第一篇：一道幾何證明題的探究
一道幾何證明題的探究
在很多人眼里，數學的學習首先是識記一些知識點，其次更重要的是要做大量的題，見很多不同的題，這樣才能真正把數學學好。但是在茫茫題海中很多學生卻找不到了方向，這又是為什么呢？其實上面這種題海的學習方法并不完全正確，做題固然重要，但是知識點也同等重要，做題只是一個手段，是為了更好的掌握所學的知識點，更重要的是通過一道題你真正從當中學會什么知識，學會什么解題方法等等，換句話說題不一定要做多，關鍵是要做得“精”，每做一道題就要從當中去“挖”你所需要的東西，之后再和你所學的知識點進行聯系對比學習，這樣兩者結合才是學好數學的最佳辦法，比如我們從下面一道題來講解。
例.如圖：在?ABC中，?B?2?C.A
求證：AC?2AB
分析：這道題的已知條件是給出一個三角
形和一個等式，要證明的卻是一個不等
C式，從所學過的三角形知識入手，聯系已B
知條件和結果的重要定理為：三角形兩邊
之和大于第三邊，故應該把AC（或者是和AC相等的線段）和AB（或者是和AB相等的線段）放在同一個三角形里邊，這道題的關鍵就是如何構造含AC和AB的三角形。
證法一：（割補法中“補邊”的思想）
延長線段CB到點D，使得BD?AB
?BD?BA
A??D??BAD
又??ABC??D??BAD
??ABC?2?D
又??ABC?2?C
DB??C??D
?AC?AD
在?ABD中，AD?AB?DB?2AB
?AC?2AB
這種證法是把AB和與AC相等的線段AD放在同一個三角形里，欲證明結論只需要證明BD?BA，通過唯一的一個條件?B?2?C可以證明到?ABD為等腰三角形，再利用三角形的不等式性質可以輕松進行證明。
證法二：（割補法中“割邊”的思想）A
作AD交BC于點D，使AB?AD
??B??ADB
??ADB??C??DAC,??B??C??DAC
B又 ??B?2?C DCC
??C??DAC?AD?DC又?AB?AD
?AB?AD?DC在?ADC中，AC?AD?DC
?AC?2AB
這種證明方法是通過把AC?2AB中的2AB化為AD?DC，與證法一類似還是通過構造等腰三角形和三角形的兩邊之和大于第三邊來證明結論。
證法三：（割補法中“補角”的思想）
以C為頂點作?BCD??ACB其中CD與AB的延長線角于點D??ABC?2?ACB,?ACB??BCD??BCD為等腰三角形；故BD?BC,2BC?CD??A??A;?ABC??ACD??ABC∽?ACD?
AB
ACCD2
?AC?2AB
?BC
?1
B
C
A
D
這種證法與證法一相對應，證法一是通過補邊得到等腰三角形，這里是 通過補角構造等腰三角形來進行證明。證法四：（割補法中“割角”的思想）
A作?ABC的角平分線BD交AC于點D
易證：?ABD∽?ACB?
ABAC
?BDCB
?AB?
AC?BDBC
C
又??ABC?2?C
B
??BCD為等腰三角形?BD?DC
又?BC?2BD(三角形兩邊之和大于第三邊）?AB?
AC?BDBC
?
AC?BD2BD
?AC2
?AC?2AB
這種證明方法與證法二相對應，證法二是通過割邊，這里是通過割角來構造等腰三角形，利用三角形相似來得到AC和2AB的大小關系。
證法五：作?ABC的外接圓⊙o
作AC的中垂線OD交⊙o于點D則AD=DC
又 ??B?2?C??
ADC=2AB
B
?AB?AD?DC
在?ADC中，AD?DC?AC?AC?2AB
這種證明方法是通過三角形外接圓的性質構造等腰三角形來進行證明。
證法六：由正弦定理得：則
ABsinC
?
ACsin2C
?
