第一篇：初一奧數提高班第03講-絕對值_

金蘋果文化培訓學校奧數學提高班

第3講絕對值（1）

一 主要知識點回顧

1．有理數：按有理數的符號分為三類：正有理數、負有理數和零，簡稱正數、負數和零 2.數軸的三要素——原點、正方向和單位長度，缺一不可．相反數:只有符號不同的兩個數叫做互為相反數（符號相反且絕對值相等的兩數）絕對值

一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零．即

絕對值的幾何意義可以借助于數軸來認識，它與距離的概念密切相關．在數軸上表示一個數的點離開原點的距離叫這個數的絕對值．

結合相反數的概念可知，除零外，絕對值相等的數有兩個，它們恰好互為相反數．反之，相反數的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結論：任何一個實數的絕對值是非負數

二 典型例題分析:

例1 a，b為實數，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，則a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．

例2 設有理數a，b，c在數軸上的對應點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

三.專項練習

(一).填空題:

1.a＞0時，|2a|=________；(2)當a＞1時，|a-1|=________；

2.已知a??b?3?0，則a____b______

3.如果a>0，b<0，a?b，則a，b，—a，—b這4個數從小到大的順序是______________________(用大于號連接起來)

4.若xy?0，z?0，那么xyz=______0．

5.上山的速度為a千米/時，下山的速度為b千米/時，則此人上山下山的整個路程的平均速度是_______________千米/時

(二).選擇題:

6.值大于3且小于5的所有整數的和是（）

A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理數，如果a+b=0，則下列說法正確的是（）

A.a、b中一定有一個是負數B.a、b都為0

C.a與b不可能相等D.a與b的絕對值相等

8.下列說法中不正確的是()

Ａ．0既不是正數,也不是負數B．0不是自然數

C．0的相反數是零D．0的絕對值是0

9.列說法中正確的是（）

A、?a是正數B、—a是負數C、?a是負數D、?a不是負數 10.x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

111.<0時，化簡a

a等于（）

A、1B、—1C、0D、?

112.若ab?ab，則必有（）

A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab?0

13.已知：x=3，y=2，且x>y，則x+y的值為（）

A、5B、1C、5或1D、—5或—

1(三).解答題:

14.a＋b＜0，化簡｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

15..若x?y+y?3=0，求2x+y的值.16.當b為何值時，5-2b?有最大值，最大值是多少？

17.已知a是最小的正整數，b、c是有理數，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab?c求式子的值.22?a?c?

418.若a，b，c為整數，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，試計算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》說課稿

一、教材內容分析：

春天里萬物復蘇，百花爭艷、綠草如蔭、一派迷人的景色。《春雨的色彩》意境優美，散文詩中綿綿的春雨，屋檐下嘰嘰喳喳的小鳥，萬紫千紅的大地，給人以美的陶冶和享受，與此同時啟發幼兒通過簡潔優美的語言以及相應的情景對話練習感受春天的勃勃生機。激發幼兒熱愛大自然的情感，啟發幼兒觀察、發現自然界的變化，感知春的意韻，并嘗試運用多種方法把春雨的色彩表現出來，以此來表達自己的情感體驗。

二、幼兒情況分析：

中班下學期的幼兒探究、分析、觀察能力有了一定的發展，并且孩子們充滿了好奇心和強烈的探究欲，能主動地去探究周圍和環境的變化，并且能根據變化運用自己的表達方式將感知到的變化加以表現。同時這個時期的幼兒的語言表達能力及審美能力有一定的發展，孩子們在平時的活動中也積累了許多有關繪畫方面的經驗在活動展示出來。

