第一篇：六年級奧數培訓第20講 抓“不變量”解題

第20講 抓“不變量”解題

一、知識要點

一些分數的分子與分母被施行了加減變化，解答時關鍵要分析哪些量變了，哪些量沒有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進行分析后，再轉化并解答。

二、精講精練

【例題1】將

743的分子與分母同時加上某數后得，求所加的這個數。

961【思路導航】解法一：因為分數的分子與分母加上了一個數，所以分數的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉化成了一各簡單的分數問題：“一個分數的分子比分母少18，且分子是分母的，由此可求出新分數的分子和分母。”

分母：（61-43）÷（1－）＝81 分子：81×＝63 81-61＝20或63-43＝20

743的分母比分子多18，的分母比分子多2，因為分數的 與分

9617母的差不變，所以將的分子、分母同時擴大（18÷2=）9倍。

97① 的分子、分母應擴大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）

9777?963② 約分后所得的在約分前是：＝＝

999?981797979解法二：③ 所加的數是81-61＝20 答：所加的數是20。練習1： 1.分數

297的分子和分母都減去同一個數，新的分數約分后是，那么減

5181去的數是多少？

2.將一個分數的分母加上2得，分母加上2得。原來的分數是多少？

3.將一個分數的分母加上5得，分母加上4得。原來的分數是多少？

【例題3】在一個最簡分數的分子上加一個數，這個分數就等于。如果在它的分子上減去同一個數，這個分數就等于，求原來的最簡分數是多少。

【思路導航】解法一：兩個新分數在未約分時，分母相同。將這兩個分數

51017，=。根據題意，兩個新分數分子的差應714214107為2的倍數，所以分別想和的分子和分母再乘以2。所以

14***17＝＝，＝＝ ,故原來的最簡分數是。***737493445化成分母相同的分數，即=解法二：根據題意，兩個新分數的和等于原分數的2倍。所以（+）÷2＝

練習3：

1.一個最簡分數，在它的分子上加一個數，這個分數就等于。如果在它的分子上減去同一個數，這個分數就等于，求這個分數。

1258571217 28-32.將一個分數的分母減去3，約分后得；若將它的分母減去5，則得。原來的分數是多少？（用兩種方法做）

【例題5】有一個分數，如果分子加1，這個分數等于；如果分母加1，這個分數就等于，這個分數是多少？

【思路導航】根據“分子加1，這個分數等于”可知，分母比分子的2倍多2；根據“分母加1這個分數就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個分數的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，這個分數是。

練習5：

1.一個分數，如果分子加3，這個分數等于，如果分母加上1，這個分數等于，這個分數是多少？

2.一個分數，如果分子加5，這個分數等于，如果分母減3，這個分數等于，這個分數是多少？ ***31213126778-5

***3

第二篇：設數法解題 《舉一反三》六年級奧數教案

《舉一反三》六年級奧數教案

一、教學內容：舉一反三P44—P48

二、教學目標：

1、學會用“設數法”解題。

2、理解所設的數只要便于列式計算，它們的大小與解答的結果無關。

三、教學難點：怎樣設數才能使解題最簡便。

四、教學設計：

1、復習上次課所學內容，講解作業。

P40瘋狂操練2（1）P40瘋狂操練2（2）

2、新課內容

I、為什么要設數？

【例題1】：如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）個△。【分析】：由第一個等式可以設△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內應填4。

總結：本題如果不用設數代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。

有些題目直接解答比較困難，設一個具體數后，解答的難度可以適當降低，也便于理解，這種方法叫做設數法。

【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問一張門票降價多少元？

【分析】：初看似乎缺少觀眾人數這個條件，如果設原來有a名觀眾，則每張票降價：15-15a×(1+1/5)÷2a=6（元）。

方法二：見書P45例題2【思路導航】

答：略。

總結：在用設數法解題時，我們知道所設的數只要便于列式計算，它們的大小（但不能是0）與解答的結果沒有關系。所以我們設的這個數要盡量方便計算。

II、怎樣設數？怎樣設數最簡便？

【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度。

【分析】：很多同學看到題目后，立刻列出算式：(200+240+150+200)/4。切記：求平均速度時，我們用公式：平均速度=總路程/總時間。

1）為什么設單程路程：我們知道平均速度=總路程/總時間，要求小王的平均速度，題目所給條件似乎不夠，此時，我們可以假設總路程（4個單程路程之和）或總時間（4個單程時間之和），又4個單程時間都不同，所以我們假設總路程要更簡便。