AC2sinCcosC
A
AB
AC2cosC
又 ?0?cosC?1
?
?
ABAC
?
12cosC
?
B
C
即AC?2AB
（附：正弦定理：
ABsinC
?ACsinB
?BCsinA
?2R，R為?ABC外接圓半徑）
很多人一看這道題還以為只是在講一題多解的問題，其實并不是這樣，因為當中蘊含著很多的東西。通過這道題我們可以想到一些問題：（1）一道幾何題，甚至可以說是一道數學題，往往都可以一題多解。（2）通過一題多解可以培養學生不斷思考的能力，有利于學生思維的培養。（3）正是由于一題多解就導致其中會涉及到很多內容，很多知識點，很多學生在做了題過后根本就不知道做題是為了什么？他有沒有學到東西？其實做題只是一個手段，是為了通過題來更好地掌握知識，把所學的知識點，方法學會。這道題看似很簡單，其實把每種解法看了過后，你就會發現里面幾乎涉及了所有初中幾何方面的知識，比如：輔助線的作法，角平分線定理，正弦定理，圓的知識等等。也就是說每做一道題我們都應該教學生如何去思考，往深處想，往廣處想，看似越簡單的題里面蘊含的知識，方法就越多，不要做完題就“走人”，這樣是達不到學習效果的，如果長期以這種態度做題，即使你做再多的題也是沒有效果的。
第二篇：從一道幾何證明題談面積法
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從一道幾何證明題談面積法
作者：李小龍
來源：《理科考試研究·初中》2014年第01期
如圖，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求證：CF=PD+PE
對于該題，一般同學會想到截長法與補短法
如圖2，過點P作P⊥CF于，則四邊形PFD是矩形，則PD=F易證△PC≌△CPE，則C=PE于是CF=F+C=PD+PE這種方法叫做截長法
如圖3，過點C作CN⊥DP交DP的延長線于點N，則四邊形NCFD是矩形，則CF=DN易證△CPN≌△CPE，則PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE這種方法叫做補短法
無論是截長法還是補短法，都需要證明三角形全等，比較麻煩如果能夠注意到已知條件中的垂直條件，聯想到三角形的面積公式，于是便有如下簡捷證法：
如圖4，連結AP，則S△ABC=S△ABP+S△ACP
由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得
這樣我們僅根據圖形面積間的關系，利用三角形的面積公式便輕而易舉地完成證明這種證明幾何命題的方法叫做“面積法”巧用“面積法”證明幾何命題，往往能收到出奇制勝、簡捷明快之效
說明平行線具有“傳遞面積”的功能也就是說，如果兩條直線互相平行，那么在其中一條直線上取兩定點，以這兩個定點和另一條直線上的任意一點構成的三角形的面積都相等
第三篇：幾何證明題
幾何證明題集（七年級下冊）
姓名：_________班級：_______
一、互補”。
E
D
二、證明下列各題：
1、如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求證：DB//EC.E D
3ACB2、如圖，已知AD//BC，∠1=∠B，求證：AB//DE.AD BCE3、如圖，已知∠1+∠2=1800，求證：∠3=∠4.EC
A1 O
4B
D F4、如圖，已知DF//AC，∠C=∠D,求證：∠AMB=∠ENF.E DF
N
M
AC B5、如圖，在三角形ABC中，D、E、F分別為AB、AC、BC上的點且DE//BC、EF//AB，求證：∠ADE=∠EFC.C
EF
AB D6、如圖，已知EC、FD與直A線AB交于C、D兩點且∠1=∠2，1求證：CE//DF.CE
FD
2B7、如圖，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分別是∠ABC和∠ADC的平分線，AB//CD，求證：DE//BF.FDC
A E8、如圖，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED.B
F
ED
AC9、如圖,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求證: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：DG//AB.A
EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一點，GE⊥BC于E，GE的延長線與BA的延長線交于F，∠BAD=∠CAD，求證：∠AGF=∠F.F
A
G
BCDE12、如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求證：CE//DF.F
E 4G1AD 5 2B13、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B+∠D.A
CBED14、如上圖，已知∠BCD=∠B+∠D，求證：AB//CD.15、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B-∠D.BA
ED
C16、如上圖，已知∠BCD=∠B-∠D，求證：AB//CD.17、如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D+∠BED=3600.BA
E
DC18、如上圖，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求證：AB//CD.