三、活動目標：

教育活動的目標是教育活動的起點和歸宿，對教育活動起著主導作用，我根據中班幼兒的實際情況制定了一下活動目標：

1、情感態度目標：引導幼兒感受散文詩的意境美。

2、能力目標：發展幼兒的審美能力和想象力。

3、認知目標：幫助幼兒在理解散文的基礎上感受春天的生機，知道春雨對萬物生長的作用。

四、活動的重點和難點：

重點是：引導幼兒份角色朗誦小動物的對話，感受散文詩的優美，進而豐富詞匯、發展幼兒的觀察能力、思維和語言表達能力。

難點是：學習詞語“淋、滴、灑、落”、學習春雨的對話、詩句“親愛的小鳥們，你們說得都對，但都沒說全面，我本身是無色的，但我能給春天的大地帶來萬紫千紅”。

五、活動準備：

1、經驗準備：課前學會朗誦詩《春天》，并組織幼兒春游，根據天氣情況實地觀察春雨，讓幼兒感受了解春天的有關知識經驗。

2、物質準備：小動物頭飾、教學課件、幼兒繪畫用紙筆

六、教法：陶行知先生曾經說：“解放兒童的雙手，讓他們去做去干”所以在本次活動中，我力求對幼兒充分放手，對大限度的激發幼兒的學習興趣，讓他們自己去探究、去發現、去感受，我主要采取了以下教學法：

1、談話法：在活動得導入環節我運用與幼兒進行有關春天主題的談話，幫助幼兒積累整理自己積累的有關春天的知識經驗。

2、演示法：在活動中我通過多媒體課件向 幼兒展示春天的勃勃生機，《春雨的色彩》散文詩的情景，也是通過課件中輕柔的配樂詩朗誦體現出來的。現代教學輔助手段的運用進一步強化了他的作用，使幼兒對春天、春雨更加了解和熟悉。

3、情景演示法：將幼兒置身于《春雨的色彩》散文情景中，通過角色表演，強化幼兒對春雨的色彩的感受。

此外我還適時采用了交流討論法、激勵法、審美熏陶法和動靜交替法加以整合，使幼兒從多方面獲得探索過程的愉悅。

七、學法：

1、多種感官參與法：《新綱要》中明確指出：幼兒能用多種感官動手動腦、探究問題，用適當的方式表達交流探索的過程和結果，本次活動中，幼兒通過觀察發現自然界的變化，感知春天的意韻，并嘗試引導幼兒運用多種方法把春雨的色彩表現出來，以此來表達自己的情感體驗。

2、體驗法：心理學指出：凡是人們積極參與體驗過的活動，人的記憶效果就會明顯提高。在活動中，讓幼兒自己進行角色表演，說出小動物們之間的對話，一定會留下深刻的印象，同伴之間合作表演的快樂，也將成為他們永遠的回憶。

八、教學過程

活動流程我采用環環相扣來組織活動程序，活動流程為激發興趣談春天-----看春雨-------欣賞散文詩------情景表演-------經驗總結-------審美延（繪畫形式）

1、激發興趣談春天

“興趣是最好的老師”。活動開始我利用談話形式引導幼兒將自己已有的關于春天的經驗進行整理，激發幼兒活動興趣。

2、看春雨

觀看課件《春雨的色彩》前半部分，到春雨姐姐歡迎的最熱烈老師說：一天，一群小鳥在屋檐下躲雨，他們在爭論一個有趣的話題，你們知道他們在爭論什么問題嗎？（幼兒回答）對他們在爭論：春雨到底是什么顏色的？

這樣的設計自然合理，進而引出散文詩《春雨的色彩》

3、欣賞散文詩

（1）完整欣賞后請幼兒把不懂得地方提出來，由幼兒提出來，教師引導討論，幫助幼兒理解散文詩的內容。

（2）尋找句子、加深印象

給幼兒提出要求，請幼兒找一找詩里描寫春雨下到草地上、柳樹上、桃樹上、杏樹上、有菜地里、蒲公英上各用那些詞語，通過找，讓幼兒學會“淋、滴、灑、落”并學會用小動物的話來朗誦、來回答，促進幼兒積極思維，鍛煉幼兒的口語表達能力，強調了重點，理解了難點。

4、情景表演：分角色進行朗誦表演。

5、經驗總結：

將本家活動內容的前半部分進行總結，給幼兒一個春天的完整印象。

6、擴展延伸、升華主題

引導幼兒運用手工工具，用繪畫的方式將幼兒感受到的《春雨的色彩》散文詩的意境描繪出來，鞏固和加深幼兒對春天及春雨的任認知。

第二篇：初一奧數提高班第01講-有理數的巧算

金蘋果文化培訓學校

奧數學提高班

第一講

有理數的巧算

有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號的使用

在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．

例1 計算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

例2 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

2．用字母表示數

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：

這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=___________ 于是我們得到了一個重要的計算公式____________________________ 這個公式叫――___________公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．

