先要求它的數(shù)位最小，其次要求高位的數(shù)值盡可能地小.由于各數(shù)位上的和固定為2003，要想數(shù)位最少，各位數(shù)上的和就要盡可能多地取9，而2003÷9=222??5，所以滿足條件的最小自然數(shù)為：599...9?

222個9

【例 4】 將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12??9899100從中劃去100個數(shù)字，那么剩下的92位數(shù)最大是多少？最小是多少？

【解析】 要得到最大的數(shù)，左邊應盡量多地保留9。因為1～59中有109個數(shù)碼，其中有6個9，要想左邊保留6個9，必須劃掉1～59中的109-6＝103（個）數(shù)碼，剩下的數(shù)碼只有192－103=89（個），不合題意，所以左邊只能保留5個9，即保留1～49中的5個9，劃掉1～49中其余的84個數(shù)碼。然后，在后面再劃掉16個數(shù)碼，盡量保留大數(shù)（見下圖）：

所求最大數(shù)是9999978596061?99100。

同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個數(shù)是1，之后應盡量保留0。2～50中有90個數(shù)碼，其中有5個0，劃掉其余90-5=85（個）數(shù)碼，然后在后面再劃掉15個數(shù)碼，盡量保留小數(shù)（見下圖）：所求最小數(shù)是***?99100。

【例 5】 把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？ 【解析】 假設分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應該有1。如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應該有大于4的數(shù)。如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。結論：整數(shù)分拆的原則：不拆1，少拆2，多拆3。

【鞏固】 把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？ 【解析】 14拆成3、3、3、3、2時，積為3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某國家的貨幣中有1元、3元、5元、7元、9元五種，為了能支付1元、2元??100元的錢數(shù)（整數(shù)元），那么至少需要準備貨幣多少張？

【解析】 為了使貨幣越少越好，那么9元的貨幣應該盡量多才行。當有10張9元時，容易看出1、1、3、5這四張加上后就可以滿足條件。當9元的貨幣超過11張時，找不到比14張更少的方案。當9元的貨幣少于10張時，至少有19元需要由5元以下的貨幣構成，且1元的貨幣至少2張，這樣也找不到比14張更少的方案。綜上分析可以知道，最少需要10張9元的、2張1元的、1張3元的、1張5元的，共14張貨幣。

【例 7】 在五位數(shù) 22576的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的六位數(shù)中最大的是幾？ 【解析】 225776

【鞏固】 在六位數(shù)865473的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的七位數(shù)中最小的是幾？ 【解析】 8654473.【例 8】 設自然數(shù)n有下列性質：從1、2??n中任取50個不同的數(shù)，其中必有兩數(shù)之差等于7，這樣的n最大不能超過多少？

【解析】 當n=98時，將1、2??98按每組中兩數(shù)的差為7的規(guī)則分組：{1，8}、{

2、9}、??{7，14}、{15，22}??{90，97}、{91、98}。一共有49組，所以當任取50個數(shù)時，必有兩個數(shù)在同一組，他們的差等于7。當n=99時，取上面每組中的前一個數(shù)，即1、2??

7、15??

21、29??

35、43??

49、57??63、71??77、85??91和99一共是50個數(shù)，而它們中任2個的差不為7。因此n最大不能超過98。

【例 9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結果等于37；（2）這個算式中的所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？

【解析】 把10個數(shù)都添上加號，它們的和是55，如果把其中一個數(shù)的前面的加號換成減號，使這個數(shù)成為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個數(shù)的2倍。因為55-37＝18，所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是

18÷2=9。對于大于2的數(shù)來說，兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括1）。9最多可拆成三數(shù)之和2＋3＋4=9，因此這些減數(shù)的最大乘積是2×3×4＝24，添上加、減號的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-4-3-2 ＋1＝37。

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二、智巧趣題中的極端思想

【例 10】 99個蘋果要分給一群小朋友，每一個小朋友所分得的蘋果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一個蘋果．問：這群小朋友最多有幾位?

【解析】 1+2+3+?+13=91＜99，1+2+3+?+14=105＞99，說明若13位各分得1，2，3，?，13個蘋果，未分完99個，若14位各分得1，2，3，?，14個蘋果，則超出99個．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8個蘋果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14個．所以最多有13位小朋友．(注：13人的分法不唯一)

【例 11】（第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運上山，假定運了5次，每次的搬運量相同，運到的貨物比這批貨物的33多一些，比少一些。按這樣的運法，他運完這批貨物最少共要運

54次，最多共要運

次。

【解析】 這道題目用到了極值判斷法，體會極值判斷法：

33331，則每一次最少運÷5=，所以最多運1÷=8≈9次； 552525333332假定5次運的恰好等于，則每一次最多運÷5=，所以最少運1÷=6≈7次.4420203假定5次運的恰好等于

【例 12】 某學校，星期一有15名學生遲到，星期二有12名學生遲到，星期三有9名學生遲到，如果有22名學生在這三天中至少遲到過一次，則這三天都遲到的學生最多有多少人？

【解析】 三天都遲到的要盡量多，則將遲到的22人次分為僅遲到一次和三天都遲到的．可求出三天都遲到的學生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)．

【鞏固】 某次數(shù)學、英語測試，所有參加測試者的得分都是自然數(shù)，最高得分198，最低得分169，沒有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分數(shù)，參加測試的至少多少人？

【解析】 得分數(shù)共有198-169+1-3=27(種)，當只有6個人得分相同時，參加測試的人最少，共有27+6-1=32(人)．

【例 13】 149位議員中選舉一位議長，每人可投一票．候選人是A，B，C三人．開票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票數(shù)最多者當選，那么A至少再有多少票才能一定當選?

