第一篇：淺談數(shù)學教學中的逆向思維,

學術交流

淺談數(shù)學教學中的逆向思維

摘 要：逆向思維就是通常我們所說的分析法思維，是在解決問題時，為尋求最佳解答而從不同角度對問題進行分析時采用的、與習慣思維方向完全相反的一種思維。

關鍵詞：逆向思維 拓展學生的逆向思維 解題思路

數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。數(shù)學在提高人們的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用。而我們現(xiàn)行的數(shù)學課程標準的理念之一是：通過學習數(shù)學提高學生的數(shù)學素質(zhì)，即用數(shù)學的觀點和方法去處理在日常生活、工作及其它課程的學習中遇到的實際問題。教會學生正確而靈活的思維方法是達到這一目的的主要手段。在日常教學活動中，正向思維用得較多，這是從已知條件推出或?qū)С鼋Y論的一種思維方法，但是當已知信息很多時，學生往往不知從何下手解題，這時改從單一的終點出發(fā)推導就

授課過程中有意識的培養(yǎng)學生逆向思維，使他們擺脫單純機械的正向思維習慣，從而養(yǎng)成從不同角度去分析問題、解決問題的習慣，達到靈活掌握數(shù)學知識的目的。達到這一目的的過程還優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)了思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、深刻性。如何達到這一目標呢？

首先，經(jīng)常逆問

教學中，在學生正確理解概念、定理、公式、法則的基礎上，教師還要經(jīng)常有意識地挖掘互逆因素，進行逆向設問，這樣不僅可以使學生對新知識的理解更加深刻，而且還能消除學生的思維定勢所帶來的消極影響，培養(yǎng)逆向思維意識，養(yǎng)成雙向考慮問題的習慣。

例如：在學生學習共軛復數(shù)的性質(zhì)|_Z|?|Z|及

_ZZ?|Z|2之后逆向問學生：“模相等的兩個復數(shù)是

共軛復數(shù)嗎?”、“積是實數(shù)的兩個復數(shù)是共軛復數(shù)嗎?”、“你能將二項式x2?y2分解因式嗎?”這樣，可以加深對共軛復數(shù)性質(zhì)的理解。

可以改變解題時無從人手的困難。逆向思維就是一種

像上例可供逆向考慮的問題在教材中是無處不從結論或終點出發(fā)推出條件的思維方法。

在、無所不有的，我們教師應該有意識地抓住它，并逆向思維就是通常我們所說的分析法思維，是在予以適當?shù)奶幚恚湍苁箤W生養(yǎng)成雙向考慮問題的習解決問題時，為尋求最佳解答，而從不同角度對問題

慣，正向思維及逆向思維同步發(fā)展，減少正向思維對進行分析時所采用的、與習慣性思維方向完全相反的一種思維。這學期我所帶的兩個班是五年一貫501、502，他們的數(shù)學基礎普遍都很差，通常是面對一個問題顯得手足無措，缺少數(shù)學解題中應具備的應變能力。我對他們做了一定的調(diào)查了解，除了他們個別在知識掌握脫節(jié)外，大部分學生是由于掌握的概念、定理、公式、法則只習慣正向思維。久而久之，就產(chǎn)生一種先入之見，形成思維定勢面對數(shù)學題只習慣于正面思考問題，造成思維的片面和狹隘。這對培養(yǎng)學生的思維能力帶來了極大的消極作用。鑒于這種問題，我在18

逆向思維的抑制作用。

其次，注重逆用

長期的單向思維會使學生思維呆板，解題思路不靈活，所以教師應在課堂教學中抓住解題教學，注意經(jīng)常性地啟發(fā)學生逆向利用概念、定理(若逆定理存在)、公式、法則、就能有效地培養(yǎng)學生的逆向思維能力，拓展學生的解題思路。

1、逆用定義或逆用概念

許多數(shù)學概念是通過揭示其本質(zhì)屬性來定義的，學術交流

那么，由概念得出其本質(zhì)屬性以及由概念的本質(zhì)屬性而引出概念的定義就是一種互逆的過程，另外，某些概念存在逆概念，如函數(shù)與反函數(shù)，一一對應與逆對應等，教學中利用這種定義的可逆性及逆概念對問題進行分析研究，就能使某些解題過程得到簡化，使學生的逆向思維能力不斷提高。如下面的例子：

數(shù)學問題一般總是從正面入手進行思考，即從條件入手，求得結論，但也有些問題從正面思考很難找到解題思路，這時可引導學生改變思維方向，采用正難則反的思維，做逆向思考，即從結論入手或從結論的反面入手進行思考，這樣有時很容易找到解題的突破口。具體的做法有：

1、執(zhí)果索因——分析法 當一個題目的條件很難向結論靠攏時，可運用執(zhí)果索因的辦法來尋求解題的思路，即從命題的結論出發(fā)，逐步尋求使結論成立的充分條件，直至推出一個已知成立的式子。

例2 已知到另一焦點的距離就可利用橢圓定義的可逆性來求。

略解：設這點到焦點F1(3，0)、F2(0，-3)的距離分別為d1、d2，由于L是橢圓的一條準線，故知，例l 橢圓xy??1上有一點，這點到直線25162225l：x?的距離d＝5，求這點到兩焦點的距離。

3分析：只要先求出這點到橢圓右焦點的距離，它

sin(???)sin(???)，且?sin?sin???????k?，k?z，求

證:ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

dd1c3?，即1?，解之，得：d1＝3，故d255da2a-d1=10-3=7

＝

分析:條件等式中是正弦函數(shù)，而結論等式中是余切函數(shù)，顯然，從條件很難推出結論，因此采用分析法，從化“切”為“弦”入手，變換結論等式為條件等式。

2．逆用公式法則 在進行公式教學時，教師應對

證明：

公式作一些適當變形，并強調(diào)公式的逆向使用，學生

要證在遇到相關的問題時就能做出有益的聯(lián)想，會對公式作逆向使用。如進行(n?1)!?(n?1)n!的教學后，ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

只需證明指出(n+1)n!=(n+1)!、n×n!+n!＝(n+1)!、n×n!=(n+1)!-n!、n!=(n+1)!-n×n!等一系列變形，學生在ctg??ctg(???)?ctg??ctg(???)

即：進行“證明：1!+2×2!+3×3!+…+n×n!＝(n+1)!-l”時，很容易將式子中的每一項n×n!變形為(n+1)!—n!，從而構成部分交錯相消項，使問題得到較簡捷的證明。

如果學生在逆用概念公式中嘗到了甜頭，就會大大激發(fā)起對“逆用”的興趣，這無疑對其逆向思維的培養(yǎng)有著積極的推動作用。

再次，要逆思

我們要正確解題就需要有正確的解題思路，解決

cos?cos(???)cos?cos(???)???sin?sin(???)sin?sin(???)只需證明

sin(?????)sin(?????)?

sin?sin(???)sin?sin(???)因??????k?，故sin(?????)?0

因此，只需證明 19

學術交流 ?sin?sin(???)sin?sin(???)即：

淺談啟發(fā)性日語教學

——如何營造一個協(xié)調(diào)的日語聽力課堂氣氛

外國語學院

任鳳鳳

摘 要：21世紀的社會，是一個開放的社會，隨sin(???)sin(???)?sin?sin?由已知條件可知上式是成立的，且以上推證的每一步都可逆，這就證明了

著我國加入ＷＴＯ及國際交流的日益頻繁，經(jīng)濟全球化的相互交融，國際間各種商務活動如：會議、接待、招聘、議價等，越來越頻繁。而日本經(jīng)濟的強大使得日語在國際交流中的作用越來越受到重視，日語逐漸在國際上盛行起來。隨著這一趨勢的發(fā)展，現(xiàn)在許多大學都開設日語專業(yè)來滿足社會的需求。那么作為一名大學教師如何能讓學生更好的掌握日語語言的這門技能呢？

關鍵詞： 日語教學 語言技能 培養(yǎng) 溝通 在日語語言中有四大技能：聽、說、讀、寫。其中聽力占主要成分。因為訓練聽的能力，有助于全面提高學生的日語交際能力，所以加強聽力教學，培養(yǎng)學生的語言感悟力、理解力、創(chuàng)新力，成為日語教學的一項重要任務。

聽力主要由兩個部分構成。即迅速正確地辨音解義的能力、理解語言內(nèi)涵的能力，亦稱“文化悟力”。這兩種能力表現(xiàn)在日語聽力課堂上，即為識記磁帶發(fā)出的語音形式，準確地辨析詞義，然后從詞義、句義到文章中心大意，迅速辨析、思索、組合、歸納，并從中悟出講話內(nèi)容的中心所在。這種能力除指對語言知識本身的理解能力外，還應包含對有關文化知識的理解和占有能力，包括經(jīng)濟、文化、天文、地理、歷史以及簡單的科普知識等等。對這些知識的占有與理解無疑會提高對所聽到信息的理解程度，從而使悟出的語義更深刻，更準確。

那么，怎樣培養(yǎng)學生聽力呢？ ctg??ctg??ctg(???)?ctg(???)

