第一篇：幾何直觀的課程背景及實踐策略探究

幾何直觀的課程背景及實踐策略探究

溯源：追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀概念內涵，并與相關概念進行對比、辨析，有助于我們更好地了解幾何直觀的內涵及課程背景，把握幾何直觀的教育教學價值。幾何直觀的內涵、表現形式及教育價值 東北師范大學數學與統計學院 秦德生

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》(以下簡稱2011年版課標)的十個核心概念之一，也是新增加的核心詞匯。幾何直觀在內容、意義和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究范疇。正如弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”本文基于幾何課程要求試圖追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀的內涵及其與相關概念之間的聯系，闡釋幾何直觀的表現形式，挖掘培養幾何直觀能力的教育價值。

一、幾何直觀形成的歷史溯源

1952年，我國首次制訂的中小學數學教學大綱提出，小學“算術教學應該培養和發展兒童的邏輯思維能力”，中學數學應該“發展學生生動的空間想象力，發展學生邏輯的思維力和判斷力”。1963年，根據華羅庚、關肇直等專家的意見，中小學數學教學的能力培養任務修改為培養“計算能力、邏輯推理能力和空間想象力”（即傳統的三大能力）。1988年，九年義務教育數學教學大綱將能力培養任務改為“培養運算能力、發展邏輯思維能力和空間觀念”。2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出“豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維”。2003年頒布的《普通高中數學課程標準》指出：“幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數學課程的基本要求。”2011年版課標把幾何直觀作為十個核心概念之一，并明確指出幾何直觀的含義，闡明其教育價值。由我國幾何課程基本要求可以看出，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，幾何直觀的建立和發展是一個歷史演變過程。

二、幾何直觀與相關概念辨析 1.直觀與幾何直觀

數學家克萊因認為，“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；西方哲學家通常認為，“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”；心理學家認為，“直觀是從感覺到的具體對象背后，發現抽象的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。徐利治先生認為，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。從數學、哲學、心理學等視角可以看出，直觀一般有兩種：一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯。由此可見，直觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯系環節。

2011年版課標指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”換句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力。2.空間觀念與幾何直觀

從研究對象來分析，空間觀念不僅涉及“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體”，而且涉及“想象出物體的方位和相互之間的位置關系，描述圖形的運動和變化，依據語言的描述畫出圖形等”，而幾何直觀是憑借圖形對幾乎所有的數學研究對象進行思考的能力。可見，幾何直觀與空間觀念有重疊又各有側重。從思維角度來看，幾何直觀具有思維的跳躍性，而空間觀念具有思維的連貫性。從能力分析角度看，空間觀念傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、關系的能力，幾何直觀更強調借助一定的直觀背景條件進行整體把握的能力。3.幾何直覺與幾何直觀

直觀與直覺非常相似。所謂直覺，《辭海》的解釋是“一般指不經過邏輯推理認識真理的能力”，而《中國大百科全書》的解釋是“一種不經過分析、推理的認識過程而直接快速地進行判斷的認識能力。直覺是不經過邏輯的、有意識的推理而識別或了解事物的能力”。從哲學認識論的視角看，直覺可以分為經驗直覺、知性直覺和理性直覺。幾何直覺無須推理就能直接對事物及其關系作出迅速的識別和理解，屬于學習者對于數學對象的感性認識，有很大程度上的猜測成分和朦朧的整體把握，不僅有“經驗直覺”的成分，而且有“知性直覺”和“理性直覺”的成分。幾何直觀是學習者建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，對于數學對象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力，既有相對豐富的經驗積累，也有經驗基礎之上的理性概括和升華，幾何直觀的“整體把握”往往帶有明顯的邏輯成分。4.空間想象能力與幾何直觀能力

傳統的數學教學中，空間想象力指的是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力。麥吉認為，空間想象力包括“在心理上操作、旋轉、翻轉或逆轉形象刺激物的能力”。朱文芳認為“空間想象能力是完成空間認知任務的橋梁，空間思維能力起著決定性的核心作用”。心理學家通常認為，想象以表象為基本材料，但不是表象的簡單再現，是指“在頭腦中對已有表象進行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。因此，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關系的能力。幾何直觀是在有背景的條件下進行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，再想象圖形。

三、幾何直觀的表現形式 康德認為，直觀分為經驗直觀和純粹直觀。孔凡哲、史寧中認為，在中小學數學中幾何直觀具體表現為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀。

筆者認為，幾何直觀具有創造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數學問題。因此，從數學功能看，幾何直觀可以分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示。

實物直觀演示是指借助與研究對象有一定關聯的現實世界中的實際存在物，進行簡捷、形象的思考和判斷。實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、錐體、長方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計算機、七巧板、木棒等輔助的實物直觀演示，引導學生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動經驗，建立初步的空間觀念。一旦借助實物直觀演示用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。圖形直觀操作是指對實物的動手操作或圖形運動操作進行幾何直觀探索。直觀操作分為兩類：一類是實物的動手操作，包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，能幫學生積累豐富的幾何事實，獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經驗；另一類是圖形的運動操作（如平移、旋轉、反射等運動），如“點動成線”“線動成面”“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以成為錐體等。借助圖形直觀操作可以幫助學生發現、尋找解決問題的思路。因此，教師應該引導學生經歷觀察、操作等具體的感知過程，培養他們借助圖形思考的能力。