【解析】 45+20+35=100，還有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都給C，49-10=39，那么A至少還要有20票才能當選．

【例 14】 如圖，司機開車按順序到五個車站接學生到學校，每個站都有學生上車．第一站上了一批學生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半．車到學校時，車上最少有多少學生?

【解析】 因為每個站都有學生上車，所以第五站至少有1個學生上車．假如第五站只有一個學生上車，那么第四、三、二、一站上車的人數(shù)分別是2，4，8，16個．因此五個站上車的人數(shù)共有1+2+4+8+16=31(人)，很明顯，如果第五站有不止一個學生上車，那么上車的總人數(shù)一定多于31個．所以，最少有31個學生．

【例 15】 某公共汽車從起點開往終點站，中途共有15個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應有多少個座位？

【解析】（法1）：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下：

由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應有56個座位。本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應準備的座位至少應當?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認為有了“至少”就是求最小數(shù)，而應該把題意分析清楚后再作判斷。（法2）：因為車從某一站開出時，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此：車開出時人數(shù)=（以前的站數(shù)+1）×以后站數(shù)=站號×（15-站號）。因此只要比較下列數(shù)的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1.由這些數(shù)，得知7×8和8×7是最大值，也就是車上乘客最多時的人數(shù)是56人，所以它應有56個座位.此題的兩種解法都是采用的枚舉法，枚舉法是求解離散最值問題的基本方法。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結論。

【例 16】 某班學生50人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為12.2，已知班上任意兩人的年齡差都不超過3．那么這班學生中年齡最大的能是多少歲?如果有一個學生的年齡達到這個值，那么這個班里年齡既不是最大也不是最小的學生最多有多少人?

【解析】 因為全班50人的年齡總和比平均12歲的年齡總和多(12.2-12)×50=10(歲)，所以年齡最大的能是12+3=15(歲)．如果有人年齡達到15歲，那么剩下的49人的年齡和比平均12歲的年齡和多10—3=7(歲)，所以最多有7人的年齡大于12歲，小于15歲．

【例 17】 若干名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學生參加某次數(shù)學競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

【解析】 家長比老師多，所以老師少于22÷2=11人，即不超過10人；相應的，家長就不少于12人。在至少12個家長中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，即不少于7人。因為女老師比媽媽多2人，所以女老師不少于9人。但老師最多就10個，并且還至少有1個男老師，所以老師必定是9個女老師和1個男老師，共10個。那么，在12個家長中，就有7個是媽媽。所以，爸爸有12-7=5人。

【例 18】 現(xiàn)有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個數(shù)比第二堆多，第二堆蘋果個數(shù)比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個，那么在剩下的蘋果中，第一堆個數(shù)是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數(shù)之和的最大值是多少？

【解析】 先每堆拿出一個，這樣第一堆就是第二堆的3倍：“如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一個，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分別有：16×3+1=49，16+1=17和16個，總數(shù)：49+17+16=82個；如果第三堆剩2個，那么第一堆的每一份為：（34-4）÷2=15，各堆分別為：15×3+1=46，15+1=16和14個，總數(shù)減少.顯然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，總數(shù)越少.所以原來三堆蘋果之和的最大值是82.【例 19】 如圖，小明要從A走到B，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)．請問小明最快需幾分鐘?

【解析】 從A到B要想最快，肯定不能走回頭路，路線分為過C點和不

過C點兩類．①不過C點有兩條路：第一條是15+7+9+18=49(分鐘)；第二條是14+6+17+12=49(分鐘)；兩條路所用時間相同．②經過C點的路線分為兩段，A→C、C→B．同上面一樣：A→C：①14+13=27(分鐘)；②15+11=26(分鐘)．C→B：①10+12=22(分鐘)；②5+18=23(分鐘)．在分析已知條件時。很可能會出現(xiàn)不同情況和不同結果，而且不好推理說明誰是極端情形，那就應該列舉比較．所以從A→C→B最少用48分鐘，比前面不過C的少用1分鐘．

【例 20】 階梯教室座位有10排，每排有16個座位，當有150個人就座，某些排坐著的人數(shù)就一樣多．我們希望人數(shù)一樣的排數(shù)盡可能少，這樣的排數(shù)至少有多少排？

【解析】 至少有4排．如果10排人數(shù)各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人數(shù)一樣，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．148<150<152，所以，至少有4排．

練習1.如果一個自然數(shù)N的各個位上的數(shù)字和是1996，那么這個自然數(shù)最小是幾？ 【解析】 1996÷9=221??7，N= 799...9?.221個9課后練習

練習2.有四個數(shù)，其中每三個數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個數(shù)中最小的一個數(shù)是多少？