2、否定結論——反證法

有些命題不論是從條件入手，還是從結論入手，都很難找到解題思路，這時，可考慮從結論的反面入手，逐步推出與已知事實相矛盾的結論，從而否定結論的反面，達到證明原命題的目的。

3、反面求解——反求法

證明題在直接證明不易時，可采用反證法，同樣，解答題在直接求解不易時，也可以考慮從問題的反面求解。

4、否定命題——反例法

數(shù)學中并非每個命題都是真命題，有的命題雖從多方面進行推證，但仍不能得出結論，因此，很自然地對這個命題的真假產(chǎn)生了懷疑，從而設法否定命題，而這只需舉出一個符合命題的條件，但不符合命題的結論的例子——反例，就可以了。實踐證明：教學中采用：“逆問、逆用、逆思”的手段，培養(yǎng)學生的逆向思維能力是切實可行的，也是行之有效的。

[參考文獻]

1、邵瑞珍 《教育心理學》 上海教育出版社

2、任樟輝 《數(shù)學思維論 》 廣西教育出版社

3、鄭均文、張思華 《 數(shù)學學習論》廣西教育出版社

4、陳潔恩 《培養(yǎng)逆向思維能力的幾點做》 中學教研(數(shù)學).培養(yǎng)聽力，首先要突破聽力障礙，掌握“聽”的基本技能。學生或一般日語學習者在日語聽力訓練中存在學術交流 的聽力障礙主要有四個：①語音障礙②語義障礙③心理障礙④文化悟力障礙。其中，聽力的語音障礙，為這四種障礙之首。日語學習者應下決心攻破它，然后向更高層次邁進。

往會導致其在做聽力題時腦中一片空白，從而影響聽力活動的順利進行。因此，聽力訓練應在輕松愉快的氛圍中進行。教師上課態(tài)度要親切，語言要生動、幽默，注意多鼓勵、多表揚，消除學生的緊張心理。對于聽力較差的同學要耐心細致地加以指導。

一、突破語音障礙，掌握聽力基本技能

掌握聽力基本技能，首先應突破語音知識關。日語語音知識主要包括五個方面的內(nèi)容：濁音，半濁音，拗音，撥音，語調(diào)。突破語音知識關的辦法是：認真聽，注意模仿，用心記憶，并跟老師或錄音機進行糾正，堅持反復訓練和檢測。

比如：在西餐館吃飯的會話。可以虛擬一個場景讓學生進行模仿訓練。學生對這種訓練很感興趣，起到很好的口語訓練效果。合適的多練是培養(yǎng)聽說能力的有效方法。作為一名教師，就如同交響樂隊的指揮，他不是演奏者，而是指導學生演奏的人。他要根據(jù)所學內(nèi)容，組織指揮進行大量豐富多彩的練習，時而提問題、時而重述、時而朗讀，或一個人演奏或兩個人合奏或齊奏，在他的指揮下，整個課堂充滿緊湊而活躍的學習氣氛。在這樣的氣氛中學習，學生會感到新鮮多樣，趣味無窮。外語學習就會達到事半功倍的效果。學生不再是學習的奴隸而是主人。

四、如何進行系統(tǒng)的聽力訓練

1． 聽、說相結合。聽和說是不可分割的整體。按照辯證法的原理，聽和說是一對矛盾的對立和統(tǒng)一，它們既相互制約又相互促進。聽的能力提高了，可以為流利準確的表達創(chuàng)造條件，只有聽得懂才能說得出；而說的能力提高了，則反過來促進聽力水平的進一步提高。教師首先要向?qū)W生提供規(guī)范的語音、語調(diào)，然后要求學生在反復聽的基礎上進行反復朗讀、背誦，培養(yǎng)語感。教師應積極、主動地組織學生利用課內(nèi)外的一切機會練習日語口語，多用日語表達。除每節(jié)課安排五分鐘的 [休み]外，還可開設日語角、做日語游戲、舉辦日語晚會、教唱日語歌曲、舉行日語朗誦、演講比賽等。

2． 聽、寫相結合。一是：默寫。默寫要求較高，可分步進行，從默寫單詞開始，然后到短語、句子等。二是：填空。一段對話或一篇短文填空，由于訓練材料語速較快，要求學生集中精力去聽、去理解，并且還得具有熟練的書寫單詞能力。錯誤！鏈接無效。、堅持用日語授課，創(chuàng)建良好的語言環(huán)境

語言的學習需要一個良好的環(huán)境，日語教師應充分利用課堂四十五分鐘，盡量用日語組織教學，為學生營造良好的日語氛圍。這樣不但對提高學生日語聽力水平大有裨益，而且會使其對學習日語產(chǎn)生興趣。

五、幫助學生掌握聽力技巧

1． 辨音題。一般錄音最多放兩遍，所以聽錄音時必須高度集中注意力，思維要敏捷，判斷要準確、果斷，要相信自己。在聽之前，先看一遍所給詞匯，注意它們的不同點。

2． 對話題。要求學生看完題目后，對聽的材料作出判斷，這是聽者理解并掌握所聽內(nèi)容的首要條件。這可以幫助聽者積極地想像、推理和判斷，發(fā)揮學生的能動性，有助于聽者理解所聽內(nèi)容。如材料的題目是：レストランで食事をします，聽者應先想一下所學的訂餐及在餐館吃飯時的一些用語和情景，在聽的三、選擇合適的聽力材料

教師為學生選擇的聽力材料要考慮難易適度、語速適中。否則會由于生詞過多而影響學生對材料內(nèi)容的理解從而造成厭學的心理。另外，所選材料應注意其知識性和趣味性。如選擇一些幽默故事、風土人情、人物簡介、日語歌曲等這樣能使學生產(chǎn)生對日語的興趣，創(chuàng)建輕松愉快的聽力氛圍。過分的緊張和焦慮往 21

學術交流

過程中對比自己的想法同所聽的材料有哪些異同。再如碰到填空題，可以根據(jù)語法現(xiàn)象及固定搭配來猜測該填什么，然后再聽音。對話常為一男一女，對話結束時，由第三者提もんだい，然后作出選擇。做這類題時要先快速瀏覽選項，根據(jù)選項提供的信息進行推斷。例如 ：（A）レストランで 食べます

(B)家で 食べます(C)食堂で 食べます 三個選項都是地點，在聽時要注意對話的內(nèi)容、環(huán)境，做出正確的判斷。根據(jù)訓練內(nèi)容，設計好聽力課的教學步驟，逐步提高學生的聽力。

3．短文理解題。明確聽的任務，讓學生帶著問題去聽。讓學生在聽的過程中盡量聽懂每個詞是不可能的，只要聽懂中心內(nèi)容基本就能理解全文。但是相當一部分學生不善于抓主要內(nèi)容，只根據(jù)材料的只言片語進行理解，不能通過對各個局部的理解找到上下文之間的聯(lián)系，結果對整段內(nèi)容產(chǎn)生片面理解，得出錯誤結論。正確判斷辯識標志。聽力材料中往往有一些明顯的特殊標志，是聽力測試取得成功的重要環(huán)節(jié)之一這些標志往往提示上下文的邏輯關系，如轉(zhuǎn)折、條件、讓步、因果、比較、并列等。

例如：Ａ：明日はいっしょに 映畫へ行きませんか。それから レストラで食事でも…… Ｂ：でも、あさっては試験ですから、ちょっと??

其中A [でも] 表示提示，列舉。B中的 [でも] 表示轉(zhuǎn)折，[ちょっと] 后面話沒有說完，它表示委婉的拒絕。所以在聽的過程中要找關鍵詞。有可能一個詞一個語調(diào)就會改變整個一句話的意思。所以要在聽得過程中不要只光聽前半句，要把整個句子聽完，因為日語的語法是主、賓、位，表達意思一般主要在句子的句末，所以要判斷這一句是肯定還是否定，就要有耐心聽完整個句子，注意句中出現(xiàn)的標志性詞語，否則就會弄錯。

例如：[私の話がほとんど聞き取れないんじゃな

いか]這句話中有兩個否定詞如果只聽到一個 [ない] 就馬上下結論說這是個否定疑問句的話就完全錯誤了。繼續(xù)聽完這一句話就知道這句話是個肯定的疑問句。所以學生要善于把握這一點，可以在比較的過程中提高聽的能力。

4．理解檢查。學生聽完材料后，教師可以設置一些簡單的問題，并對不同層次的學生提問，以及時得到教學反饋。然后讓學生討論，相互補充，達成共識。最后教師可以邊放錄音邊讓成績較好的學生逐句復述聽力內(nèi)容。教師應注意聽說結合，為了說得出，必須聽懂，只有聽懂了，才能說得出，以說促聽，以聽帶說。

六、誘發(fā)興趣，提高聽力水平聽力是聽和理解能力的總和，是積極思維的過程，教師應循序漸進地設計每堂聽力課，在有效培養(yǎng)學生聽力的同時，注意培養(yǎng)學生的聽力興趣。興趣是學習的動力，對聽音感興趣的學生，課堂上積極主動、心情愉快，聽音效果良好。教師應采取靈活多變的方式，激發(fā)學生的聽力興趣，調(diào)動學生的積極性和主動性。對一些較難的材料，在聽之前教師可以把內(nèi)容簡單復述一遍讓學生有大體了解，并提出問題及要求，讓學生帶著問題聽，這樣學生易于接受，同時也增強了他們的自信心。做這類題要注意抓住關鍵詞，找主要意思。一篇短文聽完，務必了解六個どうして問題，無須每句話每個詞都聽懂，注意從短文內(nèi)容的整體上理解，切忌把太多的時間花在某個生詞或難句上。在聽的過程中做好記錄，如筆記時間、地點、人物、內(nèi)容、結果等，這樣在聽第二遍時還可以進行檢查、核實，作出必要的修改，最后敲定正確答案。

總之，日語聽力的提高是一個長期的、漸進的過程，我們從一開始就要有計劃、有步驟、持之以恒地進行聽力訓練和培養(yǎng)。教師應把聽力訓練作為學習其他技能的基礎，培養(yǎng)學生養(yǎng)成聽的習慣，進一步提高學生的聽力水平。

第二篇：讀書筆記__逆向思維

讀書筆記：“逆向思維，出奇制勝”

人類的思維具有方向性，存在著正向與反向之差異，由此產(chǎn)生了正向思維與反向思維兩種形式。

正反向思維起源于事物的方向性，客觀世界存在著互為逆向的事物，由于事物的正反向，才產(chǎn)生思維的正反向，兩者是密切相關的。人們解決問題時，習慣于按照熟悉的常規(guī)的思維路徑去思考，即采用正向思維，有時能找到解決問題的方法，收到令人滿意的效果。然而，實踐中也有很多事例，對某些問題利用正向思維卻不易找到正確答案，一旦運用反向思維，常常會取得意想不到的功效。這說明反向思維是擺脫常規(guī)思維羈絆的一種具有創(chuàng)造性的思維方式。