2）為什么設單程路程為1200米：因為題中出現了四個速度，為方便計算，我們取4個速度的最小公倍數，（怎樣取最小公倍數？）即1200米，即設一個單程是1200米。

具體過程見書P46例題3【思路導航】

答：略。

總結：在設數法求解較復雜應用題時，我們一般假設題中不變的量，這樣求解最簡單。

3、能力提升。

【例題4】

【分析】初看題目似乎無從下手，那么我們從題目問題開始。我們知道男生的平均身高=男生的總身高/男生人數，所以我們假設男生人數較簡便。

由已知可得：男生人數=(1＋1/5)×女生人數，當女生人數為5人時，男生人數為6人。所以總身高＝（5＋6）×115=1265（厘米），又

總身高＝男生總身高＋女生總身高

＝6×男生平均身高＋5×女生平均身高，又女生平均身高=（1＋10%）×男生平均身高

＝6×男生平均身高＋5×（1＋10%）×男生平均身高

＝[6＋5×（1＋10%）]×男生平均身高

所以男生平均身高＝1265÷[6＋5×（1＋10%）]＝110（厘米）答：這個班男孩平均身高為110厘米。

方法二：見書P47例題4【思路導航】

第三篇：小學奧數三年級第5講平均數

第7講

平均數

一組數的和除以這組數的個數，稱為這組數的平均數。

例1、5個連續自然數的中間一個數是45，這5個數的和是多少？

分析5個連續自然數的第3個數是45，第2個（44）與第4個（46）相加是兩個45，第1個（43）與第5個（47）相加是兩個45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習1 計算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數個連續自然數的和等于中間一項乘以項數。換句話說，奇數個連續自然數的平均數就是中間的那個數。高斯求和方法的實質就是

和=平均數×項數

偶數個連續自然數的平均數不是整數，我們現在尚未學到。所以先將第一項加最后一項，第二項加倒數第二項……直至中間兩項相加，這些和都相等。而個數是項數的一半，所以偶數個連續自然數的和等于中間兩項的和（也即首末兩項的和）乘以項數除以2.例2、8個連續自然數的和是108，寫出這8個數。

分析

因為中間兩個數相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項的和可以求出來。

解 中間兩項的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項是13、14.這8個數是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數4個數到10，由14往后數4個數到17）答：這8個連續的自然數是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習2 6個連續自然數的和是273，這6個數中的第一個數是多少？

例

3、求出以下28個數的平均數: 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個數的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數，但比較麻煩。如果注意到25個連續自然數11、12、13，……，35的平均數是23（中間一項），那么就比較容易。

因為 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個數的平均數正好是23.隨堂練習3 求28個數：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數。

例

4、求數列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規律，并求這組數的和與平均數。

分析 數列的奇數項數的項組成等差數列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數列的偶數項數的項組成等差數列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數。但更為簡單的辦法是直接運用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數是27，也就是1+53可以換成2個27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數可以分成許多小組，各小組的平均數都相等，那么這個相等的數就是這組數的平均數（例4中，每個小組2個數的和是54，每個小組的平均數是27）。

隨堂練習4 尋找數列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規律，并求這數列的和。

練習題：

（1）求1至100內能被4整除余1的所有數的和。

（2）求1至100內既是3的倍數又是5的倍數的所有數的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個盒子中至少要放一個球，能不能使每個盒中的球數都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，問：影劇院共有多少個座位？

（5）時鐘在每個整點時敲這鐘點數，每半點鐘時敲1下，問：一晝夜該時鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數的和。

（7）求1至100（包括100在內）的所有5的倍數的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個數列的第30項是哪個數？到第25項止，這些數的和是多少？

