第一篇：林壽數學史教案-第十講：19世紀的分析

第十講：19世紀的分析

1、分析的嚴格化

經過近一個世紀的嘗試與醞釀，數學家們在嚴格化基礎上重建微積分的努力到19世紀初開始獲得成效。

1.1 分析的算術化

所謂分析是指關于函數的無窮小分析，主要貢獻歸功于柯西（法，1789－1857年）和魏爾斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《無窮小分析教程概論》（1823）和《微分學教程》（1829），后者創造了ε－δ語言，是“現代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函數定義。魏爾斯特拉斯簡介。1.2 實數理論

19世紀60年代魏爾斯特拉斯提出“單調有界原理”，康托、戴德金各自獨立地給出了無理數定義，建立了嚴格的實數論。實數的定義及其完備性的確立，標志著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。

1.3 集合論

康托（德，1845－1918年），1874年發表了“關于一切代數實數的一個性質”，引入了無窮的概念。

康托簡介。

2、分析的拓展 2.1 復變函數論

在18世紀后半葉到19世紀初，開始了復函數的偏導數與積分性質的探索。復分析真正作為現代分析的一個研究領域是在19世紀建立起來的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏爾斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了復變函數的微分和積分理論。1814年、1825年的論文《關于積分限為虛數的定積分的報告》建立了柯西積分定理，1826年提出留數概念，1831年獲得柯西積分公式，1846年發現積分與路徑無關定理。

柯西簡介。

背景：波旁王朝、捷克簡史、哈布斯堡王朝、拿破侖三世、歐洲1848年革命。

黎曼的幾何觀點，引入“黎曼面”的概念。1851年博士論文《單復變函數一般理論基礎》，建立了柯西－黎曼條件、黎曼映射定理。

魏爾斯特拉斯于19世紀40年代，以追求絕對的嚴格性為特征，建立了冪級數基礎上的解析函數理論，解析開拓。

魏爾斯特拉斯的方法與柯西－黎曼的觀點相互統一。2.2 解析數論

1737年歐拉（瑞，1707－1783年）在數論的研究中引進了分析方法：解析數論。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法證明了歐拉－勒讓德提出的素數問題，1863年出版《數論講義》，是解析數論的經典文獻。

1859年黎曼《論不超過一個給定值的素數個數》，開創了解析數論的新時期，提出了著名的黎曼猜想，使復分析成為這一領域的重要工具。1896年阿達瑪（法，1865－1963年）和瓦萊?普桑（比利時，1866－1962年）證明了素數定理。

2.3 偏微分方程

19世紀，偏微分方程的求解成為數學家和物理學家關注的重心。

弦振動方程。1747年達朗貝爾（法，1717－1783年）發表《弦振動研究》和1749年歐拉導出了弦振動方程并求出解，是偏微分方程研究的開端。

位勢方程。1752年歐拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球調和函數求解，稱為拉普拉斯方程。格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年發表）《關于數學分析應用于電磁學理論的一篇論文》提出位勢方程的求解方法。

拉普拉斯簡介。格林簡介。

熱傳導方程。傅里葉（法，1768－1830年）1807年就寫成關于熱傳導的基本論文，1822年出版了《熱的解析理論》，對19 世紀的理論物理學的發展產生深遠影響。

傅里葉簡介。背景：巴黎科學院。2.4 常微分方程

以海王星的發現說明微分方程的作用。

解的存在性。1820－1830年柯西獲得第一個解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 1832－1903年）條件，1890年皮卡（法, 1856－1941年）逐步逼近定理。

關于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡婭定理?？峦吡蟹蛩箍▼I（俄，1850－1891年）簡介。

解的定性與穩定性理論。1881－1886年龐加萊（法，1854－1912年）《由微分方程定義的曲線》創建了微分方程的定性理論。1892年李雅普諾夫（俄，1857－1918年）《運動穩定性的一般問題》開創了微分方程的穩定性理論。