逆向思維能令學生打破常規(guī)的束縛，立新創(chuàng)意，起到柳暗花明的教學效果。經(jīng)典案例：

我國著名教育家葉圣陶大師對如何啟發(fā)學生的逆向思維方面就頗有研究。

我們來看看葉先生在作文教學中的精彩片斷。

葉先生問學生：“你們誰能說說?飛蛾撲火?這個成語的意思？” 這個問題太小兒科了，學生們紛紛舉手。

“太簡單了，自取滅亡。”、“自不量力。”

“不就是明知山有虎，偏向虎山行的意思嗎？”

……

學生們你一言我一語爭先恐后地回答。

葉先生微微一笑：“大家都說對了。但是，我們能不能從另外一個角度去解釋這個成語呢？”

學生們面面相覷、抓耳搔腮。“另外一個角度？”

“怎么解釋啊？”

大師不急不忙：“我給大家一個提示，就是從另一個相反的角度去考慮，或者說，換位思考，站在第三立場上思考這個成語。”

還是沒有學生舉手發(fā)言。

葉先生耐心地說道：“我剛才聽見有同學在解釋?飛蛾撲火?時，說?明知山有虎，偏向虎山行?。這個解釋很好。你們再想想，這只飛蛾明知前方有危險，但還是勇敢地沖上去，這是一種什么精神？”

學生們恍然大悟：“啊。?飛蛾撲火?可以理解成?不怕犧牲、舍生取義?。” 葉先生吁了一口氣：“對，你們真是太聰明了。”

學生們終于找到了感覺“就是從反義的角度考慮考慮啊。”“還可以理解成?追求光明?，是嗎？” ……

學生們的思維拓展的越來越寬。

葉先生十分高興：“飛蛾撲火本來是個貶義詞，但我們卻通過某種客觀分析，把它變成了褒義詞。”這就是我今天要講的?在作文寫作中如何應用逆向思維?的內(nèi)容。逆向思維就是突破常規(guī)、常識，從一個相反的角度去寫，往往使作文寫起來比較有新意。有些同學所寫的作文當中，幾乎是千篇一律，根源就在于我們學生不能突破常識，不能從新的角度去挖掘……”

學生們豁然開朗，很快就明白了老師的用意。

葉先生見學生們都理解得差不多了，便道：“如果我讓大家寫一篇以?我看狐假虎威?命題的作文，你們準備怎么去寫？”

很快就有學生舉起了手：“老師，這篇作文可以從以下幾個方面著手。一是從狐貍的聰明才智上著手，它為了能在動物中混得一席之地，借力打力應該是個很不錯的方法。二是從老虎的虛榮心上著手，它只是為了排場，以顯示百獸之王的威風……”

一次看電視，有一位教授講了一個故事，讓我銘記在心。說的是眾人皆知的“兔子和烏龜賽跑”的故事。第一天，兔子因為中途睡了覺，結果兔子吸取了教訓，中途沒有睡覺，一口起跑到終點，兔子贏了；第三天，烏龜不服氣，說要重新選擇路線，它選了一條有大河的路，兔子不會游泳，過不去，結果烏龜慢慢地游了過去，烏龜贏了；第四天，兔子和烏龜商量，陸地上我背著你跑，在大河里你馱著我游。烏龜心眼小，擔心兔子中途使壞，把自己摔個鼻青臉腫，所以沒有同意；第五天，烏龜又提出重新跑，兔子心想：即便是跑到天邊，我也不怕你，于是，欣然答應。誰知兔子剛跑到終點，發(fā)現(xiàn)烏龜早在終點等著它，兔子那里知道，烏龜讓它的弟弟提前在終點等候，烏龜長相都差不多，兔

子那里知道這是計策，只好認輸。這個故事讓我悟出許多道理。還有人們常說的?愚翁移山?是破壞了大山的環(huán)境和植被，人們因為挖山，窮得連個媳婦都娶不上，那里來的子子孫孫？；打虎的武松竟被公安局抓起來了，因為他打死了國家的一級保護動物；?一個和尚有水吃，三個和尚沒水吃?也被進行了改編，說的是三個和尚搞技術革新，直接把水從山上引到廟里，水多得吃不完的故事。人們常說的?孔融讓梨?也成了問題，因為孔融知道，大梨是化學藥品催大的，所以才要了最小的梨；大家熟知的司馬光砸缸救人的故事，其實他砸的缸是國家一級保護文物，理應判刑等等。這些故事雖近荒唐，但是說明了一個道理，任何事物都有幾重性，遇事最好是多問幾個為什么才好。呂淑湘先生說：“如果說一種教法是一把鑰匙，那么，在各種教法之上還有一把總鑰匙，他的名字叫做?活?。”成功的教師之所以成功，就是因為他把課教“活”了。葉圣陶老先生還認為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學。教是為了不需要教。……就是說咱們當教師的人要引導他們，使他們能夠自己學，自己學一輩子，學到老。教育改革，首先要改革的便是教育工作者的工作方式，撤銷掉禁錮學生的思想籬笆，讓學生海闊天空、百花齊放！讓他們的逆向思維也來個百家爭鳴！當然，逆向思維立意的目的不是鼓勵學生們面面獵奇，不是亂發(fā)議論，不是任何情況都可以使用，他同樣要求論之有理，述之有據(jù)，要有說服力。這才能達到有利發(fā)展學生智力，使學生的思維如萬馬奔騰般活躍的目的。

第三篇：逆向思維數(shù)學應用

談“逆向思維”在數(shù)學教學中的運用和培養(yǎng)

分享到： 0

談“逆向思維”在數(shù)學教學中的運用和培養(yǎng)

俄羅斯著名教育家加里寧說：“數(shù)學是思維的體操”。正如體操鍛煉可以改變?nèi)说捏w質(zhì)一樣，通過數(shù)學思維的恰當訓練，逐步掌握數(shù)學思維方法與規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰Γ部梢耘囵B(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識。在數(shù)學教學中應用多種思維方法教學是培養(yǎng)學生能力的重要途徑之一，思維是智力的核心。觀察、分析、想象、推理、判斷都與思維密切聯(lián)系在一起。培養(yǎng)學生的思維能力是數(shù)學教學中落實素質(zhì)教育的關鍵，也是數(shù)學科素質(zhì)教育的核心。近幾年來，部分省市中考數(shù)學試卷時有出現(xiàn)一類需用逆向思維來求解的題目，下面就逆向思維在數(shù)學解題中的應用和如何培養(yǎng)學生的逆向思維，談幾點看法：

一、“逆向思維”在解題中的作用 問題的引入

甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減4，結果相等，問甲、乙、丙、丁各是多少？

本題若從正面分析，正面列式完全是可以解出來的，但要假設4個未知數(shù)，列4個方程，解起來會比較麻煩，而運用“逆向思維”卻“輕而易舉”。可以設這四個運算結果相等的數(shù)為x，這樣就可以比較快地求出甲、乙、丙、丁這四個數(shù)分別是14、12、9、8。這樣一種思維方式就是逆向思維。它的特點是不盲從別人的觀點而善于提出新思路、新方法的一種創(chuàng)造性思維，它是從反面考慮問題的一種方式，通常要打破習慣性的思維方法，有意做出與習慣思維方向（正向思維）完全相反的探索，順推不行時考慮逆推；直接解決麻煩或復雜時考慮間接；探討可能性發(fā)生困難時，要考慮不可能性；應用公式法則不湊效時，反過來用??因此當反復思考某個問題卻“山窮水盡”時，逆向思維經(jīng)常會出現(xiàn)“柳暗花明”的境地，還會達到事半功倍的好效果。也就是說，對于某些問題，有時逆向思維優(yōu)于正向思維。例如－，－，－，－ 的大小，按慣例是先通分母再比較大小，但本題分母較大，通分母比較麻煩，于是有人另僻蹊徑，不通分分母而先通分分子，再比較大小，于是原題就變?yōu)楸容^ 的大小，這樣不但節(jié)約了時間，而且還培養(yǎng)逆向思維的習慣，從而提高了智力。此外，逆向思維在某些問題還會對正向思維起到推動和促進作用。

例 已知：x+y+z= + + =1 求證：x、y、z中至少有一個等于1。

分析：本題結論反面情況是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0將左邊展開后再與條件比較，發(fā)現(xiàn)矛盾。即得原題的結論。證明：設x、y、z都不等于1 則x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0

∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0

即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0(1)又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx(2)∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0(3)(1)、(3)式發(fā)生矛盾 ∴原結論成立。

完成這個證明過程后，我們又可以從中得到啟發(fā)，啟發(fā)我們?nèi)魪臈l件出發(fā)，用正向思維完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一個等于1。證明：由條件得x+y+z－1＝0(1)xyz－(xy+yz+xz)＝0(2)(1)＋(2)得 ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0 ∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0 即x、y、z中至少有一個等于1。

二、“逆向思維”在解題中的應用

1、“逆向思維”在解方程有關問題中的應用 例1 已知關于x的二次方程

ax2＋2bx＋c＝0

bx2＋2cx＋a＝0

cx2＋2ax＋b＝0 中，至少有一個方程有不同的實數(shù)根，試求出a、b、c應滿足的條件。

分析：這題若從正面出擊，因情況復雜難以下手，但是若從“三個二次方程至少有一個不同的實數(shù)根”的反面，即從“三個二次方程都沒有不同的實數(shù)根”去考慮，則比較容易得到它的結果。

解：設這三個二次方程都沒有不同的實數(shù)根

三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0 整理得 〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0 但（a－b）2≥0

