第一篇：小學奧數之第10講 數論綜合(一)

第10講 數論綜合（一）

涉及知識點多、解題過程比較復雜的整數綜合題，以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題．

1．如果把任意n個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩種可能，那么n是多少?

【分析與解】 我們知道如果有5個連

續的自然數，因為其內必有2的倍數，也有5的倍數，則它們乘積的個位數字只能是0。

所以n小于5．

:當n為4時，如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5)，顯然其內含有2的倍數，那么它們乘積的個位數字為0；

如果不含有5的倍數，則這4個連續的個位數字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個位數字都是4；

所以，當n為4時，任意4個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩科可能．

：當n為3時，有1×2×3的個位數字為6，2×3×4的個位數字為4，3×4×5的個位數字為0，……，不滿足．

：當n為2時，有1×2，2×3，3×4，4×5的個位數字分別為2，6，4，0，顯然不滿足．

至于n取1顯然不滿足了．

所以滿足條件的n是4．

2．如果四個兩位質數a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析與解】兩位的質數有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．

所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168．

3．如果某整數同時具備如下3條性質：

①這個數與1的差是質數；

②這個數除以2所得的商也是質數；

③這個數除以9所得的余數是5．

那么我們稱這個整數為幸運數．求出所有的兩位幸運數．

【分析與解】 條件①也就是這個數與1的差是2或奇數，這個數只能是3或者偶數，再根據條件③，除以9余5，在兩位的偶數中只有14，32，50，68，86這5個數滿足條件．

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14．

所以兩位幸運數只有14．

4．在555555的約數中，最大的三位數是多少?

【分析與解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 顯然其最大的三位數約數為777．

5．從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形．按照上面的過程不斷地重復，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?

【分析與解】 從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商．而余數恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．

不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米．

6．已知存在三個小于20的自然數，它們的最大公約數是1，且兩兩均不互質．請寫出所有可能的答案．

【分析與解】 設這三個數為a、b、c，且a＜b＜c，因為兩兩不互質，所以它們均是合數．

小于20的合數有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1種因數的合數不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數，但是14=2×7，其中質因數7只有14含有，無法找到兩個不與14互質的數．

所以只剩下6，10，12，15，18這5個數存在可能的排列．

所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．

7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1．那么最少要分成多少組?

【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．

由于質因數13出現在26、91、143三個數中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：

將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組． 所以，至少要分成3組．

8．圖10-1中兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲同時從A出發，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠?

【分析與解】 圓內的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠．如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠．

小圓周長為?×30=307r，大圓周長為48?，一半便是24?，30與24的最小公倍數時120．

120÷30=4．120÷24=5．

所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個兩只甲蟲相距最遠．

1圓周長，即爬到了過A的直徑另一點B．這時2

9．設a與b是兩個不相等的非零自然數．

(1)如果它們的最小公倍數是72，那么這兩個自然數的和有多少種可能的數值?

(2)如果它們的最小公倍數是60，那么這兩個自然數的差有多少種可能的數值? 【分析與解】(1)a與b的最小公倍數72=2×2×2×3×3，有12個約數：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨設a＞b．

:當a=72時，b可取小于72的11種約數，a+b≥72+1=73；

:當a=36時，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；

：當a=24時，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值； 當a=18時，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值； ：當a=12時，b無解；

:當a=9時，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值．

總之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17種不同的值．

(2)60=2×2×3×5，有12個約數：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b為60的約數，不妨設a＞b． ：當a=60時，b可取60外的任何一個數，即可取11個值，于是a－b可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； ．當a=30時，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； ：當a=20時，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

當a=15時，b可取4，12，所以a－b可取11，3； : 當a=12時，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

總之，a－b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值．

10．狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳4次．比賽途中，從起點開始每隔12少米?

13米，黃鼠狼每次跳2米，它們每秒鐘都只跳一243米設有一個陷阱，當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多83111339÷4=，12÷2=． 82484233 所以狐貍跳4個12米的距離時將掉進陷阱，黃鼠狼跳2個12米的距離時，將掉進陷阱．

【分析與解】 由于12 又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當狐貍掉進陷阱時跳了11秒，黃鼠狼掉進陷阱時跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進陷阱，此時狐貍跳了9秒.距離為9×41=40.5(米)． 2

11.在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少個?(余數可以為0)

【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數為[18，33]=198，所以每198個數一次．

1～198之間只有1，2，3，…，17，198(余O)這18個數除以18及33所得的余數相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99個這樣的數．

12．甲、乙、丙三數分別為603，939，393．某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍，A除乙數所得余數是A除丙數所得余數的2倍．求A等于多少?