圖形直觀表示是指借助明確的幾何圖形來描述和分析數學問題。圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網格、直角坐標系等圖形工具探索、描述和分析幾何問題；另一類“數形表示”，利用幾何圖形直觀探索、描述和分析幾何以外的其他數學領域的問題，如利用數軸研究數系、方程的根，利用直觀圖分析數據，構造圖形研究代數式、函數，利用單位圓研究三角函數等。借助圖形直觀表示圖形可以幫助表述一些結果，可以幫助記憶一些結果。

四、幾何直觀能力培養的教育價值 1.幾何直觀能夠培養學生的創造性思維

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數學研究中起著聯絡、理解，甚至提供方法的作用。從創造力來看，直觀能引出數學發明，能決定理論的形式和研究方向；從數學證明上看，直觀常常提供證明的思路和技巧，有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數學加工。數學家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導。在大多數情況下，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的。如，利用平面圖形認識分數的乘法，借助韋恩圖計算“重疊應用問題”等。所謂的“看”是一種直接判斷，是

建立在長期有效的觀察和思考的基礎之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。因此，在數學教學中保護學生先天的幾何直觀的潛質，培養和不斷提高學生的幾何直觀水平，就成為數學教育的一個重要的價值追求。2.幾何直觀能夠幫助學生理解數學

幾何直觀在數學中無處不在。數學家依賴直觀推動對數學的思考，加強對數學的理解。幾何直觀不僅是一切幾何學的基礎，而且貫穿在整個數學學習過程中。正如美國數學家阿蒂亞所言：“在幾何中，視覺思維占主導地位，而代數中有序思維占主導地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察。”幾何直觀能利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地反映分析問題的思路，是理解數學的有效渠道。例如，借助地圖理解比例，利用直觀圖理解正方形邊長和面積的關系，借助數軸認識小數的意義，借助“線路圖”理解行程問題，借助網絡圖理解單元知識等。著名數學家拉格朗日曾經說過：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但當這兩門學科結合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美。”因此，教師在數學教學中要挖掘教材資源，利用信息技術工具，展現豐富多彩的圖形世界，設計“借助幾何直觀進行思考”的典型案例；要注意讓學生經歷動手操作、圖形制作的過程，培養學生用幾何直觀描述、分析問題的意識，培養學生的畫圖能力，文字語言、符號語言和圖形語言相互轉化的能力，為學生使用幾何直觀理解數學提供保障。

3.幾何直觀能夠培養學生科學的思維方式

數學抽象概念發展的“直觀—形式—直觀”模式，是一般科學概念發展的“具體—抽象—具體”模式的特殊表現形式。幾何直觀具有原始的創造性。數學經過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返璞歸真，這正是數學發展的辯證過程。正是形式化與直觀化之間的矛盾運動推動了數學的發展以及科學的發展。數學教學應該借助幾何直觀、幾何解釋啟迪學生思路，利用直觀背景或者幾何直觀幫助學生理解和接受抽象的內容和方法，為學生創造主動思考的機會。例如，借助數軸認識小數的意義，利用直觀圖理解異分母分數加減法先通分的必要性，能使學生借助直觀圖，從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程，使學生從非形式化的、算法的直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。可見，直觀本身不是目的，而是手段。對于學生的數學學習而言，用圖形說話、用圖形描述問題、用圖形討論問題等，就是為了形成生動表象并借以形成概念、發展規律，促進抽象思維的發展。4.幾何直觀能夠幫助學生感悟數學美

數學美，不僅美在抽象簡約，也美在直觀多姿，而幾何直觀能夠充分凸顯其結構美。例如，利用直觀感悟圓的對稱美、理解圓的基本結構和性質；利用直觀了解分形幾何的奇異美；利用幾何直觀讓學生感悟、發現美，如借助正方形或三角形計算1+3+5+7+9+……，利用直觀理解直柱體體積公式的統一美，感受數學的普遍聯系。所以，培養學生幾何直觀能力，不僅能提高學生學習數學的基本素養，而且可以將幾何美的直觀、對稱、奇異、統一等特征融入整個教學過程中，使學生在美的享受中發現知識、理解知識，在潛移默化中感受數學美。

第二篇：空間觀念的形成策略和幾何直觀

空間觀念的形成策略和幾何直觀、推理能力的提高策略研究與實踐經驗交流

小學數學新課程標準中對空間觀念、幾何直觀、推理能力給出了如下的解釋和要求。

空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。在我教學中有幾點淺薄的感受：

一、多讓學生主動參與動手實踐獲取對圖形的直觀認識

什么叫直觀，直是直接，觀是看，簡單得不能再簡單地說，就是直接看，只許看不許摸行嗎？課堂不是參觀，當然不可以。學習直觀幾何，就像書上所說采用學生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，強有力地促進心理活動的內化，也可以說成是刺激，從而使學生掌握圖形特征，形成空間觀念。

在空間與圖形的教學中，抽象推理、邏輯演繹、嚴格證明的方式要不要？必要的時候也可以適當運用，但鑒于中學生實際的思維水平及認知能力，動手操作、實踐探索似乎更能適應學生“空間與圖形”領域的學習。正如課程標準所言，應注重使學生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小；應注重通過觀察物體、制作模型、設計圖案等活動，發展學生的空間觀念。因此，在教學中，應注重使學生探索現實世界中有關空間與圖形的問題：應注重使學生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及變換??”讓學生主動參與動手實踐獲取對圖形的最基本的直觀認識。而且，“讓學生在主動參與中獲取對圖形的認識”也是空間與圖形教學的重點。因此，在實際教學中要注重從學生已有出發，以直觀和動手操作為基本手段，注重引導學生把生活中對圖形的感受與有關知識建立聯系，在學生積極主動的參與學習中并動手實踐。