（b－c）2≥0

（c－a）2≥0 ∴a＝b＝c 又已知a≠0 b≠0 c≠0故求得原題應滿足的條件為：a，b，c為不全相等的非零實數(shù)。例2 若解關于x的分式方程

時不會產(chǎn)生增根，求k的取值范圍。

分析：考慮到不會產(chǎn)生增根的反面是產(chǎn)生增根，從全體實數(shù)中除去產(chǎn)生增根時k的值即為原題的解。

解：去分母得

(x+2)(k－k2)=x2－5x－2 若方程產(chǎn)生增根，則(x+2)(x－2)＝0 此時x1=－2 x2＝2 ①當x=－2時，k無實數(shù)解

②x＝2時，解得k1=－1 k2＝2 ∴當k≠－1且k≠2時，原方程不會產(chǎn)生增根。

2、“逆向思維”在解決有關函數(shù)問題中的應用

例 若二次函數(shù)y＝mx2＋(m－3)x＋1的圖像與x軸的兩個交點至少有一個在原點的右側(cè)，求m的取值范圍。

解：從正面考慮，情況比較復雜，設兩個交點都不在原點的右側(cè)，則y＝0時，方程有兩個根都小于或等于0，于是有 由此解得m≥9

其反面是m＜9，又因為二次函數(shù)圖像與x軸有交點，所以還必須有△≥0，且m≠0，即 ∴m的取值范圍是m≤1且m≠0.3、“逆向思維”在幾何證題中的應用

例 設o是△ABC內(nèi)一點，AO、BO、CO延長后，分別交對邊于D、E、F。試證： 三個中至少有一個不大于2。

證明：本題若從正面考慮有三種情況比較復雜，從反面考慮

設 都大于2。

即

由此推得AO＞2OD，AD＞3OD, 同理

故命題得證。

4、“逆向思維”在排列組合中的應用

例 今有一角幣一張，二角幣一張，五角幣一張，一元幣4張，五元幣二張，用這些紙幣任意付款，則可以付出不同數(shù)額的款共有多少種？

分析：從正面去分析，涉及重復排列組合，顯然十分復雜，故應改從反面去分析，從一角到最高幣值148角共有148種幣值，從中去掉不可能構成的幣值就可以，而不能構成的幣值應該是4角、9角、1元4角、1元9角?到14元4角共29種幣值，故148－29＝119，即剩119種。

5、“逆向思維”在數(shù)論中的應用

例1 求1～50各整數(shù)中，不能被7整除的所有數(shù)字之和。

分析：要直接求出1～50各整數(shù)中，不能被7整除的整數(shù)之和S1是有些費事，但1～50各整數(shù)之和可以用數(shù)學家高斯簡捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整數(shù)中能被7整除各數(shù)7，14、21、28、35、42、49之和S2＝196，從而求得S1＝S－S2＝1079。解 ：（略）。

例2 1984年美國數(shù)學邀請賽有這樣一道題目：不能寫成兩個奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？

分析：從正面推算甚是復雜，但從反面去思考，一一去掉那些能分成兩個奇合數(shù)之和的偶數(shù)卻十分容易，組成偶數(shù)的末位數(shù)應是0、2、4、6、8，共5種，因此，（1）末位為0者，經(jīng)驗算10、20合格，但30＝15＋15，40＝15＋25?故應去掉30及30以上的末位為0的整數(shù)。

（2）末位為2者，經(jīng)驗算2、12、22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25?故應去掉42及42以上末位為2的整數(shù)。

（3）末位為4者，經(jīng)驗算4、14都合格，但應去掉24＝9＋15 34＝9＋25?即24及24以上末位為4者。

（4）末位為6者，經(jīng)驗算6、16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25?應去掉36及36以上末位為6的整數(shù)。

（5）末位為8者，經(jīng)驗算8、18、28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25?故應去掉48及48以上末位為8的整數(shù)。綜上所述，合題意的應是38。

6、“逆向思維”在實際問題中的應用

例 一個人以每小時3公里的速度沿一條有電車過往的街道行走，他注意到，在有40輛與它同向的車從身邊駛過的時侯，有60輛車相向駛過，請問電車的平均速度是多少？

分析：在這個問題中，人和車都是動的，如果從這方面分析問題就比較復雜，但是動的反面是靜的，將行走著的人想象為站立不動，且設電車的車速為x公里/小時，這樣與人同向電車的車速為（x－3）公里/小時，與人逆向的電車車速為（x＋3）公里/小時，此時車速與車輛數(shù)成正比，即，解得x＝15公里/小時。

三、培養(yǎng)學生逆向思維能力的有效途徑

從以上幾個例子，我們可以看出，“逆向思維”在解決一些數(shù)學問題與一些實際問題時，確是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平時的教學中，應如何培養(yǎng)和提高學生的“逆向思維”的能力呢？

1、教師在平時教學中要多講一些有關要用到“逆向思維”的例子，鼓勵學生要有采用“逆向思維”的勇氣與良好的意志，要諄諄告誡學生，當一切“正向思維”已山窮水盡時，這表明犯了方向性的錯誤，此路不通就要反其道而行之，這樣就可能會馬上奏效。

2、培養(yǎng)學生的“逆向思維”，要在平時的教學過程中，從最簡單、最基本以及日常生活中的實例開始，要不失時機用互為逆運算、逆變形來簡化解題過程，訓練逆向思維，使學生慢慢培養(yǎng)和具備逆轉(zhuǎn)心理的習慣，使學生能從多角度和全方位地研究數(shù)學問題。下面就初中數(shù)學中比較常遇到的要用逆公式、逆法則、逆定理來解題作一個簡要介紹。（1）逆用分式加減法則 例1 計算 分析：∵ 同理

解：原式＝

＝??＝ 例2 化簡 解：∵

∴原式＝

＝ ＝

＝1（2）逆用同底數(shù)冪乘法法則[ am2an＝am + n，am÷an ＝ am2n(ab)m＝am bm，(am)n＝an m ] 例1 已知10m＝2，10n＝3。

求（1）103m－2n(2)102m＋n 的值 解：（1）103m－2n＝(10m)3÷(10n)2＝23÷32=(2)102m＋n＝(10m)2210n=2223＝12。例2 計算(0.125)20013[(－2)2001]3 解：原式＝(0.125)20013[(－2)3]2001 ＝[0.1253(－2)3]2001＝－1（3）逆用乘法公式[(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2=a2±2ab+b2] 例1 分解因式：a2n－b2n－2bn－1 解：原式＝(an)2－[(bn)2+2bn+1] ＝(an＋bn ＋1)(an－bn －1)例2 計算 解：原式＝

＝2(2 － 2)＝ 4 －8（4）逆用二次根式中的公式 ＝|a| 例：求的值。解：

（5）逆用一元二次方程根的判別式

例 已知a、b、c、d為非零實數(shù)且滿足(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 求證：b2＝ac 證明：∵a、b、c、d為實數(shù)且(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 ∴一元二次方程(a2+b2)x2－2b(a+c)x+b2+c2=0有一根為d（d為實數(shù)）∴△≥0即[2b(a+c)]2－4(a2+b2)(b2+c2)＝－4(b2－ac)2≥0，∴(b2－ac)2≤0

∴b2－ac＝0 ∴b2＝ac 故命題得證。（6）逆用韋達定理

例 已知實數(shù)a、b、c 滿足a＝6－b，c＝ab－9。求證：a＝b

3、注意訓練學生“反向變題”能力

為了說明問題的方便，特引入“反向變題”這個概念。所謂“反向變題”就是把數(shù)學題中的“已知”和“求證”在一定條件下互相轉(zhuǎn)換，而形式有異于原題基本思想的新題型。例如“在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求證：AC ＝AD2AB。對于此題，我們可以把反過來，“在ABC中，CD⊥AB于D且AC ＝AD2AB”。求證∠ACB＝90°”。像這樣可以互相轉(zhuǎn)換的題目在初中數(shù)學課本中是可以找出不少。

綜上所述，逆向思維在解決一些數(shù)學問題和實際問題時，確是可以起到一種令人意想不到的效果，它可以改變?nèi)藗冊谔剿骱驼J識事物的常規(guī)方法和思維的習慣，也可以培養(yǎng)和提高學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，因而可以比較容易引發(fā)超常的效應，但是要掌握好它決非一日之功，這需在平時的教學中逐步滲透和培養(yǎng)。當然我們在向?qū)W生滲透“逆向思維”時要反復強調(diào)運用“逆向思維”來解決問題應視具體情況而定，只有在反復思考某個問題，“正向思維”已“山窮水盡”時，才考慮運用“逆向思維”來解決問題。

第四篇：逆向思維在小學數(shù)學教學中的應用

逆向思維在小學數(shù)學教學中的應用

所謂數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，它直接支配著數(shù)學的實踐活動。所謂數(shù)學方法，是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，因此，人們把它們稱為數(shù)學思想方法。

古往今來，數(shù)學思想方法不計其數(shù)，每一種數(shù)學思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學生的年 齡特點決定有些數(shù)學思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學思想方法滲透給小學生也是不大現(xiàn)實的。因此，我們應該有選擇地滲透一些數(shù)學思想方法。現(xiàn)在我重點論述的是逆向思維在小學數(shù)學中的應用。

什么是逆向思維? 逆向思維也叫求異思維，是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維方式。也就是我們通常所說的“反過來想一想”。逆向思維新穎獨特，與其他思維方式相輔相成，是創(chuàng)新思維不可或缺的組成部分。逆向思維，在“逆”字上做文章，摒棄常規(guī)的順向思路，從對立的方向?qū)で蠼鉀Q問題的策略，是創(chuàng)新思維訓練的一大好方法，是小學數(shù)學教學的一個目標。

小學階段，學生的思維已具有了可逆性，重視對學生進行逆向思維的訓練，有利于加速學生思維能力的提高，有利于學生數(shù)學素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教學中，可以從以下幾方面進行訓練：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識；

