比較與估算

教學目標

本講是在分數計算方面技巧的基礎上，進一步認識小數、分數，只是從比較大小方面認識它們，這一講主要介紹一些比較較為復雜的小數、分數大小的方法，主要有通分子、通分母、倒數法、放縮法等。

知識點撥

一、小數的大小比較常用方法

為方便比較，往往把這些小數排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當的“0”，使它們都變成小數位數相同的小數.(如果是循環小數，就把它改寫成一般寫法的形式)

二、分數的大小比較常用方法

⑴通分母：分子小的分數小.⑵通分子：分母小的分數大.⑶比倒數：倒數大的分數小.⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分數小．(適用于真分數)

⑸重要結論：

①對于兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都大的分數比較大；

②對于兩個假分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都小的分數比較大．

⑹放縮法

在實際解題的過程中，我們還會用到其它一些思路！同學們要根據具體情況展開思維！

三、數的估算時常用方法

（1）放縮法：為求出某數的整數部分，設法放大或縮小．使結果介于某兩個接近數之間，從而估算結果．

（2）變換結構：將原來算式或問題變形為便于估算的形式．

例題精講

模塊一、兩個數的大小比較

【例

1】

如果a，b，那么a，b中較大的數是

【考點】兩個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】

方法一：<與1相減比較法>

；1

．因為，所以b較大；

方法二：<比倒數法>因為，所以，進而，即；

方法三：兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，分子和分母都大的分數比較大，所以b大

【答案】

【鞏固】

試比較和的大小

【考點】兩個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

【答案】>

【鞏固】

比較和的大小

【考點】兩個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

因為，顯然，根據被減數一定，減數越大差越小的道理，有：

【答案】

【例

2】

如果A，B,A與B中哪個數較大？

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】

方法一：觀察可以發現A、B都很接近，且比它小．我們不防與比較．

A,B,BA，即B比A更接近，換句話說

BA

.方法二：，即.方法三：，顯然，則

【答案】

【鞏固】

如果，那么A和B中較大的數是

.【考點】兩個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】祖沖之杯

【解析】，即大

【答案】

【鞏固】

試比較和的大小

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：觀察可知，這兩個分數的分母都比分子的10倍多1．對于這樣的分數，可以利用它們的倒數比較大小．的倒數是1，的倒數是１，我們很容易看出10

10，所以；

方法二：，兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都大的分數比較大，所以即

【答案】

【例

3】

在a=20032003×2002和

b=20022003×2003中，較大的數是______，比較小的數大______。

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=2003×(2003-2002)=2003

所以a比b大2003

【答案】a比b大2003

【例

4】

設a=，b=,則在a與b中，較大的數是______。

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

可采用放縮法。因為=

+

＞+，＞。所以＞，即a是較大的數。當然這道題目我們也可采用通分求結果的一般方法。

【答案】a

【例

5】

比較與的大小．

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

如果直接放縮：，但是，所以不能確定與的大小關系，同樣如果如下進行放縮：，也不能確定．

但是如果保留，將進行放縮，則有：，可見兩者中較大．

【答案】較大

【鞏固】

與相比，哪個更大，為什么？

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

記，顯然有：，而，有，所以原分式比小

.【答案】更大

【例

6】

試比較:

與哪一個大?

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

296=37×8，185=37×5，因為

所以＞

【答案】

【例

7】

圖中有兩個黑色的正方形，兩個白色的正方形，它們的面積已在圖中標出(單位：厘米)．黑色的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大?請說明理由．

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，口試

【解析】

此題利用到平方差公式：

19971996(19971996)(19971996)199719963993

***23985

所以***2

即***3，兩個白色正方形的面積大．

【答案】兩個白色正方形的面積大

【例

8】

在中選出若干個數使它們的和大于3，最少要選多少個數?

【考點】兩個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

為了使選出的數最少，那么必須盡可能選擇較大的數．

有依次減小，所以我們選擇時應從左至右的選擇．

有

而

所以最少選擇11個即可使它們的和大于3.【答案】11個

【例

9】

已知：，那么與中

比較大，說明原因；

【考點】兩個數的大小比較

【難度】4星

【題型】填空

【解析】,即比大

【答案】比較大

模塊二、多個數的大小比較

【例

10】

⑴比較以下小數，找到最大的數：，，⑵比較以下5個數，排列大小：1，，.【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴題目中存在循環小數，將所有小數位數補至相同的位數，如下所示：