二、以直觀為立足點，展開想象。

幾何中所蘊含的數學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉化的思想方法，它貫穿幾何教學的始終，在幾何教學中占有很重要的地位。幾何中的轉化主要是空間問題向平面問題的轉化，轉化是解決幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補”可化復雜圖形為已熟知的簡單幾何圖形，從而較快地找到解決問題的突破口。我們可以將數學方法傳遞給學生，而數學眼光卻無法傳遞，故應著重把握好對數學思想的教學，這樣有利于學生主動探索解決問題的方法，體會解決問題的策略，提高數學的應用意識。

整個新知識的教學，教者充分尊重學生的主體地位，學生主動參與學習的全過程，采用直觀感知、操作確認、思辯論證等方法認識和探索幾何圖形及其性質。讓學生經歷了“大膽想象——操作轉化——驗證猜想”這一過程，讓學生在理解公式推導的過程中以長方形面積計算為基礎，以圖形間內在聯系為線索，以未知向已知轉化為基本方法開展學習，學會解決問題。借助于經驗、觀察或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，從而建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。

三、讓學生在自主構建空間觀念

打個比方說，就像我們給學生一堆積木，提出目標和要求后，讓學生發揮自己的能力去自由搭建。學生會搭建出復古的、傳統的、時尚的、現代的，或者說是超時代的物品等。也有點像玩七巧板的意味，老師的指導只是根據老師的要求和學生的具體需要，老師要求拼數學，學生可以拼任何一個數字，當遇到困難時，老師要給予不同的指導。

建構思想不能簡單的說成“以學促教”，在自主建構的教學活動中，教師的活動更傾向于“助學、導學”的學習管理。相比較而言，傳統教學也好，新課程理念也好，甚至于“自主建構”，說得通俗明白一點，就是課堂教學中老師和學生，“教”和“學”在份量、時間、空間上多少的轉變過程。

另外，物有本未，事有終始，自主建構要想達到教育的本源，達到教育的理想境地，使學生真正成為學習的主人，教師真正成為有一定學習管理權的服務者，尚需時日。作為老師，時不我待。

四、注重了師生互動、生生互動

新課程標準提倡學生的自主學習，在課堂教學中主張以學生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應該互有問答，學生與學生之間要互有問答。在課堂中，我始終面向全體學生，以學生為主體，教師為主導，通過教學中師生之間、同學之間的互動關系，產生教與學之間的共鳴。

第三篇：幾何直觀：小學數學教學的視角探究

幾何直觀小學數學教學的視角探究

幾何直觀不斷加強是幾何課程未來發展的趨勢與方向，從小學數學的教學角度來說，可以更加寬泛地對幾何直觀中的圖形進行理解，這對數學關系的變現有不可替代的重要作用。從小學數學教學的角度對幾何直觀進行探究，這對我國教育教學事業的發展有極其重要的作用與意義。

一、幾何直觀的含義與概念

義務教學數學課程標準對幾何直觀及其含義做出明確界定，在實際對圖形進行描述與分析的過程中對圖形進行利用就是指幾何直觀，在實際對幾何直觀利用的同時可促使復雜的數學問題實現向簡明形象的轉化。這對解決問題思路的探索有極大的促進作用，在整個數學學習過程中發揮著不可替代的重要作用。

1.幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”

幾何直觀可以說是新課程標準的核心概念，針對某一課程來說是一種核心價值。幾何內容具有較高的教育價值，不僅可對學生的邏輯推理能力進行培養，同時也可促使學生的直觀思考能力得到大幅度提升。

在實際對圖形與幾何進行學學時需要在對實物或者圖形觀察的基礎上促使思考以及想象表象的形成，幾何的直觀因素都是在上述過程中被涵蓋。數與形是多數數學概念的方面特征，只有從上述兩個方面對其進行掌握才能在真正意義上實現對數學知識本質的了解。利用圖形思考以及想象問題可以說是數學學習的基本能力。因此在實際對數學進行學習時需要對學生的幾何直觀能力進行重點培養。

2.更加寬泛的對圖形進行理解

利用圖形對數學進行思考可以說是幾何直觀的實質，因此在實際對圖形進行理解時可從更加寬泛的范圍進行。在利于思考和理解的基礎上可不受幾何圖形的限制。在實際對問題進行解決時可利用倒推策略，在表達時需要將數量變化的過程作為主要依據，在此基礎上對其進行倒推。

在教學達到一定基礎與階段的同時，學生可通過想象對圖形進行思考，學生在對圖形進行比劃也是一種輔助手段。因此不能為了直觀而進行直觀，這對幾何直觀來說有一種反作用。只要學生可對順暢思考這一要求進行滿足，就可不必強制性的要求學生對圖形進行刻畫。

二、對幾何直觀的應用

1.在主動嘗試中對幾何直觀價值進行感受

超越知識的技能層面可對核心概念進行直觀體現，數學的意識、感受以及能力也是在這一過程中得到培養。所以說幾何顯性與知識點之間存在一定的聯系，但呈現出一定的不顯性。幾何直觀在義務教育范圍內時間較短，這也是導致義務教育階段幾何直觀設置呈現出層次不豐富現象的主要原因。