2、注重公式的逆運用，激發(fā)逆向思維的興趣；

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨創(chuàng)性；

4、注意數(shù)學問題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺性。

一、從一道應用題的解答說起數(shù)學課上，老師出了這樣一題：“5箱一樣重的巧克力，如果從每個箱子里取出12千克，那么，5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來2只箱子里巧克力的質(zhì)量。原來每個箱子有巧克力多少千克？” 思路一：分析發(fā)現(xiàn)，用 算術方法很難解決。不妨設每箱巧克力重X千克，根據(jù)“5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來2只箱子里巧克力的質(zhì)量”，列式為：2X=5X―12 × 5，解得X=20 思路二：本例中，因為剩下的巧克力的千克數(shù)不好直接求出，不妨先求出“取出巧克力的千克數(shù)”。列式為：12×5=60（千克）；又因為“剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來2箱的質(zhì)量”，反過來，取出的巧克力的千克數(shù)就是（5-2）箱的質(zhì)量，那么，每箱巧克力的質(zhì)量為：（12×5）÷（5-2）=20（千克）

比較以上兩種思路可知：我們在解決同一個問題時，可以按人們認識事物的過程來考慮，即從條件到結論，從現(xiàn)象到本質(zhì)；也可以從結論出發(fā)，追溯使結論成立的充分條件，按事物變化的反方向進行思考。思路二就是人們常說的逆向思維。在小學階段，由于小學生的思維水平和語言文字的理解能力相對較低，習慣于順向思考問題，對于一些需要逆向思考的問題很難理解。

例如：池塘水面上生長著一些浮萍，它們所占水面每天增加1倍，經(jīng)過100天，整個池塘的水面長滿浮萍。經(jīng)過多少天池塘中的浮萍的面積為水面面積的一半？一些學生憑直覺得到答案為99天，但很少有人 能說清理由。此題如果運用逆向思維，則可迎刃而解。

二、逆向思維及其作用逆向思維是思維向直接相反方向重建的過程。

小學數(shù)學中的許多概念、性質(zhì)、運算、思路、方法等都具有可逆性。如加法和減法、乘法和除法、擴大和縮小、計量單位間的聚化、正反比例，要讓學生理解數(shù)學的這種可逆性，就必須具有相應的心理過程，即逆向思維的過程。有研究表明，小學階段，學生的思維已具有了可逆性，逆向思維的形成，說明學生思維的活動已達到抽象推理的水平。因此，在小學數(shù)學教學中，重視對學生進行逆向思維的訓練，有利于加速學生思維能力的提高，有利于學生數(shù)學素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

三、如何培養(yǎng)學生良好的逆向思維品質(zhì)在小學數(shù)學教學中，對學生進行逆向思維的訓練可以從以下幾方面著手：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識概念法則的教學是小學數(shù)學教學中的一個重要環(huán) 節(jié)，對數(shù)學概念的正確理解，對運算法則的熟練應用，僅靠正向思維是遠遠不夠的。因此，數(shù)學教學中可以通過逆向思維方面的訓練來加深理解基礎知識。數(shù)學中的許多概念法則來源于問題或問題本身存在著的互逆關系，這些都是培養(yǎng)學生逆向思維的極好素材。例如：在學習“倍的認識”之后，（1）、3的4倍是（），2的6倍是（）；（正向思維）一個數(shù)的3倍是12，這個數(shù)是（）；（逆向思維）12是（）的（）倍；（逆向思維）

2、注重公式的逆運用，激發(fā)逆向思維的興趣在數(shù)學上不少公式是由已知知識逆向思維，通過猜測并驗證而得到的，解題中，一些所謂技巧和靈活性也是由此而來的。而學生往往只習慣于從左往右地運用公式，缺乏逆向思維的自覺性和基本功。顯然，這對于學生數(shù)學能力的提高是相當不利的。在教學中注重對公式的逆運用，往往能達到出奇制勝的效果。

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨創(chuàng)性對于一些數(shù)學問題，在運用正向思維去解答時，教師也可以注意啟發(fā)學生運用逆向思維去求解，由此尋找解決問題的方法，這將產(chǎn)生意想不到的效果。正難則反，往往取得成功。如解答分數(shù)計算題：1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 分析：此題若按常規(guī)解法，即先通分再計算，顯然很繁瑣，學生往往感到困難，教師若引導學生聯(lián)想，則可給學生提供一種新的解題思路。即：1/6=1/2―1/3，1/12=1/3―1/4，1/20=1/4―1/5，1/30=1/5―1/6，1/42=1/6―1/7，由此將此題化為不通分而簡算之： 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 =（1/2―1/3）+（1/3―1/4）+（1/4―1/5）+（1/5―1/6）+（1/6―1/7）=1/2―1/7 =5/14 教學中，應注意經(jīng)常擺脫習慣的、傳統(tǒng)的、常規(guī)的、群眾的思維束縛，以便形成標新立異的構思，提高學生逆向思維的獨創(chuàng)性。

4、注意數(shù)學問題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺性。在數(shù)學問題解決過程中，任何一個正向問題都可以轉(zhuǎn)換為逆向問題，給出的條件越多，轉(zhuǎn)換成逆向思維的數(shù)量則越多。在學生正向理解某種數(shù)量關系后，可指導學生進行問題的逆向轉(zhuǎn)換，對原題實行倒向改編。如：鐵路工人鋪鐵路，平均每天鋪了6天，還有320米沒有鋪。這段鐵路長多少米？分析發(fā)現(xiàn)，此題的數(shù)量關系十分簡單，即：每天鋪的米數(shù)×天數(shù)+沒鋪的米數(shù)=鐵軌的長度，據(jù)此列式為：50×6+320=620（米）。教學中僅僅滿足于解答完就算，顯然過于淺顯，可將正向問題轉(zhuǎn)換為逆向問題，幫助學生實現(xiàn)由順而倒的思維轉(zhuǎn)換，可把問題作為條件，把三個條件 分別作為問題，這樣一題就變?yōu)槿滥嫦蝾}：

1、鐵路工人鋪一段長620米的鐵軌，平均每天鋪50米，鋪了6天，還有多少米沒有鋪？

2、鐵路工人鋪一段長620米的鐵軌，鋪了6天，還有320米沒有鋪，平均每天鋪多少米？

3、鐵路工人鋪一段長620米的鐵軌，平均每天鋪50米，還有320米沒有鋪，鋪了多少天？改編的三道題的數(shù)量關系表征與原題是一樣的，但在具體解答過程中，需要作逆向思考，難度則更大一些。而學生在解決數(shù)學問題時，通過最多的往往是一些逆向問題。因此，在平時教學中，教師應適時組織學生進行先順后逆的思維訓練，這對于培養(yǎng)學生思維的自覺性是大有裨益的。總之，在小學數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的逆向思維能力是一項長期而艱巨的工作，教師要有意識有步驟地培養(yǎng)和訓練。相信只要學生掌握了這種思維方式，他們考慮問題時的思路會更開闊，思維會更活躍。

教學實踐告訴我們，數(shù)學思維的發(fā)展是整體進行的，而逆向思維總是與順向思維交織在一起。因此，我們在教學中進行思維訓練時，也要注意逆向思維的培養(yǎng)，把培養(yǎng)學生逆向思維作為素質(zhì)教育的重要方面。緊扣在教學教材中存在著大量的順逆運算、順逆公式、順逆關系，注意對學生進行順向思維的訓練的同時，也要重視對學生進行逆向思維的培養(yǎng)，“思維能力的發(fā)展是學生智力發(fā)展的核心，也是智力發(fā)展的重要標志”。因此，在小學數(shù)學課堂教學中要充分挖掘教材中的互逆因素，有機地訓練和培養(yǎng)學生的逆向思維能力，以提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

主要參考書目

1)周述岐

數(shù)學思想和數(shù)學哲學

北京：中國人名大學出版社

1993 2)席振偉

數(shù)學的思維方式

南京：江蘇教育出版社

1995 3)黃翔

數(shù)學方法論選講

重慶：重慶大學出版社

1995

第五篇：逆向思維在數(shù)學分析中的作用

摘 要

數(shù)學分析是數(shù)學殿堂的基石性學科,其內(nèi)容的廣泛性與深刻性包含著形式多樣的數(shù)學思想與方法,而逆向思維在解決數(shù)學分析問題時別開生面.因此,本文就逆向思維在數(shù)學分析中作用進行初探.本論文中,首先闡述逆向思維的內(nèi)涵及其特征;其次將以數(shù)學分析為載體,選取逆向思維作為研究切入點,主要以舉例子的形式敘述了逆向思維在數(shù)學分析中的具體作用.無論其深化定義、定理的理解,高效的強化解題,批判性命題驗證,還是創(chuàng)新性數(shù)學品質(zhì),無不滲透出筆者最后總結性論述,即逆向思維在數(shù)學分析中具有舉足輕重的地位.二十一世紀的信息時代日新月異.數(shù)學思維無處不在,無時不有,而逆向思維就是在對數(shù)學文化素養(yǎng)的思想研究的基礎上,提高數(shù)學新意,感受理性美譽,體會數(shù)學文化品位,這已成為國內(nèi)外數(shù)學發(fā)展的重要趨勢.關鍵詞:逆向思維,作用,數(shù)學分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 錄

一、引言.......................................................3

二、逆向思維內(nèi)涵及特征.........................................1

（一）逆向思維的內(nèi)涵.......................................1

（二）逆向思維的特征.......................................1

三、逆向思維在數(shù)學分析中的重要性...............................2

四、逆向思維在數(shù)學分析中四種作用...............................3

（一）深化定義、定理理解...................................3

（二）高效強化解題.........................................6

（三）批判性命題驗證......................................11

（四）創(chuàng)新性數(shù)學品質(zhì)......................................15

五、結束語....................................................15

六、參考文獻..................................................17

一、引言

司馬光“砸缸救小孩”是一個古老而又優(yōu)美的傳說,機智的將常規(guī)的

“救人離水”轉(zhuǎn)變成“讓水離人”.他揭示了一個真理:逆向思維有時比正向思維更能高效解決實際問題,數(shù)學思維方法亦同.由于許多數(shù)學定義,數(shù)學公式,數(shù)學定理,數(shù)學運算以及解題過程均有可逆性,其作為可逆性理論為逆向思維提供理論依據(jù).它不拘泥常規(guī)、常法、善于開拓、變異,極有利于打破舊框框的束縛,解放人們的思想,培養(yǎng)思維的靈活性,使主觀能動性得以充分發(fā)揮,改變注入式數(shù)學思維應變能力不足的缺陷,產(chǎn)生認識上的新飛躍.這樣,就能使學生在親身的探索中,掌握數(shù)學分析知識間的內(nèi)在聯(lián)系,透徹地理解教材,鞏固所學知識,并能培養(yǎng)學生探索能力,打破思維定勢,激發(fā)學習興趣,開闊知識視野.二、逆向思維內(nèi)涵及特征