→

1.12112112l

→

1.121000000

→1.121212121

→1.121210000

→1.120000000

于是可以得出結果，是最大的數．對于循環小數的問題，首先考慮的就是將其展開，從中獲得足夠的信息，然后按照小數比較原則判斷，不處理而一味的觀察是沒有意義的．

⑵題目中出現了整數、小數、假分數，可以先把數分為兩個部分，一部分為小于1的數，一部分為大于等于1的數，然后兩部分內部比較，無須兩部分間重復比較．

①小于l的部分為和，將小數展開，并把化為小數得：，顯然，即；

②大于等于1的部分中，有整數、小數、假分數：1，1.667，先將假分數化為帶分數，比較三數整數部分，發現都為1，然后比較其他部分：1.666666…<1.667，所以得到1<

<1.667．

即得：

1.667

.【答案】⑴

⑵

1.667

.【鞏固】

在，中，最小的數是______。

【考點】多個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】

所以最小的是

【答案】

【鞏固】

在、、四個小數中，第二小的數是____

【考點】多個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽

【解析】

由于，可以看出，其中第二小的數為。

【答案】

【鞏固】

分數中最大的一個是。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級

【解析】

【答案】

【鞏固】

有8個數，，,是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數是，那么按從大到小排列時，第4個數是哪一個數?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，,，顯然有，即，8個數從小到大排列第4個是，所以有．(“□”表示未知的那2個數).所以，這8個數從大到小排列第4個數是．

【答案】

【鞏固】

在，中，最小的分數是__________.【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】數學愛好者夏令營

【解析】

因為，根據重要結論——對于兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都大的分數比較大；而且：，所以，最小的是．

【答案】

【例

11】

（1）把下列各數按照從小到大的順序排列：，，（2）(幼苗杯數學邀請賽)把下列分數用“”號連接起來：，，【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴我們可以用通分子的方法，可得：，分母大的反而小，所以．

⑵這五個分數的分母都不相同，要通分變成同分母的分數比較麻煩．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五個數的公倍數．利用分數的基本性質，可以將題中的各分數化為分子都是60的分數．我們稱之為“通分子比大小”的方法．，，；可見；

也就是

.【答案】⑴

⑵

【鞏固】

將、、、、從小到大排列，第三個數是________.【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，六年級，決賽

【解析】，所以：，第三小的數是

【答案】

【鞏固】

這里有五個分數：

如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

【答案】

【鞏固】

將下列乘式結果按從小到大排序：，，．

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

看式子前兩位相同，于是我們想到可不可以變成“前面部分一樣一個簡單算式”的形式．

看，我們的目標是把十位和百位的6提取出來，轉化算式：

可以看到，這5個乘式的前兩項結果是一樣的，即我們只要比較，，的大小，就可以得出：＜＜＜＜．

【答案】＜＜＜＜

【鞏固】

編號為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重量為，克的重物．問：金、銀、銅牌應分別發給幾號螞蟻?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

所以，【答案】

【鞏固】

請把這4個數從大到小排列。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

將1與這四個分數依次做差，得、、、,顯然有,被減數相同,差小的數反而大,所以.【答案】

【例

12】，在上式的方框內填入一個整數，使兩端的不等號成立，那么要填的整數是多少?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

將不等式中的三個數同時除以80，不等號的方向不改變，有，而、的倒數分別為、，而□應該在之間，即在103.33～102.86之間(在計算循環小數時，將其小數點后保留2位數字)，其中的整數只有103，所以□內所填的整數為103．

【答案】103

【鞏固】

⑴比大比小的分數有無數多個，則分子為27的分數是_________.(寫出一個即可)

⑵右面方框里填什么自然數時，不等式成立?

１

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴設比大比小的分數為，則：，即，所以，不妨取，那么，滿足題意．再比如等也滿足題意．

⑵分子549，可以把1看成，利用加成分數原理得□13.【答案】⑴

⑵13

【鞏固】

比大，比小的分數有無窮多個，請寫出三個：。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】，【答案】，【鞏固】

⑴找出一個比大，比小的分數。

⑵滿足下式的括號里的數字有多少個自然數：

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴方法一：任意兩個分數，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分數叫做加成分數．加

成分數的值介于原來兩個分數之間．根據加成分數原理，是介于和之間的一個分數．

方法二：如果通分母，可以得到同分母分數和．把這兩個分數的分子、分母擴大2倍，可以找出一個比大，比小的分數；如果把這兩個分數擴大3倍，可以再得到兩個中間的分數等等．