教師在實際開展教育教學的過程中應該鼓勵學生在解決與分析問題時應該對圖形進行利用，并且利用圖示對數學經驗進行積累與學習。在對幾何直觀進行積極嘗試的基礎上對幾何的直觀價值進行主動感受。在經歷幾何直觀的過程中學生主要作為參與者存在，幾何直觀的價值與意義可在這一過程中得到最大限度的發揮。

2.顯性學習和氛圍感受相結合

要達成“感受幾何直觀價值”的教學目標，總得依托一定的內容載體。這樣的載體，可以有兩條途徑，一是有計劃有目的的顯性學習，二是讓學生在良好的課程氛圍中感受。幾何直觀包含畫圖策略與技能的一面，所以，幾何直觀的課程實施應該可以設立一個明線脈絡。其一，在低年級可以實施“實物圖―示意圖（直條圖）―線段圖”的過渡遞進，不少教師已經具有很好的經驗。實物圖的圖示過程就是描繪的過程，包含了太多的直觀成分，孩子還沒有學會只保留思考對象的量方面的屬性。這個過程雖然不是我們教學要追求的，但確實是小學生真實的幾何直觀的起點階段。

3.處理好幾何直觀過程與幾何直觀結果間的關系

幾何直觀，既是個體具有的相關技能與能力，表現出結果屬性，也是利用圖形描述問題、思考問題的過程，表現出過程屬性。比起幾何直觀的結果來，我們更要重視幾何直觀的過程。其緣故在于其一，對于學習目標來說，“感受”本身就是描述過程目標的行為動詞；其二，對于學習者來說，幾何圖形并不必然具有直觀意義。如果學生不把握幾何圖形本身的特征，不領悟圖形本身具有的數學模型意義的話，圖形就不具有讓數學思考變得有形可視的直觀作用。

隨著學習的推進，學生對圖形性質的認識層次提高了，對其他知識理性認識的層次提高了，都應該在相應的層次上接觸和體會更為簡練與精準的幾何直觀方式。比如從示意圖到線段圖（一個單位的線段可以表示任意數量），從線段圖表示數量關系到用面積圖表示數量關系，從線段圖到韋恩圖，等等。

幾何的方式方法滲透在數學的各個方面，因此，教師要具有較好的幾何直觀課程意識，在其他知識的學習過程中，在各種教學細節的處理中，善于挖掘和捕捉幾何直觀的資源。可以這樣說，幾何直觀的有效培養，離不開長期一以貫之自然貼切的滲透。

第四篇：關于幾何直觀的思考

關于幾何直觀的思考

作者：秦德生，? 文章來源：《中學數學教學參考》2005年第10期 [摘要] 隨著數學課程標準提出培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀已經成為數學教育中的一個關注問題。本文從幾何課程基本要求的演變出發，探討幾何直觀的概念以及與相關概念的辨析，追溯幾何直觀的哲學基礎，提倡“直觀型”的課程設計，挖掘幾何直觀能力培養的教育價值。

[關鍵詞] 幾何直觀；課程標準；哲學基礎；教育價值

當前，數學教育界都在關注數學課程標準[1][2]的制訂與實施，關注數學課程改革，而幾何直觀是數學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”這也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。隨著《普通高中數學課程標準》[2]提出培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀成為數學教育中的一個關注問題；經過適當的發展，相信對幾何直觀的研究能夠成為數學教育的核心問題。

在此，筆者試圖從幾何課程基本要求的演變出發，探討幾何直觀的概念以及與相關概念辨析，追溯幾何直觀的哲學基礎，挖掘幾何直觀能力培養的教育價值。現將自己的一些想法就正于各位同行專家．

1．我國對幾何課程基本要求的演變

我國解放后首次制定(1952年)的中小學數學教學大綱中提出，小學“算術教學應該培養和發展兒童的邏輯思維”，中學數學應“發展學生生動的空間想像力,發展學生邏輯的思維力和判斷力”[3]。以后的中小學數學教學在能力培養方面的要求一直是“通過數學教學，發展學生的邏輯思維和空間想像力”。1963年根據華羅庚、關肇直等專家的意見，中小學數學教學的能力培養任務修改為“計算能力、邏輯推理能力和空間想像力”(傳統的三大能力)。1978年的中小學數學教學大綱中，又增加了“培養學生分析問題和解決問題的能力”。1988年的九年義務教育數學教學大綱中，能力培養任務改為“培養運算能力，發展邏輯思維能力和空間觀念”,這種要求一直持續至今。《義務教育階段國家數學課程標準》

(征求意見稿，2000年)在發展性領域中，明確提出能力培養任務是思維能力的培養，“應使學生在定量思維、空間觀念、合情推理的演繹論證等方面獲得發展”。2000年3月頒布的《九年義務教育全日制小學數學教學大綱(試用修訂版)》中指出，要“培養初步的思維能力和空間觀念”。

2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》[1]提出“豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維”[1]．2003年頒布的《普通高中數學課程標準》[2]指出：“幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數學課程的基本要求。”[2] 從我國幾何課程基本要求的演變來看，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，對幾何教學的要求不盡相同，那么，什么是幾何直觀，它與直覺、空間觀念、空間想像能力等名詞之間有聯系或者區別么？我們來進一步探討。