金蘋果文化培訓學校

奧數學提高班

3．觀察算式找規律

例4 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

例5 計算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

2399100

例6 計算 1+5+5+5+?+5+5的值．

例7 計算：

金蘋果文化培訓學校

奧數學提高班

(6)1+4+7+?+244；

1111(7)1??2?3????????2000

333

***9-?-???????＋－(8)1-?

***9900

2．某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

金蘋果文化培訓學校

奧數學提高班

再將S各項倒過來寫為

S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(500個2000)

=2000×500．

從而有 S=500 000．

例6 計算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．

99100 解 設S=1+5+52+?+5+5，①

所以

231001015S=5+5+5+?+5+5． ②

②—①得

1014S=5-1，例7 計算：

分析 一般情況下，分數計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．

解 由于

所以

說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很常用．

第三篇：初一奧數題

初一數學提高題

甲多開支100元，三年后負債600元．求每人每年收入多少？

S的末四位數字的和是多少？

4．一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程．

5．求和：

6．證明：質數p除以30所得的余數一定不是合數．

8．若兩個整數x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除．

9．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．

10．某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據經驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件．試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

11．王平買了年利率7.11％的三年期和年利率為7.86％的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22％)

12．解關于x的方程

13．解方程

其中a＋b＋c≠0．

14．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項系數之和．

15．液態農藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農藥的濃度為72％，求桶的容量．

16．滿足[-1.77x]=-2x的自然數x共有幾個？這里[x]表示不超過x的最大整數，例如[-5.6]=-6，[3]=3．

17．甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經過9小時到東站，乙經過16小時到西站，求兩站距離．

18．黑板上寫著三個數，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數的和減1，這樣繼續下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2？

19．設有n個實數x1，x2，…，xn，其中每一個不是+1就是-1，且

求證：n是4的倍數．

20．已知a，b，c，d都是正數，并且a＋d＜a，c＋d＜b． 求證：ac＋bd＜ab．

21．已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍．因市場變化，乙種商品提價的百分數是甲種商品降價的百分數的2倍．調價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2％，求乙種商品提價的百分數．

22．在銳角三角形ABC中，三個內角都是質數．求三角形的三個內角．

23．某工廠三年計劃中，每年產量遞增相同，若第三年比原計劃多生產1000臺，那么每年比上一年增長的百分數就相同，而且第三年的產量恰為原計劃三年總產量的一半，求原計劃每年各生產多少臺？

24．已知(x-1)2除多項式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，試求a，b的值．

解答：

所以

x=5000(元)．

所以S的末四位數字的和為1＋9＋9＋5=24．

3．因為

a-b≥0，即

a≥b．即當b≥a＞0或b≤a＜0時，等式成立．

4．設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米．依題意則

有

由②有2x+y=20，③

由①有y=12-x．將之代入③得 2x+12-x=20．

所以

x=8(千米)，于是y=4(千米)．

5．第n項為

所以

6．設p=30q＋r，0≤r＜30．因為p為質數，故r≠0，即0＜r＜30．假設r為合數，由于r＜30，所以r的最小質約數只可能為2，3，5．再由p=30q＋r知，當r的最小質約數為2，3，5時，p不是質數，矛盾．所以，r一定不是合數．

7．設

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q)．

可知m＜4．由①，m＞0，且為整數，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q．

(1)若m=1時，有

解得p=1，q=1，與已知不符，舍去．

(2)若m=2時，有

因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解．

(3)若m=3時，有

解之得

故

p＋q=8．

8．因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由題設，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，從而3｜(x-y)2．因為3是質數，故3｜(x-y)．進而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，結合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．

9．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．

10．原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣出為(100-10x)件．如果設每天獲利為y元，則

y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)

2＋490．

所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元．

11．設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則

因為 y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以

0.0497x=994，所以

x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．

12．化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab，當a≠1時，13．將原方程變形為

由此可解得x=a＋b+c．

14．當x=1時，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展開式中各項系數之和為1． 15.依題意得