（一）逆向思維的內(nèi)涵

逆向思維又稱反向思維,通俗地講,就是在解決問題時,“一計不成，又生一計”,若把A?B的連續(xù)思維看作正向聯(lián)結,并稱這個心理過程為正向思維,那么就把相反的連續(xù)B?A看作為逆向聯(lián)結,并稱這一心理過程為逆向思維.逆向思考是思維向相反方向重建的過程.它是人們在研究過程中有意識地去做與習慣性思維方向完全相反的探索,就是站在對立角度上考慮、解剖問題,得到與公理、定理相悖的結論,或得到與條件相矛盾的結果,從反面達到解決問題的目的.思維的可逆性,使人們在認識客觀事物時,不僅可以順向思考,而且可以逆向思考;不僅可以從正面看,而且可以從反面看;不僅可以從因到果,而且還能執(zhí)果索因,正是這種逆向功能決定了逆向思維在創(chuàng)造活動中具有獨特的作用.（二）逆向思維的特征

愛因斯坦在論述自己科學活動時,曾多次提到“采取相反路線”,“反過來加以考慮”,即逆向思維,其具有以下本質(zhì)特征: 普遍性:逆向思維在各種領域中都有其獨到的適用性,由于對立統(tǒng)一規(guī)律是普遍適用的,而對立統(tǒng)一的形式又是多種多樣,有一種對立統(tǒng)一形式就有一種逆向思維的角度.懷疑性:逆向思維在某種程度上是以懷疑為手段,以掃除傳統(tǒng)偏見和謬誤,追求真理,發(fā)展科學為目的.批判性:逆向思維是與正向思維相比較而言的,正向思維是指常規(guī)的、常識的、公認的或習慣的想法與做法.逆向思維則恰恰相反,是對傳統(tǒng)、慣例、常識的反叛,是對常規(guī)的挑戰(zhàn),它能夠克服思維定勢,破除由經(jīng)驗和習慣造成的僵化的認識模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的選擇、有批判的理解.新穎性:循規(guī)蹈矩的思維和按傳統(tǒng)方式解決問題雖然簡單,但容易使思路僵化、刻板、擺脫不掉習慣的束縛,得到的往往是一些司空見慣的答案,其實,任何事物都具有多方面屬性,由于受過去經(jīng)驗的影響,人們?nèi)菀卓吹绞煜さ囊幻?而對另一面卻視而不見,逆向思維克服這一障礙,能夠隨機應變,觸類旁通,不受某種固定的思維模式的局限,往往是出人意料,給人耳目一新的感覺.創(chuàng)新性:逆向思維所追求的是創(chuàng)新和獨到,它不滿足于一般思維所研究的已知領域,主要注重于探求人類未知天地.將以前所未有的新角度、新觀點去觀察分析問題,思維方法創(chuàng)新獨特,能夠提出超常的想象.想別人所未想、求別人所未求、做別人所未做的事情.深刻性:它表現(xiàn)為深入思考問題,細致分析問題,不放過任何蛛絲馬跡來鉆研探索復雜問題背后的本質(zhì)屬性.此外,還有獨特性、靈活性和探究性.[1]

三、逆向思維在數(shù)學分析中的重要性

逆向思維重要性之一:常規(guī)思維難以解決的問題,通過逆向思維卻可能輕松破解.逆向思維重要性之二:逆向思維會使你獨辟蹊徑,在別人沒有注意到的地方有所發(fā)現(xiàn),有所建樹,從而制勝于出人意料.逆向思維重要性之三:逆向思維會在多種解決問題的方法中獲得最佳方法和途徑.逆向思維重要性之四:自覺運用逆向思維,會將復雜問題簡單化,從而使效率和效果成倍提高.逆向思維重要性之五:逆向思維可運用在各個領域.逆向思維最可寶貴的價值,是它對人們認識的挑戰(zhàn),是對事物認識的不斷深化,幫助我們克服正向思維中出現(xiàn)的困難,尋求新的思路,新的方法深化知識,開拓新的知識領域,在探索中敢于離徑叛道,大膽立異,并由此而產(chǎn)

生“原子彈爆炸”般的威力.再遇到新問題時就不會只走“華山一條路”了,而是“水路不通走旱路,條條大道通羅馬”,它是開拓型人才必備的思維品質(zhì).四、逆向思維在數(shù)學分析中四種作用

（一）深化定義、定理理解

數(shù)學分析這門課程研究的對象是函數(shù),所用的研究方法是極限方法,這種抽象又嚴謹?shù)睦碚擉w系要求必須深度掌握數(shù)列極限的定義,為數(shù)學分析的繼續(xù)學習打下堅實基礎.1.定義 設有數(shù)列?an?,a是有限常數(shù),若對任意??0,總存在正整數(shù)N,對任意正整數(shù)n?N,有 an?a??, 則稱數(shù)列?an?的極限是a(或a是數(shù)列?an?的極限)或數(shù)列?an?收斂于a(?an?是收斂數(shù)列),表為

liman?a或an?a(n??).n??數(shù)列?an?的極限是a,用邏輯符號可簡要表為: liman?a????0,?N?N?,?n?N,有an?a??[2]

n??思考 ①如何理解N不唯一? ②若???0,?N?0,當n?N時,?an?中有無窮多個項滿足an?a??,是否liman?a? n???1?(?1)n? 首先,舉反例??說明并計算N不是唯一的.?n?1?(?1)n?雖然數(shù)列an?1?(?1)n滿足對???0,?N?

2其次,分析數(shù)列?當n?2k?N時(k為自然數(shù)),雖然?an?中有無窮多個項滿足a2k?0??,但liman不存在.n??

這樣,即可對數(shù)列極限的??N語言有了本質(zhì)的認識和更精確的理解.[3]

函數(shù)極限與數(shù)列極限定義的不同,形式上的無關聯(lián)性造成不可相互轉(zhuǎn)化的假象,海涅定理恰恰證明了其本質(zhì)的相通性,構建起函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁,所以理解海涅定理的證明極其重要.而其充分性的證明則采取反證法(從命題的反面入手，通過合理論證找出矛盾,從而確認命題的真實性的一種間接證法,其基本依據(jù)是邏輯學中的矛盾與排中律,推知假設錯誤,故結論成立.其思維特點是逆向思維)推得.2.海涅定理 limf(x)?b?對于任意數(shù)列?an?,an?a且liman?a

x?a n??有l(wèi)imf(an)?bn??

分析 必要性,應用函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義可得極限limf(an)?bn??

充分性,因為在已知條件中,這樣的數(shù)列?an?是任意的,當然是無限多的,所以從已知條件出發(fā)直接證明有l(wèi)imf(x)?b是困難,運用反證法.x?a證明 必要性 已知limf(x)?b,即???0,???0,?x:0?x?a??x?a

有 f(x)?b??

n??對于任意數(shù)列?an?,an?a且liman?a,根據(jù)數(shù)列極限定義,對上述

??0,?N?N?,?n?N,有0?an?a?? 從而,?n?N,有f(an)?b??,即limf(an)?b

n?? 充分性 應用反證法.假設limf(x)?b,根據(jù)函數(shù)極限的否定敘述

x?a ??0?0,???0,?x:0?x?a??

有 取 ??1,?a1:0?a1?a?1,有f(a1)?b??0，11,?a2:0?a2?a?,有f(a2)?b??0, 22

..............??

11,?an:0?an?a?,有f(an)?b??0，nn

..............??于是，構造出一個數(shù)列?an?,an?a,因為?n? 所以liman?an??

1?0(n??)n顯然，limf(an)?b,與已知矛盾.n??

著名的Lagrange中值定理的論證,其輔助函數(shù)的構造,即用分析法(從結論著手進行推證,推得符合條件或易證命題,推證的每一步均可逆,是原命題得證的一種逆向思維解題法)推得.3.Lagrange中值定理

若函數(shù)f(x)滿足下列條件:（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);（2）在開區(qū)間(a,b)可導.則在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點c,使 f?(c)?f(b)?f(a).b?a分析 觀察發(fā)現(xiàn),Lagrange中值定理中的兩個條件與Rolle定理中的前兩個條件相同,當f(a)?f(b)時,Lagrange中值定理就是我們所學過的Rolle定理.也就是說,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于這種關系,自然會想到是否能夠引用Rolle定理去證明Lagrange中值定理的結論,如何利用Rolle定理,如何構造滿足Rolle定理的輔助函數(shù)?觀察圖像

由拉格朗日中值定理結論f?(c)?斜率,故可設k?

f(b)?f(a),其右端是一個常數(shù),即點c的b?af(b)?f(a),則有f(b)?f(a)?k(b?a),即

b?af(b)?kb?f(a)?ka,仔細觀察上式的特點,不難發(fā)現(xiàn)一個能使F(a)?F(b)的新函數(shù):F(x)?f(x)?kx.故,F(x)就是證明中所需要的輔助函數(shù).證明 令F(x)?f(x)?kx,其中 k?f(b)?f(a),由題設可知,F(x)在b?a

[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且F(a)?F(b),即F(x)滿足羅爾定理的全部條件,故在(a,b)內(nèi)至少存在一點c,使得F?(c)?0, 即f?(c)?f(b)?f(a),證畢.b?a