2．幾何直觀概念的內涵及典型觀點辨析 2.1 什么是直觀

數學家克萊因認為，“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”[4]；而西方哲學家通常認為“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”；心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”。

蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態[5]。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[6]。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。

他們從數學、哲學、心理學等角度給直觀包括幾何直觀下了定義，但我們認為直觀一般有兩種：一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯，2

可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。

2.2 直觀與直覺

直觀與知覺在英文中都是單詞Intuition，但二者并不是完全相同，直覺不等于直觀。

從研究對象來看直覺的對象不一定是可視的對象，直觀的對象一定是可視的。從過程來看，直觀與個人的經驗、經歷有關，直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質；在同一個層次不是直觀而是直覺，直覺是有原因與結果的關聯，是一個平面上的，屬于同一個層次。從功能來看，直觀是用來發現定理的，而直覺用來證明定理的。

2.3 直觀與想象

傳統的數學教學中,空間想像力“指的是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力。麥吉(Megee,1979)認為，空間想像力包括“在心理上操作、旋轉、翻轉或逆轉形象刺激物的能力”，朱文芳認為“空間想像能力是完成空間認知任務的橋梁,空間思維能力起著決定性的核心作用”[7]。心理學家通常認為,想像(imagination)以表象為基本材料,但不是表象的簡單再現，是指“在頭腦中對已有表象進行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。

我們認為，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關系的能力。直觀是在有背景的條件下進行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，在想象圖形。

所以，我們建議：普通高中數學課程標準中對幾何目標的敘述修改為“培養和發展學生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進行推理論證的能力，從而培養運用圖形語言進行交流的能力以及空間想象能力，是高中階段數學課程的基本要求。”這樣敘述應該更恰當和準確。

3．幾何直觀的哲學分析 3.1 直觀主義

直觀化，本來是數學基礎中的直觀主義流派，出于數學概念和方法的“可信性”考慮而提出的基本主張，其中心內容是“存在必須是被構造”。可見數學中的直觀主義就是哲學中的康德主義，主張數學的概念由人類理性構造而成。數學對象的構造就是人們先驗地在直觀中畫出與概念相應的圖形，所以構造數學對象 3

需要非經驗的直觀。人們在這種純粹直觀中構造出一個具體的圖形，這一圖形能夠代表所有與某概念相應的圖形，這說明人們在純直觀中構造的圖形具有與概念相同的普遍意義，因此在幾何直觀中構造出了具體的圖形就是構造出了相應的概念與數學實體。

笛卡兒認為，直觀是純粹理性的，但作為理性的東西并不能完全擺脫或無視某些經驗，可見這二者是矛盾的，直觀的確定性與與非邏輯性相矛盾，直觀不能保證普遍原理的確定性，直觀具有發現真理功能，但不能兼備證明真理、確保真理可靠性的功能。

3.2 幾何直觀的歷史性

畢達哥拉斯時代,人們的數學直觀里浸透了整數是萬物本質的哲理；非歐幾何產生以前,人類的數學直觀里有著歐氏公理是先驗不變的真理的觀念；非標準分析又使一度失去了對無窮小的直觀在更抽象的層次上恢復；而今計算機造成的外移動的超立體的圖象,又對我們關于高維空間的抽象直觀充實了具體感性。所以數學直觀是歷史概念，數學直觀在每個歷史時期,其抽象性和直觀性都具有不同的內涵。

數學中的抽象性帶有理論和哲學色彩，幾何直觀帶有經驗、思想和感情因素。復數的引入，是因邏輯上的需要而直接引進的“理想元素”，被賦予某種實際意義后，以幾何直觀解釋為中介，同現實世界建立了間接聯系，從而提高了它的可信性。復數，在它被引入后的最初兩個半世紀中一直“給人虛無縹緲的感覺”，直至維塞爾、高斯等人相繼對它作出了幾何解釋與代數解釋，把它與平面向量a+bi或數偶 對應，才“幫助人們直觀地理解它的真實意義”，并取得了實際應用．所以，它不僅被數學理論所決定，并隨著數學理論的發展而發展，而且它也避免不了當時人類整個文化情境對個人心理上的影響。直觀是隨著人類理性的進步而進步的。換言之,幾何直觀的建立和發展是一個歷史過程。它并不是一個從古到今就一直存在著的永恒的人類用來認識數學現象的中性框架，幾何直觀是一種進化的產物，可以進行更高層次的創造性活動。因此一個人在不同年齡階段所表現出的數學直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發展過程的縮影。

3.3 直觀與形式的統一

數學作為一門精確科學，其研究活動必須以量和質、形式和內容的分離為前 4

提，把前者從自然界的普遍聯系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實現它的精確性，這個過程就是數學化，換言之，就是數學抽象發展與現實世界的緊密結合，它既可以描述具體問題的數學模型，也可以反映各種層次的數學概念或規律的更高層次抽象．數學抽象概念發展的“直觀——形式——直觀”模式，是一般科學概念發展的“具體——抽象——具體”模式的特殊表現形式，它深刻地反映了數學活動的基本矛盾，數學通過形式化而實現精確性，又因為形式化而減弱客觀性，直觀化具有原始的創造性，它的歷史性決定不允許完全客觀的有理化．