【解析】 把4個數(shù)全加起來就是每個數(shù)都加了3遍，所以，這四個數(shù)的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用總數(shù)減去最大的三數(shù)之和，就是這四個數(shù)中的最小數(shù)，即64-52=12。

3．小王現(xiàn)有一個緊急通知需要傳達給小區(qū)內的975個人．若用電話聯(lián)系，每通知1個人需1分鐘，而見面可一次通知60個人，但需10分鐘，問：完成傳達任務最少需多少分鐘?(每人均有電話)【解析】 應該充分發(fā)揮每個人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，可以先花10分鐘安排一次見面通知，然后凡被通知的人再不斷打電話，到第14分鐘時共可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分鐘．

練習3.當A+B+C＝10時(A、B、C是非零自然數(shù))。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。【解析】 當為3+3+4時有A×B×C的最大值，即為3×3×4＝36；

當為1+1+8時有A×B×C的最小值，即為1×1×8＝8。

2練習4.要砌一個面積為72米的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？

【解析】 將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）.練習5.公園里有一排彩旗，按3面黃旗、2面紅旗、4面粉旗的順序排列，小紅看到這排旗的盡頭是一面粉旗．已知這排旗不超過200面，這排旗子最多有多少面?

【解析】 旗子排列是9面一循環(huán)，關鍵在于最后幾面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了．200÷9=22?2，所以最多可以出現(xiàn)200-2=198面旗子，共22個循環(huán)．

練習6.有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？

【解析】 最多的一袋糖數(shù)不小于另三袋糖的平均數(shù)，故不小于61÷3=20，即它不小于21．從而四袋糖總和不小于21十61=82(塊)．比如四袋糖數(shù)量分別為21，21，20，20即可．

13月測備選

測試

1、比較下面兩個乘積的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515.【解析】 對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)上題結論，可得a＞b

測試

2、將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12??9899100從中劃去170個數(shù)字，剩下的數(shù)字形成一個22位數(shù)，這個22位數(shù)最大是多少？最小是多少？ 【解析】 在前100個自然數(shù)中，共有20個9，再保留后面的“10”，即得到最大數(shù)：99999?99100（20個9）；最小數(shù)的第一位是“1”，再保留10～90中的9個“0”，再在91～100中留下12個盡量小的數(shù)，即得最小數(shù)：***6789100.測試

3、（第一屆希望杯1試）一艘輪船往返于A、B碼頭之間，它在靜水中船速不變，當河水流速增加時，該船往返一次所有時間比河水流速增加前所用時間_______(填“多”或“少”)【解析】 極限判斷，當水速為10，船速是20時，我們可以往來A，B兩地，當河水速度增加時，比如增加到20，這樣逆水時，船速=水速，永遠到不了B地，所以時間變多了。

測試4冬季運動會共有58面金牌，至今A隊已得lO面，B隊已得11面，C隊已得13面．如果A隊要想金牌數(shù)居第一位，A隊至少還要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34．還有58-34=24(面)可爭奪．A隊要再得4面，才超過C隊．在余下的獎牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能確保金牌數(shù)居第一位．

測試

5、某班有50名學生，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學競賽的有23人，參加英語競賽的有20人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？ 【解析】 因為參加競賽的有28+23+20=71(人)．讓這71人盡可能多地重復，71÷2=35?1，所以至多有35人參加兩科．

測試

6、一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個，這些小球的大小均相同，紅色小球上標有數(shù)字“4”，黃色小球上標有數(shù)字“5”，綠色小球上標有數(shù)字“6”。小明從袋中摸出8個球，它們的數(shù)字和是39，其中最多可能有多少個球是紅色的？ 【解析】 假設摸出的8個球全是紅球，則數(shù)字之和為（4×8=）32，與實際的和39相差7，這是因為將摸出的黃球、綠球都當成是紅球的緣故。用一個綠球換一個紅球，數(shù)字和可增加（6－4=）2，用一個黃球換一個紅球，數(shù)字和可增加（5-4=）1。為了使紅球盡可能地多，應該多用綠球換紅球，現(xiàn)在7÷2=3……1，因此可用3個綠球換紅球，再用一個黃球換紅球，這樣8個球的數(shù)字之和正好等于39。所以要使8個球的數(shù)字之和為39，其中最多可能有（8-3-1=）4個是紅球。

測試

7、小明有一只最多能裝10千克物品的大提兜．現(xiàn)有白菜5千克，豬肉2千克，魚3．5千克，一瓶醬油連瓶重1.7千克，白糖l千克，蠶豆5.1千克．請你想想，把哪幾樣東西放進大提兜內，才能充分利用提兜，使它所提東西的重量最重? 【解析】 大提兜能裝的重量限制在10千克之內．把哪幾樣東西的重量加在一起，使和不超過10千克，但最接近lO千克我們不妨列舉．在列舉前先分析數(shù)據(jù)：白菜和蠶豆不能同時放(共10.1千克)，但二者應取其一，否則才裝2+3.5+1.7+1=8.2千克．列舉如下： 白菜+豬肉+醬油+白糖=9.7(千克)； 白菜+魚+白糖=9.5(千克)；