【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數，等于2倍939除以A的余數，等于甲603除以A的余數．

即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．

于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．

所以A為1275，306，969的約數，(1275，306，969)=17×3=51．

于是，A可能是51，17(不可能是3，因為不滿足余數是另一余數的4倍)．

當A為51時，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不滿足；

當A為17時，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；滿足．

所以，除數4為17．

13．證明：形如11，111，1111，11111，…的數中沒有完全平方數．

【分析與解】

我們知道奇數的完全平方數是奇數，偶數的完全平方數為偶數，而奇數的完全平方數除以4余1，偶數的完全平方數能被4整除．

現在這些數都是奇數，它們除以4的余數都是3，所以不可能為完全平方數．

評注：設奇數為2n+1，則它的平方為4n+4n+1，顯然除以4余1．

14．有8個盒子，各盒內分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的塊數相同且為丁的2倍．問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?

【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數是丁所取糖塊數的5倍．

八盒糖總塊數為9+17+24+28+30+31+33+44=216．

從216減去5的倍數，所得差的個位數字只能是1或6．

觀察各盒糖的塊數發現，沒有個位數字是6的，只有一個個位數字是1的數31．

因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖．

15．在一根長木棍上，有三種刻度線．第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份．如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?

【分析與解】 10，12，15的最小公倍數[10，12，15]=60，把這根木棍的1作為一個長度單位，這60樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等份的每等份長4單位．

不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數分別是9，11，14(相應于10，12，15等份)，共計34個．

由于5，6的最小公倍數為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1．

又由于4，5的最小公倍數為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2．

同樣，6，4的最小公倍數為12，所以15與10等份的等分點在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4．

由于這些相重點各不相同，所以從34個內分點中減去1，再減去2，再減去4，得27個刻度點．沿這些刻度點把木棍鋸成28段．

第二篇：小學奧數三年級第5講平均數

第7講

平均數

一組數的和除以這組數的個數，稱為這組數的平均數。

例1、5個連續自然數的中間一個數是45，這5個數的和是多少？

分析5個連續自然數的第3個數是45，第2個（44）與第4個（46）相加是兩個45，第1個（43）與第5個（47）相加是兩個45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習1 計算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數個連續自然數的和等于中間一項乘以項數。換句話說，奇數個連續自然數的平均數就是中間的那個數。高斯求和方法的實質就是

和=平均數×項數

偶數個連續自然數的平均數不是整數，我們現在尚未學到。所以先將第一項加最后一項，第二項加倒數第二項……直至中間兩項相加，這些和都相等。而個數是項數的一半，所以偶數個連續自然數的和等于中間兩項的和（也即首末兩項的和）乘以項數除以2.例2、8個連續自然數的和是108，寫出這8個數。

分析

因為中間兩個數相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項的和可以求出來。

解 中間兩項的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項是13、14.這8個數是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數4個數到10，由14往后數4個數到17）答：這8個連續的自然數是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習2 6個連續自然數的和是273，這6個數中的第一個數是多少？

例

3、求出以下28個數的平均數: 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個數的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數，但比較麻煩。如果注意到25個連續自然數11、12、13，……，35的平均數是23（中間一項），那么就比較容易。

因為 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個數的平均數正好是23.隨堂練習3 求28個數：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數。

例

4、求數列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規律，并求這組數的和與平均數。

分析 數列的奇數項數的項組成等差數列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數列的偶數項數的項組成等差數列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數。但更為簡單的辦法是直接運用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數是27，也就是1+53可以換成2個27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數可以分成許多小組，各小組的平均數都相等，那么這個相等的數就是這組數的平均數（例4中，每個小組2個數的和是54，每個小組的平均數是27）。

隨堂練習4 尋找數列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規律，并求這數列的和。

練習題：

（1）求1至100內能被4整除余1的所有數的和。

（2）求1至100內既是3的倍數又是5的倍數的所有數的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個盒子中至少要放一個球，能不能使每個盒中的球數都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，問：影劇院共有多少個座位？

（5）時鐘在每個整點時敲這鐘點數，每半點鐘時敲1下，問：一晝夜該時鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數的和。

（7）求1至100（包括100在內）的所有5的倍數的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個數列的第30項是哪個數？到第25項止，這些數的和是多少？