直觀與形式之間矛盾的解決，只有在形式化和直觀化的矛盾運動中才可能實現，正是二者之間的矛盾推動了數學的發展以及科學的發展。從創造力來看，直觀能引出數學的發明,直觀能決定理論的形式和研究方向；從在數學證明上看,直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數學加工。數學直觀的世界與因果感覺的世界是對立的，數學思維不能完全形式化，數學思想是獨立于語言的形式之外，但數學又必須通過形式來表達，使其嚴格化。因此，數學經過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返樸歸真，這正是數學發展的辯證過程。

4．幾何直觀的課程設計

課程設計已經走向多流派、多元化。而強調知識之間有機地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數學課程設計的主流之一。我國新課程已經把幾何直觀看作是貫穿高中數學課程的線索之一。從函數的圖象教學、三角函數的單位圓、到導數的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規劃的區域刻畫，此外，還有數系擴充中復數、概率統計中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設計更離不開幾何直觀。可見，幾何直觀是高中數學教學中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質和關系，使學生認識幾何直觀在數學學習中的意義和作用，同時也學會數學的一種思考方式和學習方式。

當然，我們也要注意不能用幾何直觀來代替證明、注意幾何直觀帶來的認識上的片面性。例如，對指數函數 與直線 的關系的認識，因為教材中通常都是以2或10為底來給出指數函數的圖形，在這兩種情況下，指數函數 的圖形都在直線 的上方，于是，便認為指數函數 的圖形都在直線 的上方。教學中應避免這 5

種因特殊賦值和特殊位置的幾何直觀得到的結果所帶來的對有關概念和結論本質認識的片面性和錯誤判斷。[2] 5．幾何直觀能力培養的教育價值

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數學研究中起著其實、聯絡、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學家依賴直觀來推動對數學的思考，數學教育家們依賴直觀來加強對數學的理解。直觀推動了數學和科學的發展。而數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。

首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎, 有助于學生對數學的理解。借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。

最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。

幾何直觀已經成為數學界和數學教育界關注的問題，那么如何培養學生的幾何直觀能力、如何更好地發揮幾何直觀性的教學價值，是每個數學教育工作者都應該深思的問題。

[參考文獻] [1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]，北京師范大學出版社，2001.[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建國以來中小學《數學教學大綱匯編(1949—1985)》[M],國家教委編印,1986.[4]M.克萊因.古今數學思想[M]，第四冊.上海：上海科技出版社，1979.[5]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數學教學研究中的作用[J]，數學教育學報.1997(4)[6]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J],數學通報，2000(5)[7]朱文芳.關于義務教育階段對空間能力培養的思考[J],課程·教材·教法.2001(3)[8]數學課程標準研制組，普通高中數學課程標準（實驗稿）解讀[M].江蘇教育出版社，2004.[9]史寧中.關于數學的反思[J],東北師大學報(哲學社會科學版), 1997(2)[10]M.阿蒂亞.數學的統一性[M].南京：江蘇教育出版社，1995.

第五篇：淺議小學數學低年級直觀幾何教學的若干策略

淺議小學數學低年級直觀幾何教學的若干策略

上海市三新學校 侯琦

【摘要】

“圖形與幾何”學習領域是小學數學基本教學內容的重要組成部分。培養學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力是該領域的重要目標。《國家中小學數學課程標準（2011年版）》首次提出在義務教育階段應當注重培養學生的幾何直觀，凸顯了幾何直觀在學生數學學習過程中的地位和作用，彰顯了幾何直觀的教學價值。對于剛接觸圖形與幾何的低年級學生來說，直觀幾何的教學對其空間觀念的發展和幾何直觀能力的培養起著重要作用。在課堂教學中，教師應通過有效的教學手段和活動來實現低年級直觀幾何教學的目標，為后續的學習奠定基礎。

【關鍵詞】低年級 直觀幾何 空間觀念 策略。

《國家中小學數學課程標準（2011年版》提出：“幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習中都發揮著重要作用。”課程標準首次提出在義務教育階段應當注重培養學生的幾何直觀，凸顯了幾何直觀在學生數學學習過程中的地位和作用，彰顯了幾何直觀的教學價值。既然幾何直觀作用如此之大，那么對于剛接觸幾何的孩子來說，怎樣才能培養和發展幾何直觀呢？

新課標中對于第一學段“數學思考”的目標要求是：發展空間觀念。空間觀念是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；能夠想象出空間物體的方位和相互之間的位置關系；依據語言描述畫出圖形。

幾何直觀能力的形成和空間觀念的發展有密切的關系，空間觀念的發展也是低年級幾何直觀的重要教學價值之一。那么如何通過有效的教學手段和學生的活動來實現這些目標呢？基于新課程標準，結合自身的教學實踐，我從以下幾個方面來談談自己的做法：

一、利用感性經驗，豐富學生對空間觀念的認識。

《國家中小學數學課程標準（2011年版）》對第一學段要求“能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體“。我們的學生在小時候就開始接觸各種形狀的物體，他們具有較多的關于形狀感知方面的早期經驗，這些現實生活中豐富的原型是發 展學生空間觀念的寶貴資源。作為教師，應該看到這一資源，并在教學中合理地使用，重視挖掘利于教學實施的潛在經驗基礎。