龐加萊簡介：歐拉、柯西之后最多產的數學家，開辟了微分方程、動力系統、代數拓撲、代數幾何等新方向的研究，19世紀最后四分之一和20世紀初世界數學的領袖人物。

第二篇：林壽數學史教案-第九講：19世紀的幾何

第九講：19世紀的幾何

1、幾何學的變革

幾何學的基礎：現實空間與思維空間。1.1 微分幾何

平面曲線理論17世紀基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《無窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。

1760年歐拉（瑞，1707－1783年）《關于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論，1795年蒙日（法，1746－1818年）《關于分析的幾何應用的活頁論文》借助微分方程對曲面族深入研究。

蒙日簡介。1.2 非歐氏幾何

從公元前3世紀到18世紀末，數學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但“平行公設”始終讓他們耿耿于懷。

薩凱里（意，1667－1733年）1733年《歐幾里得無懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾（德，1739－1812年）對平行線公設是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特（法，1728－1777年）《平行線理論》指出通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反歐幾里得幾何，非歐幾里得幾何，擔心世俗的攻擊而未發表。1826年羅巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》，歷史上第一篇公開發表的非歐幾何文獻。1832年J?鮑約（匈，1802－1860年）《絕對空間的科學》，所謂“絕對幾何”就是非歐幾何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《關于幾何基礎的假設》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中，過已知直線外一點不能作任何平行于該給定直線的直線。

黎曼簡介。

1868年貝爾特拉米（意，1835－1899年）《論非歐幾何學的解釋》，在“偽球面”模型上實現（片段上）羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因（德，1849－1925年）“圓”模型實現羅巴切夫斯基幾何，1882年龐加萊（法，1854－1912年）也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，克萊因－龐加萊圓。

1.3 射影幾何

將射影幾何變革為具有獨立目標與方法的學科的數學家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列（法，1788－1867年）的《論圖形的射影性質》，探討圖形在投射和截影下保持不變的性質，闡述了連續性原理、對偶原理。

代數方法。1827年默比烏斯（德，1790－1868年）的《重心計算》中的齊次坐標，1829年普呂克（德，1801－1868年）的三線坐標。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置幾何學》不借助長度概念就得以建立射影幾何。凱萊（英，1821－1895年）和克萊因（德，1849－1925年）在射影幾何基礎上建立歐氏幾何和非歐幾何。

1.4 統一的幾何學

1872年克萊因（德，1849－1925年）在埃爾朗根大學的教授就職演講《關于近代幾何研究的比較考察》，闡述了幾何學統一的思想。

克萊因簡介。1.5 幾何學的公理化

19世紀的數學家重新審視《原本》時發現它有許多弱點。1899年希爾伯特《幾何基礎》，提出了對現代數學影響深遠的統一幾何學的途徑：公理化方法。

希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統的三原則：相容性、獨立性、完備性。

希爾伯特簡介。2、19世紀的中國數學

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。李善蘭、華蘅芳等為中國近代科學事業的先行者。

2.1 李善蘭（清，1811－1882年）

李善蘭：1850年完成著作《垛積比類》，翻譯了《幾何原本》（1857）、《代微積拾級》（1859）和《代數學》（1859）。

2.2 華蘅芳（清，1833－1902年）

華蘅芳：1868年到江南制造總局翻譯館，翻譯了《代數術》（1872）、《微積溯源》（1874）和《決疑數學》（1880）。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成功效并不顯著。自19世 2 紀末開始，一批中國留學生到日本、歐美學習數學，回國后創辦數學系，1919年“五四”運動前后，中國現代數學稍具雛形。

第三篇：林壽數學史教案-選講：數學論文寫作初步

選講：數學論文寫作

凡是運用概念、判斷、推理、證明或反駁等邏輯思維手段來分析、表達自然科學的理論和技術研究中的各種問題、成果的文章，都屬于科技學術論文的范疇。科技學術論文最重要的特點是科學性和創造性。