（10）24個連續自然數12―35，再添上一個35，一個13，兩個16.這28個數的平均值是多少？

第四篇：初一奧數提高班第03講-絕對值_

金蘋果文化培訓學校奧數學提高班

第3講絕對值（1）

一 主要知識點回顧

1．有理數：按有理數的符號分為三類：正有理數、負有理數和零，簡稱正數、負數和零 2.數軸的三要素——原點、正方向和單位長度，缺一不可．相反數:只有符號不同的兩個數叫做互為相反數（符號相反且絕對值相等的兩數）絕對值

一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零．即

絕對值的幾何意義可以借助于數軸來認識，它與距離的概念密切相關．在數軸上表示一個數的點離開原點的距離叫這個數的絕對值．

結合相反數的概念可知，除零外，絕對值相等的數有兩個，它們恰好互為相反數．反之，相反數的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結論：任何一個實數的絕對值是非負數

二 典型例題分析:

例1 a，b為實數，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，則a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．

例2 設有理數a，b，c在數軸上的對應點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

三.專項練習

(一).填空題:

1.a＞0時，|2a|=________；(2)當a＞1時，|a-1|=________；

2.已知a??b?3?0，則a____b______

3.如果a>0，b<0，a?b，則a，b，—a，—b這4個數從小到大的順序是______________________(用大于號連接起來)

4.若xy?0，z?0，那么xyz=______0．

5.上山的速度為a千米/時，下山的速度為b千米/時，則此人上山下山的整個路程的平均速度是_______________千米/時

(二).選擇題:

6.值大于3且小于5的所有整數的和是（）

A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理數，如果a+b=0，則下列說法正確的是（）

A.a、b中一定有一個是負數B.a、b都為0

C.a與b不可能相等D.a與b的絕對值相等

8.下列說法中不正確的是()

Ａ．0既不是正數,也不是負數B．0不是自然數

C．0的相反數是零D．0的絕對值是0

9.列說法中正確的是（）

A、?a是正數B、—a是負數C、?a是負數D、?a不是負數 10.x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

111.<0時，化簡a

a等于（）

A、1B、—1C、0D、?

112.若ab?ab，則必有（）

A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab?0

13.已知：x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

1(三).解答題:

14.a＋b＜0，化簡｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

15..若x?y+y?3=0，求2x+y的值.16.當b為何值時，5-2b?有最大值，最大值是多少？

17.已知a是最小的正整數，b、c是有理數，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab?c求式子的值.22?a?c?

418.若a，b，c為整數，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，試計算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》說課稿

一、教材內容分析：

春天里萬物復蘇，百花爭艷、綠草如蔭、一派迷人的景色。《春雨的色彩》意境優美，散文詩中綿綿的春雨，屋檐下嘰嘰喳喳的小鳥，萬紫千紅的大地，給人以美的陶冶和享受，與此同時啟發幼兒通過簡潔優美的語言以及相應的情景對話練習感受春天的勃勃生機。激發幼兒熱愛大自然的情感，啟發幼兒觀察、發現自然界的變化，感知春的意韻，并嘗試運用多種方法把春雨的色彩表現出來，以此來表達自己的情感體驗。

二、幼兒情況分析：

中班下學期的幼兒探究、分析、觀察能力有了一定的發展，并且孩子們充滿了好奇心和強烈的探究欲，能主動地去探究周圍和環境的變化，并且能根據變化運用自己的表達方式將感知到的變化加以表現。同時這個時期的幼兒的語言表達能力及審美能力有一定的發展，孩子們在平時的活動中也積累了許多有關繪畫方面的經驗在活動展示出來。