例如在學習《物體的形狀》和《物體的表面》這兩個內容時，就可以利用學生的已有生活經驗。日常生活中孩子們玩的積木中有許多正方體、長方體和圓柱體；他們見到的樓房、磚頭、紙盒、書等更是給了他們長方體、正方體的形象；他們從小玩的皮球給了他們球的直觀形象。通過觀察這些實物，學生對物體的形狀有了直觀的認識，使學生能夠在抽象的物體形狀概念與具體的物質實體之間建立有意義的聯系。又如，在學習周長這個內容時，教師安排了一項課前活動：繞著操場跑一圈，使學生在感性認識和體驗后引出“周長”的概念。這是一個使學生的思維經歷從具象到抽象的提升過程，也是低年級學生認識物體形狀的最重要的價值所在。

方向的認識既是人們日常生活的重要經驗和常識，也是今后進一步學習圖形與位置的基礎，對發展空間觀念起著重要作用。在教學《東南西北》一課時，學生在日常生活中雖然積累了一些辨別方向的經驗和策略，但這些經驗和策略往往是零散模糊的，于是在上課前我就布置學生觀察早上的太陽在學校的哪個方位升起？在上課時首先提問學生觀察的結果，然后讓學生用小手指一指，并且讓學生說出太陽升起的方向有什么物體，以此來確定東方在教室的哪一邊，之后學生閉上眼睛想一想前邊與后邊分別是什么方向，左邊與右邊又是什么方向？學生結合生活經驗，經過獨立思考，多數學生辨認出了四個方向，這時我又讓四個同學進行演示，四位同學站成十字形，向東的同學身上帶“東”字，其他同學觀察，得到“東與西相對，南與北相對”。通過這些活動，學生獲得了一定的感性認識，培養了他們位置、方向的空間觀念。

低年級學生的思維以直觀形象為主，他們對圖形的認識在很大程度上依賴于對豐富的實物原型的直覺觀察。因此在直觀幾何的教學中，教師應遵循兒童認識事物的規律，結合學生的生活實際，組織學生通過對現實空間中實物的形狀、大小及其所處方位的感知，積累豐富的幾何事實，以幫助學生理解現實的三維世界，形成初步的空間觀念，激發學生學習幾何知識的興趣。

二、引導自主探索，加深學生對空間觀念的體驗。

直觀幾何是一種經驗幾何或實驗幾何，是可看、可感、可操作的。因此，學生獲得幾何知識并形成空間觀念，更多的是借助他們的自主探索。特別是對于低年級學生的實際思維水平及認知能力，觀察比較、動手操作、實踐探索更能適應學生“圖形與幾何”領域的學習。正如《國家中小學數學課程標準（2011年版）》也較多地使用“通過觀察、操作，認識??”等表述，現行教材根據課程標準精神和學生的認知特點，設計了大量的觀察、操作、思考等數學活動材料，為學生提供充分動手操作的課程資源，讓學生通過觀察、實踐加深對幾何形體特征的認識和理解，積累數學活動經驗，發展空間觀念。

第一，通過觀察比較，發現幾何特征。

觀察是學生獲得空間和圖形知識的主要途徑之一，全方位、多角度的觀察是促使學生建立和發展“空間觀念”的主要途徑之一。例如，在《從不同方向觀察物體》這一課上教師設計了兩個探究活動：各人眼中的杯子和各人眼中的積木圖。通過探究一中的看一看、畫一畫、想一想和探究二中的猜一猜、連一連、闖一闖，讓學生充分體驗觀察物體的過程。而在具體的觀察過程中，通過本位觀察、換位觀察與全面觀察三個活動環節，體現了一個從靜態到動態、從片面到全面的觀察方法，培養了學生初步的空間觀念，并發展他們的空間想象能力和觀察能力。又如：在《銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形》這一課的教學中，教師準備了6個三角形，讓學生先觀察每個三角形各個角的特點，分別有幾個銳角、幾個直角以及幾個鈍角填入表格中，再進行對比，從而歸納出三類三角形。通過這種不完全歸納法，學生能抓住三類三角形的本質區別，在頭腦中有了比較清晰的輪廓，在比較中有助于發現各幾何圖形的特征。

在幾何教學的課堂上，學生獲取知識的重要手段就是觀察，而觀察中的交流則是幫助學生從感性的直觀認識發展到初步的理性認識的重要途徑。這里的交流方式有很多種，包括師生交流、生生交流、還有師班交流等多種方式，每種方式都有其適合使用的時候。我在教學“物體的形狀”中認識長方體時，先讓學生拿出準備好的長方體實物，小組合作，摸一摸，看一看，比一比，小組交流說說這些物體的相同之處。這一步的小組交流是讓孩子們將圖形基本特征的模糊認識口頭與同伴敘述，并在敘述交流的過程中，碰撞出思維的火花，開始形成對圖形基本特征的一些理性認識。學生小組討論結束后，我采用了師生交流的方式，即老師與若干學生一對一的交流，其他學生則在一旁聆聽，在這次交流活動中，我開始引導學生初步建立圖形的基本特征。在得出圖形的所有特征后，我采用了師班交流的方式，引導學生集體說出圖形的基本特征，并且逐個板書，既對圖形的特征進行了總結，又進一步加深了學生對于長方體的認識。