我們也可以用類似的方法，通過通分子去找比大、比小的分數．同學們可以自己試一試．

⑵首先判斷第一個不等號兩邊的關系，因此（）35，再判斷第二個不等號兩邊的關系，因此（）15．根據以上分析，可以確定（）中能填入19個自然數．

根據分數基本性質等值放縮分數是處理分數問題最常用的方法．

【答案】⑴

⑵19

【鞏固】

下式中五個分數都是最簡真分數，要使不等式成立，這些分母的和最小是多少？

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

由于要求分母的和最小，則從最小的自然數開始考慮，1是不符合最簡真分數要求的分母，因此可選擇的最小自然數為2，2只能放在第一個分數上做分母．后面要找比小的最簡分數：3、4依次被淘汰，5被選中放入第二個分數中．依次規律，可得結果：

.【答案】

【例

13】

在下面9個算式中:

①，②,③,④,⑤，⑥，⑦，⑧,⑨,第幾個算式的答數最小，這個答數是多少?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：

①-②=,即①>②；

②-③=，即②>③；

③-④=，即③>④；

④-⑤=，即④<⑤；

⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次為，,均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么這些算式中最小的為④，有④為

方法二：注意到每組內兩個分數的乘積相等，均為．

因為當兩個數的乘積相等時，這兩個數越接近，和越小．其中第4個算式中、最接近，所以第4個算式最小·

【答案】第4個，【鞏固】

若a=，b=，c=，則有（）。

（A）a>b>c

（B）a>c>b

（C）a

（D）a

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

略

【答案】

【鞏固】

甲、乙兩個天平上都放著一定重量的物體，問：哪—個是平衡的?

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

考慮除以3，所得的余數

因為478除以3余1，9763除以3也余1(只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余數)，所以478×9763除以3余1×1＝1，而4666514除以3余2(即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2)，因此478×9763≠4666514，從而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的【例

14】

用“＞”號把下列分數連接起來：

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

這道題目本身并不難，孩子們用自己的辦法可以很快的做出來，但如果數字變的復雜些，那么我們就必須找到一個有效方法了。從這道題目，我們可以給大家展示另外2種典型思路。

法1：

法2:

觀察可以發現分母都是4的倍數，所以我們不妨把分母都化為4，可得：

因為，即

【答案】

【鞏固】

這里有5個分數：，如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數？

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽，試題

【解析】

分子的最小公倍數是60，給出的5個分數依次等于：，比較分母的大小，居中的分數是，即。

【答案】

【例

15】

從六個數中選出三個數，分別記為A，B，C.要求選出的三個數使得A×（B-C）盡量大，并寫出A×（B-C）的最簡分數表示。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

要求A×（B-C）盡量大，顯然C取最小數，A、B取最大和次大數，利用和一定，差越小積越大，顯然A取次大數，B取最大數。六個數中分數、小數并存，發現是比1小的數，所以C為。再看其它五個數字，本題將分數化為小數容易判斷：因此，故有：

.【答案】

【例

16】

在四個算式6□0.3，6□，6□，6□的四個方框內，分別填上加、減、乘、除四種運算符號，使得到的四個算式的四個圓圈之和盡可能大，那么這個和等于多少？

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

所以，0.3前面應填除號,前面填減號,前填加號，前填乘號，才能使這四個算式的答數之和最大．這個最大的和是：

【答案】

【例

17】

從1，2，3，4，5，6，7，8，9中隨意取出兩個數字，一個作分子，一個作分母，組成一個分數，所有分數中，最大的是，循環小數有個。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】

最大的為=9，循環小數的分母為3，分子為1、2、4、5、7、8；分母為6，分子為1、2、4、5、7、8；分母為7，分子為1、2、3、4、5、6、8、9；分母為9，分子為1、2、3、4、5、6、7、8；共28個。

【答案】9；共28個

【例

18】

從中去掉兩個數，使得剩下的三個數之和與接近，去掉的兩個數是（）.（A）（B）（C）（D）

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】選擇

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

本題不是計算最大，而是計算哪個與接近，再找分母的最小公倍數比較大小，則以上分式分別可以寫成：，，可以寫成，顯然最接近。

【答案】D

【例

19】

已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四個數中最大的是_____．

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】小數報，決賽

【解析】

找A、B、C、D中最大的，即找151、、15.2、14.8中最小的．容易求出最小，所以B最大．

【答案】B

【例

20】

已知，并且，都不等于0，把、、這三個數按從小到大的順序排列是_________。

【考點】多個數的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級

【解析】

由于，且，所以。

【答案】

【例

21】

氣象局對部分旅游景區的某一天的氣溫預報如下表：

景區

千島湖

張家界

廬山

三亞

麗江

大理

九寨溝

鼓浪嶼

武夷山

黃山

氣溫(℃)