蠶豆+豬肉+醬油+白糖=9.8(千克)； 蠶豆+魚+白糖=9.6(千克)．

顯然，把5.1千克蠶豆，1.7千克的醬油，2千克的豬肉和1千克重的白糖放人大提兜內最重．

第二篇：最大的爬行動物和最小的爬行動物

最大的爬行動物和最小的爬行動物

世界上最大的爬行動物是咸水鱷魚，分布在南亞、北澳大利亞、巴布亞新幾內亞、越南和菲律賓。成年鱷魚長達

4.26-4.88米，重量達408-522公斤。

1957年在澳大利亞諾曼阿發(fā)現(xiàn)一條長為8.64米、重達1996公斤的鱷魚。顯然是爬行動物中的龐然大物。

最小的爬行動物是一種小壁虎，只能在加勒比海、英國維爾京戈群島上找到。1964年8月10日到16日發(fā)現(xiàn)了15條，其中最大的三條從吻尖到肛門長達1.8厘米，尾巴差不多和身體一樣長。

另一種壁虎可能還要小些，唯一發(fā)現(xiàn)的一條是幾乎成熟的雌性，從吻尖到肛頭長僅1.7厘米，尾巴也同樣很長。這只最小的壁虎是1966年3月15日在海地島的馬塞夫拉霍特西邊的一株樹的根部發(fā)現(xiàn)的。

三年一班王玥懿

第三篇：奧數(shù)最大和最小的問題教案

最大和最小的問題

最短的時間內完成作業(yè)，有更多時間發(fā)展自己的業(yè)余愛好

怎樣乘車路程最短，話費時間最少

怎么樣做可以使原材料最省

大橋建設在什么位置，才能方便附近盡可能多數(shù)居民

......例1.幼兒園老師把100根小棒分給小朋友做數(shù)學游戲，每個小朋友分的小棒根數(shù)不同。那么最多能分給幾個小朋友？

100=10+20+30+40 100=10+11+12+13+14+15+25

分析：得掉小棒的小朋友盡量多

每個人分的根數(shù)不同

↓

丨

每個人得到的小棒盡量少

丨

丨

丨

每個人分得的根數(shù)分別是1，2，3，4，......算一算：1+2+3+4+5+...+？=100

試算：1+2+3+4+5+...+13=91

＜100

1+2+3+4+5+...+13+14=105

＞100

解：每人分得的小棒分別是1根，2跟，3根，4跟，......1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91（根）1 1 1 1 1 1 1 1

100-91=9（根）

100根分給13人，分別是1根，2根，...13根，余9根

這9根只能分給得小棒多的1人，2人...，最多9人

答：最多能分給13個小朋友。

例2.把自然數(shù)1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，劃去24個數(shù)字后得到一個多位數(shù)，這個數(shù)最大是多少？

11213

71819

789 9

99887×錯誤

78989

分析：（1）去掉24個數(shù)字之后，得到一個幾位數(shù)？

（2）要使得到的多位數(shù)最大，在高位上盡量留較大的數(shù)字，9，8，7，......解：（1）這一列數(shù)共有多少個數(shù)字？

｝

一位數(shù)：1-9，有9個數(shù)字

｝共有29個數(shù)字

二位數(shù)：10-19，有2×10=20個數(shù)字

｝

（2）劃去24個數(shù)字后，得到一個幾位數(shù)？

29-24=5（位）

（3）劃去24個數(shù)字，合理的在高位數(shù)上盡量留較大數(shù)字

******819 819

劃掉24個數(shù)字→97819

觀察下面兩組算式的結果怎樣變化，由此得出什么規(guī)律？

10=1+9

1×9=9

10=2+8

2×8=16

10=3+7

3×7=21

10=4+6

4×6=24

10=5+5

5×5=25

規(guī)律1：兩個數(shù)的和一定時，這兩個數(shù)越接近，它們的乘積越大：當兩個數(shù)相等時，它們的乘積最大。

例3.周長為36米2的竹籬笆圍成一個長方形菜園，要使菜園的面積最大，它的長和寬應該是多少？這時的最大面積是多少？

分析：

面積最大

周長36米

長×寬（最大）

長+寬=18

規(guī)律1：長=寬時

解：菜園的長+寬是：

36*2=18（米）

據(jù)規(guī)律1，當長=寬時，長×寬的積最大

長-寬=18*2=9（米）

最大面積是：9×9=18（平方米）

答：菜園圍成邊長為9米的正方形，面積最大，最大的面積是81平方米。

觀察下面兩組算式的結果怎樣變化，由此得出什么規(guī)律？

16=1×16

1+16=17

16=2×8

2+8=10

16=4×4

4+4= 8

規(guī)律2：兩個數(shù)的積一定時，這兩個數(shù)越接近，它們的和越小：當兩個數(shù)相等時，它們的和最小。

例4.用竹籬笆圍一個面積為25平方米的長方形菜園。這個長方形菜園的長、寬哥等于多少時，最省材料？

分析：最省材料→周長最小→長=寬（最小）

↑

面積25平方米→長×寬=25

規(guī)律2：長=寬時

解：因為長茶寬=25（平方米）

據(jù)規(guī)律2，當長=寬時，長+寬的和最小

25=5×5，所以：長=寬=5（米）時，周長最小

答：長方形菜園的長、寬都等于5米時周長最小，最省材料。

練習：把14拆成兩個數(shù)字的和。再求出這兩個數(shù)字的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大積是多少？