（10）24個連續自然數12―35，再添上一個35，一個13，兩個16.這28個數的平均值是多少？

第三篇：小學五年級奧數專題之排列組合題一及答案

彭老師數學工作室，電話*** 1、7個人站成一排，若小明不在中間，共有_______________種站法；若小明在兩端，共有_________________種站法。

2、4個男生2個女生共6人站成一排合影留念，有________________種不同的排法；要求2個女生緊挨著有________________種不同的排法；如果要求2個女生緊挨著排在正中間有____________________種不同的排法。

3、A、B、C、D、E、F、G七位同學在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰，請問共有________________________種不同的排法。

4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B兩人必須相鄰，一共有________________________種不同的站法；若A、B兩人不能相鄰，一共有________________________種不同的站法；若A、B、C三人不能相鄰，一共有________________________種不同的站法。

5、10個相同的球完全分給3個小朋友，若每個小朋友至少得1個，那么共有__________________種分法；若每個小朋友至少得2個，那么共有__________________種分法。

6、小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有______________________種不同的吃法。

7、5個人站成一排，小明不在兩端的排法共有__________________種。

彭老師數學工作室，電話***

8、停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，一共有________________________種不同的停車文案。

9、將3盆同樣的紅花和4盆同樣的黃花擺放在一排，要求3盆紅花互不相鄰，共有____________________種不同的放法。

10、12個蘋果分給4個人，每人至少1個，則共有____________________種分法。

11、四年級三班舉行六一兒童節聯歡活動，整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成，請問如果要求同類型的節目連續演出，那么共有____________________種不同的出場順序。

12、0，1，2，3各一次共可以組成____________________個不同的四位數。

13、6個同學排成一排，其中A、B、C三人必須排在一起，一共有____________________種排法。

14、學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生，某次比賽后他們站成一排照相，請問如果要求男生不能相鄰，一共有____________________種不同的站法。

15、15個蘋果分給4個人，每人至少2個，則共有____________________種分法。

彭老師數學工作室，電話***

第四篇：奧數之火柴棍問題(一)

奧數專題之火柴棍問題(一)

主講：殷老師 2011-2-9

火柴除了可作火種外，人們常用它來擺圖形、算式，做出許多有趣的游戲。它不受場地和時間的限制，只要有幾根火柴(或幾根長短一樣的細小木棍)就可以進行?；鸩裼螒蛟⒅R、技巧于游戲之中，啟迪你的智慧，開闊你的思路，豐富你的課余生活。

火柴問題大體分為兩種：一種是擺圖形和變換圖形；一種是變換算式。

這一講我們先介紹變換圖形的游戲。1.擺圖形游戲

游戲1用8根火柴棍可以擺成一個正方形。現添兩根，即用10根火柴能擺出與這個正方形同樣大小的圖形嗎？

分析與解：8根火柴擺一個正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個圖形都符合題意。

游戲2用8根火柴棍擺出八個大小一樣的三角形和兩個一樣大小的正方形。

分析與解：4根火柴可擺出一個正方形，另4根火柴又可擺出一個同樣大小的正方形。把這兩個正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個相同的三角形。

2.移動火柴，變換圖形游戲

游戲3右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請移動2根火柴，使房子改變方向。

解：如左下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無關，應移動虛線表示的2根火柴(見右下圖)。

游戲4在左下圖中移動4根火柴棍，使圖形成為只有三個正方形的圖形。

解：因為只能移動4根火柴，所以圖中較長的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動。把圖中最里面的4根火柴移補到右上圖的相關位置上即可。

游戲5在左下圖中移動4根火柴棍，使它變成3個三角形，并且這3個三角形的面積之和與原來的六邊形面積相同。

解：原圖中有6個三角形，變化后剩下3個三角形，這3個三角形與原來的6個三角形的面積相同，必然有一個三角形的面積要增大。如右上圖所示，移動虛線表示的4根火柴。圖中下面的大三角形面積等于小三角形面積的4倍。

3.去掉火柴，變換圖形游戲

游戲6在左下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。

解：拿掉的火柴應能盡量多的“破壞”正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。

游戲7 在左下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個完全相同的圖形組合。

分析與解：左上圖的面積等于七個邊長為1根火柴棍的小正方形的面積之和。要達到規定要求，必須去掉一個小正方形。剩下的部分劃分成兩個面積等于三個小正方形面積的圖形。去掉右上圖中虛線所示的火柴棍即可。