11/1

8/4

3/-2

27/19

17/3

18/3

8/-8

15/9

15/1

0/-5

其中，溫差最小的景區是______，溫差最大的景區是______。

【考點】多個數的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試．

【解析】

表中溫差從左到右分別為：10、4、5、8、14、15、16、6、14、5

所以溫差最小的景區是張家界，溫差最大的景區是九寨溝。

【答案】最小的景區是張家界，溫差最大的景區是九寨溝

模塊三、數的估算

【例

22】

求數的整數部分．

【考點】數的估算

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

這道題顯然不宜對分母中的11個分數進行通分求和．要求a的整數部分，只要知道a在哪兩個連續整數之間．

因為a中的11個分數都不大于，不小于，所以1111

即１1.1

由此可知a的整數部分是1．

【答案】1

【鞏固】

已知，則A的整數部分是_______

【考點】數的估算

【難度】2星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試

【解析】；

所以的整數部分是2。

【答案】

【例

23】

求數的整數部分是幾？

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，復賽

【解析】，即1＜原式＜1.9，所以原式的整數部分是1.【答案】

【鞏固】

求數的整數部分．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，又，所以，即，所以其整數部分是1．

【答案】1

【鞏固】

已知：S,則S的整數部分是

.【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】清華附中，入學測試

【解析】

如果全是，那么結果是，如果全是，那么結果是，所以＜S＜，不能確定S的整數部分.我們不妨采用分段估值，有：

則

大家馬上會被這個計算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試，如果不行我們還要再次細化分段，計算量的龐大讓我們有些止步了.那么我們有沒有更好的方法來解決這個問題呢？答案是：有！

下面先讓我們來看看兩個例子：

⑴

那么也就有：

（2）

那么也就有：

聰明的你從中會發現一個找“最小界限的新規律”，那么再讓我們回到原題來看看吧！

則，由此可以確定整數部分是73．

【答案】

【鞏固】

已知，則與最接近的整數是________．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】仁華學校

【解析】

由于，所以，所以，即，那么與最接近的整數是143．

小結：由于只需要求與最接近的整數，而不是求的整數部分，所以進行上述放縮已經足夠．但是如果要求的整數部分，又該如何進行呢？

將分母中的14個分數兩兩分為一組：，……，(分組的標準在于每組中兩個分數的分母之和相等，此處有偶數項，恰好可以兩兩分組；如果有奇數項，則將中間的一項單獨分為一組)，根據“兩數之和一定，差越小積越大”，可知，所以，可得，所以，所以，即，所以的整數部分為142．

【答案】142

【鞏固】的整數部分是________．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，六年級

【解析】

由于，所以，即，所以，所以，又，所以，所以的整數部分是1．

【答案】

【鞏固】的整數部分是

．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

對分母進行放縮．令，則，又，根據兩個數和一定則差越小積越大，所以，則，可得，所以，即，所以的整數部分為400．

【答案】400

【例

24】

已知，求的整數部分．

【考點】數的估算

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

題中已經指明，式子中每一項的分母都可以表示成，對于不好直接進行處理，很容易聯想到及，所以可以進行放縮．

由于，所以，那么，即，那么的整數部分為1．

小結：從式子中也可以直接看出，所以對于這一點也可以不進行放縮．

【答案】1

【例

25】

A8.88.988.9988.99988.99998，A的整數部分是________.【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】小數報，決賽

【解析】

方法一：A8.8544，A9545，所以A的整數部分是44

.方法二：將原式變形后再估算

A8.88.988.9988.99988.99998

(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222

所以A的整數部分是44

.【答案】44

【鞏固】

=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，的整數部分是。

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，6年級

【解析】

=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222

所以的整數部分是54。

【答案】54

【鞏固】

已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整數部分．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：要求x的整數部分，必須找到x介于哪兩個連續整數之間即axa1，x的整數部分和n相等．可以先將原算式放大，把每個加數都看成1這樣結果是11010；然后將原算式縮小，把每個加數都看成0.9，結果是0.9109．可見原算式的結果介于10和9之間即9x10，所以x的整數部分是9．

方法二：將原式變型后再估算．

x0.90.990.9990.9999999999

(10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001)

10(0.10．010.0010.0000000001)100.1111111111

所以x的整數部分是9．

【答案】9

【例

26】

計算

8.011.248.021.238.031.22整數部分.【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽

【解析】

方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的兩個因數之和都相等.根據兩個數和一定時，這兩個數越接近則乘積越大，所以8.011.248.021.238.031.22；則有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003，即