三、活動目標：

教育活動的目標是教育活動的起點和歸宿，對教育活動起著主導作用，我根據中班幼兒的實際情況制定了一下活動目標：

1、情感態度目標：引導幼兒感受散文詩的意境美。

2、能力目標：發展幼兒的審美能力和想象力。

3、認知目標：幫助幼兒在理解散文的基礎上感受春天的生機，知道春雨對萬物生長的作用。

四、活動的重點和難點：

重點是：引導幼兒份角色朗誦小動物的對話，感受散文詩的優美，進而豐富詞匯、發展幼兒的觀察能力、思維和語言表達能力。

難點是：學習詞語“淋、滴、灑、落”、學習春雨的對話、詩句“親愛的小鳥們，你們說得都對，但都沒說全面，我本身是無色的，但我能給春天的大地帶來萬紫千紅”。

五、活動準備：

1、經驗準備：課前學會朗誦詩《春天》，并組織幼兒春游，根據天氣情況實地觀察春雨，讓幼兒感受了解春天的有關知識經驗。

2、物質準備：小動物頭飾、教學課件、幼兒繪畫用紙筆

六、教法：陶行知先生曾經說：“解放兒童的雙手，讓他們去做去干”所以在本次活動中，我力求對幼兒充分放手，對大限度的激發幼兒的學習興趣，讓他們自己去探究、去發現、去感受，我主要采取了以下教學法：

1、談話法：在活動得導入環節我運用與幼兒進行有關春天主題的談話，幫助幼兒積累整理自己積累的有關春天的知識經驗。

2、演示法：在活動中我通過多媒體課件向 幼兒展示春天的勃勃生機，《春雨的色彩》散文詩的情景，也是通過課件中輕柔的配樂詩朗誦體現出來的。現代教學輔助手段的運用進一步強化了他的作用，使幼兒對春天、春雨更加了解和熟悉。

3、情景演示法：將幼兒置身于《春雨的色彩》散文情景中，通過角色表演，強化幼兒對春雨的色彩的感受。

此外我還適時采用了交流討論法、激勵法、審美熏陶法和動靜交替法加以整合，使幼兒從多方面獲得探索過程的愉悅。

七、學法：

1、多種感官參與法：《新綱要》中明確指出：幼兒能用多種感官動手動腦、探究問題，用適當的方式表達交流探索的過程和結果，本次活動中，幼兒通過觀察發現自然界的變化，感知春天的意韻，并嘗試引導幼兒運用多種方法把春雨的色彩表現出來，以此來表達自己的情感體驗。

2、體驗法：心理學指出：凡是人們積極參與體驗過的活動，人的記憶效果就會明顯提高。在活動中，讓幼兒自己進行角色表演，說出小動物們之間的對話，一定會留下深刻的印象，同伴之間合作表演的快樂，也將成為他們永遠的回憶。

八、教學過程

活動流程我采用環環相扣來組織活動程序，活動流程為激發興趣談春天-----看春雨-------欣賞散文詩------情景表演-------經驗總結-------審美延（繪畫形式）

1、激發興趣談春天

“興趣是最好的老師”。活動開始我利用談話形式引導幼兒將自己已有的關于春天的經驗進行整理，激發幼兒活動興趣。

2、看春雨

觀看課件《春雨的色彩》前半部分，到春雨姐姐歡迎的最熱烈老師說：一天，一群小鳥在屋檐下躲雨，他們在爭論一個有趣的話題，你們知道他們在爭論什么問題嗎？（幼兒回答）對他們在爭論：春雨到底是什么顏色的？

這樣的設計自然合理，進而引出散文詩《春雨的色彩》

3、欣賞散文詩

（1）完整欣賞后請幼兒把不懂得地方提出來，由幼兒提出來，教師引導討論，幫助幼兒理解散文詩的內容。

（2）尋找句子、加深印象

給幼兒提出要求，請幼兒找一找詩里描寫春雨下到草地上、柳樹上、桃樹上、杏樹上、有菜地里、蒲公英上各用那些詞語，通過找，讓幼兒學會“淋、滴、灑、落”并學會用小動物的話來朗誦、來回答，促進幼兒積極思維，鍛煉幼兒的口語表達能力，強調了重點，理解了難點。

4、情景表演：分角色進行朗誦表演。

5、經驗總結：

將本家活動內容的前半部分進行總結，給幼兒一個春天的完整印象。

6、擴展延伸、升華主題

引導幼兒運用手工工具，用繪畫的方式將幼兒感受到的《春雨的色彩》散文詩的意境描繪出來，鞏固和加深幼兒對春天及春雨的任認知。

第五篇：六年級奧數一至九講(教師版)