第二，通過動手操作，提升學生對空間觀念的理解。

空間觀念的形成，光靠觀察其實還是不夠的，老師還必須引導學生進行動手操作，讓他們在體驗中感受、理解。例如：在《物體的形狀》中，借助學生已有的生活經驗，動口、動眼、動手，初步感知和體會長方形、正方形、三角形、圓，形成一定的表象。通過各種方法，讓學生在課堂上活躍起來。如：讓學生從“體”上找“面”，并把畫下來，剪下來，讓他們在這一活動中，充分感知到“長方形、正方形、圓、三角形”的特征。學生始終處于高度興奮狀態，爭著回答這些圖形的特征。又如：《長方體與正方體的初步認識》這一課中，組織學生摸一摸物體有多少個面，多少條棱，多少個頂點，每個面都是什么形狀，折一折，看一看長方體和正方體的表面是什么樣的，量一量每條邊有多長等，通過多種活動充分調動學生的視覺、觸覺、聽覺等多種感官，形成了一個清晰的感知，提升學生對空間觀念的理解。

第三，通過問題解決，實現學生對空間觀念的應用。

發展空間觀念不能靠紙上談兵，必須以學生自己的空間感覺和體驗為基礎。此外，通過解決實際問題可以加深學生對幾何體的感知，發展空間觀念。如待學生學習了面積和面積單位這部分內容后，針對學生對面積單位認識不夠的情況，我設置了一節練習課，設計了“想一想、填一填”“剪一剪、算一算”、“動手圍一圍”的活動，使學生進一步理解面積單位的意義。

學生的空間觀念具有較強的抽象性。由于低年級的學生年齡小，抽象思維能力很差，且空間觀念并不是一朝一夕就可以形成的，這就要求我們教師在實際教學中充分調動學生的各種感官，根據具體的教學目標，營造輕松的學習氛圍，給予充分的時空，采用更有效的措施，引導學生觀察、操作，通過自主探索，空間觀念在頭腦中的形成才是豐滿的，也只有經歷這樣一個過程，學生的知識建構才能從“經歷”走向“經驗”，由感性的理解上升到理性的高度，最終發展學生的空間觀念。

三、嘗試幾何推理，實現學生對空間觀念的發展。

直觀與推理是“圖形與幾何”學習中的兩個重要方面。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，對于空間觀念的發展也有一定的促進作用。低年級圖形與幾何部分，幾何推理在教學中主要體現在以下幾個活動中：

第一，在觀察中思考。例如：認識三角形，可以出示形狀不同的（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）大小不同的、方位不同的甚至顏色和用料不同的各種三角形，然后學生在觀察中悟出：像這樣的三條邊圍成的封閉圖形叫三角形，與其他的因素都沒有關系。在促使學生“空間觀念”形成的過程中，要注意給學生思考的空間。如在觀察茶壺的活動中，引導學生進行比較深入的思考，例如:為什么同組同學觀察同一物體，會看到不一樣的結果？為什么改變位置后，物體的形狀不一樣了？通過這些問題，讓孩 子進行比較本質的探討，總結出較為科學的結論。

第二，在對比中判斷。這種方式可以幫助學生從相似的圖形中精確的辨別出圖形的本質，印象更加清晰。例如：在教學三角形和四邊形時就可以出示這樣的圖形來對比判斷，最后總結出三角形和四邊形的概念和特征。

第三，在想象中推理。有時多為學生創造想象的時間和空間，可能會有意想不到的效果。例如在教學《觀察物體》時，讓學生在小組內觀察茶壺，又讓學生猜一猜小組內其他同學看到的茶壺是什么樣的。并且在想象完后，走到該同學的位置觀察一下，在這個活動學生的想象能力得到了培養。再如學習“面積單位”，在認識1平方分米時，可以引導學生通過“看書自學---觀察教具---動手裁剪---閉眼想象”來建立1平方分米的表象。在這樣設置的情境中，學生利用空間想象進行幾何推理，發展空間觀念。

第四，在活動中思考。在教授《左與右》這堂課時，老師很好地組織學生進行模擬活動，如：照鏡子、握握手等，真正體會左右的相對性。又如，教學《七巧板》活動課時，老師先請學生選擇七巧板中的兩塊，拼成一個正方形，引導學生觀察、發現：用兩塊完全一樣的三角形能拼成一個正方形，而且要把三角形中同樣長的兩條邊（最長邊）拼在一起。再讓學生思考：用兩塊完全一樣的三角形，還能拼成什么圖形？學生通過自主操作，找到了一種或幾種答案，再組織學生進行合作交流，分享同伴的想法，互相學習、啟發。最后老師趁熱打鐵地追問：“你能有次序地一下子拼出正方形、三角形和平行四邊形嗎？與你的小伙伴一起，想想有什么好辦法？”學生們立刻行動起來，在嘗試操作、小組討論中，他們發現，只要按住1個三角形，讓另一個三角形移動（平移或旋轉）就行了。在合作交流中，學生真正加深了對圖形變換的理解，學會了有序思考的方法，學生的空間觀念也自然得到了進一步發展。

綜上所述，空間觀念的發展對于幾何直觀的發展具有重要的促進作用，并構成幾何直觀形成的重要基礎，而幾何直觀的發展對于空間觀念具有重要的強化作用。作為幾何學習的重要目的，無論是幾何直觀，還是空間觀念，都應深深融入幾何學習的活動中，而這些學習與學生親身參與的幾何活動交織在一起。將觀察、操作、想象、推理、表達進行有機的結合，有助于發展學生的空間觀念，進而培養幾何直觀能力。這樣的過程對低年級圖形與幾何的教學有重要作用，也為后續的學習奠定了基礎。參考文獻：

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