去分母、化簡得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，16．若n為整數，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．

由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．

又因為x為自然數，所以0≤0.23x＜1，經試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個．

17．設甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千

米．依題意得

由①得16y2=9x2，③

由②得16y=24＋9x，將之代入③得

即(24＋9x)2=(12x)2．解之得

于是

所以兩站距離為9×8＋16×6=168(千米)．

18．答案是否定的．對于2，2，2，首先變為2，2，3，其中兩個偶數，一個奇數．以后無論改變多少次，總是兩個偶數，一個奇數(數值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變為19，1997，1999這三個奇數．

19.。

又因為

所以，k是偶數，從而n是4的倍數．

20．由對稱性，不妨設b≤a，則ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．

21．設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元．設甲商品降價y％，則乙商品提價2y％．依題意有1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．

所以y=0.1=10％，所以甲種商品降價10％，乙種商品提價20％．

22．因為∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶數．唯一的偶質數為2，所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A，∠B為奇質數，這樣的解不唯一，如

23．設每年增產d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數分別為a-d，a，a＋d依題意有

解之得

所以三年產量分別是4千臺、6千臺、8千臺．

24．不妨設商式為x2+α·x＋β．由已知有

x4＋ax3-3x2＋bx＋3

=(x-1)2(x2+α·x＋β)+(x＋1)

=(x2-2x＋1)(x2＋α· x＋β)＋x＋1

=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2＋(1＋α-2β)x＋β+1．

比較等號兩端同次項的系數，應該有

只須解出

所以a=1，b=0即為所求．

第四篇：初一奧數 第二講 有理數的加減法

第二節

有理數的加減法

【知識要點】

1．有理數的加法法則：

（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較

大的絕對值減去較小絕對值；互為相反數的兩個數相加得0。（3）一個數同0相加，仍得這個數。

2．有理數的減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數，即a?b?a?(?b)。

3．有理數的加減混合運算：統一成加法運算。

4．處理好符號是學好有理數加法的關鍵，因此學習有理數加法運算時要養成好習

慣，先確定運算結果的符號，再算出結果的絕對值。

5．加法和減法可以相互轉化即a?b?a?(?b),a?b?a?(?b)。因此，引入負數后，加法和減法的界限已經消失。

6．小學學過的加法的交換律和結合律對有理數加法仍然適用。因此為簡化運算，我

們往往將正數、負數分別放到一起先相加，互為相反數的數先相加，和為整數的

數先相加。

姓名： 日期：

【典型例題】

例1 計算：S=1-2+3-4+?+(-1)n+1·n．

例2 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

例3飛躍特訓班20名學生的數學月考考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

例4 實驗中學做課間操，初一共1000名學生，對學生從1到2000進行編號，校長說奇數編號和偶數編號的同學分開站，請你算一下，奇數編號的數字和與偶數編號的數字和分別是多少

例5 計算

1131351397???????????? 244666989898

例6 一輛汽車沿著一條南北向的公路來回行駛，某一天早晨從A地出發，?晚上最后達到B地，約定向北為正方向（如+7表示汽車向北行駛7千米，-6表示向南行駛6千米），當天的行駛記錄如下（單位：千米）：+18.3，-9.5，+7.1，-14，-6.2，+13，-6.8，-8.5．

請你根據計算回答：

（1）B地在A地何方，相距多少千米？

（2）若汽車行駛每千米耗油3.35升，那么這一天共耗油多少升？

例7 分別在如圖所示的空格內填上適當的數，?使得每行每列的三個數之和相等．

-10-10

【經典練習】

1．（-10）-（+13）+（-4）-（-8）+5．

2．-9

27217+（-13）-2003.3-8-（-7）-（+）-（-2003.3）3838

4．-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

5．11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

6．1111+++?+． 1?22?33?42004?200

57．利用有理數的加、減法，將下列各式寫成便于計算的形式，和同伴比較一下，看誰的方法較簡便．

（1）9+19+29+39+?+99；（2）36+37+38+?+44．

8．小亮用50元錢買了10枝鋼筆，準備以一定的價格出售，如果每枝鋼筆以6?元的價格為標準，超過的記作正數，不足 的記作負數，記錄如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，9，0.9．

（1）這10枝鋼筆的最高的售價和最低的售價各是幾元？

（2）當小亮賣完鋼筆后是盈還是虧？

作業

1、小京同學在計算16+(-24)+22+(-17)+(-56)+56時, 利用加法交換律、結合律先把正負數分別相加,得16+22+56+[(-24)+(-17)+(-56)].你認為這樣算能使運算簡便嗎?你認為還有其它方法嗎?