小學六年級奧數教案——01比較分數的大小

同學們從一開始接觸數學，就有比較數的大小問題。比較整數、小數的大小的方法比較簡單，而比較分數的大小就不那么簡單了，因此也就產生了多種多樣的方法。

對于兩個不同的分數，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：

分母相同的兩個分數，分子大的那個分數比較大；

分子相同的兩個分數，分母大的那個分數比較小。

第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。

由于要比較的分數千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。

1.“通分子”。

當兩個已知分數的分母的最小公倍數比較大，而分子的最小公倍數比較小時，可以把它們化成同分子的分數，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。

如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。

2.化為小數。

這種方法對任意的分數都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。

3.先約分，后比較。

有時已知分數不是最簡分數，可以先約分。

4.根據倒數比較大小。

比較分數大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發現總結，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數大；分子相同，分母小的分數大”這一基本方法。

練習1 1.比較下列各組分數的大小：

答案與提示練習1

這個分數是多少？

于是與例3類似，可以求出

在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？

數a。

分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變為3+5=8，所以分子、分母約掉

45-43=2。

求這個自然數。

同一個自然數，得到的新分數如果不約分，那么差還是45，新分數約分后變

例7 一個分數的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分數，分子與分母的和是1+5=6，是由新分數的分子、分母同時除以42÷6=7得到

練習2

是多少？

答案與提示練習2

5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。

小學六年級奧數教案—03分數運算技巧

對于分數的混合運算，除了掌握常規的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。

1.湊整法

與整數運算中的“湊整法”相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數、整十數??從而使運算得到簡化。

2.約分法

3.裂項法

的10和30，仍是符合題意的解。

4.代數法

5.分組法

分析與解：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數相加。分母為n的分數之和為

原式中分母為2～20的分數之和依次為

練習3

8.2，6，8，12，20，30，42，56。

9.5680。

解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人??一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+?+106=5671（個），5671+9=5680（個）。

答：甲隊干了12天。

例3 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？

分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了

例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水？

例6 甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發后多長時間兩人相遇？

分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。

5.6000米。

6.8時。

提示：甲管12時都開著，乙管開

7.280千米。

例3 單獨完成一件工作，甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續由乙單獨做，那么剛好在規定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？

分析與解：同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、??的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？

分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是

獨修各需幾天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關閉，結果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關閉？

6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？

7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？

答案與提示練習5

1.360個。

2.甲18天，乙12天。

3.7.2時。

解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6÷2×3=21（時），王需21÷3×2=14（時）。所求為

小學六年級奧數教案—06巧用單位“1”

在工程問題中，我們往往設工作總量為單位“1”。在許多分數應用題中，都會遇到單位“1”的問題，根據題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。

分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應以全書的頁數為單位

答：這本故事書共有240頁。

分析與解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數”、“第一天看后余下的頁數”、“第二天看后余下的頁數”，出現了3個不同的單位“1”。按照常規思路，需要統一單位“1”，轉化分率。但在本題中，不統一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的

共有多少本圖書？

分析與解：根據“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎

可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？

乙班有84-48=36（人）。

練習6

樹上原有多少個桃？

剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？

7.一班45人，二班49人。

將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變為按份數分配，把比的各項相加得到總份數，各項與總份數之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。

例3 配制一種農藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現在要配制這種農藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。

分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。

在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。

例4 師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？

分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率

有多少學生？

7.某俱樂部男、女會員的人數之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會員的人數之比是3∶1，乙組中男、女會員的人數之比是5∶3，那么丙組中男、女會員的人數之比是多少？

答案與提示練習7

1.540米2。

2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。

解：長∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。

長=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。

3.86元。

解：設小明有x元錢。根據小強的錢數可列方程

36+50=86（元）。

4.2640元。

5.甲50只，乙40只，丙48只。

解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。

6.12時。

7.5：9

小學六年級奧數教案—08百分數

百分數有兩種不同的定義。

（1）分母是100的分數叫做百分數。這種定義著眼于形式，把百分數作為分數的一種特殊形式。

（2）表示一個數（比較數）是另一個數（標準數）的百分之幾的數叫做百分數。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數的比。所以百分數又叫百分比或百分率。