1、論文的撰寫

數學論文的撰寫過程分準備和寫作兩個階段。

準備階段首先搜集資料和研究資料，發現問題，提出猜想，逐步論證，對獲得的結果進行整理和提煉。寫作階段按列出的提綱寫作草稿，修改定稿。

1.1文獻搜集

運用適當的檢索方法，注意搜集與選擇的方向。文獻的搜集與選擇之要點，一是多，注意其全面性；二是精，注意其權威性。

1.2資料整理

資料整理是根據課題要求對已有的資料進行閱讀、記錄、分類、剔選、匯總的操作過程。

1.3論文選題

論文的價值主要在于選擇一個什么樣的課題。選題主要應遵循創新性原則和適應性原則，切忌題目雷同，內容重復或立題貪大，內容求全。

實例： “數學分析”選題10例；“數學教育”選題10例；“數學史” 選題10例。

1.4擬定提綱

擬定提綱有兩層含意，一是謀篇構思；二是擬寫提綱。

謀篇構思就是對研究工作的成果作合理安排的思維過程，要求作者對論文的思路、層次、順序等進行思考。擬寫提綱包括的至少有六個項目：題目；課題研究的目的；證明論點所用的概念、定理；采用的論證方法；結論；需進一步討論的問題。

1.5寫作初稿

數學論文已形成一定的撰寫格式，其結構一般由標題、署名、摘要、關鍵詞、分類號、正文（含引言和結論）、致謝、參考文獻等8個部分組成。

1（1）標題

一是準確得體，恰如其分；二是簡短精煉，高度概括；三是意義完整，體例規范。

（2）署名

一則表示擁有版權的聲明；二則反映文責自負的精神；三則有利于讀者同作者聯系。

（3）摘要

一份文獻內容的縮短的精確的表達，而無須補充解釋或評論。按功能劃分大體上可分為報道性摘要、指示性摘要和題錄式摘要。

（4）關鍵詞

從論文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表達論文內容主題方面具有實在意義起關鍵作用的詞匯稱為關鍵詞，一般為3－8個。

（5）分類號

論文主題所屬類別，采用《中圖法》的分類體系或美國《數學評論》的分類體系，具體要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及結論

引言是用于說明論文寫作的目的、理由、背景、研究成果和意義的部分，主要內容有：研究主題、目的和理由，對本課題已有研究成果的述評，本文所要解決的問題和采用的方法，概述成果及意義等。

正文的基本要求是以某一基本觀點為核心，貫穿全文，將已有的概念、定理與自己探索到的新思想、新結論，用清晰的邏輯方法撰寫為一個完整、無誤的統一體。它應包括理論分析，論證的新手段及方法和結論。

結論是整篇論文的歸結，集中反映作者的成果，表達作者對所研究課題的見解和主張，對全篇論文起畫龍點睛的作用。

（7）致謝

當科研成果以論文形式發表時，有時需要對他人的勞動給予充分肯定，鄭重地以書面形式表示感謝。它與論文的作者之間應有一定的區別。

（8）參考文獻

引用參考文獻的主要原因有三，一是說明研究課題范圍內前人的工作成果和 2 背景，并為證實自己的論點提供足夠的證據材料；二是承認科學的繼承性，表明尊重他人的勞動成果；三是便于自己寫作和讀者查閱，復核，了解相關領域里前人所做的貢獻。

著錄參考文獻的原則有三，一是只著錄最必要、最新的文獻；二是只著錄公開發表的文獻；三是采用規范化的著錄格式。

1.6修改定稿

一是錘煉課題，二是精思布局，三是檢驗材料，四是斟酌字句。

2、論文的發表

一篇學術論文只有正式發表后才能承認為正式文獻。注意發表形式，發表程序和校對工作。

作者如何提高投稿命中率？一是選題新穎實用，二是文章簡明可讀，三是了解征稿要求，四是細處一絲不茍；退稿原因多數為缺乏創新，論據不充分或沒有達到刊物要求的學術價值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研檔案?？蒲袡n案是在科研活動中逐步做出并經整理和篩選，確有保留價值和有必要作為原始記錄而立卷存檔，長期保存的資料。