分析：把14拆成兩個數(shù)的和

兩個數(shù)的乘積最大

↓

兩個數(shù)的和是14

↓

↑

規(guī)律1：兩個數(shù)相等時

解：14=7+7

最大積：7×7=49

答：14拆成兩個7的和時，這兩個數(shù)字的乘積最大，是49。

例5.把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大的乘積是多少？

14=7+7

14=4+5+5

分析：（1）拆分出的自然數(shù)個數(shù)應盡可能多

（2）拆分出來的每個數(shù)盡量小

（3）拆分出的自然數(shù)中沒有1

（4）拆分出來的數(shù)字中3多2少，且數(shù)2最多兩個

14=2+2+2+2+2+2+2

3+3

3+3

2×2×2×2×2×2×2=128

3×3×3×3×3×3×3=144

3×3×3×3×2=162

解：14=3+3+3+3+2

最大積是3×3×3×3×2=162

答：把14拆成4個3和1個2的和時，這幾個數(shù)的乘積最大，是162。

規(guī)律3：把一個自然數(shù)拆成若干個自然數(shù)的和.如果要使這些數(shù)的乘積最大，那么拆出的數(shù)中3的個數(shù)盡量多，2的個數(shù)不多于兩個。

例6.比較12489×12356與12359×12486的大小

↑ +3 ↑

觀察：12489×12356 ○12359×12486

↓

↓

解：12489+12356=12359+12486 和一定

12489-12356=133

12486-12359=127

差較小

所以12489×12356 ＜ 1235912486

隨堂練習

例1.幼兒園老師把100根小棒分給小朋友做數(shù)學游戲，每個小朋友分的小棒根數(shù)不同。那么最多能分給幾個小朋友？

例2.把自然數(shù)1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，劃去24個數(shù)字后得到一個多位數(shù)，這個數(shù)最大是多少？

例3.周長為36米2的竹籬笆圍成一個長方形菜園，要使菜園的面積最大，它的長和寬應該是多少？這時的最大面積是多少？

例4.用竹籬笆圍一個面積為25平方米的長方形菜園。這個長方形菜園的長、寬哥等于多少時，最省材料？

例5.把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大的乘積是多少？

例6.比較12489×12356與12359×12486的大小

課后作業(yè)

1.從0，1，2，4，6，8，9這七個數(shù)字中，選出五個數(shù)字組成一個被5整除并且盡可能大的五位數(shù)，這個五位數(shù)是多少？

2.小明看一本90頁的童話故事，每天看的頁數(shù)不同，而且一天中最少看3次。那么小明看完這本書需要多少天？

3.把自然數(shù)1，2，3，......，39，40 依次排列：

1234567891011......3940.劃去65個數(shù)，得到的多位數(shù)最大是多少？

4.a，b是兩個自然數(shù)，a+b=16，那么a×b最大是多少？

5.a，b是兩個自然數(shù)，a×b=49，那么a+b最小是多少？

6.用40厘米的鐵絲圍成一個長方形（不計接頭長度）中，最大的一個面積是多少平方米？

7.教室一個窗戶的面積是225平方米，怎樣設計窗戶的形狀和尺寸最省材料？

8.把17分成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得積盡可能地大，最大的積是多少？

9.把1，2，3，4，5，9，填入下面方框里，要使兩個三位數(shù)的積最大，怎樣填？

（）（）（）×（）（）（）

10.比較下面兩個積的大小。

A=987654321×123456789

B=687654321×423456789

第四篇：小學奧數(shù)教師招聘參考試題

招聘教師專用測試題—測試版

小學奧數(shù)教師招聘專用試題及答案

1、（三年級或四年級學生學習的賽題）.猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配，若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多

只

可以這樣理解：每只大猴拿1個給小猴，結果還剩了10個，說明大猴比小猴多10只

2、（三年級或四年級學生學習的奧數(shù)典型題目）甲和乙兩人都買了一套相同的信箋，甲把每個信封里裝一張信紙，結果用完了所有的信封，只剩下50張信紙，乙把每個信封里裝3張信紙，結果用完了所有的信紙，剩下50個信封，問每套信箋盒中有多少張信紙？多少個信封？

假設：信封為x，信簽紙為y

1、甲的情況

x+50=y

（1）

2、乙的情況

3*（x-50）=y（2）方程式（2）-方程式（1）3*（x-50）-（x+50）=0

2*x-200=0 x=100 代入方程（1）y=150 有100個信封，150張便簽紙

3、（適合四年級學生）上一段12級樓梯，規(guī)定每一步只能上一級或兩級.問要登上第12級樓梯共有多少種不同走法?(如果其中第6級壞了怎么處理？)這題用遞推。