第四篇：一道初中幾何證明題的三種解法
證明題：
證明：AB+AC>BD+DE+EC
解法1：
解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC先證2.AB+AC>GB+GC再證3.GB+GC>BD+DE+EC由2.和3.證得1.證明：
延長BD交AC于點F，延長CE交DF于點G。∵AB+AF>BF,FC+FG>GC;……….兩邊之和大于第三邊
C
C
∴AB+AF+FC+FG>BF+GC;……..不等式性質（如果A>B,C>D，那么A+C>B+D）∵AF+FC=AC;
∴AB+AC+FG>BF+GC;∵BF=BG+FG;
∴AB+AC+FG> BG+FG+GC;
∴AB+AC> BG+ GC;………不等式性質:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).此處為同加-FG。
∵GD+GE>DE
∴GD +GE+DB +EC> DE+DB+ EC……不等式的可加性。∵GD+DB=GB,GE+EC=GC;∴GB+GC>DE+DB+EC;
∴AB+AC>DE+DB+EC……..不等式的傳遞性（AB+AC> BG+ GC>DE+DB+EC）
解法2.解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC先證2.AB+AC>BF+FC再證3.BF+FC>BD+DE+EC
由2.和3.證得1.證明：延長BD、CE,交于點F,過點F作直線交AB于點G，交AC于點H.∵AG+AH>GH,GH=GF+FH;∴AG+AH>GF+FH;
∴AG+AH+GB+HC>GF+FH+GB+HC;∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;∴AB+AC> GF+FH+GB+HC;∵GF+GB>FB,FH+HC>FC;∴GF+FH+GB+HC>FB+FC;∴AB+AC> FB+FC;
∵FD+FE>DE;
C
∴FD+FE+DB+EC>DE+BD+EC;
∵FD+DB=FB,FE+EC=FC;
∴FB+FC>DE+BD+EC;
∴AB+AC>BD+DE+EC.解法3.解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC
先證2.AB+AC>BG+GD+DE+EH+HC再證3.BG+GH+HC>BD+DE+EC由2.和3.證得1.證明：延長DE交AC于點H,延長ED交AB于點G.∵AG+AH>GH,GH=GD+DE+EH;
∴AG+AH> GD+DE+EH;
∴AG+AH+BG+HC> GD+DE+EH+BG+HC;
∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;
∴AB+AC>GD+DE+EH+BG+HC;
∵BG+GD>BD,EH+HC>EC;
∴GD+DE+EH+BG+HC>BD+DE+EC;
∴AB+AC>BD+DE+EC.C
第五篇：幾何證明題(難)
附加題：
1、已知：如圖，△ABC中,AG⊥BC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q．求證：EP=FQ
2、已知：如圖，在△ABC中，已知AB=AC，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A，EF與AC交于M點。求證：△ABE∽△ECM；
3、已知：如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點．∠B=∠AMD=∠C 求證：AM=DM
DA
BCM
4、如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，找出圖中的三對相似三角形，并給予證明。
D
C
E
FG
A BP
5、已知：如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2．
證明：把△ACF繞A點旋轉90°使AC和AB重合;設F旋轉之后的點是G
6、已知：如圖,AB∥GH∥CD,求證：
111+= ABCDGH7、已知：點F是等邊三角形ABC的邊AC上一動點，（1）、如圖，過點F的直線DE交線段AB于點D，交BC于點E，且CE=AD，求證：FD=FE A
DG F
CBE
（2）、如圖，過點F的直線DE交BA的延長線于點D，交BC于點E，且CE=AD，求證：FD=FE
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