就其表現形式來說，科研檔案可以歸納為兩大類，一是實物檔案，二是記錄檔案。

采用科研檔案形式保管科研成果，其作用體現在歷史性的憑證，原始性的證據，供檢查、復核、校閱，供使用和參考，確立發現發明權，正式紀錄科學貢獻。

第四篇：林壽數學史教案-第八講：19世紀的代數

第八講：19世紀的代數

19世紀的代數稱之“代數學的新生“。

1、代數方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11歲發現了二項式定理，1795年進入哥廷根大學學習，1796年發現了正17邊形的尺規作圖法，1799年證明了代數基本定理。

高斯，“數學王子”，18－19世紀之交的中堅人物，歐拉以后最重要的數學家，數學研究幾乎遍及所有領域，發表論文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）發表《關于代數方程解的思考》，認識到求解一般五次方程的代數方法可能不存在。1799年魯菲尼（意，1765－1822年）明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數方法求解。

1824年阿貝爾（挪，1802－1829年）出版《論代數方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了阿貝爾定理。

阿貝爾簡介及數學獎：阿貝爾獎（2003－）。

1829－1831年，伽羅瓦（法，1811－1832年）建立了判別方程根式解的充分必要條件，宣告了方程根式解難題的徹底解決。

伽羅瓦簡介。

伽羅瓦的工作可以看成是近世代數的發端，現代數學醞釀的標志之一。

2、數系擴張

1873年埃爾米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分別證明了e和π是超越數。虛數（即復數）的出現，承認與反承認一直在歐洲徘徊。19世紀復數在數學中起著舉足輕重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）討論了復數幾何表示。

對復數推廣的重要貢獻是哈密頓（愛爾蘭，1805－1865年），1843年定義了四元數。

哈密頓簡介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《線性擴張性》引進了n個分量的超復數，1847年凱萊（英，1821－1895年）定義了八元數。

3、行列式與矩陣

關于線性方程組解的發展，形成了行列式和矩陣的理論。

1683年關孝和（日，1642－1708年）完成《解伏題之法》，提出行列式理論和代數方程變換理論，尤其在行列式方面的研究是世界領先的。

1750年克萊姆（瑞士，1704－1752年）法則，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展開定理。

1841年凱萊（英，1821－1895年）行列式記號，1852年西爾維斯特（英，1814－1897年）慣性定理，1854年埃爾米特（法，1822－1901年）使用了正交矩陣，1858年凱萊證明了凱萊－哈密頓定理，1870年若爾當（法，1838－1921年）建立了若爾當標準形，1879年弗羅貝尼斯（德，1849－1917年）引入矩陣的秩。

4、布爾代數

來源于對數學和邏輯基礎的探討。

德?摩根（英，1806－1871年），1847年《形式邏輯》，突破古典的主謂詞邏輯的局限，影響到數理邏輯的發展。

布爾（英，1815－1864年），1847年《邏輯的數學分析，論演繹推理的演算法》和1854年《思維規律的研究，作為邏輯與概率的數學理論的基礎》為數理邏輯的發展鋪平了道路。

施羅德（德，1841－1902年）《邏輯代數講義》（3卷，1890－1905年）把布爾的邏輯代數推向頂峰。

5、數論

費馬（法，1601－1665年），“業余數學家之王”，獨騁17世紀數論天地，17世紀法國最偉大的數學家，《數學論集》（1670）。

18世紀的數論受到費馬思想的主宰。有影響的數學家是歐拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和華林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的數論研究總結在1801年的《算術研究》中，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。

代數數論是研究代數數域的數論性質。整數最基本的性質是唯一因子分解定理。1844－1847年庫默爾（德，1810－1893年）創立了理想數理論，1871年戴德金（德，1831－1916年）創立了代數數理論，1897年希爾伯特（德，1862－ 2 1943年）“代數數域理論”。

梅森素數。梅森素數是確定大素數的一種途徑。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理數學隨感》。在“手算筆錄年代”僅找到12個梅森素數，近10年來通過GIMPS項目找到了10個（35至44個）梅森素數。