（二）高效強化解題

許多關于數(shù)學分析的計算、證明題,難以解決的是如何去觀察和分析問題的條件與結論,如何尋找條件與結論之間的聯(lián)系,如何證明才是正確的,而又怎么進行證明過程的論述,更為甚者不知如何才算證明完畢?此時,逆向思維就是解決數(shù)學分析問題一種行之有效的方法.?2?3?4例

一、證明:數(shù)列極限lim?n???3?nnn????4 ?1n分析 若直接證明此數(shù)列極限為4,沒有公式可以套用,此時可以考慮判斷極限存在性的兩個重要準則:兩邊夾定理和單調(diào)有界準則.這樣我們把要證明的極限與存在準則有機地聯(lián)系在一起,設所求數(shù)列為xn,目的是證明

xn?4(n??),那么,根據(jù)兩邊夾定理,需構造兩個數(shù)列yn和zn,使yn?xn?zn,且共同極限為4,這樣就轉(zhuǎn)化為如何構造這兩個數(shù)列yn、zn的問題.?4??4?4?4??z?證明 設 yn??,n?3??3???n???n???n1nnnn???, ?1n顯然yn?xn?zn,且limyn?limzn?4,有4?xn?4

?2?3?4 所以,lim?n???3?例

二、計算 ①limnnnn????4 ?1nn??(n?1)(n?2)?(n?n)

n ②limn??n(a?1)an分析 兩題看似復雜,實則巧妙.①可轉(zhuǎn)化為定積分定義形式,這類題目的特點是:先把極限轉(zhuǎn)化為某一函數(shù)在區(qū)間?0,1?上的定積分,再把區(qū)間?0,1?進行等分,從而把求極限問題轉(zhuǎn)化為求一個特定結構的和式極限.②可利用級數(shù)

收斂的必要條件(若級數(shù)?un收斂,則limun?0)來解決問題,二者均為逆

n?1?n??向思維實例.解 ①limnn??(n?1)(n?2)?(n?n)12n?limn(1?)(1?)?(1?)n??nnnnn1n?k? ?lim??1??

n??k?1?n?1kln(1?)nk?1n ?limen???n

?e?01ln(1?x)dx?e2ln2?1

1?nnn1?1 則級數(shù)?n是收斂的②由lim(n)?n??an?1aa 根據(jù)收斂函數(shù)的必要條件, 則limn??n?0 na例

三、設a1?c?0,an?1?an?c,證明:liman存在并求其值.[4]

n??分析 用數(shù)學歸納法容易證明數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的,為找到?an?的上界,采用逆向推理方法,先設liman?a,代入遞推關系式an?1?an?c,得

n??a2?a?c,由于liman非負,因此a?n??1?1?4c,從而對任何自然數(shù)n, 2必有an?1?1?4c?c?1,然后用數(shù)學歸納法證明這一等式成立.2證明 用歸納法證明數(shù)列?an?嚴格增加有上界,顯然 當n?1時,有a1?a2,設n?k時,有ak?ak?1,則ak?c?ak?1?c, 即ak?c?ak?1?c,有ak?1?ak?2,即數(shù)列嚴格增加.顯然,當n?1時,有a1?c?c?1,設n?k時，ak?c?1，則ak?1?c?ak?c?c?1?c?2c?1?c?1,即數(shù)列?an?有上界(上界是c?1),根據(jù)公理,數(shù)列?an?收斂.2設liman?a,已知an?1?c?an,有l(wèi)iman?1?c?liman,即a2?c?a.n??n??n??2解得a?(1?1?4c).由極限保號性，a不能是負數(shù)，2(1?1?4c)2則數(shù)列?an?的極限是a?例

四、設函數(shù)f(x)在[0,??)內(nèi)二階可導,且f??(x)?0,f(0)?0,證 明:x1?0,x2?0,有f?x1?x2??f(x1)?f(x2).分析 這是一道未知函數(shù)表達式,且僅給出函數(shù)導數(shù)性質(zhì)的證明題.首先,明確利用函數(shù)的單調(diào)性來證明函數(shù)不等式是一種基本方法,而證明函數(shù)的單調(diào)性又需要構造輔助函數(shù),求導判斷其增減性.其次,如何構造輔助函數(shù)？

欲證不等式f?x1?x2??f(x1)?f(x2),如題中所給出的兩個具有任意性的x1和x2,將其中一個暫時固定,另一個自由變化,如:暫時固定x2,將x1改為x,令F(x)?f(x?x2)?f(x)?f(x2)作為輔助函數(shù),求導得

F?(x)?f?(x?x2)?f?(x),由此很難判斷該表達式是大于0還是小于0.觀察表達式f?(x?x2)?f?(x)，表示函數(shù)f(x)的導數(shù)在x與x?x2兩點處的函數(shù)值之差，聯(lián)系Lagrange中值定理，有f(b)?f(a)?f?(c)(b?a)，其中c?(a,b),于是,有f?(x?x2)?f?(x)?f?(c)??x?x2??x?.此時,方可判斷F(x)的增減性.證明 令F(x)?f(x?x2)?f(x)?f(x2),其中x,x2?0, 求導得F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)又函數(shù)f(x)在[0,??)內(nèi)二階可導，導函數(shù) F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)在?x,x?x2?上連續(xù),在(x,x?x2)內(nèi)可導,根據(jù)Lagrange中值定理,至少存在一點c?(x,x?x2),使得

F?(x)?f?(x?x2)?f?(x)?f??(c)??x?x2??x??f??(c)x2?0

F(x)在?x,x?x2?上單調(diào)遞減,從而有F(x)?F(0)即,f(x?x2)?f(x)?f(0?x2)?f(0)?f(x2).由x的任意性,可將x換成x1,既得f?x1?x2??f(x1)?f(x2),其中

x1?0,x2?0.分析 以下兩道典型題若應用綜合證法直接從已知條件去證明將會很難入手,此時考慮反證法,證明兩題將會很顯然.例

五、設f(x)在?a,b?上連續(xù),且f(x)?0,證明:若?f(x)dx?0,則f(x)在ab?a,b?上恒等于零.證明 反證法 假設f(x)在?a,b?上不恒等于零,則必?x0??a,b?, 使f(x0)?0不妨設f(x0)?0,又f(x)在x0連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的局部保號性知,???0,當x??x0??,x0?????a,b?時,有f(x)?0.設f(x)在?x0??,x0???上的最小值為m,則m?0.由定積分的可加性及f(x)?0,有?f(x)dx??abx0??af(x)dx??x0??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx

?b?x0??x0??f(x)dx??x0??mdx?2?m?0

這與已知條件?f(x)dx?0矛盾,所以f(x)在?a,b?上恒等于零.a例

六、設f(x)在?0,??上連續(xù),并且?f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,試證明:

00在(0,?)內(nèi)至少存在兩個不同的點?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.證明 假設f(x)在(0,?)內(nèi)無零點,則由介值定理知,f(x)在(0,?)內(nèi)不變號,與?f(x)dx?0矛盾,故至少存在?1,使f(?1)?0;0又若f(x)在(0,?)內(nèi)僅有一個零點?1,則由介值定理及?f(x)dx?0知

0????f(x)在區(qū)間(0,?1)和(?1,?)內(nèi)必異號,而cosx?cos?1在(0,?1)和(?1,?)內(nèi)也異號,于是f(x)(cosx?cos?1)不變號,從而?f(x)(cosx?cos?1)dx?0，0?矛盾.所以,在(0,?)內(nèi)至少存在兩個不同的點?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.例

七、計算曲面積分

I???[Sxxxzxf()?x3]dydz?[f()?y3]dzdx?[?f()?z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2?y2?z2?2Rz(方向為內(nèi)側(cè)),f(u)具有連續(xù)導數(shù).分析 本題被積函數(shù)復雜,正向計算實屬曲面積分難題,但是可考慮嘗試增加一面,再減去此面,應用奧—高公式(設V是R3中雙側(cè)閉曲面S所圍成的xy型(同時既是yz型,又是zx型)有界閉體.若三元函數(shù)P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏導數(shù)在包含V的區(qū)域上連續(xù),則

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(sV?P?Q?R??)dxdydz,其中曲面S的外側(cè) ?x?y?z為正).看似加減面將問題復雜化,但是會使計算更為簡便.解 V為S所圍成球體, 設p(x,y,z)?xxxzxf()?x3,q(x,y,z)?f()?y3,r(x,y,z)??f()?z3 yyyyy?p1xxx?f()?2f?()?3x2 ?xyyyy則p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

?r1x?qxx??2f?()?3y2,??f()?3z2,在y?0連續(xù)，?zyy?yyy由奧——高公式,I??3???(x2?y2?z2)dxdydz,設

Vx?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?R?rcos?,(0???2?,0????,0?r?R)則?(x,y,z)?r2sin?, ?(r,?,?)I??3???(x2?y2?z2)dxdydzV??3?d??d??(r2?2Rrcos??R2)r2sin?dr

0002??RR5R3322??3(2??2??R?2??2?)???R5535

（三）批判性命題驗證

心理學家蓋耶說過:“誰不考慮嘗試錯誤,不允許學生犯錯誤,就將錯過富有成效的學習時刻.” 持批判性的態(tài)度,應用逆向思維真正理解命題的思想,消化命題,克服思維絕對化、表面化,徹底改變不求甚解的習慣.例