因為每一步只能上一級或兩極，所以上1級樓梯有1種走法，上2級樓梯有2種走法。而上第3級樓梯的前一步，肯定是要上到第2層樓梯或第1層樓梯（因為每一步只能上一級或兩極，反推，要上第3層，前一步必定要上第1層或第2層），所以上到第3級樓梯的走法種數(shù)等于上到第1級樓梯的走法種數(shù)與上到第2級樓梯的走法種數(shù)。

假設要上第n級樓梯，f（n）代表上到第n級樓梯的種數(shù)，則f（n）=f（n-1）+f（n-2）。也就是說，n的序列是一個斐波那契數(shù)列（即1 1 2 3 5 8 13 21 ……注：除去首項第一個1）。所以最終答案是233 這是一個經典的遞歸問題。也就是費波納西級數(shù)。f(n)= f(n-1)+ f(n-2)。

我來解釋，如果我們第一部選1個臺階，那么后面就會剩下n-1個臺階，也就是會有f(n-1)種走法。如果我們第一部選2個臺階，后面會有f(n-2)個臺階。因此，對于n個臺階來說，就會有f(n-1)+ f(n-2)種走法。

因此，1個臺階f(1)= 1.f(2)= 2, f(3)= 3 f(4)= 5 f(5)= 8 招聘教師專用測試題—測試版

f(6)= 13 f(7)= 21 f(8)= 34 f(9)= 55 f(10)= 89 f(11)= 89+55 = 144 f(12)= 144 + 89 = 233

4、（適合三下或四年級學生）在下圖的每個空格中填入個自然數(shù)，使得每一行、每一列及每條對角線上的三個數(shù)之和都相等.8

3 9

5、（四下或五年級的學生）如圖，單位正方形ABCD，M為AD邊上的中點，求圖中的陰影部分面積。

解：在梯形AMCB中

梯形AMCB的面積為S=1/2(2+4)x4=12

又因為三角形BCG面積為S1=1/2XBCXH1=2H1

三角形AGM的面積 S2=1/2XAMXH2=H2

又因為H1+H2=4

所以 梯形AMCB的面積=三角形AMB面積+三角形AMC面積+三角形BGC面積-三角形AMG面積

即：12=4+4+2H1-H1 所以聯(lián)立H1+H2=4

解得：H1=8/3 H2=4/3

所以陰影部分面積=三角形AMB面積+三角形AMC面積-2個三角形AMG面積=4+4-8/3=16/3 追問

即：12=4+4+2H1-H1 所以聯(lián)立H1+H2=4 設三角形BCG 的高為H1 三角形AGM的高為H2 則H1+H2=4

那么H1=4-H2

將H1=4-H2

代入12=4+4+2H1-H1

就可以解出來了呀！

招聘教師專用測試題—測試版

6、（適合六年級或小升初的學生）如圖，三角形BDF，三角形CEF和三角形BCF的面積分別是2平方厘米，3平方厘米，4平方厘米，求四邊形ADFE的面積是多少？

三角形def的面積=10x16/20=8

三角形ade的面積=X

AD/BD=(X+8+16)/30=X/18

30X=18X+24*18

12X=24*18 X=36

四邊形adfe的面積=36+8=44

7、（適合五、六年級的學生）11?22?33?44?L?20052005除以10 所得的余數(shù)為多少？ 那么在計算過程中只需末位相乘

先按每一項的各位進行分類,共十組：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 末位為0,必能被10整除，余數(shù)為0 末位為1,各位總是1，式子中有201項，201*1=201，所得余數(shù)為1 末位為2，從1次方到n次方末位按2,4,8,6,2,4……循環(huán)排列

則式子中各項的末位為4,6,4……4循環(huán),共201項，前面每兩項相加為10

所以所得余數(shù)為4 末位為3,4,5,6,7,8,9的組利用上述方法依次類推（注意，從6開始每組共200項），過程省略，各組余數(shù)依次為7,6,5,0,0,0,0 將各組余數(shù)相加，得23 所以原式子所得的和除以10余數(shù)是3（首項+末項）×項數(shù)÷2÷10

2005中間數(shù)是1003，除以10余數(shù)就是3了。

只是一道整式乘法和的題 把偶數(shù)方和奇數(shù)方分別提出來 所以是（2005-2003……-1）的2005-2003……-1方-（2004-2002-……-2）的2004-2002-……-2的方 化簡后是33 33÷10就=3……3了 對吧

如果有同行會8至10題請回貼吧！謝謝

8、（適合五、六年級的學生）求143除以7 的余數(shù)．

招聘教師專用測試題—測試版

9、（適合六年級的學生）在數(shù)學中有公式：對任意兩個數(shù)a，b，有(a+b)(a-b)=a-b，請計算：

22(1-1111)?(1-)?(1-)???(1-)= 223242100210、（適合五、六年級的學生）甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去15 千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時4 千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時48 千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內到達公園，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離是多少千米？

第五篇：小學奧數(shù)教輔書推薦

小學奧數(shù)教輔書推薦

作為一名奧數(shù)老師，每次去西單都會去圖書大廈三樓的奧 數(shù)教輔專架看看，每次都會看到有小學生家長在專架上的一排排書之間感到茫然，不知道該買哪本好。確實，目前市場上的小學奧數(shù)教輔書種類繁多，良莠不齊，對于對小學奧數(shù)不太熟悉的家長們來說，如何進行選擇確實是個難題。尤其是目前又到了暑期，孩子們正好有空在家里看看書做做題，所以覺得有必要向家長們推薦一些有價值的、值得購買的奧數(shù)教輔書。