課后練習

1.用9根火柴棍擺出一個圖形，使它含有五個等邊三角形。

2.用9根火柴棍擺出一個圖形，使它含有三個正方形和七個長方形(不含正方形)。

3.在左下圖中移動3根火柴棍，使“井”字形變成“品”字形圖形。

4.右上圖是用24根火柴棍擺出的兩個正方形。

(1)請你移動4根，把它變成三個正方形；

(2)再移動8根，把(1)中所得圖形變成九個完全相同的正方形；

(3)在(2)中所得圖形上拿走8根火柴，使它變成五個完全相同的正方形。

5.用13根火柴棍擺成含有6個、7個和8個等邊三角形的圖形。各給出一種擺法。

6.右圖中共有13個三角形，從中拿掉盡量少的火柴棍，使得圖中沒有三角形。

第五篇：小奧 127 奧數 一年級 教案 第10講 自然數串趣題

從1開始，l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12??連起來成一串，像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串數叫作自然數串(也叫自然數列)，其中的每一個數都叫作自然數。自然數串的特點是：

①從1開始，1是頭；

②在相鄰的兩個數中，后一個數比前一個數大1；

③后面的數要多大有多大，也就是說，自然數串是有頭無尾的。

在自然數串中，如果寫到某一個數為止，就叫做有限自然數串，也簡稱自然數串。

這一講的題目，都是與(有限)自然數串有關的。

【例1】如下頁圖所示。一份學習材料放在桌上，一陣風把材料吹落了一地。小軍揀起來一看，糟糕，少了兩張。根據下面揀到的材料的頁碼，你能說出少了哪幾頁嗎?

解：一張材料的正反兩面用兩個自然數作頁碼，這兩個自然數是相鄰的。仔細觀察找到的材料的頁碼，根據自然數串的特點，可知少了的兩張紙的頁碼是（7、8)和（13、14)。

【例2】從1連續地寫到100，“0”出現了多少次? 解：“0”出現了1 1次。因為從1到100含有“0”的自然數是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。數一數，這些自然數中共有11個“0”。

【例3】把1，2，3，4，5，??28，29，30這三十個數，從左往右依次排列起來，成為一個數，你知道這個數共有多少個數字嗎？

解：把這個數寫出一部分來看看：

***131415??282930

下面，分段計算這個數共包含有多少個數字： 1至9共有9個數字；

10至19共有10個自然數，每個都由兩個數字組成，這一段共有2×10=20個數字。20至29這一段也有10個自然數，共有20個數字。30這個數由兩個數字組成。所以這個數所包含的數字總數是： 9+20+20+2=51(個)。

【例4】小青每年都和家長一起參加植樹節勞動。七歲那年，他種了第一棵樹，以后每年都比前一年多種一棵。現在他已經長到15歲了，連續地種了九年樹。請你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹? 解：先把小青每年種幾棵樹寫出來

再把每年種樹的棵樹加起來 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(棵)。

【例5】如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數有多少根嗎?

解：從上向下數，每層的火腿腸的根數組成一個自然數串，1，2，3，4，5，6，7，8，9 方法1：利用湊十法求和

方法2：用兩串數“頭尾相加”法求和

和=90÷2=45

這種自然數串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學們能學會它。

【例6】把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12、13、14、15、16填人正方形的方格中，使每一橫行、豎行、斜行的四個數相加得數都是34。

解（1)把這16個數依次排成如下四行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16(2)把帶箭頭的線的兩端的數互換

(3)互換后，把16個數填到正方形的空格里你會發現每一橫行、豎行、斜行的四個數相加的和都等于34。

如果你仔細觀察的話，還可以發現這個圖中的奇妙的性質：不但每一橫行、每一豎行和每一斜行的四個數相加之和都等于34，而且

①四個角上的四個小正方形里的四個數之和都是34；

②中間的一個小正方形里的四個數之和也是34；

③大正方形四個角上的四個數相加之和也是34。

真是不可思議!人們給它起了個有趣的名字——幻方。見右圖。

【例7】如果全體自然數如下 表排列，請問

①數20在哪個字母下面? ②數27在哪個字母下面? ③數70在哪個字母下面? ④數71在哪個字母下面? 解：仔細觀察可以發現排列的規律：開頭的七個數1，2，3，4，5，6，7分別排在A，B，c，D，E，F，G的下面以后每加七個數就又從頭排起，如1+7=8，1+7+7=15，則8和15都和1那樣，排在字母A的下面利用這個規律，就能求出哪個數在哪個字母下面。

①20=6+7+7，可見20和6排在同一個字母下，即在字母F下面；

②27=20+7=6+7+7+7。

可見27也是排在字母F的下面； ③

可見70排在字母G下面；

④71=1+70，可見71和1都排在字母A的下面。

1．小明從1寫到100，他共寫了多少個數字“9”?