百分數通常不寫成分數形式，而采用符號“％”來表示，叫做百分號。

在第二種定義中，出現了比較數、標準數、分率（百分數），這三者的關系如下：

比較數÷標準數=分率（百分數），標準數×分率=比較數，比較數÷分率=標準數。

根據比較數、標準數、分率三者的關系，就可以解答許多與百分數有關的應用題。

例1 紡織廠的女工占全廠人數的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數的百分之幾？

分析與解：因為“女工占全廠人數的80％”，所以男工占全廠人數的1-80％=20％。

又因為“一車間的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數的20％×25％=5％。

例2 學校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學校共種活了多少棵樹？

分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了75-20=55（棵），活了 55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學校共種活425+495=920（棵）。

例3 一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數分別占參加考試人數的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？

分析與解：因為百分數的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設總量即參加考試的人數為100。

由此得到做錯第1題的有100×（1-85％）=15（人）；

同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。

總共做錯15+5+10+25+20=75（題）。

一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。

設再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據溶質含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6 倉庫運來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發現含水量降低到80％。現在這批水果的總重量是多少千克？

分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重

100×（1-90％）=10（千克）。

一星期后含水量變為80％，“果”與“水”的比值為

因為“果”始終是10千克，可求出此時“水”的重量為

所以總重量是10+40=50（千克）。

練習8

1.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務還需多少天？

2.服裝廠一車間人數占全廠的25％，二車間人數比一車間少20％，三車間人數比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？

3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。

4.某工廠四個季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？

5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變為多少？

6.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？

7.有一堆含水量14.5％的煤，經過一段時間的風干，含水量降為10％，現在這堆煤的重量是原來的百分之幾？

小學六年級奧數教案—09商業中的數學

市場經濟中有許多數學問題。同學們可能都有和父母一起去買東西的經歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤等聽起來有些陌生的名詞。

這一講的內容就是小學數學知識在商業中的應用。

利潤=售出價-成本，例如，一件商品進貨價是80元，售出價是100元，則這件商品的利潤是100-80=20（元），利潤率是

在這里我們用“進貨價”代替了“成本”，實際上成本除了進貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。

例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？

解：設進貨價是每個x元。由“售出價=進貨價+利潤”，根據前、后兩次賣出的錢相等，可列方程

（x+7）×13=（x+11）×12，13x+91=12+132

x=41。

答：進貨價是每個41元。

例2 租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結果2個月就銷售完了，由于節省了租倉庫的租金，所以結算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？

分析與解：原計劃租倉庫3個月，現只租用了2個月，節約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應比原計劃多賺7000元，但現在只多賺了1000元，說明降價損失是7000-1000=6000（元）。

因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2（元）。

例3 張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。”商店經理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？

分析與解：設這種商品的成本是x元。減價5％就是每件減100×5％=5（元），張先生可多買4×5=20（件）。由獲得利潤的情況，可列方程

答：申請甲種貸款30萬元，乙種貸款10萬元。

練習9

1.商店進了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進貨價每支多少元？

2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？

3.商店以每雙13元購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？

4.體育用品商店用3000元購進50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進價是多少元？

5.某種商品的利潤率是20％。如果進貨價降低20％，售出價保持不變，那么利潤率將是多少？

6.某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收費1.50元。如果不計損耗，那么商店要想實現25％的利潤率，零售價應是每千克多少元？

減價10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？

答案與提示 練習9

1.7元。

解：（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。

2.6元。

解：設第一天每個蜜瓜x元。由

2x+3x×80％+5x×80％=38，解得x=5（元）。10個瓜都在第三天買要花

5×10×80％×80％=32（元），少花38-32=6（元）。

3.90雙。

解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90（雙）。

4.足球32元，籃球35元。

解：設50個足球的進價為x元，則40個籃球的進價為(3000-x)元。根據利潤可得方程