總的來說，小學奧數(shù)教輔書可以分為三類：教 材；習題集；競賽試題匯編。下面分別進行介紹。

（一）教材類

1、《明心數(shù)學zy教程》 劉嘉編著，湖北教育出版社出版

《明心數(shù)學zy教程》是目前最好的小學奧數(shù) 教材，由武漢的明心zy教育（武漢的一家培訓機構）的劉嘉老師主編，計劃出版八卷四冊，現(xiàn)已出版了3冊：第二卷上（2007年）、第三卷上（2007年）、第四卷上（又分第1、2分冊）（2008年），所以實際上是已經出了4本。

《明心數(shù)學zy教程》這套書最大優(yōu)點有：① 每一講前面的數(shù)學經緯都非常的生動有趣而且富有知識性；②每一道例題的解答過程都非常詳細，很適合家長用來輔導學生及學生自學，另外對于新老師的教學其實也有指導幫助的作用。而且有些例題后面都有 關于例題的知識背景的介紹（這樣的往往是數(shù)學史上著名的問題），還有例題不同的表達形式（相當于變式），可起到舉一反三的作用；③每一講后面的練習題有些是與前面的例題相對應的，這樣學生在做練習題時可以回想前面的例題的解題思路，既是對前面例題的回顧又是對練習題的啟發(fā)（實際上大部分奧數(shù)教材都是這樣做的，比如后面要介紹的RH學校數(shù)學課本及《奧數(shù)教程》等，當然學而思講義也是如此）。

《明心數(shù)學zy教程》最大的缺點就是——出得太慢了~說是要出八卷，到目前為止還只出了三卷四本。

2、《RH學校奧林匹克數(shù)學課本》 中國大百科全書出版社，一至六年級都有

RH學校出的課本，因了RH的江湖地位，自 然是值得重視的。這套書知識面覆蓋的很全，小學奧數(shù)需要掌握的知識里面都會講到，題目難度比較適中，有基礎題，也有中等題，難題相對少一些。

RH學校這套書可以說是中規(guī)中矩，但六年級 那冊比較有特色，講了許多別的書不太重視的內容，比如小數(shù)中的進位制、以及用了四講來講棋盤上的數(shù)學，都是很值得一看的。

3、《小學奧數(shù)總復習教程》

學而思編著的第一本書，電子工業(yè)出版社

匯聚了學而思眾多奧數(shù)名師和教研高手編著而 成的，主要是為六年級面臨小升初的孩子們準備的，脫胎于學而思講義卻又不同于學而思講義，每道例題后面都有初級點撥、深度提示和全解過程，其中前兩部分都是對于解題思路的提示，對于學生做題富有啟發(fā)性。

下面copy一段當當網上用戶對這本書的評價：“通過知識地圖、基礎知識、經典透析和拓展訓練四個部分，構建 了完整的奧數(shù)知識體系，全面覆蓋小學奧數(shù)知識。可用來輔導孩子或孩子系統(tǒng)復習使用。”當然不足之處就是印刷錯誤有點多。

4、《奧數(shù)教程》

單墫、熊斌總主編，華東師范大學出版社

老牌的奧數(shù)教材，很全面，但題目比較基礎，練習題題量很大。

另外關于教材還要說的是：以上各類教材雖然 編排體系不同（比如劉嘉那套書、RH學校課本、學而思講義的編排體系和大綱就各不相同），但每套書合起來就構成了一套完備的小學奧數(shù)教材，覆蓋了小學奧數(shù)的方方面面。但是對于學而思學員來說，由于編排體系的不同，以上的教材都不適合于作為與學而思課程班同步的輔導教材，只能作為自己學習的輔助，主要還是在課堂上跟著老師學習。

（二）習題集類

5、《RH學校奧林匹克數(shù)學思維訓練導引》

中國大百科全書出版社出版，分為三、四年級分冊和五、六年級分冊，思維導引可以說是最知名的小學奧數(shù)教輔書了，有傳說說把思維導引做一遍就可以當一個優(yōu)秀的奧數(shù)教練了。當然我本人不是很相信這種說法。思維導引每一章節(jié)的分類有自己的特色，但是它賴以成名的是它的題目的難度和經典性，因此很多競賽和學校的小升初考試試題都從里面尋找靈感。

思維訓練導引最大的缺憾在于只有題目和答案，沒有具體的解析過程，那么它那么多高難度的題對于學生來說實在是一個艱難的目標。好在已經有前輩把思維導引里面所有題的解析都給出來了。中國大百科全書出版的《RH學校奧林匹克數(shù)學思維訓練教程》給出了每一講的奇數(shù)號題目的解析，凌科編著的《思維訓練導引詳解》（中國石化出版社）則給出偶數(shù)號題目的解析，這兩套書合起來思維導引題目的解析就全了。