姓名： 成績：

2、用簡便方法計算:(1)103.78+(-26)+(-39)+(-38);

(2)12.7+(-24.6)+(-29.1)+6.8;

(3)1.3+0.5+(-0.5)+0.3+(-0.7)+3.2+(-0.3)+0.7;

(4)(-109)+(-267)+(+108)+268;

(5)1?

(6)?32

11111????...........26122099001116?[5?(?3)?5.25?2]

3477

（7）????23?4???????11??5??3??2?2??????6??????8??????43??；

【熱身訓練】

1．（1）??11????13????5????6??4；

9??（2）??2.1????3.9????3????1.1?；

?10?

11116

（3）?32?5?3?5?12；

34747

?3?177?29?（4）?????????5；

?2?32?3?

2．（1）??6????6????7?；

（2）??4????2.7????3.2?；

?2??2??4?（3）???????????；

?3??3??5?

（4）0???7????1.2????9?；

（5）??0.67????0.01????1.99????0.67?；

（6）2?1???1????16????15.5????3.741????3????5?；

3?2???3??

第五篇：小學奧數三年級第5講平均數

第7講

平均數

一組數的和除以這組數的個數，稱為這組數的平均數。

例1、5個連續自然數的中間一個數是45，這5個數的和是多少？

分析5個連續自然數的第3個數是45，第2個（44）與第4個（46）相加是兩個45，第1個（43）與第5個（47）相加是兩個45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習1 計算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數個連續自然數的和等于中間一項乘以項數。換句話說，奇數個連續自然數的平均數就是中間的那個數。高斯求和方法的實質就是

和=平均數×項數

偶數個連續自然數的平均數不是整數，我們現在尚未學到。所以先將第一項加最后一項，第二項加倒數第二項……直至中間兩項相加，這些和都相等。而個數是項數的一半，所以偶數個連續自然數的和等于中間兩項的和（也即首末兩項的和）乘以項數除以2.例2、8個連續自然數的和是108，寫出這8個數。

分析

因為中間兩個數相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項的和可以求出來。

解 中間兩項的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項是13、14.這8個數是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數4個數到10，由14往后數4個數到17）答：這8個連續的自然數是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習2 6個連續自然數的和是273，這6個數中的第一個數是多少？

例

3、求出以下28個數的平均數: 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個數的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數，但比較麻煩。如果注意到25個連續自然數11、12、13，……，35的平均數是23（中間一項），那么就比較容易。

因為 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個數的平均數正好是23.隨堂練習3 求28個數：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數。

例

4、求數列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規律，并求這組數的和與平均數。

分析 數列的奇數項數的項組成等差數列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數列的偶數項數的項組成等差數列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數。但更為簡單的辦法是直接運用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數是27，也就是1+53可以換成2個27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數可以分成許多小組，各小組的平均數都相等，那么這個相等的數就是這組數的平均數（例4中，每個小組2個數的和是54，每個小組的平均數是27）。

隨堂練習4 尋找數列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規律，并求這數列的和。

練習題：

（1）求1至100內能被4整除余1的所有數的和。

（2）求1至100內既是3的倍數又是5的倍數的所有數的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個盒子中至少要放一個球，能不能使每個盒中的球數都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個座位，以后每排比前一排多2個座位，問：影劇院共有多少個座位？

（5）時鐘在每個整點時敲這鐘點數，每半點鐘時敲1下，問：一晝夜該時鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數的和。

（7）求1至100（包括100在內）的所有5的倍數的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個數列的第30項是哪個數？到第25項止，這些數的和是多少？

（10）24個連續自然數12―35，再添上一個35，一個13，兩個16.這28個數的平均值是多少？