第五篇：林壽數學史教案-第五講：文藝復興時期的數學

第五講：文藝復興時期的數學

1、文明背景 1.1 文藝復興

文藝復興是指14世紀意大利各城市興起，15世紀后期起擴展到西歐各國，16世紀在歐洲盛行的一場思想文化運動。在這歷時約200年的歷史中，揭開了現代歐洲歷史的序幕，被認為是中古時代和近代的分界，數學活動也以空前的規模和深度蓬勃興起。

1.2 技術進步

歐洲文藝復興時期的主要成就之一，是在15世紀后半葉開始產生近代自然科學。四大發明相繼傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡發明了金屬活字印刷術，歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個印刷版。

1.3 航海探險

1488年，迪亞士（葡，1450－1500年）進入印度洋，發現好望角。1498年，達?伽馬（葡，1469－1524年）到達印度海岸，找到了通向東方的新航路。1492年，哥倫布（西，1451－1506年）到達美洲。1519－1522年，麥哲倫（葡，1480－1521年）船隊完成了首次環球航行。

1.4 天文學的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心說”，1543年出版《天體運行論》。布魯諾（意，1548－1600年）1584年在《論無限、宇宙及世界》提出了宇宙無限的思想。

2、文藝復興時期的歐洲數學

近代始于對古典時代的復興，但人們很快看到，它遠不是一場復興，而是一個嶄新的時代。

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。

帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術集成》是一部數學百科全書，其中采用了優越的記號及大量的數學符號，推進了代數學的發展。

塔塔利亞（意，1499－1557年）發表了《論數字與度量》（1556－1560），1 16世紀最好的數學著作之一，發現了三次方程的代數解法。

卡爾丹（意，1501－1576年）最重要的數學著作是1545年出版的《大術》，內有三次、四次方程的解法。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復興時期最后一位代數學家，1572年出版《代數》，引進了虛數，正式給出了負數的明確定義。

施蒂費爾（德，1487－1567年），16世紀德國最大的數學家，1544年《綜合數學》中指出：符號使用是代數學的一大進步。

韋達（法，1540－1603年），16世紀法國最大、最有影響的數學家，被西方稱為“代數學之父”，1591年出版《分析引論》是最早的符號代數專著。

2.2 三角學

在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《論各種三角形》（1533年出版），是歐洲人對平面和球面三角學所作的第一個完整、獨立的闡述。

韋達（法，1540－1603年），1579年《應用于三角形的數學定律》系統講述了各鐘三角函數，1615年《截角術》系統化了球面三角和平面三角學。

2.3 射影幾何

文藝復興時期給人印象最深的幾何創造其動力卻來自藝術。正是由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激導致了富有文藝復興特色的學科，誕生了射影幾何學。

阿爾貝蒂（意，1404－1472年），1435年發表《論繪畫》，闡述了最早的數學透視法思想，是射影幾何發展的起點。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，射影幾何早期發展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發現），內有帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線。

射影幾何產生后很快讓位于代數、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發現。

2.4 對數

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十進算術》，系統地探討了十進制記數及其運算理論，并提倡用十進制小數來書寫分數。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）至少花了20年的時間，于1590年左右開始寫關于對數的著作，1614年發表《奇妙對數規則的說明》。

到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數學的融合，為近代數學的興起及以后的驚人發展鋪平了道路。3、15－17世紀的中國數學

3.1 珠算

珠算盤是算籌的發展。珠算盤的記載最早見于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年編著了《直指算法統宗》。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數學史上任何著作也不能與之相比。

3.2 西方數學的傳入

西方數學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。

最早來中國從事傳教活動的是明萬歷年間（1582年）來華的意大利傳教士利瑪竇（1552－1610年），被中國人尊稱為“西學東漸第一師”。

徐光啟（明，1562—1633年），中國近代科學的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版。《幾何原本》是中國近代翻譯西方數學書籍的開始，相繼出現了許多歐洲數學著作。

3.3 明末的中國科技

李時珍（1518－1593年）《本草綱目》，徐光啟（1562－1633年）《農政全書》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游記》，宋應星（1587－

？）《天工開物》。