29.28原式30，所以原式的整數部分是29

.方法二：為了使計算簡便，可以把8.01、8.02、8.03分成整數和小數兩部分計算，小數部分可以進行估算

81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.28

0.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06

因為0.06不會影響整個算式的整數部分，所以整數部分是29．

【答案】29

【例

27】

老師在黑板上寫了七個自然數，讓小明計算它們的平均數（保留小數點后面兩位）．小明計算出的答數是14.73，老師說：“除最后一位數字外其它都對了．”那么，正確的得數應是___

___.【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

法1：因為14.7這三個數字正確，14.7×7＝102.9，所以，這七個自然數的和只可能是103，104，……等，當和為103時，平均數為103÷7≈14.71，當和為104時，平均數為104÷7≈14．86，就不符已知條件了，所以，七個自然數的和是103，平均是14.71．

法2：此題可以用放縮法：由題意知：14.70≤平均數≤14.79，所以這7個數的和介于102.90和103.53之間，又由于7個自然數的和必然是整數，所以是103。則正確的平均數是103÷7＝14.71

.【答案】14.71

【鞏固】

有13個自然數，它們的平均值利用四舍五入精確到小數點后一位是26.9．那么，精確到小數點后兩位數是多少？

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

利用放縮法，13個自然數之和必然是整數，又有26.85平均數26.95，則這13個自然數的和介于1326.85和1326.95之間．即在349.05和350.35之間，所以只能是350．所以3501326.923，則精確到小數點后兩位數是26.92

.【答案】26.92

【例

28】

已知除法算式：******87654321．它的計算結果的小數點后的前三位數字分別是

.【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

各取被除數、除數前兩位，有：原式12320.375，原式13310.4194

；在0.375～0.4194之間無法確定小數點后三位的準確值，說明放縮的范圍太大.再各取被除數、除數前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍無法確定；

又各取被除數、除數前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.說明原式的結果在0.3953～0.3957之間，因此，小數點后前三位數分別是3，9，5.【答案】3，9，5.【例

29】

求的整數部分是多少?

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

分段放縮.原式，即1原式，所以原式整數部分為1．

【答案】1

【鞏固】

A=1＋＋＋＋＋＋＋＋…＋的整數部分是多少?

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

把算式中的分數放大或縮小，如果全部放大為，則A＜8

；全部縮小為，則A＞1，這樣無法確定A的整數是多少，于是我們來用一種分段放大和縮小的辦法．1＋＋＋＋…＋

＞１＋＋（＋）＋（＋＋＋）＋（），通過計算得1＋＋＋＋…＋＞3，1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+）+（＋＋＋+

＋＋＋）+，即A＜3，因為3＜A＜3，所以A的整數部分是3．

【答案】3

【例

30】的整數部分是。

【考點】數的估算

【難度】4星

【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級

【解析】

原式必然小于，大于，容易計算出原式的值在6.08至7.08之間，故其整數部分為7.【答案】7

【例

31】

有一列數，第一個數是133，第二個數是57，從第三個數開始，每個數都是它前面兩個數的平均數，那么，第16個數的整數部分是_______．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

由已知：

第三個數＝(133＋57)÷2＝95，第四個數＝(57＋95)÷2＝75，第五個數＝(76＋95)÷2＝85.5

第六個數＝(85.5＋76)÷2＝80.75，第七個數＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，第八個數＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，第九個數＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．

第十個數＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，從第十一個數開始，以后任何一個數都82.53125與82.234375之間，所以，這些數的整數部分都是82，那么第16個數的整數部分也82．

【答案】82

【例

32】

試求誤差小于的近似值．

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，又，由于，所以(誤差小于)

【答案】

【例

33】

在橫線上分別填入兩個相鄰的整數，使不等式成立：

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，一試

【解析】

一共有10項，這個值大于×10=，小于，所以應該分別填入9和10.【答案】；

【例

34】

記A＝，那么比A小的最大自然數是。

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽

【解析】

【答案】

【例

35】

六個分數，，，的和在哪兩個連續自然數之間？

【考點】數的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽

【解析】

在1和2之間。

因為＜＜2，又因為＞＞1，所以六個分數，，，的和在1和2之間。

【答案】1和2

【例

36】

已知：，那么

【考點】數的估算

【難度】5星

【題型】填空

【解析】

所以，即，【答案】

【例

37】

計算：

；（四舍五入保留至小數點后第三位，注：）

【考點】數的估算

【難度】5星

【題型】填空

【解析】

設，則

【答案】