2．把1到12這十二個數每兩個數分為一組，要求每組的兩個數之和都相等，怎么分?和是多少? 3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數編三個算式，一個加法、一個減法、一個乘法，每個數只許用一次。

4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字，寫成三個三位數，使它們的和等于1953。5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字，寫成三個三位數，使它們的和等于1989。6．一只老貓捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。老貓自言自語地說：“我要分三批吃它們。不過吃以前叫它們站好隊，我從頭一個開始吃，隔一個吃掉一個，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11號位置的小老鼠；剩下的叫它們不許動，第二次還是從頭一個吃起，隔一個吃一個；第三次也是照這個辦法吃。但把最后剩下的一個放了?！边@話被聰明的小白鼠聽見了，于是它站在了某個號的位置上，最后沒有被吃掉。

小朋友，你知道小白鼠站的是第幾號位置嗎? 7．所有自然數都按下表排列，問：(1)21排在第幾列的下面?(2)30排在第幾列的下面?

8．一個排版工人給一本1至50頁的書排頁碼，如果書的頁碼的每一個數字都用不同的鉛字塊，問他一共要用多少鉛字塊? 9．把1至16這十六個自然數巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。右圖是個未完成的幻方，當它被填滿時，它的每行、每列和每條對角線上四個數字的和都相等。請你繼續把這個幻方完成。

1．解：小明共寫了20個數字“9”。

因為從1到100的數中有18個數含有一個數字“9”，它們是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98。

另外自然數99含有兩個數字9。

2．解：自然數串有一個特點，相鄰的兩個數中，后一個比前一個大1，因此可以進行如下的搭配分組：

最小的數1和最大的數12成一組(1，12)；

次小的數2和次大的數11成一組(2，11)；

中間的兩個數6和7成一組(6，7)；

各組兩個數相加之和都是13。

3．解：從受限制最強的乘法算式人手，在這九個數中兩個數相乘的積等于另一個數而不發生重復數字出現的，只有2×3=6和2×4=8；經試驗，可選用2×3=6，則剩下的六個數可組成兩個等式1+7=8和4+5=9。再經過適當的變換就可以列出滿足題目要求的算式(答案不惟一)。1+7=8 9-4=5 2×3=6。

4．解：分拆1953=1800+140+13 再分拆13=9+3+1 作為三個數的個位上的數字； 14=8+4+2 作為三個數十位上的數字； 18=7+6+5 作為三個數的百位上的數字；

于是，得到的三個數是789，643，521，注意：此題答案不惟一，同學們還可以試著寫出符合題目要求的其他三個數。5．解：思路與第4題相同，分拆1989=1800+180+9 再分拆18=8+6+4 作為三個數的百位上的數字； 18=9+7+2 作為三個數的十位上的數字； 9=1+3+5 作為三個數的個位上的數字；

于是，得到的三個數是891，673，425，符合題意。

6．解：按貓吃老鼠的過程順序進行思考； 老鼠站好隊，可見聰明的小白鼠如果站在第8號位置上就可以不被吃掉。

7．解：方法1：把下圖的自然數繼續寫下去，一直寫到21為止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。

方法2：仔細觀察表中自然數的排列，可以發現每經過7個數字就又會重新從第一列開始，完全重復前面的排列情況，由此，可以找到一個通過計算找出某個自然數在第 幾列的方法： 30-7-7-7-7=2 這就是說30和2在同一列即在第三列。8．解：分段計算：

從1至9頁，共9頁，每頁用一個鉛字塊共有1×9=9(塊)；

從10至19頁，共10頁，每頁用兩個鉛字塊共用2 ×10=20(塊)；

從20至29頁，共10頁，每頁用兩個鉛字塊共用2×10=20(塊)；

從30至39頁，共10頁，每頁用兩個鉛字塊共用2×10=20(塊)； 從40至49頁，共10頁，每頁用兩個鉛字塊共用2×10=20(塊)； 第50頁，共1頁(但為兩位數)用兩個鉛字塊，所以50頁書共用9+20+20+20+20+2=91(塊)(鉛字)。

9．解：見右圖，仔細觀察可看出有一條對角線上的四個數都給出來了。這四個數相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空 格中的數是10；即5+16+3=24，34-24=10。第4行第三列上空格中的數是2，即

7+9+16=32。34—32=2。

接著可繼續求出其他空格中數。