6、《奧林匹克訓練題庫》 劉京友主編，北京師范大學出版社

老牌的奧數(shù)題庫，題量很大，題目以基礎題和中等題為主，適合學生打基礎。

7、《小學數(shù)學競賽多功能題典》 朱華偉編著，華東師范大學出版社

作者搜集了近幾年各大競賽的題目并按照知識板塊進行歸類，將同一知識點的題目放在一起，就成了這本內容豐富的題典。里面的題目全是各類競賽的真題，簡單題、中等題、高難度的題都有，每道題都有詳細的解答過程，很好的一本教輔書。

8、《新概念數(shù)學思維訓練導引》

華東師范大學出版社，分為三、四、五、**個年級 RH學校的思維訓練導引出版得比較早，因此題目顯得有點老，雖然這不影響其題目的經典性，但是也有必要補充一些近年來的新題。這套《新概念數(shù)學思維訓練導引》相比于RH學校的思維訓練導引的優(yōu)勢之處就在于此：它增添了許多近年來各類杯賽的考試題，另外相比于RH學校的思維訓練導引，這套書每一講都把題目根據(jù)難度分成興趣篇、拓展篇、超越篇，題量也更大。這套書目前也沒有題目的詳解。

（三）競賽試題匯編

競賽試題匯編可以分為兩大類：縱向的試題匯編指那些包含某一杯賽歷年試題的匯編，橫向的匯編指那些包含某一年份各類杯賽試題的匯編。下面分類做一介紹：

縱向的試題匯編：

9、《北京市數(shù)學解題能力展示讀者評選活動 試題匯編》（小學卷）北京教育出版社出版

這本書是學而思去年出的迎春杯試題匯編，從1984年到2009年的題都有，非常全，每一道題都有詳細解析。另外，在這本書的編委里面可以找到本人的名字~

10、《第1—8屆《華羅庚金杯》少年數(shù)學邀請賽賽題及題解匯編》 華杯賽組委會編，中國大百科全書出版社

這本書是華杯賽組織委員會和主試委員會編的，所以很有權威性，就推薦了這本。它只包括第1—8屆華杯賽的試題，每道題都有詳細解析。第9屆以后每年都有單行本出版，也都是華杯賽組委會編、中國大百科全書出版社出版的。這本書加上每年的單行本，就是關于華杯賽的完全的試題匯編了。

11、《“走進美妙的數(shù)學花園”歷屆試題及 優(yōu)秀論文集萃》 北京師范大學《高中數(shù)理化》特刊

關于走美的試題匯編比較少，這一本書是北京師范大學《高中數(shù)理化》特刊出的，里面不僅有歷屆試題，還有一些優(yōu)秀的數(shù)學建模論文。

12、《希望杯全國數(shù)學邀請賽試題.培訓題及解答》

關于希望杯的試題匯編就更少了，但是希望杯組委會每年也都會出版名為《希望杯全國數(shù)學邀請賽試題.培訓題及解答》的小冊子，把每年的小冊子合起來就是最完備的希望杯試題匯編了。

13、《日本算術奧林匹克1—10屆試題詳解》 開明出版社出版

這是關于日本算數(shù)奧林匹克的試題匯編，日本 算數(shù)奧林匹克是日本很普及的一個數(shù)學競賽，中國每年也都有代表團參加。日本的出題方式與中國不同，而且里面難題頗多，所以對于中國學生來說，多做這本書既可開開眼界，解題能力也能得到很好的提升。

14、《日本小學數(shù)學奧林匹克（6年級）》 華東師范大學出版社

也是關于日本算數(shù)奧林匹克的試題匯編，不過只選了六年級的試題，從時間上來說，包含了1992年到2007年的全部試題。近幾年的可以在下面推薦的書里面找到。

橫向的：

15、《小學數(shù)學ABC卷系列》

北京競賽數(shù)學技術研究所編，最早的橫向的試題匯編，從2003-2006年，每年出一本，每本都包含了當年各主要杯賽的考試題目，并有詳細解析，而且每本都附有模擬題若干套。不過2006年之后就沒有見到了。

16、《小學數(shù)學MO奧林匹克競賽試題》 劉嘉主編，湖北教育出版社出版

從2007年開始出版，正好接替了前面的小學數(shù)學ABC卷。武漢的劉嘉老師編著，因此質量可以保證，目前已經出了07年、08年和09年三本。

17、《2008全國數(shù)學競賽年鑒（小學卷）》

學而思上海分校主編，包含了08年各大杯賽的真題，后面部分還有國內主 要城市的一些小升初試題，體現(xiàn)了學而思一貫的競賽與小升初并重的傳統(tǒng)。另外，09年的年鑒學而思也已經編輯好了，也許不久就可以見到。

最后要說的是，推薦了這么多書，不是希望家長們把這些書都買全讓孩子們一本本做或者家長埋頭研究，這應該是奧數(shù)老師們做的事情。老師們研究得多了，把最精髓的東西傳遞給孩子們，孩子們學起來就輕松了。推薦的目的只是希望大家在有購買的需求時能夠心中有數(shù)，不因不熟悉而買一些比較差的、價值不大的書，浪費錢事小，學不到東西耽誤孩子時間事大。