八、若數(shù)列?an?、數(shù)列?bn?都是收斂數(shù)列,且存在自然數(shù)N,當n?N時,有an?bn,則liman?limbn.n??n?? 若條件an?bn改為an?bn,其結論仍為liman?limbn

n??n??而不能斷言liman?limbn[5] n??n??分析 若正向分析,則會無從下手,而舉一反例來說明該命題不成立將輕而111??1?易舉.如:??,但是lim????lim???0.?n??nn?n?n???n? 數(shù)學分析中,繼了解極限后,應用極限方法研究,無論在理論上或是在應用中都常見的連續(xù)函數(shù),進而研究一致連續(xù),區(qū)分一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別,真正地領會一致連續(xù)的本質(zhì)及其與連續(xù)的關系,對后面的學習中遇到一致收斂、一致有界等概念也有重要作用.一致連續(xù)是函數(shù)的整體性質(zhì),它反映了函數(shù)在區(qū)間上的更強的連續(xù)性,而連續(xù)是函數(shù)的局部性質(zhì),函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)則一定連續(xù),反之不一定.定理 f(x)在?a,b?內(nèi)或?a,b?上一致連續(xù)?f(x)在?a,b?內(nèi)或?a,b?上連續(xù).這個定理的逆命題是不成立的.分析 通過舉一反例f(x)?x2在?0,???上連續(xù),但非一致連續(xù).??取xn?n?1,xn?n,n?1,2,?,當n??時, ??xn?xn?n?1?n?0 但是f(xn?)?f(xn?)?1

于是,取定差?0?1,則無論?取得多么小,當n足夠大時, ??那些xn與xn的差小于?,但是函數(shù)數(shù)值之差不會小于?0, 因此得出f(x)?x2在?0,???上連續(xù),但非一致連續(xù).拓展:[6]

定理1 設f(x)在有限開區(qū)間?a,b?上連續(xù),則f(x)在?a,b?上一致連續(xù)的充要條件是lim?f(x)與lim?f(x)存在并有限.x?ax?b注:①若f(x)在有限開區(qū)間?a,b?上有連續(xù)的導函數(shù),且limf?(x)與?x?ax?b?limf?(x)均存在且有限,可以推出limf(x)與limf(x)都存在并有限,因此??x?ax?bf(x)在?a,b?上一致連續(xù).②當函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,??)上連續(xù),定理的必要性不再成立,如

f(x)?x在(??,??)上一致連續(xù),但在端點??無極限,對于無窮區(qū)間充分

性仍然是對的.定理2 設f(x)在區(qū)間[a,??)上連續(xù),則下列條件之一滿足時f(x)在[a,??)上一致連續(xù).(I)limf(x)?A(有限)x???(II)若存在[a,??)上一致連續(xù)函數(shù)?(x),使得lim?f(x)??(x)??0

x???(III)f(x)在區(qū)間[a,??)上可導，并且導函數(shù)有界(IV)f(x)在區(qū)間[a,??)上滿足Lipschitz條件(V)f(x)在區(qū)間[a,??)上單調(diào)有界.定理3 若f(x)是區(qū)間(??,??)上的連續(xù)函數(shù),若也是周期函數(shù),則必一致連續(xù).2例

九、證明:若?an收斂,則?an也收斂,反之是否成立? n?1n?1??2分析 欲證?an收斂,則?an也收斂,這只需要用到比較判別法即可證得??而欲證逆命題是否成立,則應從兩方面考慮:一是證逆命題成立,一是證逆命題不成立,無論證哪方面,直接法都很難.于是,我們可以舉反例去否定,這樣會收到事半功倍之效.證明 已知?an收斂,則liman?0,即??0?1,?N?N?,?n?N,有

n?1?n?1n?1n??

an?1,從而有an?an,不妨設?n?N?,有an?an.22設級數(shù)?an與?an的部分和分別是An和Bn.已知?n?N?,有 2n?1n?1nn??An??ak??ak?Bn.2k?1k?1已知級數(shù)?an收斂,則limBn?B(常數(shù)).顯然數(shù)列?An?是單調(diào)增加有

n?1?n??2上界(B就是它的一個上界).于是,數(shù)列?An?收斂,即?an收斂.n?1??112反之不成立,例如:級數(shù)?()收斂,而級數(shù)?卻發(fā)散.n?1nn?1n?例

十、判斷: ①若f(x)在點x0連續(xù),則f(x)在x0連續(xù);②若f(x)在點x0連續(xù),則f(x)在x0可導;③若f(x)在點x0可積,則f(x)在x0可積;④若多元函數(shù)在某點連續(xù)且偏導數(shù)存在,則函數(shù)在該點可微.?1,x?0解 ①可以舉出反例:設f(x)??,則f(x)在x0?0處連續(xù),而

??1,x?0 f(x)在x0?0處不連續(xù),所以錯.②可以舉出反例:函數(shù)f(x)?x在x?0處連續(xù),但是它在x?0不可導，1??xsin,x?0 同樣,函數(shù)f(x)??,在x?0連續(xù),但是 x??0,x?0 不可導,所以錯.③可以舉出反例:Dirichlet函數(shù)

?1,當x為有理數(shù) D(x)??,此函數(shù)的絕對值是可積的

?0,當x為無理數(shù)

但是其本身并不可積,所以錯.?0,(x,y)?0? ④可以舉出反例:f(x,y)??x2y,在(0,0)點連續(xù)且偏導數(shù)

?x2?y2,(x,y)?0? 存在,但是,在(0,0)點不可微,所以錯.?2z?2z 定理 如果函數(shù)z?f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)

?y?x?x?y域D內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等.[7]

該定理是說,在連續(xù)的條件下二階混合偏導數(shù)與求導的次序無關.更一般 地,在連續(xù)的條件下,多元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)與求導的次序無關.而如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù),則它在該點必定連續(xù),但對于多元函數(shù),即使各偏導數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點是連續(xù).這時,自然會想到一個問題:這個定理的逆命題是否成立?即是否有如下命題:

?2z?2z命題 如果函數(shù)z?f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)

?y?x?x?y存在且相等,那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)連續(xù).分析 雖然易得一函數(shù),使其兩個二階混合偏導數(shù)存在相等,并且連續(xù)(如

z?exy),但是難得函數(shù)z?f(x,y),使其兩個二階混合偏導數(shù)存在相等,卻不連續(xù).此時,可利用逆向思維的方式,先找到一個不連續(xù)的二元函數(shù)，如：?xy22?x2?y2,x?y?0g(x,y)??, ?0,x2?y2?0?這個分段函數(shù)在(0,0)點不連續(xù).可以把g(x,y)作為z?f(x,y)的二階混合偏導數(shù)，在通過微分的逆運算積分計算出z?f(x,y).再求z?f(x,y)的偏導數(shù)時,是將一個變量看成常量,對另一個變量求導數(shù),故我們可以通過先對x積分得 u(x,y)??g(x,y)dx?yln(x2?y2)?C1 2

再將x看成常量對y積分得

x2?y2(x2?y2)22 v(x,y)??u(x,y)dy?ln(x?y)??C1y?C2

44其中C1,C2為任意常數(shù).當任意常數(shù)C1,C2取不同的值時,就會得到不同的函數(shù),這樣的函數(shù)會有無窮多個.考慮到求二階混合偏導時,函數(shù)v(x,y)的后三項最終為0,所以不妨只取第一項,并補充定義其在(0,0)點的值為0,即有

?(x2?y2)ln(x2?y2),x2?y2?0,? f(x,y)?? 4?0,x2?y2?0.?可以驗證分段函數(shù)z?f(x,y)在(0,0)點不連續(xù),即命題不成立.所以,該定理為充分條件,而不是必要條件.（四）創(chuàng)新性數(shù)學品質(zhì)

19世紀中葉,數(shù)學界長期認為對于一個區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù),總認為存在可微點的直覺想象,但是1860年數(shù)學家魏爾斯特拉斯卻極為精巧地構造了一可以被稱為“數(shù)學中的藝術品”的反例: f(x)??ancos(bn?x),其中0?a?1,ab?1??,b為奇數(shù).2n?0?這是一個在實數(shù)軸上點點連續(xù)點點不可微的函數(shù),從而嚴格弄清楚了函數(shù)的連續(xù)性與可微性之間的關系,推翻了流行很長時間的謬誤,可見反例在數(shù)學發(fā)展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思維的一種表現(xiàn)形式,也就是說,逆向思維在數(shù)學發(fā)展史的崇高地位,這種發(fā)散性思維是創(chuàng)造性人才必備的一種思維品質(zhì).五、結束語

從以上的例子我們看到,在數(shù)學分析學習中,將逆向思維解題方法進行適當?shù)臍w類和分類.如考慮間接方法,考慮遞推,考慮研究逆否命題,逆向應用公式,考慮問題的不可能性,反證法,分析法,復雜化等,可以開辟新的解題途徑,避開繁雜的計算,使問題簡化而得以順利解決.這對優(yōu)化學生的思

維結構,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力大有裨益.本文作者通過閱讀大量有關逆向思維在數(shù)學分析中的作用文獻,根據(jù)自己的學習、研究、理解、體會、分析,深刻體會到逆向思維是21世紀數(shù)學教學所提倡的思維模式.數(shù)學問題千變?nèi)f化,解題方法靈活多樣,雖然我們不可能歸納出題目的一切類型,更不可能找到解題的神方妙法,但是,人們在長期的解題實踐中,總結了豐富的經(jīng)驗,尋找了一些更為科學、更為嚴謹?shù)慕忸}方法與技巧.逆向思維作為發(fā)散思維的一種,必將起到重要作用.我們應當自覺地運用逆向思維方法,創(chuàng)造更多的奇跡.本文簡要的敘述,望為讀者研究和學習數(shù)學分析中有關逆向思維問題提供一定的幫助.六、參考文獻

?1?逆向思維（反向思維）【J】，華東科技 2008，（10）

?2?劉玉璉 傅沛仁 林玎 范德馨 劉寧 數(shù)學分析講義.（第五版）高等教育出

版社

?3?朱紅英 王金華 湘南學院學報.2012:第二期

?4?梁經(jīng)瓏 婁底師專學報.2003:第二期 ?5?馬建珍 宜賓學院學報.2006:第十二期

?6?裴禮文 數(shù)學分析中的典型問題與方法 [M].北京:高等教育出版社，2009.631-635 ?7?B.R.Gail Baum，J.M.H.Olmstead.In the analysis of the case [M].Shanghai;Shanghai Scientific and Technical Publishers,1980.4.2 ?8?凌建 科技風:2009年10月（下）